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直线与椭圆的一个结论


8 镌 * |   ◇  篙   E | | 一一 H     高 教 视 野  一 一 ”     一一 一 霉  5  ≥ 直 线 与椭 圆的一个 结论  ◎ 向 超 胡 蓉 ( 庆 师 范 大 学 数 学 与计 算机 科 学 学院 重 在 高 中数 学 中 . 线 与 圆 锥 曲 线 的 交 点 问题 是 一 个 难  直 点 . 于 圆 锥 曲 线 方 程 都 是 二 次 方 程 ,所 以在 计 算 过 程 中 由   存 在 很 大 的 计 算 量 . 文 通 过 探 讨 直 线 与 椭 圆 的 相 交 情  本 4 13 ) 0 3 1  网为 直 线 与椭 圆 有 两 个 不 同 的 交 点 ,   故 A:4 4 2 一4 2a     (     >0 a k m   a (2 +b ) m 一b ) . k   ‘ . . () 2  am2 2 k  一 ( 2 ak  +b ) ,      (n 一6 )>0.   一 况 , 解 直 线 在 Y轴 上 的截 距 的 取 值 范 围 , 出一 个 简 便 的  求 得 结 论 , 推 广 . 用 本 文 的结 论 , 以 为 高 中生 计 算 或 判 断  并 利 可 此类 问题 节 约 很 多 的 时 间 .   ’ . . bm  b( 2    >0. 2 + 2ak +b )   .   .  . m < ak 2 + b   .  . m∈( 、  +b ,/ +b )得 证 . 一/   、    .   1 直 线 与 椭 圆 相 交  . 例1直 Y + 与 圆   昔 =有 个   线= m 椭 看   l两 公 共 点 , m 的 取值 范 围是 ( 则   ) .   A. 一 5 B. 一l , 2 C ( 3, 3 D. 一 5,5) ( 5, ) ( 2 1 ) . 一1 1 ) (1 l   当  =1时 , 是 上 述 例 子 中的 情 形 . 就   以 上 讨 论 的是 直 线 与 椭 圆有 两 个 交 点 , 么 当直 线 与  那 椭 圆 只有 一 个 交 点 时 , 即 直 线 与 椭 圆相 切 时 , 1 中 A= 也 ()   0 解得 : , m=一 / +b 、   或 m=、  +  . / b 同理 , 直线与椭  圆 没有 交 点 时 , 一 一 / +  ) 、  -b ,。) m∈(∞, 、  b u( / 4   +。. -   上 述 例 子是焦点在 轴上 . 当焦点在 Y 轴时, 同样成立. 结论   2 探 讨 一 种 特 殊 情 形  . 在 直 线 Y=k x+m 中 , 令  l n Y =0 则 ml a 再  =一 ,l , =k ; 令 2 =0,2 , m1 y =b 则 =b.   在 以 I Il l 两 直 角 边 所 构 成 的直 角 三 角形 中 , 边  m。 m  , 为 斜 解 选 C 将 直 线 Y- . - X+m 代 人 椭 圆 方 程  — =     1中 , 去 Y, 理 , 1  +2 8 消 整 得 6 8 mx+14( 一2 4 m  5)=0  . 由 A=(8 m) 4 6 x1 4 。 2 ) 0得 m∈(1 ,3 . 2 8 2 x1 9 4   一 5 > , - 一 31 )   如 图所 示 , 上 述 椭 圆 方  在 程 中 . 圆 的长 半 轴 0=IAI   椭 O = 1 短 半

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