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1.1.1归纳推理


北师大版高中数学选修2-2 第一章《推理与证明》
§1归纳与类比

1

Ⅰ、教学目标 1.知识与技能:(1)结合已学过的数学实例,了解归纳推 理的含义;(2)能利用归纳进行简单的推理;(3)体会并认 识归纳推理在数学发现中的作用. 2.方法与过程:归纳推理是从特殊到一般的一种推理方法, 通常归纳的个体数目越多,越具有代表性,那

么推广的一般性 命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法。 3.情感态度与价值观:通过本节学习正确认识合情推理在数 学中的重要作用,养成从小开始认真观察事物、分析事物、发 现事物之间的质的联系的良好品质, 善于发现问题,探求新知识。 Ⅱ、教学重点:了解归纳推理的含义,能利用归纳进行简单 的推理。 教学难点:培养学生“发现—猜想—证明”的归纳推理能力。 Ⅲ、教学方法:探析归纳,讲练结合 2 Ⅳ、教学过程

一.引例:

2 -n+11的值,根据所计算得 1.当n=0,1,2,3,4,5时,计算n 的值,你能得到什么结论?

n 0 1 2 3 4 5

n2-n+11 11

11 13 17 23 31
3

2.矩形的对角线的平方等于长和宽的平方和. 你能推出长方体有什么性质?

长方体的对角线的平方等于长、宽、高的平方和.? 3.所有的树都是植物, 梧桐是树. 你能得出什么结论? 梧桐是植物.

上述3个案例的推理各有什么特点

4

二.新课: 1.推理 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 推理.任何推理都包含前提和结论两个部分.

5

2.例题: 例1.前提:蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟 是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴 都是爬行动物,

结论: 所有的爬行动物都是用肺呼吸的.
例2.前提:三角形的内角和是180 ?,凸四边形的内角和 是360?,凸五边形的内角和是540 ?,……

结论: 凸n边形的内角和是(n-2)180 ?.?

6

2 2+1 2 2+2 2 2+3 例3.前提: < , < , < ,… 3 3+1 3 3+2 3 3+3

b b+m 结论: < (a、b、m均为正实数). a a+m
以上三个推理有什么特征?
由部分到整体、由特殊到一般.?
7

哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师,也是一位著 名的数学家,生于1690年,1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年,哥 德巴赫在教学中发现,每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除 的数)之和。 如6=3+3,12=5+7等等。 公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler), 提出了以下的猜想: (a) 任何一个>=6之偶数,都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个>=9之奇数,都可以表示成三个奇质数之和。

8

歌德巴赫猜想: 即:偶数=奇质数+奇质数 “任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质 数之和”
3+7=10,3+17=20,13+17=30, 改写为:10=3+7,20=3+17,30=13+17. 6=3+3, 8=3+5, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=5+11, 18 =7+11, ?, 1000=29+971, 1002=139+863,

歌德巴赫猜想的提出过程:



9

定义:
从个别事实中推演出一般性的结论,像 这样的推理通常称为归纳推理

归纳推理的一般步骤:
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 理; ⑵ 提出带有规律性的结论,即猜想; 实验、观察 概括、推广 整

猜测一般性结论
10

an 例1:已知数列{an}的第1项a1=.
蔭 a+11= D1+n (=102,3, ?),试槟 出这个衶耐屁项公式

51

1 2.:数一数图械闹凸多面宓亩檬F、顶
点数V和棱数E,然后霉槟山法评硗贸隽它们 涞闹关系

512
定嗝驽

檬(F)

顶点数(V)

棱数(E)

三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立教宓 正八面宓 五棱柱 截角正教宓 尖顶塔
4
55

n
55

6 8

1

2ㄠ面宓

檬(F)

顶点数(V)

棱数(E)

三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立教宓 正八面宓 五棱柱 截角正教宓 尖顶塔
4
55
6 6


55
6
5

6 8
1001212
1

堵想 F+V-E=2
ㄠ面宓 檬(F)

防(公式
棱数(E)

顶点数(V)

三棱锥 四棱锥 三棱柱
4
55
6 6


55
6
5
100
6 8
1001212
五棱锥
立教宓 正八面宓 五棱柱 截角正教宓

7 79

15 15
16 15
10

尖顶塔
4 小剑荷归纳推理<奶岬悖毫

(1)槟赏评淼囊疤幔是父鲆阎奶岬殊现象,槟赏所玫浇崧 论是尚属未酪话悴现象,该崧
吃骄了疤幔所包容的范围

5(2)由槟赏评淼牡绞慕崧,哂写虏庖的灾剩楷崧,是否真实 还需经过逻辑っ鳌褪堑践检验.因此材鼙作问е忻鳌的使ぞ?

6(3)槟赏评淼且恢址哂写造缘慕评怼 ü槟山法玫绞的 孪耄滑梢员作问进一步研究钠金悖含帮助人们⑾治侍猓和?16L岢龃侍猓

5 不完全槟山法

完全槟山法 :每桓&对象或每桓&
类的考察
见课本第7页习题1-1第3题。
1

咐:如图有鳄针和套砸徽鳄针上的若干金属片. 按下凉媛则,把金属片右桓鳄针上<移到硪桓鳄针上.1.兔看位能币贫1个金属片; 2.较大慕狃属片材鼙放诮滔械幕狃属片上面.试推测; 把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次? 解;设an硎境移动n块狃属片钡拇移动次数. 眓=01时,1=. 眓=02时,12=


1
3

1

附;设an硎境移动n块狃属片钡拇移动次数. 眓=01时,1=.
眓=02时,12=
眓=03时,13= 7 眓=04时,14 D15
孪耄 an= 2n -1
3
1
3

1

度宽翁昧废2 - 3 3+ 练习1.貉知- 3?3?32, , ? ? 3, & 3+ 8 8 4 4 a+ 4? ?4, &? ? , 若 6 ? ? 6, &15 15 b+(a) , b凳))爰推测a+ ? __ __ 6b+(? 35
四、作业:课本P7习题1-1中1、2 Ⅳ酡教押蠓此己

2

a2

1

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