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1.1.1归纳推理


北师大版高中数学选修2-2 第一章《推理与证明》
§1归纳与类比

1

Ⅰ、教学目标 1.知识与技能:(1)结合已学过的数学实例,了解归纳推 理的含义;(2)能利用归纳进行简单的推理;(3)体会并认 识归纳推理在数学发现中的作用. 2.方法与过程:归纳推理是从特殊到一般的一种推理方法, 通常归纳的个体数目越多,越具有代表性,那么推广的一般性 命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法。 3.情感态度与价值观:通过本节学习正确认识合情推理在数 学中的重要作用,养成从小开始认真观察事物、分析事物、发 现事物之间的质的联系的良好品质, 善于发现问题,探求新知识。 Ⅱ、教学重点:了解归纳推理的含义,能利用归纳进行简单 的推理。 教学难点:培养学生“发现—猜想—证明”的归纳推理能力。 Ⅲ、教学方法:探析归纳,讲练结合 2 Ⅳ、教学过程

一.引例:

2 -n+11的值,根据所计算得 1.当n=0,1,2,3,4,5时,计算n 的值,你能得到什么结论?

n 0 1 2 3 4 5

n2-n+11 11

11 13 17 23 31
3

2.矩形的对角线的平方等于长和宽的平方和. 你能推出长方体有什么性质?

长方体的对角线的平方等于长、宽、高的平方和.? 3.所有的树都是植物, 梧桐是树. 你能得出什么结论? 梧桐是植物.

上述3个案例的推理各有什么特点

4

二.新课: 1.推理 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 推理.任何推理都包含前提和结论两个部分.

5

2.例题: 例1.前提:蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟 是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴 都是爬行动物,

结论: 所有的爬行动物都是用肺呼吸的.
例2.前提:三角形的内角和是180 ?,凸四边形的内角和 是360?,凸五边形的内角和是540 ?,……

结论: 凸n边形的内角和是(n-2)180 ?.?

6

2 2+1 2 2+2 2 2+3 例3.前提: < , < , < ,… 3 3+1 3 3+2 3 3+3

b b+m 结论: < (a、b、m均为正实数). a a+m
以上三个推理有什么特征?
由部分到整体、由特殊到一般.?
7

哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师,也是一位著 名的数学家,生于1690年,1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年,哥 德巴赫在教学中发现,每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除 的数)之和。 如6=3+3,12=5+7等等。 公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler), 提出了以下的猜想: (a) 任何一个>=6之偶数,都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个>=9之奇数,都可以表示成三个奇质数之和。

8

歌德巴赫猜想: 即:偶数=奇质数+奇质数 “任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质 数之和”
3+7=10,3+17=20,13+17=30, 改写为:10=3+7,20=3+17,30=13+17. 6=3+3, 8=3+5, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=5+11, 18 =7+11, ?, 1000=29+971, 1002=139+863,

歌德巴赫猜想的提出过程:



9

定义:
从个别事实中推演出一般性的结论,像 这样的推理通常称为归纳推理

归纳推理的一般步骤:
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 理; ⑵ 提出带有规律性的结论,即猜想; 实验、观察 概括、推广 整

猜测一般性结论
10

an 例1:已知数列{an}的第1项a1=1且 a n+1 = 1+an (n=1,2,3 ?),试归纳出这个数列的通项公式.

11

例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶
点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们 之间的关系.

12

多面体

面数(F)

顶点数(V)

棱数(E)

三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体 正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔

4 5 5

4 5 6

6 8 9

13

多面体

面数(F)

顶点数(V)

棱数(E)

三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体 正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔

4 5 5 6 6 8

4 5 6 6 8 6

6 8 9 10 12 12

14

猜想 F+V-E=2
多面体 面数(F)

欧拉公式
棱数(E)

顶点数(V)

三棱锥 四棱锥 三棱柱

4 5 5 6 6 8

4 5 6 6 8 6 10

6 8 9 10 12 12

五棱锥
立方体 正八面体 五棱柱 截角正方体

7 7
9

15 15
16
15

10 9

尖顶塔

小结: 归纳推理的特点:

(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结 论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包容的范围.

(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实 还需经过逻辑证明和实践检验.因此,它不能作为数学证明 的工具.?

(3)归纳推理是一种具有创造性的推理。通过归纳法得到的 猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和? 16 提出问题.

不完全归纳法

完全归纳法 :每一个对象或每一个
类的考察

见课本第7页习题1-1 第3题。
17

例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动1个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测; 把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次? 解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3

2

1

3

18

解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1
当n=2时,a2= 3 当n=3时,a3= 7 当n=4时,a4= 15

猜想 an= 2n -1

2

1

3

19

三、课堂练习
2 2 3 3 练习 1:已知 2 ? ? 2 ,3 ? ? 3 , 3 3 8 8 4 4 a a 4? ?4 , ? ? ?,若 6 ? ? 6 , 15 15 b b (a , b均为实数),请推测 a ? __ __ 6 b ? 35

四、作业:课本P7习题1-1中1、 2 Ⅴ、教后反思:

20

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