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指数函数典型例题详细解析


指数函数·例题解析 第一课时
【例 1】 (基础题)求下列函数的定义域与值域:
1

(1)y=3 2? x


(2)y= 2 x?2 ? 1

(3)y= 3 ? 3x?1

(1)定义域为{x|x∈R 且 x≠2}.值域{y|y>0 且 y≠1}.

r />(2)由 2x+2-1≥0,得定义域{x|x≥-2},值域为{|y|y≥0}. (3)由 3-3x-1≥0,得定义域是{x|x≤2},∵0≤3-3x-1<3,

∴值域是 0≤y< 3.
1.指数函数 Y=ax (a>0 且 a≠1)的定义域是 R,值域是(0,+∞) 2. 求定义域的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母 不为0③形如 a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数 Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0) ③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意 新元的范围)

【例 2】 (基础题)指数函数 y=ax,y=bx,y=cx,y=dx 的图像如
图 2.6-2 所示,则 a、b、c、d、1 之间的大小关系是 [ A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C. b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b ]



选(c),在 x 轴上任取一点(x,0),则得 b<a<1<d<c.

【例 3】 (基础题)比较大小:
(1) 2 、 3 2 、 5 4 、 8 8、 9 16的大小关系是: (2)0.6
? 4 5



3 ?1 ( ) 2 2

(3)4.54.1________3.73.6

1

1

2

3

4

解 (1) ∵ 2 ? 2 2 , 3 2 ? 2 3 ,5 4 ? 2 5 ,8 8 ? 2 8 , 9 16 ? 2 9 , 函数y= 2 x , 2 >1,该函数在 ( -∞,+∞ ) 上是增函数, 1 3 2 4 1 又 < < < < ,∴ 3 2 <8 8<5 4 < 9 16< 2 . 3 8 5 9 2
1 3 ?2 解 (2) ∵ 0.6 >1,1> ( ) , 2 4 1 3 ? ? ∴ 0.6 5 > ( ) 2 . 2 ? 4 5



(3)借助数 4.53.6 打桥,利用指数函数的单调性,4.54.1>4.53.6,作

函数 y1=4.5x,y2=3.7x 的图像如图 2.6-3,取 x=3.6,得 4.53.6>3.73.6 ∴ 4.54.1>3.73.6.

说明 如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函 数的单调性进行比较,如例 2 中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较 大小时,有两个技巧,其一借助 1 作桥梁,如例 2 中的(2).其二构造一个新的 幂作桥梁, 这个新的幂具有与 4.54.1 同底与 3.73.6 同指数的特点, 即为 4.53.6(或 3.74.1),如例 2 中的(3).

例题 4(中档题)

9

【例4】比较大小 n ?1 a n 与 n a n ?1 (a> 0且a≠1,n>1) .
n ?1



an

n

a n ?1

?a

1 n ( n ?1)

当 0<a<1,∵n>1,

1 > 0, n( n ? 1)

∴a

1 n ( n ?1)

<1,∴ n ?1 a n < n a n ?1 1 > 0, n( n ? 1)

当a>1时,∵n>1, ∴a
1 n ( n ?1)

>1, n ?1 a n > n a n ?1

【例 5】 (中档题)作出下列函数的图像:图像变换法
1 (1)y=( ) x?1 2
(3)y=2|x-1|

(2)y=2 x -2 ,
(4)y=|1-3x|

1 1 解 (1)y= ( ) x ?1 的图像 ( 如图 2 . 6- 4) ,过点 (0, ) 及 ( -1,1) . 2 2 1 是把函数y= ( ) x 的图像向左平移1个单位得到的. 2
解 (2)y=2x-2 的图像(如图 2.6-5)是把函数 y=2x 的图像向下平移 2 个单位得

到的.



(3)利用翻折变换,先作 y=2|x|的图像,再把 y=2|x|的图像向右平移 1 个

单位,就得 y=2|x-1|的图像(如图 2.6-6). 解 (4)作函数 y=3x 的图像关于 x 轴的对称图像得 y=-3x 的图像,再把 y=-3x

的图像向上平移 1 个单位,保留其在 x 轴及 x 轴上方部分不变,把 x 轴下方的图像 以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方而得到.(如图 2.6-7)

例 6(中档题) :
>1 时,y = ax 是增函数.

用函数单调性定义证明:当

a

【解析】设 x1,x2∈R 且 x1<x2,并令 x2 = x1 + h (h>0,h∈R),很独特的方式 则有 a x2 ? a x1 ? a x1 ? h ? a x1 ? a x1 (a h ? 1) , ∵a>1,h>0,∴ a x1 ? 0, a h ? 1 , ∴ a x2 ? a x1 ? 0 ,即 故 y = ax (a>1)为 R 上的增函数, 同理可证 0<a<1 时,y = ax a x1 ? a x2 是 R 上的减函数.

例题 7 中档题)

指数函数与二次函数的复合函数(由内到外分析) 二次函数为内层函数,指数函数为外层函数

3 2 【例6】求函数y= ( ) x - 5x+ 6 的单调区间及值域. 4 3 解 令u=x 2 -5x+ 6,则y= ( ) u 是关于u的减函数,而u=x 2 -5x 4
5 5 + 6在x∈ ( ? ∞, ]上是减函数,在x∈[ , ? ∞ ) 上是增函数.∴函数 2 2 3 2 5 5 y= ( ) x - 5x+ 6 的单调增区间是 ( ? ∞, ],单调减区间是[ , ? ∞ ) . 4 2 2

又∵u=x 2 -5x+ 6= ( x ?

5 2 1 1 ) ? ≥? , 2 4 4

3 1 函数y= ( ) u ,在u∈[ ? , ? ∞ ) 上是减函数, 4 4 4 3 x2 - 5x+ 6 108 所以函数y= ( ) 的值域是 ( 0, ]. 4 3

变式 1

求函数 y=(

1 x2 ?2 x ) 的单调区间,并证明之. 2

解法一(在解答题) :在 R 上任取 x1、x2,且 x1<x2,
1 2 ( ) x2 ? 2 x2 y2 1 1 则 = 2 = ( ) 2-x1) 2+x1-2) ( ) (x (x 【 为底数, 红色部分为指数】 , 1 x12 ? 2 x1 y1 2 2 ( ) 2
∵x1<x2,∴x2-x1>0. 当 x1、x2∈(-∞,1]时,x1+x2-2<0.这时(x2-x1) 2+x1-2)<0,则 (x 1. ∴y2>y1,函数在(-∞,1]上单调递增. 当 x1、x2∈[1,+∞)时,x1+x2-2>0,这时(x2-x1) 2+x1-2)>0,即 (x 1. (此处点评:上述证明过程中,在对商式正负判断时,利用了指数函数的值域及单 调性) ∴y2<y1,函数在[1,+∞上单调递减. 综上,函数 y 在(-∞,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减. 合作探究:在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦,因此我们可以考虑用复合函 数的单调性来解题.

y2 > y1

y2 < y1

解法二、在填空、选择题中(用复合函数的单调性) : 设: u ? x ? 2 x

2

?1? 则: y ? ? ? ?2?

u

对任意的 1 ? x1 ? x2 ,有 u1 ? u 2 ,

又∵ y ? ? ? 是减函数

?1? ?2?

u

∴ y1 ? y 2

?1? ∴y ?? ? ?2?

x 2 ?2 x

在 [1,?? ) 是减函数

对任意的 x1 ? x2 ? 1 ,有 u1 ? u 2

?1? 又∵ y ? ? ? 是减函数 ?2?
∴ y1 ? y 2

u

?1? ∴y ?? ? ?2?

x 2 ?2 x

在 [1,?? ) 是增函数

2 在该问题中先确定内层函数( u ? x ? 2 x )和外层函数(
根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调性.

?1? y ? ? ? )的单调情况,再 ?2?

u

变式 2
2

?x 已知 a ? 0 且 a ? 1 ,讨论 f ( x ) ? a

2

?3 x ? 2

的单调性.

【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题, 指数 ? x ? 3x ? 2 ? ?( x ? ) ?
2

3 2

3 3 17 ,当 x ≥ 时是减函数, x ≤ 时是增函数, 2 2 4

而 f (x) 的单调性又与 0 ? a ? 1 和 a ? 1 两种范围有关,应分类讨论. 【解析】设 u ? ? x ? 3x ? 2
2

3 17 ? ?( x ? ) 2 ? , 2 4
则当 x ≥

3 时, u 是减函数, 2

当x≤

3 时, u 是增函数, 2

u 又当 a ? 1 时, y ? a 是增函数, u 当 0 ? a ? 1 时, y ? a 是减函数,

?x 所以当 a ? 1 时,原函数 f ( x ) ? a

2

?3 x ? 2

在 [ ,?? ) 上是减函数,在 (??, ] 上是

3 2

3 2

增函数.
?x 当 0 ? a ? 1 时, 原函数 f ( x ) ? a
2

?3 x ? 2

在 [ ,?? ) 上是增函数, (??, ] 上是减 在

3 2

3 2

函数. 【小结】 一般情况下, 两个函数都是增函数或都是减函数, 则其复合函数是增函数; ;如果两个函数中一增一减,则其复合函数是减函数,但一定注意考虑复合函数的定义 域.

第二课时
例题 8: (疑难题)指数函数与二次函数的复合函数
换元法 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元 u 的范围)

1 1 【例7】求函数y= ( ) x ? ( ) x +1(x≥ 0) 的单调区间及它的最大值. 4 2 1 1 1 1 3 1 解 y=[( ) x ]2 ? ( ) x ? 1 ? [( ) x ? ]2 ? ,令u= ( ) x ,∵x≥ 0, 2 2 2 2 4 2 1 1 ∴ 0<u≤1,又∵u= ( ) x 是x∈[0,+∞ ) 上的减函数,函数y= ( u ? ) 2 2 2

?

3 1 1 1 1 在u∈ (0, ]上为减函数,在[ ,1) 上是增函数.但由 0< ( ) x ≤ 4 2 2 2 2 1 1 1 1 得x≥1,由 ≤ ( ) x ≤1,得 0≤x≤1,∴函数y= ( ) x ? ( ) x +1单调增 2 2 4 2 区间是[1,+∞ ) ,单调减区间[0,1]

当 x=0 时,函数 y 有最大值为 1.

内层指数函数 u=(1/2)x 为减,当 u 在(0,1/2】时,此时外 层二次 f(u)为减函数,即 x 在【1,正无穷大),则复合函数为 ,
增(画草图分析法) 点评: (1)指数函数的有界性(值域) :x2≥0; ax>0

(2)上述证明过程中,在两次求 x 的范围时,逆向利用了指数 函数的值域及逆向利用了指数函数的单调性,是关键及疑难点。

变式:
x x ?1

求(3) y ? 4
x x 2

x

? 2 x ?1 ? 1

的值域.

x?R 解? y ? 4 ? 2 ? 1 y ? (2 ) ? 2 ? 2 ? 1 ? (2 ? 1) , 且 2 ? 0,? y ? 1 . 故 y ? 4 ? 2 ? 1 的值域为{ y | y ? 1} . 【小结】求与指数函数有关的函数的值域 时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的 要求,并利用好指数函数的单调性.
x 2

x

x

x ?1

例题 9 (中档题)分式型指数函数
ax ?1 【例8】已知f(x) = x (a>1) a ?1

(1)判断 f(x)的奇偶性; (2)求 f(x)的值域; (3)证明 f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函 数. 解 (1)定义域是 R.
a ?x ? 1 ax ?1 f( -x) = ? x ?? x =-f(x) , a ?1 a ?1
∴函数 f(x)为奇函数.
ax ?1 ?1? y y ?1 (2) 函数y= x ,∵y≠1,∴有a x = ? > 0 ? -1<y<1, y ?1 1? y a ?1
反函数法,用指数函数值域

即 f(x)的值域为(-1,1). (3)设任意取两个值 x1 、x2 ∈(-∞,+∞)且 x1 < x2. f(x1)-f(x2)
a xl ?1 a x 2 ?1 2(a xl ? a x 2 ) = x ?1 ? x ? 1 = x ,∵a>1,x 1 <x 2 ,a x1 <a x 2 , (a x1 +1) l 2 l ? 1)( a x 2 ? 1) a a (a (a x 2 +1) > 0,∴f(x 1 ) <f(x 2 ) ,故f(x) 在R上为增函数.

变式 1

设 a 是实数,

f ( x) ? a ?
证明:设

2 ( x ? R) 2x ?1

试证明对于任意 a, f (x) 为增函数;

x1 , x 2 ∈R,且 x1 ? x 2



f ( x1 ) ? f ( x2 )

? (a ?

2 2 ) ? (a ? x ) 2 x1 ? 1 2 2 ?1

2(2 x1 ? 2 x 2 ) 2 2 ? x ? ? 2 2 ? 1 2 x1 (2 x1 ? 1)(2 x 2 ? 1)

由于指数函数 y= 2 在 R 上是增函数,且
x

x1 ? x 2 ,

所以 2 x1 ? 2 x 2 即 2 x1 ? 2 x 2 <0,
x 又由 2 >0 得

2 x1 +1>0, 2 x +1>0
2

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) <0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 因为此结论与 a 取值无关,所以对于 a 取任意实数, f (x) 为增函数

例题 10(中档题)

抽象函数

例题 10

变式 1(疑难题)

第三课时
复合函数

作业课本: 课本 P 习题


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