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湖南省澧县一中2014-2015学年高二上学期特色班周考数学理试题(12月7日)


2014.12.7 高二理科特色班数学周考试题
总分:100 分 时量:75 分钟 命题人:陈智勇 一、选择题(每小题 5 分共 40 分,请将答案填写在答题区。 ) 1. 若 a>0,b>0,且函数 f ( x) ? 4x 3 ? ax2 ? 2bx ? 2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于 ( A.2
2

)<

br />
B.3

C.6

D.9 ( D. [3, ??) )

2.若函数 f ? x ? =x ? ax ?

1 ?1 ? 在 ? , +? ? 是增函数,则 a 的取值范围是 x ?2 ?
C. [0,3]

A.[-1,0]

B. [?1, ??)

3.已知 f(x)=x? -6x? +9x-abc,a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论:①f

(0)f(1)>0;②f(0)f(1)<0;③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0.其中正确 结论的序号是 A.①③
4.已知函数 y ? x
3

( B.①④ C.②③ D.②④ ( D. ?3 或 1

. )

? 3x ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则 c ?
B. ? 9 或 3 C. ? 1 或 1



A. ? 2 或 2
5.曲线 y= e
?2 x

+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为( B.



A.
6.若

1 3

1 2

C.

2 3

D.1

f ( x) ? x 2 ? 2x ? 4 ln x ,则 f ' ( x) ? 0 的解集为
B. (-1,0) ? (2, ? ? ) C. (2, ? ? ) D. (-1,0)

(

)

A. (0, ? ? )

7.函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,

f ' ( x) ? 2 ,则 f(x)>2x+4 的解
( )

集为

A.(-1,1)
3

B.(-1,+ ? )
2

C.(- ? ,-1)

D.(- ? ,+ ? )

8.已知函数 f ( x ) = ax ? 3x ? 1 ,若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 >0,则 a 的取值范围 为 ( )

A .(2,+∞)

B .(-∞,-2)
2

C .(1,+∞)

D .(-∞,-1)

9. 设直线 x ? t 与函数 f ( x) ? x , g ( x) ? ln x 的图像分别交于点 M,N,则当 MN 达到最 小时 t 的值为 A.1 B. ( )

1 2

C.

5 2

D.

2 2


10.设函数

f ? x ? 满足x 2 f ? ? x ? ? 2 xf ? x ? ?

ex e2 , f ? 2 ? ? , 则x ? 0, 时,f ? x ? ( x 8
B.有极小值,无极大值

A.有极大值,无极小值

C.既有极大值又有极小值

D.既无极大值也无极小值

二、填空题(每小题 5 分共 35 分,请将答案填写在答题区。 )
11.若曲线

f ( x) ? ax5 ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是

12 .设 a ? R, ,函数 f ( x) ? e x ? a ? e? x 的导函数是 f ?( x ) ,且 f ?( x ) 是奇函数,若曲线

y ? f ( x) 的一条切线的斜率为

3 ,则切点的横坐标为 2

13.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,在 (??, 0) 上有 2 xf '(2 x) ? f (2 x) ? 0 且 f (?2) ? 0 , 则不等式 xf (2 x) ? 0 的解集为____________ 14. f ( x) ? ax3 ? 3x ? 1 对于 x ? ?? 1,1? 总有 f ( x) ? 0 成立,则 a =

15.将边长为 1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形, 记S =
2 ( 梯形的周长) ,则 S 的最小值是____________ 梯形的面积

选择题答题区: 题号 答案 1 D 2 D 3 C 4 A 5 A 6 C 7 B 8 B 9 D 10 D

填空题答题区: 11、

? ??,0?
4 15、

12、

ln 2

13、

(? 1 , 1 )

14、

32 3 3

三、解答题(共 25 分,请将答案填写在答题区。 ) 1 2 16.已知函数 f ( x) ? x ? x ? a ln a (a∈R) . 2 (1)讨论 f ( x ) 的单调性; 3 (2)若 x ? x0 是 f ( x ) 的极值点,求证: f ( x0 ) ? . 2
解: (1)∵f(x)= x +x+alnx,∴x>0,f′(x)=x+1+ =
2



∴当 a≥ 时,f'(x)≥0 在定义域恒成立,∴f(x)在(0,+∞)单调递增; 当 a< 时,f'(x)=0 时,x= , ≤0?a≥0, >0?a<0, ,+∞)单调递增.

∴0≤a< 时,f(x)在(0,+∞)单调递增; ∴a<0 时,f(x)在(0, )单调递减,在(

综上所述:当 a≥0 时,f(x)在(0,+∞)单调递增; 当 a<0 时,f(x)在(0, )单调递减,在( ,+∞)单调递增. ,

(2)由(1)可知当 a<0 时,f(x)在(0, +∞)单调递增. ∴当 x= ∴
2

)单调递减,在(

时,函数 f(x)有极小值,∴x0= ?a=﹣
2

>0, +x0﹣( +x0)lnx0,

﹣x0,∴f(x0)=

+x0+alnx0=

记 g(x)= x +x﹣(x +x)lnx,则 g′(x)=﹣(2x+1)lnx, 列表分析如下: x g′(x) g(x) (0,1) + 增 1 0 极大值 (1,+∞) ﹣ 减

∴g(x)max=g(x)极大值=g(1)= ,∴f(x0)≤ .

2 17. (本小题 13 分)如图所示,已知双曲线 C: 2-y =1(a>0)的右焦点为 F,点 A,B 分别 a

x2

在 C 的两条渐近线上,AF⊥x 轴,AB⊥OB,BF∥OA(O 为坐标原点). (1)求双曲线 C 的方程; x0x (2)过 C 上一点 P(x0,y0)(y0≠0)的直线 l: 2 -y0y=1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 x a 3 |MF| = 相交于点 N.证明:当点 P 在 C 上移动时, 恒为定值,并求此定值. 2 |NF| 解:(1)设 F(c,0),因为 b=1,所以 c= a2+1. c c 1 1 ,- ?. 由题意,直线 OB 的方程为 y=- x,直线 BF 的方程为 y= (x-c),所以 B? 2 2 a? ? a a 1 又直线 OA 的方程为 y= x, a c ? c? - - a ? 2a? 3 c c, ?,所以 kAB= 则 A? = . ? a? c a c- 2 3 ? 1? 又因为 AB⊥OB,所以 ·?-a?=-1,解得 a2=3, a x2 2 故双曲线 C 的方程为 -y =1. 3 x0x-3 x0x (2)由(1)知 a= 3,则直线 l 的方程为 -y0y=1(y0≠0),即 y= (y ≠0). 3 3y0 0 2x0-3? 因为直线 AF 的方程为 x=2,所以直线 l 与 AF 的交点为 M?2, ,直线 l 与直线 3y0 ? ? 3 x -3 3 3 2 0 x= 的交点为 N , , 2 2 3y0 (2x0-3)2 2 (3y0)2 (2x0-3)2 |MF| 则 = = = 2 2 |NF|2 ?3x0-3? 9y0+9(x0-2)2 ? 4 4 1 ?2 + 4 (3y0)2 (2x0-3)2 4 · 2 . 3 3y0+3(x0-2)2 x2 0 又 P(x0,y0)是 C 上一点,则 -y2 0=1, 3 2 (2x0-3)2 |MF|2 4 4 (2x0-3) 4 |MF| 2 2 3 代入上式得 = ,所以 = = , 2= · 2 2= · 2 |NF| 3 x0-3+3(x0-2) 3 4x0-12x0+9 3 |NF| 3 3 为定值.


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