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概率论答案chapter12


第十二章 随机过程及其统计描述
1 . 利用抛掷一枚硬币的试验定义一随机过程 X( t) = 假设 P( H) = P( T) = 2t, cos π t , 出现 H , 出现 T ,   - ∞ < t< + ∞ .

1 , 试确定 X( t)的 2 1 2 ,F( x ; . 1) 1 1 , . 2

(1) 一维分布函数 F x ;

(2) 二维分布函数 F x1 ,x2 ; 解   (1) 由 X( t)的定义 X(

0 , 出现 H , 1 )= 2 1 , 出现 T .

这一离散型随机变量的分布律为
X( 1 ) 2 0 1 2 1 1 2

pk

其分布函数为 0, 1 F( x ; ) = 2 x<0, 1 , 0≤ x<1, 2 1, 同理 其分布律为
X(1) pk -1 1 2 2 1 2

x≥1. 出现 T ,

X(1) =

- 1 , 出现 H , 2,

分布函数为

第十二章   随机过程及其统计描述 0, F( x ; = 1) 1 1 ,t2 = 1 时 , X 2 2 1 , 2 1, (2) 当 t1 = x< -1, -1≤ x<2, x≥2.

20 5

,X(1) 是一个二维离散型随机变量 ,且当

硬币出现 H 时 , 它的取值为(0 ,- 1) ; 当硬币出现 T 时 ,它的取值为(1 , .由于 2) 硬币出现 H , 出现 T 的概率均为 1 1 , 因此 X 与 X(1)的联合分布律为 2 2

      X

1 2

X(1)       -1 2

0 1 2 0

1 0 1 2 题 12畅 1 图

X

1 2

,X(1) 的分布函数为 F( x1 ,x2 ; 1 1 , = P X( ) ≤ x1 ,X(1) ≤ x2 1) 2 2 F( x1 ,x2 ; 1 , =0; 1) 2 1 , =0; 1) 2 1 ; 2 1 ; 2 .

由题 12畅 1 图知 , x1 < 0 ,- ∞ < x2 < + ∞ 时 , 当

当 x1 ≥ 0 ,x2 < - 1 时 , F( x1 ,x2 ; 当 0 ≤ x1 < 1 ,x2 ≥ - 1 时 ,         F( x1 ,x2 ; 1 , = P 1) 2 1 , = P 1) 2 1 , = P 1) 2 X 1 2 1 2 1 2 ,X(1) = (0 ,- 1) =

当 x1 ≥ 1 ,- 1 ≤ x2 < 2 时 ,         F( x1 ,x2 ; X ,X(1) = (0 ,- 1) =

当 x1 ≥ 1 ,x2 ≥ 2 时 ,     F( x1 ,x2 ; X ,X(1) = (0 ,- 1)

206

概率论与数理统计习题全解指南 + P = X 1 2 ,X(1) = (1 , 2)

1 1 + =1, 2 2 1 , 1) 2 x1 < 0 , - ∞ < x2 < + ∞ , x1 ≥ 0 ,x2 < - 1 ,

所以分布函数为 F( x1 ,x2 ; 0, 0, =

1 , 0 ≤ x1 < 1 ,x2 ≥ - 1 , 2 1 , x1 ≥ 1 , - 1 ≤ x2 < 2 , 2 1, x1 ≥ 1 ,x2 ≥ 2 . 1, 0, X( t) ≤ x , X( t) > x ,

2 . 给定随机过程{ X( t) ,t ∈ T} ,x 是任一实数 , 定义另一个随机过程 Y( t) =   t∈ T .

试将 Y( t)的均值函数和自相关函数用随机过程 X( t)的一维和二维分布函数来 表示 . 解   设随机过程{ X( t) ,t ∈ T}的一维分布函数为 F1 ( x ;t) ,二维分布函数为 F2 ( x1 ,x2 ;t1 ,t2 ) , 固定 t 时 ,Y( t)是服从(0 1)分布的随机变量 , 其分布律为
Y( t) pk 0 P{ X( t) > x} 1 P{ X( t) ≤ x}

于是 Y( t)的均值为     μY ( t) = E[ Y( t)] = 0 × P{ X( t) > x} + 1 × P{ X( t) ≤ x} = P{ X( t) ≤ x} = F1 ( x ;t) , 又随机变量 Y( t1 )和 Y( t2 )的联合分布律为
      Y( t1 ) Y( t2 )       0 1 0 P{ X( t1 ) > x ,X( t2 ) > x} P{ X( t1 ) > x ,X( t2 ) ≤ x} 1 P{ X( t1 ) ≤ x ,X( t2 ) > x} P{ X( t1 ) ≤ x ,X( t2 ) ≤ x}

由教材第四章 § 1 公式(1 . 6)及二维分布函数的定义 , 有 RY ( t1 ,t2 ) = E[ Y( t1 ) Y( t2 )]

第十二章   随机过程及其统计描述 = 0 × 0 × P{ X( t1 ) > x ,X( t2 ) > x}   + 0 × 1 × P{ X( t1 ) > x ,X( t2 ) ≤ x}   + 1 × 0 × P{ X( t1 ) ≤ x ,X( t2 ) > x}   + 1 × 1 × P{ X( t1 ) ≤ x ,X( t2 ) ≤ x} 3 . 设随机过程 X( t) = e = P{ X( t1 ) ≤ x ,X( t2 ) ≤ x} = F2 ( x ,x ;t1 ,t2 ) .
- At

20 7

,t > 0 , 其中 A 是在区间(0 ,a)上服从均匀分布的

随机变量 , 试求 X( t)的均值函数和自相关函数 . 解   由关于随机变量函数的数学期望的定理知道 X( t)的均值函数为

μΧ ( t) = E[ X( t)] = E(e
= 自相关函数为

- At

) =

∫e


a

- ut

×

1 du a

- at 1 (1 - e ) ,  t > 0 . at

R X ( t1 ,t2 ) = E[ X( t1 ) X( t2 )] = E(e = E[e =
-(t + t )A 1 2

- At



] =

∫e


a

·e ×

- At





-(t + t )u 1 2

1 du a

4 . 设随机 过程 X( t) ≡ X(随机 变量) ,E( X) = a ,D( X) = σ ( σ > 0) ,试求


- a( t + t ) 1 [1 - e 1 2 ] ,  t1 ,t2 > 0 . a( t1 + t2 )

X( t)的均值函数和协方差函数 . 解   μ X ( t) = E[ X( t)] = E( X) = a . CX ( t1 ,t2 ) = E{[ X( t1 ) - μX ( t1 )][ X( t2 ) - μX ( t2 )]} 2 2         = E[( X - a) ] = D( X) = σ .

φ( t)是普通的函数 ,试 求 随 机 过 程 Y ( t) = X( t) + φ( t) 的 均 值 函 数 和 协 方 差 函数 .
解           μY ( t) = E[ Y( t)] = E[ X( t) + φ( t)] = E[ X( t)] + E[ φ( t)] = μX ( t) + φ( t) .           Y ( t1 ,t2 ) = E{[ Y( t1 ) - μY ( t1 )][ Y( t2 ) - μY ( t2 )]} C = E{[ X( t1 ) + φ( t1 ) - μX ( t1 ) - φ( t1 )] × [ X( t2 ) + φ( t2 ) - μX ( t2 ) - φ( t2 )]}

5 . 已知随机过程{ X( t) ,t ∈ T}的均值函数 μX ( t)和协方差函数 CX ( t1 ,t2 ) ,

6 . 给定一随机过程{ X( t) ,t ∈ T}和常数 a ,试以 X( t)的自相关函数表出随 机过程 Y( t) = X( t + a) - X( t) ,t ∈ T 的自相关函数 . 解   设 X( t)的自相关函数为 R X ( t1 ,t2 ) ,t1 ,t2 ∈ T , 按定义 ,Y( t)的自相关函

= E{[ X( t1 ) - μX ( t1 )][ X( t2 ) - μX ( t2 )]} = CX ( t1 ,t2 ) .

208 数为

概率论与数理统计习题全解指南

  RY ( t1 ,t2 ) = E[ Y( t1 ) Y( t2 )] = E{[ X( t1 + a) - X( t1 )][ X( t2 + a) - X( t2 )]} = E[ X( t1 + a) X( t2 + a)] - E[ X( t1 ) X( t2 + a)]   - E[ X( t1 + a) X( t2 )] + E[ X( t1 ) X( t2 )] 7 . 设 Z( t) = X + Yt ,- ∞ < t < + ∞ ,若已知二维随机变量( X ,Y)的协方差 矩阵为 = R X ( t1 + a ,t2 + a) - R X ( t1 ,t2 + a) - R X ( t1 + a ,t2 ) + R X ( t1 ,t2 ) .

σ1
试求 Z( t)的协方差函数 .



ρ σ1 σ2 σ2


ρ σ1 σ2



解   根据第四章 § 4 协方差矩阵的定义及题设知 , E[( X - μ X ) ] = σ1 ,  E[( X - μX )( Y - μY )] = ρ σ1 σ2 ,  E[( Y - μY ) ] = σ2 , 又   μZ ( t) = E( X + Yt) = E( X) + tE( Y) = μX + t μY ,
2 2 2 2

    Z( t) - μZ ( t) = ( X + t Y) - ( μ X + t μY ) = ( X - μ X ) + t( Y - μY ) ,

所以

CZ ( t1 ,t2 ) = E{[ Z( t1 ) - μZ ( t1 )][ Z( t2 ) - μZ ( t2 )]} = E{[( X - μ X ) + t1 ( Y - μY )][( X - μ X ) + t2 ( Y - μY )]} = σ1 + ( t1 + t2 ) ρ σ1 σ2 + t1 t2 σ2 . 8 . 设 X( t) = A t + B ,- ∞ < t < + ∞ , 式中 A ,B 是相互独立 , 且都服从正态
2 2

分布 N(0 ,σ )的随机变量 , 试证明 X( t)是一正态过程 ,并求出它的相关函数(协


方差函数) . 解   由题设 ,A ,B 是相互独立的正态变量 ,所以( A ,B)是二维正态变量 ,对 于任意一组实数 t1 ,t2 ,… ,tn ∈ T , X( ti ) = A ti + B ,    i = 1 , ,… ,n 2 都是 A ,B 的线性组合 ,于是根据教材第四章 § 4 中 n 维正 态 变量 的性 质 3°知 ( X( t1 ) ,X( t2 ) ,… ,X( tn ))是 n 维正态变量 ,再由 n ,ti 的任意性 ,得知 X( t)是正 态过程 . 而 R X ( t1 ,t2 ) = E[ X( t1 ) X( t2 )] = E[( At1 + B)( At2 + B)] = t1 t2 E( A ) + ( t1 + t2 ) E( AB) + E( B ) ,t1 ,t2 ∈ T . 2 2 因 A ~ N(0 ,σ ) ,B ~ N(0 ,σ ) ,且 A ,B 相互独立 ,即有 E( A) = E( B) = 0 ,
2 2

E( A ) = E( B ) = σ ,E( A B) = E( A) E( B) = 0 , 故
2 2 2

R X ( t1 ,t2 ) = ( t1 t2 + 1) σ ,


又因 μX ( t) = E( A t + B) = tE( A) + E( B) = 0 , 故 CX ( t1 ,t2 ) = R X ( t1 ,t2 ) .

第十二章   随机过程及其统计描述

20 9

9 . 设随机过程 X( t)与 Y( t) ,t ∈ T 不相关 ,试用它们的均值函数与协方差 函数来表示随机过程 Z( t) = a( t) X( t) + b( t) Y( t) + c( t) ,  t ∈ T 的均值函数和自协方差函数 , 其中 a( t) ,b( t) ,c( t)是普通的函数 . 解   μZ ( t) = E[ Z( t)] = a( t) E[ X( t)] + b( t) E[ Y( t)] + c( t) = a( t) μX ( t) + b( t) μY ( t) + c( t) ,  t ∈ T . 从而 Z( t) - μZ ( t) = a( t)[ X( t) - μX ( t)] + b( t)[ Y( t) - μY ( t)] . 注意到 X( t)与 Y( t)不相关 , 于是它们的互协方差函数为零 , 即 = E{[ X( t1 ) - μX ( t1 )][ Y( t2 ) - μY ( t2 )]} = 0 ,t1 ,t2 ∈ T , 所以 Z( t)的自协方差函数       CZ ( t1 ,t2 ) = Cov[ Z( t1 ) ,Z( t2 )] = E{[ Z( t1 ) - μZ ( t1 )][ Z( t2 ) - μZ ( t2 )]} = a( t1 ) a( t2 ) E{[ X( t1 ) - μ X ( t1 )][ X( t2 ) - μX ( t2 )]}   + b( t1 ) b( t2 ) E{[ Y( t1 ) - μY ( t1 )][ Y( t2 ) - μY ( t2 )]} = a( t1 ) a( t2 ) C X ( t1 ,t2 ) + b( t1 ) b( t2 ) CY ( t1 ,t2 ) ,t1 ,t2 ∈ T . 10 . 设 X( t)和 Y( t) ( t > 0)是两个相互独立的 , 分别具有强度 λ 和 μ 的泊松 过程 , 试证 S( t) = X( t) + Y( t) 是具有强度 λ + μ 的泊松过程 . 证   本题用另一种形式的定义来证明较为方便 , 需要证(i) S( t)是独立增量 过程 , (ii)对于任意的 t > t0 ≥ 0 ,S( t) - S( t0 ) ~ π(( λ + μ)( t - t0 )) , (iii) S(0) = 0 . 下面按(iii) , , (i) (ii)的次序论证 . 已知条件是 (b) 过程 X( t) ( t ≥ 0)与 Y( t)( t ≥ 0)相互独立 . S( t) = X( t) + Y( t) , 从而得 S(0) = X(0) + Y(0) = 0 . 作 (i) 在 t ≥ 0 上任取点 0 ≤ t0 < t1 < t2 < … < tn , S( t)的增量         S( ti ) - S( ti - 1 ) = X( ti ) + Y( ti ) - [ X( ti - 1 ) + Y( ti - 1 )]
记成

    CX Y ( t1 ,t2 ) = Cov[ X( t1 ) ,Y( t2 )]

(a) X( t) ,Y( t) ( t ≥ 0)分别是强度为 λ ,μ 的泊松过程 ;

(iii) 因 X( t) ,Y ( t) ( t ≥ 0) 都 是 泊 松 过 程 ,所 以 X (0) = 0 ,Y (0) = 0 ,今

Ui + V i ,

此处 ,U i = X( ti ) - X( ti - 1 ) ,V i = Y( ti ) - Y( ti - 1 ) ,i = 1 , ,… ,n . 2

210

概率论与数理统计习题全解指南

对于任意实数 x1 ,x2 ,… ,x n ,y1 ,y2 ,… ,yn 有 P{ U1 ≤ x1 ,U 2 ≤ x2 ,… ,U n ≤ xn ,V 1 ≤ y1 ,V 2 ≤ y2 ,… ,V n ≤ yn } = P{U1 ≤ x1 ,U2 ≤ x2 ,… ,U n ≤ x n } P{ V 1 ≤ y1 ,V 2 ≤ y2 ,… ,V n ≤ yn } (由 X( t) 与 Y( t) 相互独立) = P{U1 ≤ x1 } P{U2 ≤ x2 } … P{Un ≤ xn } P{V1 ≤ y1 } P{V2 ≤ y2 } … P{V n ≤ yn } (由 X( t) ,Y( t) 是独立增量过程) , 即知 U1 ,U2 ,… ,U n ,V 1 ,V 2 ,… ,V n 相互独立 ,从而 U1 + V 1 ,U 2 + V 2 ,… ,U n + V n 相互独立 . 因此 S( t)是独立增量过程 . (ii) 由条件(a)知 , 对于任意 t ≥ t0 ≥ 0 , X( t) - X( t0 ) ~ π( λ( t - t0 )) ,Y( t) - Y( t0 ) ~ π( μ( t - t0 )) . 由 X( t) ,Y( t)的独立性知 X( t) - X( t0 )与 Y( t) - Y( t0 )相互独立 , 从而由第三章 习题 34 知 S( t) - S( t0 ) = X( t) + Y( t) - [ X( t0 ) + Y( t0 )] = X( t) - X( t0 ) + Y( t) - Y( t0 ) ~ π(( λ + μ)( t - t0 )) . 11 . 设{ W ( t) ,t ≥ 0} 是 以 σ 为 参 数 的 维 纳 过 程 ,求 下 列 过 程 的 协 方 差


函数 : (1) W( t) + A t ( A 为常数) . (2) W( t) + X t ,X 为与{ W( t) ,t ≥ 0}相互独立的标准正态变量 . (3) a W t 2 a ,a 为正常数 .


解   因 W( t)是维纳过程 , 故有

(1) 记 Z1 ( t) = W( t) + A t , 则有

μW ( t) = E[ W( t)] = 0 ,CW ( s ,t) = E[ W( s) W( t)] = σ min{ s ,t} ,  s ,t ≥ 0 . μZ1 ( t) = E[ W( t)] + E( At) = At ,

故   CZ1( s ,t) = E{[ Z1 ( s) - μZ1( s)][ Z1 ( t) - μZ1( t)]}


(2) 记 Z2 ( t) = W( t) + X t , 由题设 W( t)与 X 独立 ,X ~ N(0 , , 1) 知 E( X) = 0 ,  E( X ) = 1 ,  E[ W( t) X] = E[ W( t)] E( X) = 0 ,


= E[ W( s) W( t)] = σ min{ s ,t} ,  s ,t ≥ 0 .

μZ2 ( t) = E[ W( t)] + tE( X) = 0 ,
故 CZ2 ( s ,t) = E{[ W( s) + Xs][ W( t) + Xt]} = E[ W( s) W( t)] + E( st X )


= σ min{ s ,t} + st ,  s ,t ≥ 0 .


第十二章   随机过程及其统计描述 (3) 记 Z3 ( t) = a W t 2 a


21 1

t , 则有 μZ3 ( t) = aE W 2 a s t W 2 2 a a s t 2 , 2 a a

=0, 故

CZ3 ( s ,t) = a E W = a σ min
2 2

= σ min{ s ,t} ,  s ,t ≥ 0 .



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