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新课标高考数学理一轮复习课件:2.1 函数的概念及其表示


第二章 函数

1.函数 (1)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义 域和值域;了解映射的概念. (2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方 法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. (3)了解简单的分段函数,并能简单应用. (4) 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意 义;结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. (5)会运用函数图象理解和研究函数的性质.

2.指数函数 (1)了解指数函数模型的实际背景. (2)理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意 义,掌握幂的运算. (3)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性, 掌握指数函数图象通过的特殊点. (4)知道指数函数是一类重要的函数模型.

3.对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式 能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简 化运算中的作用. (2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性, 掌握对数函数图象通过的特殊点. (3)知道对数函数是一类重要的函数模型. (4)了解指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数 (a>0,且a≠1).

4.幂函数 (1)了解幂函数的概念.
1 (2)结合函数 y=x, y=x2,y=x3, y=x,y= 的图象,了解它们的变化情况.

5.函数与方程 (1)结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根 的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数. (2)根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程 的近似解. 6.函数模型及其应用 (1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特 征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型 增长的含义. (2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、 分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应 用.

1.函数的三要素 对应法则 . 定义域 , _____ _______ 值域 , _________ 2.函数的表示方法 解析法 , _______ 图象法 . 列表法 , _______ 主要有: _______
3.函数的定义域 (1)分式的分母v. 大于或等于零 . (2)偶次方根的被开方数_____________ 大于零且不等于1 大于零,底数________________. (3)对数的真数_______
π x≠kπ+ (k∈Z) 2 (4)正切函数y=tan x中_______________.

1 1.下列函数中,与函数 y= 有相同定义域的是 x ( A.f(x)=ln x C.f(x)=|x| 1 B.f(x)=x D.f(x)=ex )

1 解析:y= 的定义域为(0,+∞),f(x)=ln x 的定义域 x 1 为(0,+∞),f(x)=x的定义域为{x|x≠0},f(x) =|x|的定义 域为 R,f(x)=ex 的定义域为 R.

答案

A

2.a,b 为实数,集合

?b ? M=?a,1?,N={a,0},f:x→x ? ?

表示集合 M 中的元素 x 映射到集合 N 中仍为 x,则 a+b 的值等于 ( )

A.-1

C.1 D.±0 b 解析:由 f:x→x 知,a=1,a=0?a=1,b=0?a C

B.0

+b=1. 答案

3.已知函数

? ?2x, f(x)=? ? ?x+1,

x>0; 若 f(a)+f(1)=0, x≤0, ( )

则实数 a 的值等于

A.-3 B.-1 C.1 D.3 解析:因为f(1)=2,所以f(a)=-2,即a+1=-2, 所以a=-3. 答案:A

1 4.函数 f(x)= 的图象是 1+|x|

(

)

1 1 解析:f(0)=1,f(1)= ,f(-1)= . 2 2 答案 C

1.求函数解析式的方法 (1)形如y=f(g(x))的函数,可令g(x)=t,从中解出 x,代入已知解析式求得f(t)的解析式,即得f(x)的解析 式,这种方法叫换元法.注意t的范围. (2)有时题中给出函数特征,求函数的解析式,可 用待定系数法.比如函数是二次函数,可设为f(x)=ax2 +bx+c(a≠0),其中a、b、c是待定系数.根据题设条 件,列出方程组,解出a、b、c即可.

(3)已知 f(x)满足某个等式,这个等式除 f(x)是未知量 外,还出现其他未知量,如
?1? f(-x)、f?x?等.这时,必须根 ? ?

据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解方程组求 出 f ( x) .

(4)配凑法或赋值法:依题目特征能够由一般到特殊或特 殊到一般寻求普遍规律,求出解析式. (5)根据某实际问题需建立一种函数关系式,这种情况需 引入合适的变量,根据数学的有关知识找出函数关系式.

2.求函数值域的方法 (1)配方法:若函数类型为一元二次函数,则采用此 法求其值域,其关键在于正确配成完全平方式. (2)换元法:常用代数或三角代换,把所给函数代换 成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域. (3)不等式法:借助重要的不等式 a+b≥2 ab(a>0,

b>0)求函数的值域.用不等式法求值域时,要注意均值 不等式的使用条件“一正、二定、三相等”.

(4)单调性法:首先确定函数的定义域,再根据其单调 p 性求函数值域.常用到函数 y=x+x(p>0)的单调性:增区 间为(-∞,- p)和( p,+∞),减区间为(- p,0)和(0, p).

(5)数形结合法:分析函数解析式表示的几何意义, 根据其图象特点确定函数的值域.

考点一 判断两函数是否为同一函数 【案例1】 下列各组函数中,表示同一函数的是 ( )
A.f(x)=|x|,g(x)= x2 B.f(x)= x2,g(x)=( x)2 x2 - 1 C.f(x)= ,g(x)=x+1 x- 1 D.f(x)= x+1· x-1,g(x)= x2-1

关键提示:判断两个函数是否为同一函数,要从两个 方面进行分析:定义域和对应法则.
解析:A 项中,f(x)=|x|,定义域为 R,g(x)= x2= |x|,定义域为 R.故 f(x)与 g(x)为同一函数.

答案

A

【即时巩固1】 已知函数f(x)=|x-1|,则下列函数 与f(x)表示同一函数的是 ( )
x2-1 A.g(x)= |x+1| ?|x2-1| ? ,x≠-1; | x + 1| B.g(x)=? ? ?2, x=-1
? ?x-1,x>0; C.g(x)=? ? ?1-x,x<0

D.g(x)=x-1

?|x2-1| ? ,x≠-1; | x + 1| 解析: B 选项中, g(x)=? ? x=-1 ?2,
? ?|x-1|,x≠-1; ? ? x=-1. ?2,



f(x)与此函数的定义域均为 R,

对应法则相同.

答案:B

考点二 函数定义域的求法 【案例 2】 若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数
f?2x? g(x)= 的定义域是 ( ) ln x A.[0,1] B.[0,1) C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1) 关键提示:通过构造不等式组进行求解. 解析:因为f(x)的定义域为[0,2],所以对于g(x),有 0≤2x≤2且x>0,x≠1,故x∈(0,1). 答案:D

【即时巩固 2】 求函数 f(x)= log0.5?4x-3?的定义域.
? ?4x-3>0, 解:由? ? ?log0.5?4x-3?≥0

3 ? ?x> , 3 4 ? 得 即 <x≤1. 4 ? ?4x-3≤1,

3 故 f(x)的定义域为( ,1]. 4

考点三 函数解析式的求法 【案例3】 已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且f(x +1)=f(x)+x+1,求函数f(x)的解析式. 关键提示:本题知道函数类型,可采用待定系数法进 行求解. 解:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由f(0)=0知c=0,所以f(x)=ax2+bx. 又因为f(x+1)=f(x)+x+1, 所以a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1, 即ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,

?2a+b=b+1, ? 所以?a≠0, ?a+b=1, ? 1 2 1 因此 f(x)= x + x. 2 2

1 解得 a=b= . 2

【即时巩固3】 已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=4x +3,求f(x)的解析式. 解:设f(x)=ax+b, 则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b =a2x+ab+b=4x+3,
2 ? ?a =4, 所以? ? ?ab+b=3,

? ?a=2, 解得? ? ?b=1

? ?a=-2, 或? ? ?b=-3.

故所求的函数为f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.

考点四 求函数值域 【案例4】 求下列函数的值域: x2-x (1)y= 2 ; x -x+1
(2)y=x- 1-2x.

关键提示:根据函数解析式的结构,确定采用的方 法:(1)题可用配方法,(2)题可用换元法或单调性法. 解:(1)(方法1)分离常数法: 1 因为 y=1- 2 , x -x+1 ? 1?2 3 3 2 又因为 x -x+1=?x-2? + ≥ , 4 4 ? ? 1 4 1 所以 0< 2 ≤ ,所以- ≤y<1. 3 x -x+1 3

(方法 2)判别式法: x2-x 由 y= 2 得(y-1)x2+(1-y)x+y=0. x -x+1 因为 y=1 时,x∈?,所以 y≠1. 又因为 x∈R,所以 Δ=(1-y)2-4y(y-1)≥0, 1 所以- ≤y≤1. 3 又因为
? 1 ? y≠1,所以函数的值域为?-3,1?. ? ?

(2)(方法 1)换元法: 1-t2 令 1-2x=t,则 t≥0,且 x= , 2

1 1 2 所以 y=- (t+1) +1≤ (t≥0). 2 2 所以
? 1? y∈?-∞,2?. ? ?

(方法 2)单调性法: 1 因为定义域为 x≤ , 2 函数 y=x 与 y=- 1 故 y≤ - 2
? 1? 1-2x均在?-∞,2?上递增, ? ?

? 1? 1 1 1-2× = ,即 y∈?-∞,2?. 2 2 ? ?

【即时巩固 4】

函数 y= 16-4x的值域是 ( )

A.[0,+∞) B.[0,4] C.[0,4) 解析:因为4x>0,所以-4x<0, 所以0≤16-4x<16,所以0≤y<4. 答案:C

D.(0,4)

考点五 函数的图象 【案例5】 画出下列函数的图象: (1)y=|x-1|+|3-x|; (2)y=|x2-4x+3|. 关键提示:先去掉绝对值,再画图象. 解:(1)所给函数可写成分段函数:
?-2x+4, x≤1; ? f(x)=?2, 1<x<3; ?2x-4, x≥3. ? 该函数的图象是由两条射线与一条线段组成的折线, 如图(a)所示.

(a)
2 ? x ? -4x+3, f(x)=? 2 ? - x +4x-3, ?

(b)
x≤1或x≥3; 1<x<3.

(2)所给函数可写成分段函数:

图象如图(b)所示.

【即时巩固 5】 函数 致是

2 ? ?x , y= ? x ? ?2 -1,

x<0; 的图象大 x≥0 ( )

解析:因为f(0)=0,排除A;当x<0时y=x2,排除 C、D. 答案:B


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