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安徽省安庆市慧德中学2015-2016学年高二上学期期中数学试卷【解析版】(文科)


2015-2016 学年安徽省安庆市慧德中学高二(上)期中数学试卷 (文科)
一、选择题(共 12 题,每道题 5 分,共 60 分) 1.设 x∈R,则命题 q:x>﹣1 是命题 p:x>0 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.设集合 M={x|(x+3) (x﹣2)<0},N={x|1≤x≤3},则 M∩N=

( A.[1,2) B.[1,2] C. (2,3] D.[2,3] 3.在△ ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°, A. B. C. D. ,则边 BC 的长为( ) ,则 AC=( )

)

4.在△ ABC 中,A=60°,AB=2,且△ ABC 的面积 A. B.3 C. D.7

5.数列 1, , , , 的一个通项公式 an 是( A. B. C. D.

)

6.命题“存在 x∈Z 使 x2+2x+m≤0”的否定是( ) 2 A.存在 x∈Z 使 x +2x+m>0 B.不存在 x∈Z 使 x2+2x+m>0 C.对任意 x∈Z 使 x2+2x+m≤0 D.对任意 x∈Z 使 x2+2x+m>0 7.已知等差数列{an}的公差为 d(d≠0) ,且 a3+a6+a10+a13=32,若 am=8,则 m 是( A.8 B.6 C.4 D.2 8.已知公比为 2 的等比数列{an}中,a2+a4+a6=3,则 a5+a7+a9 的值为( A.12 B.18 C.24 D.6 ) )

9.已知命题 p:?x∈R,cosx= ;命题 q:?x∈R,x2﹣x+1>0.则下列结论正确的是( A.命题 p∧q 是真命题 B.命题 p∧¬q 是真命题 C.命题¬p∧q 是真命题 D.命题¬p∨¬q 是假命题 10.不等式 3x2﹣7x+2<0 的解集为( A. B. ) C.

)

D.{x|x>2}

1

11.已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a1=4,则{an}的前 10 项和等于( A.﹣6(1﹣3﹣10) B.

)

C.3(1﹣3﹣10) D.3(1+3﹣10)

12.设图 F1、F2 分别为双曲线

的左、右焦点,双曲线上存在

一点 P 使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|?|PF2|= ab,则该双曲线的离心率为( A. B. C. D.3

)

二、填空题(共 4 题,每道题 5 分,共 20 分) 13.已知 x,y 都是正数,如果 xy=15,则 x+y 的最小值是__________. 14.在△ ABC 中,若 c2>a2+b2,则△ ABC 必是__________(填锐角,钝角,直角)三角形.

15.设变量 x,y 满足约束条件

,则 z=x﹣3y 的最小值是__________.

16.给定下列命题: ①“若 k>0,则方程 x2+2x﹣k=0 有实数根”的逆否命题; ②“若 A=B,则 sinA=sinB”的逆命题; ③“若
2

”的逆否命题;

④“若 xy=0,则 x,y 中至少有一个为零”的否命题. ⑤“若 ”的逆命题.

其中真命题的序号是__________.

三、解答题(共 6 题,共 70 分) 17.在锐角△ ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 (Ⅰ)确定角 C 的大小; (Ⅱ)若 c= ,且△ ABC 的面积为 ,求 a2+b2 的值.

18. (1)求椭圆

的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.

(2)求焦点在 y 轴上,焦距是 4,且经过点 M(3,2)的椭圆的标准方程.

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19.某商店预备在一个月内分批购入每张价值为 20 元的书桌共 36 台,每批都购入 x 台(x 是正整数) ,且每批均需付运费 4 元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌 的总价值(不含运费)成正比,若每批购入 4 台,则该月需用去运费和保管费共 52 元,现 在全月只有 48 元资金可以用于支付运费和保管费.21cnjy.com (1)求该月需用去的运费和保管费的总费用 f(x) ; (2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.

20.设 p:实数 x 满足 x2﹣4ax+3a2<0,其中 a≠0,q:实数 x 满足 (Ⅰ)若 a=1,p 且 q 为真,求实数 x 的取值范围; (Ⅱ)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

21.数列{an}的前 n 项的和为 Sn,对于任意的自然数 an>0, (Ⅰ)求证:数列{an}是等差数列,并求通项公式 (Ⅱ)设 ,求和 Tn=b1+b2+…+bn.

22.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,直线 y=x

被椭圆 C 截得的线段长为

.21·cn·jy·com

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过原点的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点(A,B 不是椭圆 C 的顶点) .点 D 在椭圆 C 2 1 c n j y · · · · · 上,且 AD⊥AB,直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M,N 两点. (i)设直线 BD,AM 的斜率分别为 k1,k2,证明存在常数 λ 使得 k1=λk2,并求出 λ 的值; (ii)求△ OMN 面积的最大值.

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2015-2016 学年安徽省安庆市慧德中学高二(上)期中数 学试卷(文科)
一、选择题(共 12 题,每道题 5 分,共 60 分) 1.设 x∈R,则命题 q:x>﹣1 是命题 p:x>0 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】应用题;转化思想;转化法;简易逻辑. 【分析】 根据题意比较两个命题所表示的范围, 根据集合之间的关系得到命题之间的关系即 可. 【解答】解:因为命题 p:x>0 且命题 q:x>﹣1, 所以 x>0 表示的范围比 x>﹣1 表示的范围小. 所以命题 q:x>﹣1 是命题 p:x>0 的必要不充分条件. 故选 B. 【点评】本题考查了充要条件的判断,可以转化为两个条件对应的两个集合之间的关系. 2.设集合 M={x|(x+3) (x﹣2)<0},N={x|1≤x≤3},则 M∩N=( A.[1,2) B.[1,2] C. (2,3] D.[2,3] )

【考点】交集及其运算. 【专题】集合. 【分析】根据已知条件我们分别计算出集合 M,N,并写出其区间表示的形式,然后根据交 【来源:21·世纪·教育·网】 集运算的定义易得到 A∩B 的值. 【解答】解:∵M={x|(x+3) (x﹣2)<0}=(﹣3,2) N={x|1≤x≤3}=[1,3], ∴M∩N=[1,2) 故选 A 【点评】本题考查的知识点是交集及其运算,其中根据已知条件求出集合 M,N,并用区间 表示是解答本题的关键.www-2-1-cnjy-com 3.在△ ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°, A. B. C. D. ,则 AC=( )

【考点】正弦定理. 【专题】解三角形. 【分析】结合已知,根据正弦定理, 【解答】解:根据正弦定理, , 可求 AC

4



故选 B 【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础试题

4.在△ ABC 中,A=60°,AB=2,且△ ABC 的面积 A. B.3 C. D.7

,则边 BC 的长为(

)

【考点】三角形中的几何计算. 【专题】计算题. 【分析】由△ ABC 的面积 BC= 【解答】解:∵ ∴AC=1, △ ABC 中,由余弦定理可得 BC= = , ,求出 AC=1,由余弦定理可得

,计算可得答案. = sin60°= ,

故选 A. 【点评】本题考查三角形的面积公式,余弦定理的应用,求出 AC=1,是解题的关键.

5.数列 1, , , , 的一个通项公式 an 是( A. B. C. D.

)

【考点】数列的概念及简单表示法. 【专题】阅读型. 【分析】 将原数列中的第一项写成分式的形式: , 再观察得出每一项的分子是正整数数列, 分母是正奇数数列,从而得出数列 1, , , , 的一个通项公式 an. 【解答】解:将原数列写成: , , , , . 每一项的分子是正整数数列,分母是正奇数数列, ∴数列 1, , , , 的一个通项公式 an 是 .

故选 B. 【点评】本题主要考查了数列的概念及简单表示法、求数列的通项公式.关键推断{an}中每 一项的分式的规律求得数列的通项公式.2-1-c-n-j-y 6.命题“存在 x∈Z 使 x2+2x+m≤0”的否定是( )

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A.存在 x∈Z 使 x2+2x+m>0 B.不存在 x∈Z 使 x2+2x+m>021 世纪教育网 C.对任意 x∈Z 使 x2+2x+m≤0 D.对任意 x∈Z 使 x2+2x+m>0 【考点】命题的否定. 【分析】根据命题“存在 x∈Z 使 x2+2x+m≤0”是特称命题,其否定命题是全称命题,将“存在” 改为“任意的”,“≤“改为“>”可得答案. 21*cnjy*com 【解答】解:∵命题“存在 x∈Z 使 x2+2x+m≤0”是特称命题 ∴否定命题为:对任意 x∈Z 使 x2+2x+m>0 故选 D. 【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的转化.注意:全称命题的否定是特称命题. 7.已知等差数列{an}的公差为 d(d≠0) ,且 a3+a6+a10+a13=32,若 am=8,则 m 是( A.8 B.6 C.4 D.2 )

【考点】等差数列的性质. 【专题】计算题. 【分析】根据等差中项的性质可知 a3+a6+a10+a13=4a8 求得 a8,进而可知 a8=am 求得 m 的值. 【解答】解:a3+a6+a10+a13=4a8=32 ∴a8=8 ∵am=8 ∴m=8 故选 A 【点评】本题主要考查了等差中项的性质.属基础题. 8.已知公比为 2 的等比数列{an}中,a2+a4+a6=3,则 a5+a7+a9 的值为( A.12 B.18 C.24 D.6 )

【考点】等比数列的性质. 【专题】计算题. 【分析】将所求式子利用等比数列的通项公式化简,提取 q3,再利用等比数列的通项公式 【版权所有:21 教育】 化简,将已知的等式代入,计算后即可求出值. 【解答】解:∵公比是 2 的等比数列{an}中,a2+a4+a6=3, 则 a5+a7+a9=a1q4+a1q6+a1q8=q3(a1q+a1q3+a1q5)=q3(a2+a4+a6)=8×3=24. 故选 C 【点评】此题考查了等比数列的性质,以及等比数列的通项公式,熟练掌握性质及公式是解 本题的关键. [来源:21 世纪教育网] 9.已知命题 p:?x∈R,cosx= ;命题 q:?x∈R,x2﹣x+1>0.则下列结论正确的是( A.命题 p∧q 是真命题 B.命题 p∧¬q 是真命题 C.命题¬p∧q 是真命题 D.命题¬p∨¬q 是假命题 【考点】复合命题的真假. 【专题】计算题;综合题. 【分析】根据余弦函数的值域,可知命题 p 是假命题,根据二次函数的图象与性质,得命题 q 是真命题.由此对照各个选项,可得正确答案.21 教育名师原创作品 )

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【解答】解:因为对任意 x∈R,都有 cosx≤1 成立,而 >1,所以命题 p:?x∈R,cosx= 是 假命题;21*cnjy*com ∵对任意的∈R,x2﹣x+1=(x﹣ )2+ >0 ∴命题 q:?x∈R,x2﹣x+1>0,是一个真命题 由此对照各个选项,可知命题¬p∧q 是真命题 故答案为:C 【点评】 本题以复合命题真假的判断为载体, 考查了余弦函数的值域和一元二次不等式恒成 立等知识,属于基础题. 10.不等式 3x2﹣7x+2<0 的解集为( A. B. ) C. D.{x|x>2}

【考点】一元二次不等式的解法. 【专题】计算题;方程思想;转化法;不等式的解法及应用. 【分析】利用因式分解即可求出. 【解答】解:3x2﹣7x+2<0 化为(3x﹣1) (x﹣2)<0,解的 <x<2, 故选:A. 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法,属于基础题. 11.已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a1=4,则{an}的前 10 项和等于( A.﹣6(1﹣3﹣10) B. )

C.3(1﹣3﹣10) D.3(1+3﹣10)

【考点】数列的求和. 【专题】转化思想;定义法;点列、递归数列与数学归纳法. 【分析】利用等比数列的通项公式及其前 n 项公式是即可得出. 【解答】解:∵3an+1+an=0,a1=4,[来源:21 世纪教育网] ∴ ,

∴数列{an}是等比数列,首项为 4,公比为﹣ .

则{an}的前 10 项和=

=3(1﹣3﹣10) .

故选:C. 【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前 n 项公式,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题.

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12.设图 F1、F2 分别为双曲线

的左、右焦点,双曲线上存在

一点 P 使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|?|PF2|= ab,则该双曲线的离心率为( A. B. C. D.3

)

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】要求离心率,即求系数 a,c 间的关系,因此只需用系数将题目已知的条件表示出 来即可.本题涉及到了焦点弦问题,因此注意结合定义求解. 【解答】解:由双曲线的定义得:|PF1|﹣|PF2|=2a, (不妨设该点在右支上) 又|PF1|+|PF2|=3b,所以 两式相乘得 故 e= . 故选 B 【点评】本题考查了双曲线的定义,离心率的求法.主要是根据已知条件找到 a,b,c 之间 的关系化简即可. 二、填空题(共 4 题,每道题 5 分,共 20 分) 13.已知 x,y 都是正数,如果 xy=15,则 x+y 的最小值是 2 . 【考点】基本不等式. 【专题】转化思想;综合法;不等式. 【分析】利用基本不等式的性质即可得出.[来源:21 世纪教育网] 【解答】解:∵x,y 都是正数,xy=15, =2 则 x+y ,当且仅当 x=y= 时取等号. 故答案为: . 【点评】本题考查了基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 14.在△ ABC 中,若 c2>a2+b2,则△ ABC 必是钝角(填锐角,钝角,直角)三角形. 【考点】余弦定理. 【专题】转化思想;综合法;解三角形. 【分析】由条件利用余弦定理求得 cosC<0,可得△ ABC 必是钝角三角形.21 世纪教育网 【解答】解:△ ABC 中,若 c2>a2+b2,则由余弦定理可得 cosC= 故 C 为钝角,故△ ABC 必是钝角三角形, 故答案为:钝角. 【点评】本题主要考查余弦定理的应用,属于基础题. <0, .结合 c2=a2+b2 得 . ,

8

15.设变量 x,y 满足约束条件

,则 z=x﹣3y 的最小值是﹣8.

【考点】简单线性规划. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】将 z=x﹣3y 变形为 行直线,当 ,此式可看作是斜率为 ,纵截距为 的一系列平 向此平面

最大时,z 最小.作出原不等式组表示的平面区域,让直线

区域平移,可探求纵截距的最大值. 【解答】解:由 z=x﹣3y,得 当 最大时,z 最小. ,此式可看作是斜率为 ,纵截距为 的直线,

画出直线 y=x,x+2y=2,x=﹣2,从而可标出不等式组

表示的平面区域,如右图

所示. 由图知,当动直线 经过点 P 时,z 最小,此时由 ,得 P(﹣2,2) ,

从而 zmin=﹣2﹣3×2=﹣8,即 z=x﹣3y 的最小值是﹣8. 故答案为:﹣8.

【点评】本题考查了线性规划的应用,为高考常考的题型,求解此类问题的一般步骤是: (1)作出已知不等式组表示的平面区域; (2)运用化归思想及数形结合思想,将目标函数的最值问题转化为平面中几何量的最值问 题处理. 16.给定下列命题: ①“若 k>0,则方程 x2+2x﹣k=0 有实数根”的逆否命题; ②“若 A=B,则 sinA=sinB”的逆命题; ③“若
2

”的逆否命题;

④“若 xy=0,则 x,y 中至少有一个为零”的否命题.

9

⑤“若

”的逆命题.

其中真命题的序号是①③④. 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】转化思想;简易逻辑. 【分析】①由方程 x2+2x﹣k=0 有实数根,则△ =4+4k≥0,解得 k 的范围,即可判断出真假, 进而判断出其逆否命题具有相同的真假性; ②原命题的逆命题为“若 sinA=sinB,则 A=B”,举例:取 A=2π,B=π,即可判断出真假;
21 世纪教育网

③由

,可得 b<a<0,可得 b2>ab,即可判断出真,进而其逆否命题具有相同的

真假性; ④原命题的逆命题为:“若 x,y 中至少有一个为零,则 xy=0”是真命题,进而得到原命题的 否命题具有相同的真假性.21·世纪*教育网 ⑤原的逆命题为“若 a<b<0,则 > ”,举例:取 a=﹣2,b=﹣1,﹣2<﹣1<0,即可判 断出真假. 【解答】解:①由方程 x2+2x﹣k=0 有实数根,则△ =4+4k≥0,解得 k≥﹣1,因此“若 k>0, 则方程 x2+2x﹣k=0 有实数根”是真命题,其逆否命题也是真命题; ② “若 A=B,则 sinA=sinB”的逆命题为“若 sinA=sinB,则 A=B”,是假命题例如:取 A=2π, B=π; ③由 ,可得 b<a<0,∴b2>ab,因此“若
2

”是真命题,其

逆否命题也是真命题; y 中至少有一个为零”的逆命题为: y 中至少有一个为零, ④“若 xy=0, “若 x, 则 x, 则 xy=0” 【出处:21 教育名师】 是真命题,因此原命题的否命题也是真命题. ⑤“若 ”的逆命题为“若 a<b<0,则 > ”是假命题,例如:取 a=﹣2,

b=﹣1,﹣2<﹣1<0,但是 < . 其中真命题的序号是 ①③④. 故答案为:①③④. 【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、命题之间真假性的关系、不等式的性质,考查了 推理能力与计算能力,属于中档题. 21 世纪教育网 三、解答题(共 6 题,共 70 分) 17.在锐角△ ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 (Ⅰ)确定角 C 的大小; (Ⅱ)若 c= ,且△ ABC 的面积为 ,求 a2+b2 的值.

【考点】解三角形. 【专题】计算题;解三角形. 【分析】 (Ⅰ)根据 ,利用正弦定理得 ,从而可求 C 的大小;

10

(Ⅱ)由面积公式得 【解答】解: (Ⅰ)∵ ∴sinC= ∵△ABC 是锐角三角形,∴C= (Ⅱ)∵c= ∴ab=6 由余弦定理得 a2+b2﹣2abcos ,C=

=

,从而可得 ab=6,由余弦定理,可得结论. … … … ,∴由面积公式得 … = …

,∴由正弦定理得

,△ ABC 的面积为

=7



∴a2+b2=13 … 【点评】本题考查正弦、余弦定理,考查学生的计算能力,属于基础题.

18. (1)求椭圆

的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.

(2)求焦点在 y 轴上,焦距是 4,且经过点 M(3,2)的椭圆的标准方程. 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;方程思想;数形结合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)由椭圆方程为 ,可得 a,b,c,即可得出;

(2)利用椭圆的定义可得:a,即可得出 b2=a2﹣c2. 【解答】解: (1)∵椭圆方程为 ∴a=2,b=1,c= = , ,

因此,椭圆的长轴的长和短轴的长分别为 2a=4,2b=2, 离心率 e= = ,两个焦点分别为 F1(﹣ ,0) ,F2( ,0) ,

椭圆的四个顶点是 A1(﹣2,0) ,A2(2,0) ,B1(0,﹣1) ,B2(0,1) . (2)由焦距是 4 可得 c=2,且焦点坐标为(0,﹣2) , (0,2) . 由椭圆的定义知:2a= ∴a=4,b2=a2﹣c2=16﹣4=12. 又焦点在 y 轴上,∴椭圆的标准方程为 . + =8,

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 19.某商店预备在一个月内分批购入每张价值为 20 元的书桌共 36 台,每批都购入 x 台(x 是正整数) ,且每批均需付运费 4 元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌

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的总价值(不含运费)成正比,若每批购入 4 台,则该月需用去运费和保管费共 52 元,现 在全月只有 48 元资金可以用于支付运费和保管费.21 世纪教育网版权所有 (1)求该月需用去的运费和保管费的总费用 f(x) ; (2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由. 【考点】函数模型的选择与应用;基本不等式在最值问题中的应用. 【分析】 (1) 不妨设题中比例系数为 k, 每批购入 x 台, 共需分 批, 每批价值为 20x 元,

总费用 f(x)=运费+保管费;由 x=4,y=52 可得 k,从而得 f(x) ; (2)由(1)知, 为何值时,f(x)的最小值. 【解答】解: (1)设题中比例系数为 k,若每批购入 x 台,则共需分 元, 由题意,得: 由 x=4 时,y=52 得: ∴ (2)由(1)知, ∴ ,当且仅当 ,即 x=6 时,上式等号成立; 批,每批价值为 20x ,由基本不等式可求得当 x

故只需每批购入 6 张书桌,可以使 48 元资金够用. 【点评】本题考查了基本不等式 a+b≥2 (a>0,b>0)的应用,解题时,其关键是根据 www.21-cn-jy.com 题意列出函数 f(x)的解析式.

20.设 p:实数 x 满足 x2﹣4ax+3a2<0,其中 a≠0,q:实数 x 满足 (Ⅰ)若 a=1,p 且 q 为真,求实数 x 的取值范围; (Ⅱ)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 【考点】命题的真假判断与应用;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】阅读型. 【分析】 (1)把 a=1 代入不等式后求解不等式,同时求解不等式组,得到命题 p 和命题 q 中 x 的取值范围,由 p 且 q 为真,对求得的两个范围取交集即可; (2)p 是 q 的必要不充分条件,则集合 B 是集合 A 的子集,分类讨论后运用区间端点值之 间的关系可求 a 的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ)由 x2﹣4ax+3a2<0,得: (x﹣3a) (x﹣a)<0, 当 a=1 时,解得 1<x<3,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1<x<3. 由 ,得:2<x≤3,即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2<x≤3.

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若 p 且 q 为真,则 p 真且 q 真, 所以实数 x 的取值范围是 2<x<3. (Ⅱ) p 是 q 的必要不充分条件,即 q 推出 p,且 p 推不出 q, 设 A={x|p(x)},B={x|q(x)},则 B 是 A 的真子集, 又 B=(2,3],当 a>0 时,A=(a,3a) ;a<0 时,A=(3a,a) . 所以当 a>0 时,有 ,解得 1<a≤2,

当 a<0 时,显然 A∩B=?,不合题意. 所以实数 a 的取值范围是 1<a≤2. 【点评】本题是命题真假的判断与应用,考查了必要条件问题,考查了数学转化和分类讨论 思想,是中档题.

21.数列{an}的前 n 项的和为 Sn,对于任意的自然数 an>0, (Ⅰ)求证:数列{an}是等差数列,并求通项公式 (Ⅱ)设 ,求和 Tn=b1+b2+…+bn.

【考点】数列的求和;等差关系的确定. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (Ⅰ)令 n=1 求出首项,然后根据 4an=4Sn﹣4Sn﹣1 进行化简得 an﹣an﹣1=2,从而得 【来源:21cnj*y.co*m】 到数列{an}是等差数列,直接求出通项公式即可; (Ⅱ)确定数列通项,利用错位相减法,可求数列的和. 【解答】 (Ⅰ)证明:∵4S1=4a1=(a1+1)2,∴a1=1. 当 n≥2 时,4an=4Sn﹣4Sn﹣1=(an+1)2﹣(an﹣1+1)2, ∴2(an+an﹣1)=an2﹣an﹣12, 又{an}各项均为正数,∴an﹣an﹣1=2, ∴数列{an}是等差数列, ∴an=2n﹣1; (Ⅱ)解: =

∴Tn=b1+b2+…+bn=

+

+…+

﹣﹣﹣①

∴ Tn=

+

+…+

+

﹣﹣﹣②

①﹣② Tn= ∴Tn=1﹣

+2(

+

+…+

)﹣

=



【点评】 本题主要考查了数列的递推关系, 考查数列的通项与求和, 确定数列的通项是关键.

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22.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,直线 y=x

被椭圆 C 截得的线段长为



(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过原点的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点(A,B 不是椭圆 C 的顶点) .点 D 在椭圆 C 上,且 AD⊥AB,直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M,N 两点. (i)设直线 BD,AM 的斜率分别为 k1,k2,证明存在常数 λ 使得 k1=λk2,并求出 λ 的值; (ii)求△ OMN 面积的最大值. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】 (Ⅰ)由椭圆离心率得到 a,b 的关系,化简椭圆方程,和直线方程联立后求出交点 的横坐标, 把弦长用交点横坐标表示, 则 a 的值可求, 进一步得到 b 的值, 则椭圆方程可求; (Ⅱ) (i)设出 A,D 的坐标分别为(x1,y1) (x1y1≠0) , (x2,y2) ,用 A 的坐标表示 B 的 坐标,把 AB 和 AD 的斜率都用 A 的坐标表示,写出直线 AD 的方程,和椭圆方程联立后利 用根与系数关系得到 AD 横纵坐标的和,求出 AD 中点坐标,则 BD 斜率可求,再写出 BD 所在直线方程,取 y=0 得到 M 点坐标,由两点求斜率得到 AM 的斜率,由两直线斜率的关 系得到 λ 的值; (ii)由 BD 方程求出 N 点坐标,结合(i)中求得的 M 的坐标得到△ OMN 的面积,然后结 合椭圆方程利用基本不等式求最值.21 教育网 【解答】解: (Ⅰ)由题意知, ∴椭圆 C 的方程可化为 x2+4y2=a2. 将 y=x 代入可得 因此 则 b=1. ∴椭圆 C 的方程为 ; , ,解得 a=2. ,则 a2=4b2.

(Ⅱ) (i)设 A(x1,y1) (x1y1≠0) ,D(x2,y2) ,21 世纪教育网 则 B(﹣x1,﹣y1) . ∵直线 AB 的斜率 又 AB⊥AD, ∴直线 AD 的斜率 设 AD 方程为 y=kx+m, 由题意知 k≠0,m≠0. . ,

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联立

,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0.

∴ 因此

. .

由题意可得



∴直线 BD 的方程为 令 y=0,得 x=3x1,即 M(3x1,0) . 可得 .



∴ 因此存在常数

,即

. 使得结论成立.

(ii)直线 BD 方程为



令 x=0,得

,即 N(

) .

由(i)知 M(3x1,0) , 可得△ OMN 的面积为 S= = .

当且仅当

时等号成立.

∴△OMN 面积的最大值为 . 【点评】本题考查椭圆方程的求法,主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用,直线与曲线 联立,根据方程的根与系数的关系解题,是处理这类问题的最为常用的方法,但圆锥曲线的 特点是计算量比较大,要求考试具备较强的运算推理的能力,是压轴题.

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