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广东省深圳市翠园中学2014-2015学年第二学期期中考试高二理科数学试卷


联邦理科

高二下

翠园中学 2014-2015 学年第二学期期中考试 高二理科数学
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.

1 ? 2i ? 1? i 3 1 3 1 3 1 3 1 ? i A. ? ? i B. ? ? i C. ? i D. 2 2 2 2 2 2 2 2 2、已知集合 M ? {x | | x ?1|? 2}, N ? {x | x2 ? 4x ? 0} ,则 M ? N ?
1、 A. {x | x ? 0或x ? 3} C. {x | x ? ?1或x ? 3} 3、函数 y ? A. [0, ??) B. {x | x ? 0或x ? 4} D. {x | x ? ?1或x ? 4}

25 ? 5 x 的值域是
B. ?0,5? C. ?0,5? D. ?0,5?

4、如图,在 Rt△ABC 中,A=90°,AB=1,则 AB · BC 的值是 A、1 C、1 或-1 B、-1 D、不确定,与 B 的大小,BC 的长度有关

??? ?

??? ?

5 5 5 ,则 a , b , c 的大小关系是 5、设 a ? ( ) ,b ? ( ) ,c ? ( )

3 5

2

2 5

3

2 5

2

第4题 D. b ? c ? a

A. a ? c ? b 6、函数 f ( x) ? 别是 A、 2, ?

B. a ? b ? c

C. c ? a ? b

2 sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0, ? ?

?
2

) 的部分图象如图所示,则 ? , ? 的值分
y

?
3

B、 2, ?

?
6

C、 4, ?

?
6

D、 4,

?
3

2

π ? x ? y ? 2 ? 0, 3 ? 7、x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 若 z ? y ? ax 取得最大值的最 ? 2 x ? y ? 2 ? 0. ?

O

5π 12

x

第6题

优解不唯一 ,则实数 a 的值为 ... A、

1 或-1 2

B、2 或

1 2

C、2 或 1

D、2 或-1

8、已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 ,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 25 16
B、15 C、20 D、25

A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则 | AN | ? | BN |? A、10

1

联邦理科

高二下

二、

填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. .

9、曲线 y ? ?5e x ? 3x 在点 (0, ?5) 处的切线方程为 10、已知 cos ? ?

1 13 ? , cos( ? ? ? ) ? , 且0 ? ? ? ? ? , 则 cos ? ? 7 14 2

.

11、若样本 a1, a2 , a3 的方差是 a ,则样本 3a1 ? 1,3a2 ? 1,3a3 ? 1的方差为_________. 12、已知数列 ?an ? 满足 log3 an ? 1 ? log3 an?1 (n ? N ? ) ,且 a2 ? a4 ? a6 ? 9 , 则 log3 (a5 ? a7 ? a9 ) 的值是 .

13、若偶函数 f ( x) 对定义域内任意 x 都有 f ( x) ? f (2 ? x) ,且当 x ? ?0,1? 时,

f ( x) ? log2 x ,则 f (

15 )? 2

.

14、如图,过圆外一点 P 作圆的切线 PA(A 为切点),再作割线 PBC 依次交圆于 B,C. 若 PA=6,AC=8,BC=9,则 AB=_______.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15. (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ?

? ?

??

?? ? ? ? 4 cos ?? ? x ? sin ? x ? ? . 2? 6? ?

(1)求 f ? 0 ? 的值; (2)求 f ? x ? 的单调递增区间.

2

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16. (本小题满分 12 分) 袋子中装有大小相同的白球和红球共 7 个, 从袋子中任取 2 个球都是白球的概率为 , 每个 球被取到的机会均等. 现从袋子中每次取 1 个球,如果取出的是白球则不再放回,设在取得 红球之前已取出的白球个数为 X. (1)求袋子中白球的个数; (2)求 X 的分布列和数学期望.

1 7

17. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,AD⊥DC,DB 平分∠ADC,E 为 PC 的中点, AD=CD=1,DB=2 2,PD=2。 (1)证明:PA∥平面 BDE; (2)证明:AC⊥PB; (3)求二面角 E-BD-C 的余弦值;

P

E B A C

D

3

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18. (本小题满分 14 分) 设椭圆方程

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,椭圆上一点到两焦点的距离和为 4,过焦点且垂直于 X a 2 b2

轴的直线交椭圆于 A,B 两点,AB=2. (1)求椭圆方程;
1 (2) 若 M, N 是椭圆 C 上的点, 且直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ? , 是否存在动点 P( x0 , y0 ) , 2 ??? ? ???? ? ???? 2 2 ? 2 y0 若 OP ? OM ? 2ON ,有 x0 为定值.

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x( x ? a)2 , g ( x) ? ? x2 ? (a ?1) x ? a (其中 a 为常数) ; (1)如果函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 有相同的极值点,求 a 的值; (2)设 a ? 0 ,问是否存在 x0 ? (?1, ) ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ,若存在,请求出实数 a 的 取值范围;若不存在,请说明理由.

a 3

20、 (本小题满分 14 分) 数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? , S n ? n 2 an ? n(n ? 1) 2 . (Ⅰ) 求 a2 , a3 ; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项; (Ⅲ)设 bn ?

1

( n ? N* )

5 1 ,数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,证明: Tn ? 2 S n S n +1

* ( n ? N ).

4

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翠园中学 2014-2015 学年第二学期期中考试 高二理科数学 参考答案

一、选择题:CDCB

AADC
1 ; 2

二、填空题:9. 8x ? y ? 5 ? 0 ; 10. 12. 5 ;
三、解答题: 15.

11. 9 a ; 14. 4;

13. -1;

2 Cn 1 ? 2 * C 7 ,…………………1 分 16.(1)解:设袋子中有 n (n ? N ) 个白球,依题意得, 7

n ? n ? 1? 1 2 ? 7?6 7 2 2 即 , 化简得, n ? n ? 6 ? 0 ,
解得, n ? 3 或 n ? ?2 (舍去). ∴袋子中有 3 个白球. (2)解:由(1)得,袋子中有 4 个红球, 3 个白球.

…………………………2 分 …………………………3 分 …………………………4 分 …………………………5 分 …………………………6 分

X 的可能取值为 0,1, 2,3 ,

5

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P ? X ? 0? ?

4 3 4 2 P ? X ? 1? ? ? ? 7, 7 6 7,

3 2 4 4 3 2 1 4 1 P ? X ? 2? ? ? ? ? P ? X ? 3? ? ? ? ? ? 7 6 5 35 , 7 6 5 4 35 . ………………10 分
∴ X 的分布列为:

X P

0 4 7

1 2 7

2 4 35

3 1 35
…………………………11 分

4 2 4 1 3 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 7 7 35 35 5 . ∴

…………………………12 分

17.

6

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18.解: (1)因为 2a ? 4 ,所以, a ? 2

--------------------------------2 分

∵过焦点且垂直于 x 轴的直线交椭圆于 A,B 两点,AB=2. ∴由椭圆的对称性知,椭圆过点 (c,1) ,即
c 2 ? 4 ? b 2 ,解得 b 2 ? 2

c2 1 ? ?1 4 b2

--------------------4 分

椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 4 2

------------------------------------------------------------7 分

(2)存在这样的点 P( x0 , y0 ) . 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , 则 kOM kON ?
y1 y2 1 ? ? ,化简为 x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0 x1 x2 2 x2 y2 x12 y12 ? ?1, 2 ? 2 ?1 4 2 4 2

---------------------9 分

∵M,N 是椭圆 C 上的点,∴

??? ? ???? ? ???? ? x ? x1 ? 2 x2 由 OP ? OM ? 2ON 得 ? 0 ? y0 ? y1 ? 2 y2
2 2 所以 x0 ? 2 y0 ? ( x1 ? 2x2 )2 ? 2( y1 ? 2 y2 )2

----------------------------------------11 分

2 2 ? ( x12 ? 2 y12 ) ? 4( x2 ? 2 y2 ) ? 4( x1 x2 ? 2 y1 y2 ) ? 4 ? 4 ? 4 ? 0 ? 20

即存在这样的点 P( x0 , y0 ) 19. 解 : ( 1 )

-----------------------------------------------------14 分

f ( x) ? x( x ? a)2 ? x3 ? 2ax2 ? a2 x





7

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高二下

f ?( x) ? 3x2 ? 4ax ? a2 ? (3x ? a)( x ? a) ,
a a ?1 ,而 g ( x) 在 x ? 处有极大值, 3 2 a ?1 a ?1 a ? a ? a ? ?1 ,或 ? ? a ? 3 ;综上: a ? 3 或 a ? ?1 . ∴ 2 2 3 a (2)假设存在,即存在 x ? ( ?1, ) ,使得 3
令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? a 或

(6 分)

f ( x) ? g ( x) ? x( x ? a)2 ? [? x2 ? (a ?1) x ? a] ? x( x ? a)2 ? ( x ? a)( x ? 1) ? ( x ? a)[ x2 ? (1 ? a) x ? 1] ? 0 ,
当 x ? ( ?1, ) 时,又 a ? 0 ,故 x ? a ? 0 , 则存在 x ? ( ?1, ) ,使得 x2 ? (1 ? a) x ? 1 ? 0 ,
2
?

(8 分)

a 3

a 3

(10 分)

a ?1 a 3 ?a? ?a? 1当 ? 即 a ? 3 时, ? ? ? (1 ? a) ? ? ? 1 ? 0 得 a ? 3或a ? ? ,? a ? 3 ; 2 3 2 ?3? ? 3?
(12 分)

2? 当 ?1 ?

4 ? (a ? 1)2 a ?1 a ? 即 0 ? a ? 3 时, ? 0 得 a ? ?1或a ? 3 ,? a 无解; 2 3 4
(14 分)

综上: a ? 3 .

20. 【解析】(Ⅰ)当 n ? 2 时,

S2 ? 4a2 ? 2 ,解得
a3 ? 11 12 ;

a2 ?

5 6;

…………………1 分

当 n ? 3 时,

S3 ? 9a3 ? 6 , 解得

………………………2 分 ,整理得

(Ⅱ)方法一:当 n ? 2 时,

Sn ? n2 ? Sn ? Sn?1 ? ? n(n ?1)

?n

2

? 1? S n ? n 2 S n ?1 ? n(n ? 1)

? n ? 1? Sn ? nSn?1 ? 1
,即

n

n ?1

…………………………5 分

? ? n ? 1? S n ? ? ? n ? 是首项为1 ,公差为1 的等差数列. ……………………………6 分 所以数列 ?

? n ? 1? Sn
所以

n

?n
,即

Sn ?

n2 n ?1

………………………7 分

代入

Sn ? n an ? n(n ?1) 中可得
2

an ? 1 ?

1 n ? n ? 1?
8

.

联邦理科

高二下

当 n=1 时, an ?

1 , 上式成立 , 故: 2
a1 ?

an ? 1 ?

1 * n ? n ? 1? n ? N


………………8 分

方法二:由(Ⅰ)知:

1 1 5 11 an ? 1 ? , a2 ? , a3 ? n ? n ? 1? 2 6 12 ,猜想 ,……………………4 分

下面用数学归纳法证明: ①当 n ? 1 时,

an ?

1 1 ? 1? 2 1? ?1 ? 1?
*

,猜想成立;

………………5 分

②假设

n ? k ?k ? N

? ,猜想也成立,即

ak ? 1 ?
2

1 k ? k ? 1?

,则

当 n ? k ? 1 时,有 整理得

ak ?1 ? Sk ?1 ? Sk ? ? k ? 1? ak ?1 ? ? k ? 1? k ? k 2 ak ? k ? k ? 1?

? k ? 2? ak ?1 ? kak ? 2 ,从而
? ? ? 1 1 ? 2 ? k ? 2? ? ? k ? k ? 1? ? k ?1

? k ? 2 ? ak ?1 ? kak ? 2 ? k ? ?1 ?

ak ?1 ? 1 ?
,于是

? k ? 1?? k ? 2?

1

即 n ? k ? 1 时猜想也成立.所以对于任意的正整数 n ,均有

an ? 1 ?

1 n ? n ? 1?

.

…………………………8 分

n2 b ? n ? 2 n Sn ? n 2 ? n ? 1? n ? 1 (Ⅲ) 由(Ⅱ)得 , ,
当 k ? 2 时,

…………………9 分

bk ?

k ?2 k ?2 1 k ?k 1 2 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? 2? ? ? k ? k ? 1? k k (k ? 1) k k (k ? 1) k (k ? 1) ? k k ?1 ?
2

……11 分

当 n ? 1 时,

T1 ?

3 5 ? 2 2 成立;

………………………12 分

当 n ? 2 时,所以

Tn ?

3 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 5 2 5 ?1 ? 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2 ? n n ? 1 ?? 2 n ?1 2 ?? 2 3 ? ? 3 4 ?
………………………………………………………14 分

综上所述,命题得证.

9


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