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湖北省部分重点中学2015届高三第一次联考数学(理)试题 Word版含答案


湖北省部分重点中学 2015 届高三第一次联考 数学试卷(理)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1、复数 z ? 1 ? 的共轭复数是( A. ?1 ? i B. ? 1 ? i

1 i

) D. 1 ? i

C. 1 ? i

?y ?1 ? 2、已知实数 x , y 满足 ? y ? 2 x ? 1,则目标函数 z ? x 2 ? y 2 的最小值为( ?x ? 2 ?
A. 2 B.2 C.1 D.5



3、模几何体的正视图与俯视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 是( )

1 ,则该几何体的侧视图可以 2

4、阅读程序框图,运行相应的程序,输出的结果为( A.6 C.0 B.-6 D.18
2



5 、 已 知 f ? x ? ? x ? bx ? c(b, c ? R) , 命 题 甲 : 函 数

g ? x ? ? log2 f ? x ? 的值域为 R;命题乙: ?x0 ? R 使 f ( x0 ) ? 0 成立,则甲是乙的(
A.充分不必要 C.充分必要 6、过双曲线 C : B.必要不充分 D.既不充分也不必要

)条件。

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上任意一点 P 作与实轴平行的直线,交两渐近线于 M , N 两点, a 2 b2
2

若 PM ? PN ? 3b ,则双曲线 C 的离心率为( A.3 B. 3 C.



2 3 3

D.

10 3


7、从编号为 001,002, 大依次为 007,032, A.483 B.482

,500 的 500 个产品中用系统抽样的的方法抽取一个样本,已知样本编号从小到

,则样本中最大的编号应该为( C.481 D.480

8、已知函数 f ? x ? ? 1 ? x ? A.在 ? 0, ??? 单调递增

x 2 x3 x 4 ? ? ? 2 3 4

?

x 2015 ( x ? 0) ,则 f ? x ? 在定义域上的单调性是( 2015



B.在 ? 0, ??? 单调递减 D.在 (0,1) 单调递减, ?1, ?? ? 单调递增

C.在 (0,1) 单调递增, ?1, ?? ? 单调递减

9、设函数 f ? x ? ? 4sin(3x ? 1) ? x ,则下列区间中 f ? x ? 不存在零点的是( ) A. ?0,1? B. ??2, ?1? C. ?3, 4? D. ??3, ?2?

10 、 非 空 数 集 A ? {a1 , a2 , a3 ,

, an } (n ? N ? , an ? 0) 中 , 所 有 元 素 的 算 术 平 均 数 即 为 E ? A? , 即

E ? A? ?

a1 ? a2 ? a3? n

? a n

,若非空数集 B 满足下列两个条件:① B ? A ;② E ? B ? ? E ? A? ,则称 B 为 )

A 的一个“包均值子集” ,据此,集合 ?1, 2,3, 4,5,6,7? 的子集中是“包均值子集”的概率是(
A.

15 128

B.

19 128

C.

11 64

D.

63 128

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡对应的题 号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。. (一)必做题(11-14 题) 11、已知集合 M ? {x | x ? x2 , x ? R}, N ? {x | y ? 2x } ,则 M

N?

x2 ? a 恒成立,则实数 a 取值范围是 12、若 x ? ?1 不等式 x ?1
13、若曲线 C1 : x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 与曲线 C2 : y( y ? mx ? 2) ? 0 ? m ? R ? 有四个不同的交点,则 m 的取值范 围是 14 、已知 ?ABC 满足 AB ? 3, AC ? 4, O是 ?ABC 所在平面内的一点,满足 AO ? BO ? CO ,且

AO ? ? AB ?

1? ? AC (? ? R ) ,则 cos ?BAC ? 2

(二)选考题(请考生在第 15、16 题中任选一题作答,如果全选,则按第 15 题作答结果计分) 15、如图,在半径为 4 的 O 中, ?AOB ? 90 , D 为 OB 的中点,

AD 的延长线交 O 于点 E ,则线段 DE 的长为
16、在极坐标中,曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ? sin
2

? ? 2cos? 和

? sin ? ? 2 ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半
轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C1 和 C2 交点的直角坐标为 三、解答题:本大题共 65 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明、证明 或演算步骤 17、 (本小题满分 12 分) 过 程

已知函数 f ? x ? ?

sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 sin x

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2)求使不等式 f ? x ? ? ?2 成立的 x 的取值集合。

18、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? log2 x ,若数列 3, f ? x1 ? , f ? x2 ? ,

, f ? xm ? ,3m ? 6(m ? N ? ) 成等差数列。

(1)求数列 ? f ( xn )? (1 ? n ? m, m, n ? N ? ) 的通项公式; (2)求数列 ?xn ? (1 ? n ? m, m, n ? N ? ) 的前 n 项和 Sn 。

19、 (本小题满分 12 分) 爸爸去哪儿节目组安排星娃露营,村长要求 Feyman 、 杨阳洋、贝儿依次在 A, B, C 三处扎篷, AB ? 8 米, BC ? 4 米,

AC ? 6 米,现村长给多多一个难题,要求她安扎在 B, C 两点连
线上的 D 点位置,?ADC ? 60 ,如图所示,问多多与 Feyman 相距 少米? 多

20、 (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 面 ABCD , ?ABC 是正三角形, AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 的中点, 又 PA ? AB ? 2, ?CDA ? 120 (1) 求证: BD ? PC ; (2) 求二面角 A ? PC ? D 的余弦值。

21、 (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? 6x ? 15 ,记 y ? f ? x ? 的图象为曲线 C
3 2

(1)若以曲线 C 上的任意一点 P( x0 , y0 ) 为切点作切线,求切线的斜率的最小值; (2)以曲线 C 上的两个不同动点 A, B 为切点分别作 C 的切线 l1 , l2 ,若 l1 // l2 恒成立,问动直线 AB 是否 恒过定点 M ?若存在,求出 M 的坐标,不存在请说明理由; (3)在(2)的条件下,当直线 AB 的斜率为 ?2 时,求 ?AOB 的面积。

22、 (本小题满分 14 分)

若 ?x ? D ,总有 f ? x ? ? F ? x ? ? g ? x ? ,则称 F ? x ? 为 f ? x ? 与 g ? x ? 在 D 上的一个“分界函数” ,如

?x ? ? 0,1? ,1 ? x ? (1 ? x)e ?2 x ?
“分界函数” 。

1 1 成立,则称 y ? (1 ? x)e?2 x 是 y ? 1 ? x 和 y ? 在 ?0,1? 上的一个 1? x 1? x 1 2 1 x 和 y ? 1 ? x 2 在 ?0,1? 上的一个“分界函数” ; 2 4

(1)求证: y ? cos x 是 y ? 1 ?

x2 ? ax ? 1 和 g ? x ? ? (1 ? x)e?2 x ? 2x cos x 在 ?0,1? 上一定存在一个“分界函数” (2)若 f ? x ? ? ,试确定 2
实数 a 的取值范围。

湖北省部分重点中学 2015 届高三第一次联考

高三数学试卷(理科)参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

三、解答题:本大题共 6 小题,前 4 题每题 12 分,21 题 13 分,22 题 14 分,共 75 分.

18.解: (Ⅰ)? 3, f ( x1 ), f ( x2 ),?, f ( xm ), 3m ? 6 成等差数列

? 3 ? (m ? 1)d ? 3m ? 6

?d ? 3

? f ( x1 ) ? 3 ? 3 ? 6
? f ( xn ) ? 6 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? 3
(Ⅱ)? f ( xn ) ? log2 xn ? 3n ? 3 ????????????6 分

? x n ? 2 3n ?3 ? S n ? 26 ? 29 ? 212 ? ? ? 23n?3
? 26 (1 ? 23 ? 26 ? ? ? 23( n?1) )
=2 ?
6

1 ? (2 3 ) n 2 3n ?6 ? 64 ? 7 1 ? 23

????????????12 分

20.证明: (Ⅰ) 又

PA ? 面ABCD , BD ? 面 ABCD
?ABC 是正三角形,M 为 AC 的中点

? PA ? BD

? AC ? BD
而 AP

AC ? A

? BD ? 面PAC , PC ? 面 PAC
? BD ? PC
(Ⅱ)法一: ????????????6 分

AC ? BD ,M 为 AC 中点
又 ?ADC=120
o

? AD=DC

??CAD=30o

? ?BAD ? 90?

以点 A 为原点,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,AP 为 z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz, 则 A? 0,0,0? , P ? 0,0,2? , B(2, 0, 0) , C 1, 3, 0 , D(0, 则 BD ? (?2,

?

?

2 3 , 0) 3

2 3 3 3 ,0), PC ? (1, 3,?2), PD ? (0, ,?2) 3 3

? BD ? 面PAC ,取面 PAC 的法向量为 n1 ? ( 3,?1,0) 由(Ⅰ)
设面 PBC 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,由 ? 取一个法向量为 n2 ? (?1, 3, 1)

? ? PC ? n2 ? 0 ? ? PD ? n2 ? 0

得?

? ? x2 ? 3 y 2 ? 2 z 2 ? 0 ? ? 3 y2 ? 2z 2 ? 0

? cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 | n1 |? | n2 |

?

?2 3 2? 5

??

15 15 ,? 二面角 A ? PC ? D 的余弦值 . 5 5

????????????12 分

(Ⅱ)法二:由(Ⅰ)知 DM ? 面 PAC ,过 M 作 MH ? PC 于 H ,连 PH .

? ?MHD 为二面角 A ? PC ? D 的平面角(三垂线定理)
?MHD 中, MH ?

2 3 30 , DH ? , , MD ? 2 3 6

? cos?MHD ?

MH 15 15 .? 二面角 A ? PC ? D 的余弦值 .?12 分 ? DH 5 5

(Ⅲ)直线 AB 的方程为 y ? ?2 x ? 3 点 O 到直线 AB 的距离为 d ?

3 (?2)2 ? 12

?

3 5

k AB

3 2 x13 ? x2 ? 6( x12 ? x2 ) 2 ? ? x12 ? x2 ? x1 x2 ? 6( x1 ? x2 ) ? 16 ? x1 x2 ? 6 ? 4 ? ?2 x1 ? x2

? x1 x2 ? ?6
?| AB |? 12 ? (?2) 2 | x1 ? x 2 |? 5 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 5 ? 4 2 ? 4 ? (?6) ? 10 2

? S ?AOB ?
22.解:

1 1 3 | AB | ?d ? ? 10 2 ? ? 3 10 . 2 2 5
1 2 x , x ? [0,1] 2
'

???13 分

(1) 记 h( x) ? cos x ? 1 ?
'

则 h ( x) ? ? sin x ? x ,记 G( x) ? ? sin x ? x , G ( x) ? ? cos x ? 1 ? 0 ∴ G ( x) 在 [0,1] 上是增函数,则 G( x) ? G(0) ? 0 ,∴ h( x) 在 [0,1] 上是增函数

h( x) ? h(0) ? 0 ,∴ x ? [0,1] 时, 1 ?

1 2 x ? cos x . 2

记 ? ( x) ? 1 ? 则 ? ( x) ? ?
'

1 2 x ? cos x , x ? [0,1] 4

x x 1 ? sin x ,记 H ( x) ? ? ? sin x , H ' ( x) ? ? ? cos x ? 0 2 2 2

∴ H ( x ) 在 [0,1] 上是增函数,则 H ( x) ? H (0) ? 0 , ? ( x) 在 [0,1] 上是增函数

? ( x) ? ? (0) ? 0 ,∴ x ?[0,1] 时, cos x ? 1 ? x 2
综上所述, x ? [0,1] 时, 1 ?

1 4

1 2 1 x ? cos x ? 1 ? x 2 . 2 4

???????6 分

(2) 要使 f ( x ) , g ( x) 间一定存在“分界函数” ,则 x ? [0,1] 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立. 由已知, (1 ? x) ? e ?2 x ? 1 ? x, cos x ? 1 ?

1 2 x 4

g ( x) ? f ( x) ? (1 ? x)e

?2 x

x3 ? 2 x cos x ? ( ? ax ? 1) 2

1 2 x3 ? 1 ? x ? 2 x(1 ? x ) ? ( ? ax ? 1) ? ?(a ? 3) x 4 2
∴ a ? ?3 时, f ( x) ? g ( x) 在 [0,1] 上恒成立. 下证 a ? ?3 时, f ( x) ? g ( x) 在 [0,1] 上不恒成立. 由已知 (1 ? x) ? e

1 1 3 ?2 x ? ?2 x , cos x ? 1 ?x x 2 g ( x) ? f ( x) ? (1 ? x)e1 ? 2 x cos x ? ( ?x 2 ? cos x ? 1) 2 3 1 1 2 x3 x ?2 x g ( x) ? f ( x) ? ? (1 ? x ) e ? 2 x cos x ? ( ? ax ?1) 1) ? 2 x(1 ? x ) ? ( ? cos x? 1? x 2 2 2 x2 x3 ? ? ? (a ? 3) x 1? x 2 x 2x ? [ x2 ? ? 2(a ? 3)] 2 1? x x ? [ x 2 ? 2 x ? 2(a ? 3)] 2
记 ? ( x) ? x ? 2x ? 2(a ? 3)
2

?

1 1 x3 ? 2 x(1 ? x 2 ) ? ( ? ax ? 1) 1? x 2 2

必存在 x0 ? (0,1) 使 ? ( x0 ) ? 0 ∴必存在 x0 ? (0,1) 使 g ( x0 ) ? f ( x0 ) ,则 a ? ?3 时, f ( x) ? g ( x) 在 [0,1] 上不恒成立. 综上, a ? ?3 . ???????14 分

请考生在第(22) 、 (23) (24)三体中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用 2B 铅

笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上.

22、 (本小题满分 10 分)

考生注意: 1、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟 2、请将各题答案填在卷后面的答案卡上. 3、本试卷主要考试内容:集合与常用逻辑用语、函数与导数(60%) ;三角函数与平面向量(40%)

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的)

A.B.C.D. A.B.C.D. A.B.C.D. A.B.C.D. A.B.C.D. A.B.C.D. A.B.C.D. A.B.C.D. A.B.C.D. A.B.C.D. A.B.C.D. A.B.C.D. A.B.C.D.

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答案卡中的横线上

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 65 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16、 (本小题满分 12 分)

16、 (本小题满分 12 分)

16、 (本小题满分 12 分)

16、 (本小题满分 12 分)

16、 (本小题满分 12 分)

16、 (本小题满分 12 分)


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