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【赢在高考】2014届高考数学第一轮复习配套课件:4.6 倍角公式及简单的三角恒等变换


第 6 讲 倍角公式及简单的 三角恒等变换

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考 纲 展 示 1.能用两角差的余弦公式 推导出二倍角的正弦、 余 弦、 正切公式,了解它们的 内在联系. 2.能运用上述公式进行简 单的恒等变换.

考 纲 解 读 三角函数的解答题一般都要考查三角函数式的化 简、求值及恒等变换,也有单

纯考查化简、求值的问 题,而更多的则是融图象与性质、正弦和余弦定理、 平面向量于一体的综合性较强的问题.

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1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α=2sin αcos α; cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; tan 2α=
2

2α . 2α 1-

2.公式的常见变形 ( sin 1)
2 2 ( 1+sin 2α=( α+cos α) , 2) sin 1-sin 2α=( α-cos α) , sin 1+cos 2α=2cos2α, 1-cos 2α=2sin2α.

1-2α 1+2α 2 α= 2 , α= 2 . cos

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3.半角公式(不要求记忆) α α α ( 用 cos α 表示 sin22, 22, 22 1) cos tan
1-α ; 2 α 1+α cos2 = ; 2 2 α 1-α tan22 = 1+α.

sin22 =

α

( 用 cos α 表示 2) sin =± cos2=±
α α α 2 1-α ; 2 1+α ; 2 1-α

α α α sin2, 2, 2 cos tan

tan2=± 1+α. α ( 用 sin α, α 表示 tan2 3) cos tan2=± 1+α = α = 1+α.
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α 1-α 1-α α

4.积化和差公式(选学) ( sin αcos β=2[ α+β) 1) sin( +sin( ] α-β) ; ( cos αsin β= [ α+β) 2) sin( -sin( ] α-β) ;
1 1 2 1 ( cos αcos β= [ α+β) 3) cos( +cos( ] α-β) ; 2 1 ( sin αsin β=- [ α+β) 4) cos( -cos( ] α-β) . 2

5.和差化积公式(选学) ( sin α+sin β=2sin 2 · 2 ; 1) cos α+β α-β ( sin α-sin β=2cos 2 · 2 ; 2) sin
α+β α+β α-β

( cos α+cos β=2cos 2 · 2 ; 3) cos α+β α-β ( cos α-cos β=-2sin 2 · 2 . 4) sin
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α-β

三角函数的化简与求值的难点在于众多三角公式 的灵活运用和解题突破口的合理选择, 认真分析所求式子的整体结 构, 分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础, 也是 恰当寻找解题思维起点的关键所在. 要掌握求值问题的解题规律和途径, 寻求角之间关系的特殊性, 化非特殊角为特殊角, 正确选用公式, 灵活地掌握各个公式的正用、 逆用、变形用等.

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1.计算 1-2sin222.5° 的结果等于(
1 A.2 2 B. 2

)
3 C. 3 2 2 3 D. 2

【答案】 B 【解析】 1-2sin222.5° =cos 45° , = 故选 B. 2.sin 15° 15° cos 等于( A.
1 2

) C.
3 2

B.

1 4

D.

3 4 1 1

【答案】 B

【解析】 利用二倍角公式可得 sin 15° 15° 2sin 30° 4, cos = = 故选 B.

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3.(2012·浙江温州测试) 已知 sin 10° 则 sin 70° =a, 等于( ) A.1-2a2 B.1+2a2 C.1-a2 D.a2-1 【答案】 A 【解析】 由题意可知, 70° sin =cos 20° =1-2sin210° =1-2a2, 故选 A. 4.已知 sin α=5, cos 2α 的值为( 则 A.-25 【答案】 C 【解析】 cos 2α=1-2sin α=1-2×
2

3

) C.25 D.25
3 2 5 7 24

24

B.-25

7

=

7 . 25

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5.已知 α∈ 0, 【答案】 7

2

, α= , sin 则

3 5

1 +tan 2α

2α 的值为
7 25

.

【解析】 cos α= 1-2 α = , 2α=1-2sin2α= , cos tan
α α= α

=

3 , tan 4

4 5 2α 2α= 1-2 α

=

24 1 , +tan 7 2α

25 24 2α= + =7. 7 7

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T 题型一三角函数的化简、求值
例 1( 化简 1)
( 求 2)
1+ 20° -sin 2 20° (1+θ+θ) 2-2 2+2θ
θ

( 0<θ<π) ;

10°

( 从把角 1)

1 -tan 5°的值. 5° θ θ 变为 入手, 合理使用公式. 2
θ θ

( 应用公式把非 10° 2) 的角转化为 10° 的角, 再将切化弦. 【解】 ( 原式= 1) =
2 2 2-2 2
θ 2 θ θ

222+222 2-2


42 2



=

-2·θ
θ 2

.
θ cos >0. 2

因为

θ 0<θ<π, 所以 0< 2

<

.所以 2

所以原式=-cos θ.
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22 10° 5° 5° ( 原式= 2) -sin 10° 2×2 10° 10° 5° 5° 10° 25° 2 5° -si =2 10° 10° 5° 5° -sin · 10° 10° = -sin 10° 1 · 2 10° sin 10° 10° -2 20° 2 10° 10° -2(30° ) -10° = 2 10°

=2 10° -2cos 10° =
1

10°

2

=

10° 2cos 10°2 sin 10° -2 -

3

2 10° 3sin 10° 3 = 2 10°= 2 .

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(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则, 一看角, 二看名, 三看式 子结构与特征. (2)对于给角求值问题, 往往所给角都是非特殊角, 解决这类问题 的基本思路有: ①化为特殊角的三角函数值; ②化为正、负相消的项, 消去求值; ③化分子、分母出现公约数进行约分求值.

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-x + 6cos -x . 4 4 【解】 2sin 4 -x + 6cos 4 -x 1 3 =2 2 2 4 -x + 2 4 -x =2 2 6 · 4 -x + 6 4 -x =2 2cos 6 - 4 + x =2 2cos x- 12 .

1.化简 2sin

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T 题型二与倍半角有关的给值求值问题
4 2 α+2α 例 2 已知 α 为锐角, sin α=5, 2 α+2α的值. 且 求 4 【解】 方法一: α 为锐角, sin α=5, ∵ 且

∴ α= 1-2 α = 5. cos
2 α+2α ∴ 2 α+2α

3

=

2 α+2αα 32 α-1

=

4 2 4 3 +2× 5× 5 5 =20. 2 3 3× 5 -1

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方法二: α 为锐角, ∵ 且
3 5

4 sin α= , 5 α α

∴ α= 1-2 α = .∴ α= cos tan
2 α+2α ∴ 2 α+2α
4 2 4 +2× 3 3 4 2 2- 3

= .

4 3

= =

2 α+2αα 22 α-2 α
40 9 2 =20. 9

=

2 α+2α 2-2 α

=

对于给值求值问题, 即由给出的某些角的三角函数 值, 求另外一些角的三角函数值, 关键在于“变角”, 使“目标角”变换成 “已知角”.若角所在的象限没有确定, 则应分类讨论, 应注意公式的正 用、逆用、变形运用, 掌握其结构特征, 还要会通过分析“目标角”与 “已知角”之间的关系, 灵活拆角或拼角.
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2.已知 sin( 2α-β) 5, β=-13, α∈ 2 , , = sin 且 β∈ - 2 ,0 , sin α 的 求 值. 【解】
∵ <α<π, π<2α<2π. ∴ 2

3

12





又∵ <β<0, 0<-β< . ∴ 2 2

∴ π<2α-β< 2 .而 sin( 2α-β) 5>0, = ∴ 2π<2α-β< 2 , 2α-β) 5. cos( =
5 4

5

3

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又∵ <β<0 2



12 sin β=- , cos ∴ 13

5 β= . 13

∴ 2α=cos[ 2α-β) cos ( +β] =cos( 2α-β) β-sin( cos 2α-β) β sin
4 5 3 =5 × 13 ? 5 × 12 - 13

=

56 . 65

又∵ 2α=1-2sin2α, sin2α=130. cos ∴ 又∵ α∈
, 2

9

, sin α= ∴

3 130 . 130

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T 题型三齐次式问题
例 3 已知函数 f( =2 3sin xcos x+2cos2x-1( x) x∈R) .
( 求函数 f( 的最小正周期及在区间 0, 2 上的最大值和最小值. 1) x) 6 ( 若 f( 0) 5, 0∈ 4 , 2 , cos 2x0 的值. 2) x = x 求


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【解】 ( 由 f( =2 3sin xcos x+2cos2x-1, 1) x) 得 f( = 3( x) 2sin xcos x) 2cos2x-1) 3sin 2x+cos 2x=2sin 2x + 6 . +( =
因为 f( =2sin 2x + 6 在区间 0, 6 上为增函数, x) 在区间 6 , 2 上 为减函数, f( =1, 6 =2, 2 =-1, 又 0) f f 所以函数 f( 在区间 0, 2 上的最 x)

所以函数 f( 的最小正周期为 π. x)

大值为 2, 最小值为-1. ( 由( 可知 f( 0) 2) 1) x =2sin 20 + 6 . 又因为 f( 0) , x = 所以 sin 20 + 由 x0∈ 4 , 2 , 2x0+6 ∈ 得
6 5 6 2 7 , . 3 6

= .
4

3 5

从而 cos 20 + 6 =- 1-2 20 + 6 =-5. 所以 cos 2x0=cos 20 + =cos 20 +
6 6 6

-

6

cos +sin 20 +

6

sin =

6

3-4 3 . 10

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形如 f(α) =sin2α+msin α· α+ncos2α 或 cos f(α)=sin2α+msin α· α 的解析式叫齐次式, cos 齐次式问题是近几年高 考的重点问题, 它的化简技巧是降幂、统一角, 然后利用辅助角公式 化为 Asin(ωx+φ)的形式, 一般考查函数的性质.化简中要注意公式的 灵活应用.

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3.已知函数 f( = 3sin 2x-2sin2x. x) ( 若点 P( - 3) 1) 1, 在角 α 的终边上, f( 的值; 求 α) ( 若 x∈ - , 2)
6 3 3

, f( 的值域. 求 x)
1

【解】 ( 因为点 P( - 3) 1) 1, 在角 α 的终边上, 所以 sin α=- 2 , α=2. cos =2 3 × 3 2

所以 f( = 3sin 2α-2sin2α=2 3sin αcos α-2sin2α α) ×
1 -2× 2

-

3 2

2

=-3.

( f( = 3sin 2x-2sin2x= 3sin 2x+cos 2x-1 2) x)
=2sin 2x + 6 -1, 因为 x∈ - 6 , 3 , 所以-6≤2x+6 1 所以- ≤sin 2x + ≤1. 2 6



5 . 6

所以 f( 的值域是[ 1] x) -2, .
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解题策略
利用三角变换解决函数性质
例已知 f( =2sin x- 3 · x- 3 +2 3cos2 x- 3 ? 3. x) cos
( 求 f( 的最大值及取得最大值时相应的 x 的值; 1) x) ( 若函数 y=f( -a 在区间 2) 2x) tan( 1+x2) x 的值. ( 利用三角函数二倍角公式, 1) 两角和、两角差公式化 为 f( =Asin( x) ωx+φ) 的形式. +k ( 利用 f( =Asin( 2) x) ωx+φ) 的性质, +k 研究 f( 的最值. x) ( 根据 y=f( 3) 2x)-a 的零点 x1, 2 的关系求值. x
0, 4

上恰有两个不同的零点 x1, 2, x 求

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【解】 ( ∵ x) 1) f( =sin
2 2x- 3

2 2x3

+ 3 1 +

2 2x3

? 3

2 =sin + 3cos 2x- 3 =2sin 2x- 3 , ∴ x) f( 的最大值为 2, 此时由 2x-3 = 2+2kπ, k∈Z, 得

x=kπ+12, k∈Z.

5

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( f( =2sin 4x2) 2x) ∵ x∈ 0, , ∴ 3 ∈ -3, 3 . 4x 2 4

3

.

由已知得 2sin 41 - 3 =2sin 42 - 3 =a, 故 41 - 3 + 42 - 3 =π, 即 x1+x2=12,
5 tan( 1+x2) x =tan =tan + 12 4 6 5





=

4+6




=2+

1-46

3.

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(1)三角函数的化简是解决本题的关键, 由于某些考生对公式运 用不熟练, 导致化简错误. (2)第(2)问错误率比较高, 一是思路不清晰, 找不到 2sin
41 3

=2sin

42 3

, 二是计算错误.

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1.已知 sin α= 5 , sin4α-cos4α 的值为( 则
3 5 1 C.5

5

)

A.-

1 5 3 D.5

B.-

【答案】 A 【解析】 sin α-cos α=sin α-cos α=2sin
4 4 2 2 2

1 3 α-1=2× -1=- , A. 选 5 5

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2.已知 x∈ A.- 7
24

- 2 ,0

4 , x=5, cos 则 7 B.-24

tan 2x 等于( C.24 D. 7
7 24

)

【答案】 A

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【解析】 方法一: x∈ ∵ ∴ sin
3 x=-5.

- ,0 2

, sin x<0. ∴

∴ 2x=2sin xcos sin ∴ 2x= tan

24 x=-25, cos

2x=2cos

2

7 x-1=25.

2x 24 =- . 2x 7 3 x=-5,

方法二: 由方法一知: sin ∵ x∈ - 2 ,0 , tan x=-4. ∴ ∴ 2x= tan
2x 24 =- 7 . 1-2 x 3

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3.已知 cos 2α= , 其中 α∈ - ,0 , sin α 的值为( 则 A.2 【答案】 B 【解析】 ∵ =cos 2α=1-2sin2α, sin2α= . ∴ 又∵ α∈ - ,0 , sin α=- . ∴
(180° +2α) 2 α 4. · 等于( 1+2α (90° +α) 4 1 2 1 2 1 4 1

1 2

B.-2

1

4

)

C. 2 D.- 2

3

3

) C.sin α D.cos α

A.-sin α 【答案】 D

B.-cos α

(-2α)·2 α 【解析】 原式= (1+2α)·(-α) 2α·α·2 α = =cos α. 22 α·α

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1 5.已知 sin( π+α) 3, =- 且 4 2 【答案】 9

α 是第二象限角, 那么 sin 2α=

.

【解析】 ∴ sin
1 α=3.

1 ∵ π+α) , sin( =3

又∵ 是第二象限的角, α ∴ α=cos
2 α=-2 2. 1-

3

∴ 2α=2sin αcos α=2×3 × - 3 sin
4 2 =- 9 .

1

2 2

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