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第七章 二元一次方程组 整章教学设计


第7章

二元一次方程组

“我们的小世界杯”足球赛规定: 胜一场得 3 分,平一场得 1 分,负 一场得 0 分.勇士队赛了 9 场,共得 17 分.已知这个队只输 2 场,那么胜 了几场?又平了几场呢?

这就要研究有两个未知数的问题了! 一、教学目标
本章的教学目标是: 1、 经历列出二元一次方程组解决有关多个未知量的实际问题, 理解二元一次方 程组及其解的基本概念, 体会二元一次方程组是解决这类实际问题的一种有效的数学 模型。 2、 会用代入消元法和加减消元法解简单的二元一次方程组, 并能根据方程组的 特点,灵活选用适当的方法。 3、通过探求二元一次方程组的解法,经历把“二元”化为“一元”的过程,从 而初步体会消元的思想,以及化“未知”为“已知”,化复杂问题为简单问题的化归 思想。 4、 会根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程组并求解, 能检验所得结果
1

是否符合实际意义。

二、教材分析
本章在学习了一元一次方程的基础上,从有两个未知量的实际问题入手,引入 二元一次方程组,让学生体会二元一次方程组的实际意义,激发学生的学习兴趣。 本章内容的呈现注重紧密联系实际,通过实际问题引入并理解二元一次方程组 及其解的概念,研究二元一次方程组的解法,并用来尝试解决一些简单的实际问题, 让学生体会二元一次方程组与客观世界、 周围的生活密切相关, 认识它作为一种数学 模型在解决实际问题中的作用。 本章内容的展开注重突出学生的自主探索和发现,特别是对二元一次方程组解 法的探索上,留有充分的思考空间,让学生通过自己的探索、尝试、比较等活动,去 发现二元一次方程组的解法,体会消元化归的思想。教学时,要特别注意让学生展开 充分的自主活动,去掌握有关知识,体会数学思想。 本章的重点是引导学生探求选用适当的方法解二元一次方程组及运用列二元一 次方程组解决实际问题, 并在自主探索、 发现的过程中形成一定的数学建模能力以及 用数学的意识。 本章的难点是学生自主学习意识的形成,在探索、尝试、比较等活动过程中体 会消元化归的思想。培养他们分析问题、解决问题的能力和创新意识。 在教学过程中,要关注教学内容的现实意义和学生的兴趣,充分利用学生的已 有经验,尽量创设有利于学生自主探究的课堂氛围,积极鼓励学生合作探究,倡导用 学生的智慧解决学生的问题,让他们在探究中学会思考,学会分析问题和解决问题。 淡化有关概念的教学,体会转化的思想和消元的方法,切忌不经探索,简单而直接地 传授解法,让学生去套用。 在教学过程中,要充分利用教材空间,关注个体差异,注意满足不同学生的需 要。对学困生,要多鼓励,多与之交流,引导他们积极融入集体的学习活动中,学会 构建适合于自己的学习方法。

三、课时安排
本章的教学课时为 12 课时,具体安排如下: §7.1 二元一次方程组和它的解------------------------------1 课时 §7.2 二元一次方程组的解法--------------------------------7 课时 §7.3 实践与探索------------------------------------------2 课时 复习-----------------------------------------------------2 课时
2

第 1 课时
课 题:7.1 二元一次方程组和它的解 学习目标:
1.认识并理解二元一次方程及二元一次方程组的意义。 2.理解二元一次方程组的解的含义,会检验一对数值是否是某个二元一次方程 组的解。 3.在经历解决实际问题的过程中,初步体会多个未知量之间互相依赖和影响。 体会二元一次方程组是反映现实世界多个量之间相互关系的一种有效的数学模型, 注重渗透数学建模的思想。

教学重点、难点
重点:了解二元一次方程组及二元一次方程组的解的基本概念。 难点:理解二元一次方程组的解以及用二元一次方程或二元一次方程组来刻画 实际问题。

方法设计
本节课通过一个与学生关系密切的趣味性问题来引入二元一次方程组,意在让 学生经历一个实际背景,以激发他们的学习兴趣,引导学生通过自己的分析、探索并 认识二元一次方程组的意义,初步体会用二元一次方程或方程组来刻画实际问题中 的数量关系。教学中,可由一元一次方程的概念,类比得出二元一次方程组的概念。 由实际问题的不同解法,归纳、总结出二元一次方程组的解,并学会检验一对数值是 否是某个方程组的解。最后通过练习来巩固所学的知识。

教学过程
一、情境导入: 问题:暑假里,《新闻晚报》组织了“我们的世界杯”足球邀请赛。勇士队在第 一轮比赛中共赛 9 场,得 17 分。比赛规定胜一场得 3 分,平一场得 1 分,负一场得 0 分。勇士队在这一轮中只负了 2 场,那么这个队胜了几场?又平了几场呢? (这个问题既可用算术方法来解, 也可用列一元一次方程来解, 可让学生通过自己的 分析,运用已有的知识解决这个问题,一方面培养学生分析问题、解决问题的能力, 同时,收到温故知新的效果;另一方面,让学生体会用一元一次方程来刻划实际问题 中的数量关系,并渗透数学建模的思想。) 解:设这个队胜了 x 场,根据题意得:3x+(7-x)=17 x=5 7-x=2 答(略) 思考;易知,在这个问题中有二个未知数,能不能分别设为 x 和 y 呢?这时又得到怎 样的方程?(x+y=7 和 3x+y=17 ) 二、知识导学: 1、二元一次方程和二元一次方程组的概念。 提问:由上面问题得到的两个方程:x+y=7 和 3x+y=17,有什么共同的特点? 由学生思考、讨论并和一元一次方程的概念作比较,得出二元一次方程的概念:方程 中含有两个未知数,并且含有未知数项的次数都是 1,像这样的整式方程叫做二元一 次方程。把这两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组。

3

如:?

?x ? y ? 7 (二元一次方程的概念,可用类比的方法,由学生思考、讨论得出, ?3 x ? y ? 17

通过类比,形成知识迁移,从而提高学生归纳总结能力。二元一次方程组的概念由教 师结合实例说明。) 2、二元一次方程组的解。 由导入可知,不管用什么方法,都可求得勇士队胜 5 场,平 2 场。即 x=5,y=2。 这里的 x=5 与 y=2 既满足第一个方程 x+y=7, 又满足第二个方程 3x+y=17, 我们就说, x=5 与 y=2 是二元一次方程组 ?

?x ? y ? 7 ?x ? 5 的解,记作 ? ?3 x ? y ? 17 ?y ? 2

一般地, 使二元一次方程组中的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值叫做 二元一次方程组的解。 三、实践与应用: 实践 1 :根据下列语句,分别设适当的未知数,列出二元一次方程或二元一次方程 组:(1)甲数的

1 比乙数的 4 倍多 8; 3 3 (2)摩托车的时速是货车的 ,它们的时速之 2

和是 200 千米/小时; (3) 某校现有校舍 20000 平方米, 计划拆除部分 旧校舍,改建新校舍,使校舍总面积增加 30%,若建 造新校舍的面积是被拆除旧校舍面积的 4 倍,那么应 拆除多少旧校舍,建造多少新校舍? (让学生初步体会用二元一次方程或二元一次方 图 7.1.1 程组来表示实际问题中的数量关系,说明二元一次方 程(组)是反映现实世界多个量之间相等关系的一种有效的数学模型。) 实践 2:方程组 ? A. ?

?3 x ? 2 y ? 1 的解为( ?x ? y ? 2
B. ?



?x ? 3 ?y ? 4

?x ? 2 ?y ? 0

C. ?

?x ? 1 ?y ? 1

D. ?

?x ? 1 ? y ? ?1

实践 3:如果 ?

?x ? 3 ?ax ? 4 y ? 5 是方程组 ? 的解,求 a-b 的值。 ?y ? 4 ?2 x ? by ? ?14

四、反馈训练: 1、下列各式中:(1)3x-y=2 ; (2) y ? (5) 4x-3y ; (6)

1 2 x ? 0 ; (3) y-z=5 ; (4) xy= - 7; 2

1 ? 2 y ? 4 ; (7) x+y-z=5 ; (8) 5x+3=x-4y. x
) C. 3 个
4

属于二元一次方程的个数有( A.1 个 B. 2 个

D. 4 个

2、已知方程 3x+y=2,当 x=2 时,y=_____;当 y=-1 时,x=_____. 3、已知 x=1,y=-3 满足方程 5x-ky=3,则 k=_______. 4、写出满足方程 2x-3y=17 的三个不同解。除了这三个解外,还有没有其它的解? 一般地,一个二元一次方程通常有多少个解? 5、已知有三对数值: ? ①? 6、已知 ?

?x ? 1 ? y ? ?1

?x ? 2 ? ?y ? 1
②?

?x ? 4 ,哪一对是下列方程组的解? ? ?y ? 5 ? y ? 3x ? 3 ?4 x ? 3 y ? 1

?2 x ? y ? 3 ?3 x ? 4 y ? 10

?x ? 2 ?mx ? y ? 1 2 是方程组 ? 的解,求 (m ? n) 的值。 ?y ? 1 ? x ? ny ? 3

7、一批零件有 1500 个,如果甲先做 4 天后,乙加入合作,再做 8 天正好完成;如果 乙先做 5 天后,甲加入合作,再做 7 天也恰好完成。设甲、乙两人每天分别加工零件 x、y 个,请根据题意列出方程组。

五、课堂小结:
1、 与一元一次方程类比,理解二元一次方程的概念。 2、 结合具体问题理解二元一次方程组的解,检验一对数值是否是某个方程组的解, 必须将其代入方程组后能使方程组中的每个方程的两边相等。 3、 体会用二元一次方程或二元一次方程组来刻划实际问题中的数量关系。

六、课后作业:
课本 P.24 习题 7.1 第 1、2 题

七、课后反思: 2.根据下列语句, 分别设适当的未知数, 列出二元一次方程或方程组: (1)甲数的 比乙数的 2 倍少 7:_____________________________; (2) 摩 托 车 的 时 速 是 货 车 的 时:__________________; 倍 , 它 们 的 速 度 之 和 是 200 千 米 /

(3)某种时装的价格是某种皮装的价格的 1.4 倍, 5 件皮装比 3 件时装贵 700 元:______________________________. (4)某次足球比赛的记分规则如下:胜一场得 3 分,平一场得 1 分,负一 场是 0 分.某队踢了 14 场,其中负 5 场,共得 19 分。若设胜了 x 场, 平了 y 场,则可列出方程组: .

5

第 2 课时
课 题:7.2 二元一次方程组的解法(1) 学习目标:
1.会用代入消元法解含有未知数系数为 1 的二元一次方程组。 2.通过探求二元一次方程组的解法,经历把“二元”化“一元”的过程,从而 初步体会消元的思想,以及把“未知”转化为“已知”,把复杂问题转化为简单问题 的化归思想。 3.在数学学习活动中获得成功的体验,培养学习的自信心。

教学重点、难点
重点:用代入消元法解含有未知数系数为 1 的二元一次方程组。 难点:将一个方程适当变形,用一个未知数表示另一个未知数,进而代入另一个 方程实现正确消元。

教学方法设计
从实际问题与例题出发,让学生通过探索,逐步发现和掌握二元一次方程组的解 法,理解代入法的基本思路,即将一个方程适当变形,用一个未知数表示另一个未知 数,进而代入另一个方程,实现消元。教学中应让学生充分地自主探索,通过观察、 比较、思考、归纳来发现二元一次方程组的解法,体会化“二元”为“一元”,化“复 杂”为“简单”,化“未知”为“已知”的化归思想。

教学过程
一、问题探知: 问题:某种时装的价格是某种皮装价格的 1.5 倍,买 5 件皮装比 2 件时装贵 700 元。 求每件时装和皮装的价格? 你能用列方程的方法来解吗?能不能列方程组? 解:设每件皮装的价格为 x 元,时装的价格为 y 元。

6

3 ? ?y ? x 根据题意,得: ? 2 ? ?5 x ? 2 y ? 700

,思考:怎样求这个方程组的解?

(让学生独立思考,通过观察、比较、归纳来尝试分析,再进行小组交流,初步得出 解法,教师要注意激发学生积极参与数学学习活动,提高求知欲望。同时也引导出本 课内容:用代入消元法解二元一次方程) 二、知识导学 1、 代入消元法。 回顾上一节课的问题 2。 在问题 2 中,如果设应拆除旧校舍 xm2,建新校舍 ym2,那么根据 题意可列出方程 组。 y-x=20000×30% ① y=4x ② 怎样求这个二元一次方程组的解呢? 方程②表明,可以把 y 看作 4x,因此,方程①中的 y 也可以看着 4x,即将②代 人①(得到一元一次方程,实际上此方程就是设应拆除旧校舍 xm2,所列的一元一次 方程)。 这样就二元转化为一元,把“未知”转化为“已知”。你能用同样的方法来解问 题 1 中的二元一次方程组吗? 让学生自己概括上面解法的思路,然后试着解方程组。对有困难的同学,教师加以引 导。并总结出解方程的步骤。 1. 选取一个方程,将它写成用一个未知数表示另一个未知数,记作方程③。 2.把③代人另一个方程,得一元一次方程。 3. 解这个一元一次方程, 得一个未知数的值。 4. 把这个未知数的值代人③, 求出另一个未知数值,从而得到方程组的解。 以上解法是通过 “代人” 消去一个未知数, 将方程组转化为一元一次方程来解的, 这种解法叫做代人消元法,简称代入法。 归纳总结:将二元一次方程组其中一个方程中的未知数用另一个未知数的代数式来 表示,然后将它代入另一个方程消去一个未知数,转化为一个一元一次方程,从而求 出二元一次方程的解。这样解二元一次方程组的方法叫做“代入消元法”。 试一试:解二元一次方程组: ? 解 由①得 将③代入②,得

? x ? y ? 7, ?3x ? y ? 17.


① ②

y=7-x. 3x+7-x=17, 即 x=5. 将 x=5 代入③,得 y=2.

7

所以

? x ? 5, ? ? y ? 2.

(方程组的两个方程中, 没有一个是直接由一个未知数表示另一个未知数的形式, 这 里可通过学生独立思考,小组合作讨论得出解法,即选择其中一个方程,将这个方程 中的一个未知数用另一个未知数来表示感谢,从而转化为导入二元一次方程组的形 式。) 2、再试一试:以上将方程①中的 y 用 x 的代数式来表示,能将 x 用 y 的代数式来表 示后代入②来解吗?能将方程②通过变形后代入①来解吗? (通过再试一试, 使学生发现解二元一次方程组可抓住其中未知数系数为 1 的二元一 次方程,将其中的一个未知数用另外一个未知数的代数式 来表示感谢,再代入另外 一个方程消元转化为一元一次方程来解。再一次突出了化“未知”为“已知”的化归 思想。) 3、请你概括一下上面解法的思路,并想想,怎样解方程组: ? 三、实践与应用: 解下列二元一次方程组:

?3 x ? 5 y ? 6, ? x ? 4 y ? ?15 .

? x ? 3 y ? 2, 1. ? ? x ? 3 y ? 8. ? x ? y ? ?5, 3. ? ?3 x ? 2 y ? 10 .
四、课堂小结:

?4 x ? 3 y ? 17 , 2. ? ? y ? 7 ? 5 x. ?2 x ? 7 y ? 8, 4. ? ? y ? 2 x ? ?3.2.

1、 解二元一次方程组的基本思想,是将二元一次方程组的其中一个方程中的一 个未知数用另一个未知数的代数式 来表示,通过“代入”另一个方程消去一 个未知数,将方程组转化为一元一次方程来解,即化“二元”为“一元”的 消元方法来解。 2、 用代入法解二元一次方程组的基本思路:先抓住其中未知数系数为 1 的那个 二元一次方程,将它用另一个未知数的代数式 来表示,再代入另一个方程消 元转化为一元一次方程来解。 3、 在解决有关数学问题时,我们常常采用化“未知”为“已知”的转化的思想 方法。 五、达标检测: 1、 用含有 x 的代数式表示 y: (1) 2x+y=1 2、解方程组: (1) ? (2) y-3x+1=0

?x ? 2 y ?x ? y ? 3

(2) ?

?4 x ? 3 y ? 17 ? y ? 7 ? 5x

(3) ?

?x ? 3 y ? 2 ?2 x ? y ? 18

六、课后作业: 完成《高效课时训练》相应的练习题。
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七、课后反思:

第 3 课时
课 题:7.2 二元一次方程组的解法(2) 学习目标:
1.会运用代入法解未知数系数都不是 1 的二元一次方程组。 2.经历自主探索和合作交流的过程,形成积极的学习态度和情感。 3.进一步体会解二元一次方程组的思想是消元,进一步渗透把“未知”转化为 “已知”,把复杂问题转化为简单问题的化归思想。

教学重点、难点
重点:学会选择较为合理、简单的表示方法将方程组中一个方程适当变形,用一 个未知数来表示另一个未知数, 进而代入另一个方程实现消元, 从而求出方程组的解。 难点: 使所选择的未知数的系数尽可能使变形后的方程比较简单, 且代人后化简 较容易,能灵活运用此方法。

方法设计
在学生初步接触代人法解二元一次方程组的基础上,采用自主探索和小组讨论 的方式,让学生自己探索得到一般形式的二元一次方程组的解法。然后通过例题教 学和习题训练加深学生对代人消元法的理解,使学生能更熟练地恰当选择方程进行 适当变形,实现消元,从而求出方程组的解。教学中应注重让学生通过实践、思考、 探索、交流,获得知识,形成技能,避免单纯地模仿和记忆,领悟解法中所体现的消 元、化归等数学思想方法。

教学过程
一、问题导入 1,解下列方程组: (1) ?

?x ? 2 y ?3 x ? 4 y ? 10 ? 0
9

(2) ?

?x ? 3 y ? 2 ?2 x ? y ? 18

(上述题目由学生独立完成,让学生回忆代入法解题的基本思路,为下面代入法的深 入学习作好准备。) 2.解方程组: ?

?2 x ? 7 y ? 8, ?3 x ? 8 y ? 10 ? 0.

① ②

分析与思考: (1)这两个方程中未知数的系数都不是 1,怎么办? (2)怎样解这个方程组? (给学生充分的思考时间,鼓励学生自主探索和合作交流,让学生自主发现,尝试 求解,体会化“未知”为“已知”的数学化归思想。激发学生学习的积极性和主动 性,培养学生与他人合作交流的能力,增强学生的竞争意识。) 二、合作探究: 问题 1:解方程组: ? 呢? 解 由①,得

① ② 分析 能不能将其中一个方程适当变形,用一个未知数来表示另一个未知数

?2 x ? 7 y ? 8, ?3 x ? 8 y ? 10 ? 0.

x ? 4?

7 y. 2



将③代入②,得 解得

3(4 ?

7 y ) ? 8 y ? 10 ? 0, 2
7 ? (?0.8). 2

y=-0.8.

将 y=-0.8 代入③,得 x ? 4 ? x=1.2. 所以

? x ? 1.2, ? ? y ? ? 0 .8 .

试一试:能否通过先消去 y,得到关于 x 的一元一次方程来解呢? (在得出解法后,请学生尝试消去另一个元来求解,让他们亲身体会消元的选择 解方程过程繁易的影响,形成应恰当选择方程,适当变形,实现消元的意识。) 问题 2:说明下列方程组可消哪个元,为什么?怎么消? (1) ?

?x ? y ? 1 ? 0 ?2 x ? 5 y ? 3

(2) ?

?3s ? 5t ? 7 ?12 s ? 2t ? ?2.5

(3) ?

?2 x ? 7 y ? 8 ?3 x ? 8 y ? 10 ? 0

(本题可请学生口头回答,并请其他同学评判解法是否合理、简洁,这样可培养 生认真观察、细心体会、不断总结的好习惯。) 问题 3.已知关于 x、y 的二元一次方程组 ?

?ax ? by ? 8 ?x ? 5 的解为 ? 求 a、b 的值。 ?ax ? by ? 2 ?y ? 3 ?x ? 5 代人原方程组,能使两个等式均 ?y ? 3

分析:根据二元一次方程组的解的概念, ?

成立,这样就得到了关于 a、b 的二元一次方程组。
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解:由题意知

?ax ? by ? 8 ? ?ax ? by ? 2

① ②
a=1

由①得 3b=8—5a ③ 把③代人②得 5a—(8—5a)=2, 10a=2 十 8 , 把 a=1 代入③得 3b=8—5, b=1 即?

?a ? 1 ?b ? 1

提问:你有没有注意到本题的解法与前面解法的不同点?你能不能用类似的方法先 消去 b 然后再求 a 呢?试一试。 (本题可在由学生独立思考的基础上,通过相互交流讨论得出解题方法。关键 是弄清方程组解的意义。) 三、实践与应用 1.把下列各方程变形为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式: (1)4x-y=-1; (2)5x-10y+15=0. 2.解下列方程组: (1) ?

?2 x ? 4 y ? 6, ?3 x ? 2 y ? 17;

( 2) ?

?3 y ? x ? 5, ?2 x ? 5 y ? 23; ?3 x ? 5 y ? 5, ?3 x ? 4 y ? 23 .

(3) ?

?2 x ? 3 y ? 7, ?3x ? 5 y ? 1;

(4) ?

四、课堂小结 1.代人法解题的一般步骤。 2,代人法解二元一次方程组的关键是选择哪一个方程变形,消什么元。谈谈自 己的体会。 (让学生进行小结,师生进行补充。) 五、达标检测: 解下列方程组。 (1) ?

?2s ? 3t ? ?1 ?4s ? 9t ? 8

(2) ?

?3m ? 4n ? 7 ?9m ? 10 n ? 25 ? 0

?x y ? ? ?1 (3) ? 3 4 ? ?3 x ? 2 y ? 9
六、课后作业:

(4)

3 p ? 5q 2 p ? 3q ? 1

?m n ? ? ?2 1、解方程组:(1) ? 5 2 ? ?2m ? 3n ? 4
2、完成《高效课时训练》中相关练习题。 七、课后反思:
11

(2) ?

? 4( x ? 2) ? 1 ? 5 y ?3( y ? 2) ? 3 ? 2 x

第 4 课时
课 题:7.2 二元一次方程组的解法(3) 学习目标
1.会用加减法求未知数系数相等或互为相反数的二元一次方程组的解。 2.通过探求二元一次方程组的解法,经历用加减法把“二元”化为“一元”的过 程,体会消元的思想,以及把“未知”转化为“已知”,把复杂问题转化为简单问题 的化归思想。 3.初步学会从数学的角度提出问题、理解问题、解决问题,发展应用意识。

教学重点、难点
重点:用加减法解二元一次方程组。 难点:两上方程组相减消元时对被减的方程各项符号要做变号处理是难点。

方法设计
本节课的引入设置了一个具体的问题情境,通过问题的解决,使学生从中体会到 代入法的不足,并发现、探索得出加减消元法这一新的消元方式。然后通过例题的分 析和习题的训练,使学生更好地掌握加减法。通过本节课的教学,学生不仅能够理解 和掌握基本的数学知识与技能, 对其中所体现的消元、 化归等基本思想也应该有更深 的领悟。

教学过程
一、问题探知: 两个完全相同的塑料杯中盛有相同重量的水, 现将第一个杯中的若干重量的水倒入 第二个杯中,称得第一个杯子重 30 克,第二个杯子重 70 克(塑料杯本身的重量忽略 不计),问原来杯中各盛有多少克水?从第一个杯中倒了多少克水到第二个杯中? 如果将原来杯中盛有的水设为 x 克,从第一个杯中倒入第二个杯中的水设为 y

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克,你能解决上述给出的问题吗? (学生可能会列方程组 ?

? x ? y ? 30 ,然后用代入法解题。) ? x ? y ? 70

你有更简捷的思考方法吗? 2x=30 十 70 或 2y=70—30. (不管有多少克水进行转移,也不管原来杯中有多少克水,两杯水的总重量总为 2x 克,第二个杯子总会比第一个杯子重 2y 克。) 上面的等式,能由最初方程组中的两个方程变形而来吗? ①十②得 x—y 十 x 十 y=30 十 70,则有 2x=30 十 70 ②—①得(x+y)—(x—y)=70—30,则有 2y=70—30 由此,你能得上述方程组的新解法了吗? (让学生思考、总结。) (加减消元法的引出放置到具体的问题情境中,通过问题的解决,不但使学生掌 握了用加减消元法解二元一次方程组, 更赋予加减消元以实际意义, 便于学生理解加 减消元法。) 二、知识导学: 问题 1:请用新的解法解方程组 ? 解法一:①+②得

?5a ? 3b ? 8 ?5a ? 3b ? 2

① ②

(5a 十 3b)+(5a—3b)=8 十 2 10a=10 ∴a=1 将 a=1 代入①得 5×1 十 3b=8 ∴b=1 ∴?

?a ? 1 ?b ? 1

解法二:①—②得,(5a+3b)—(5a—3b)=8—2 6b=6 ∴b=1 将 b=1 代人①得 5a 十 3×1=8 ∴a=1 ∴?

?a ? 1 ?b ? 1 ?3 x ? 5 y ? 5 ?3 x ? 4 y ? 23
① ②

问题 2(教材中例 3):解方程组: ?

分析:仔细观察这个方程组,可以发现:未知数 x 的系数相同,都是 3,有何想法? 解:由①—②得 (3x+5y)—(3x—4y)=5—23 9y= 一 18 ∴y=一 2 把 y=—2 代人①得 3x 十 5( 一 2)=5 ∴x=5

?x ? 5 ? ? y ? ?2

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问题 3(教材中 P24 例 4):解方程组: ?

?3x ? 7 y ? 9 ?4 x ? 7 y ? 5

① ②

分析:用什么方法可以消去一个未知数?先消去哪一个未知数比较方便? 解:由①+②得 (3x+7y)+(4x—7y)=9+5 7x=14 ∴x=2 将 x=2 代入①得,6+7y=9, ∴y=

3 7

?x ? 2 ? ∴? 3 y? ? 7 ?
(先请同学自行解答,再请算得最快最准确的同学回答解题过程并说明理由,教 师板书,通过上述两题,使学生熟练掌握加减法,并能初步体会当方程组中某个未知 数的系数相同时,应用减法消元;当方程组中某个未知数的系数互为相反数时,应用 加法消元。) 在前两堂课中,我们是通过“代人”消去一个未知数,将方程组化为一元一次方 程来解的。这种解法叫做代入消元法,简称代入法。而本节课中,我们通过将两个方 程相加(或相减)消一个未知数,将方程组化为一元一次方程来解的。这种解法叫做 加减消元法,简称加减法 。 ... (在此归纳、明确解二元一次方程组的两种常用方法——代入法和加减法,一方 面避免先入为主地提出方法, 把教学变成按类型套方法的训练, 另一方面有利于学生 将知识点理清、理顺、形成体系。) 三、实践与应用: (教材 P29 练习) 解下列方程组: (1) ?

?5 x ? y ? 7 ?3 x ? y ? 1

(2) ?

?4 x ? 3 y ? 5 ?4 x ? 6 y ? 14

?6 x ? 7 y ? 5 (3) ? ?6 x ? 7 y ? 19

?0.5 x ? 3 y ? ?1 ? (4) ? 1 ? x ? 5y ? 3 ? ? 2

四、课堂小结 1.解二元一次方程组常采用两种方法——代人法和加减法。两种解法的基本 思想都是“消元”,将“二元”转化为“一元”。 2.加减法消元的基本思想是通过“加减”,达到化“二元”为“一元”,即消 元的目的。 3.当方程组中某个未知数的系数相同时,应用减法消元。但应注意减式中的各 项须变号;当方程组中某个未知数的系数互为相反数时,应用加法消元。 (让学生进行小结,教师进行补充。) 五、达标检测: 用加减法解下列方程组。
14

(1) ?

?3 x ? y ? 8 ?2 x ? y ? 7

(2) ?

?3m ? 2n ? 16 ?3m ? n ? 1 ?2 x ? 4 y ? 15 ?2 x ? 3 y ? 1

(3) ?

?4 x ? 7 y ? 7 ?8 x ? 7 y ? 5

(4) ?

六、课后作业: 1.用加减法解下列方程组: (1) ?

?3 x ? y ? 2 ?3 x ? 11 ? 2 y

(2) ?

?3( x ? 1) ? y ? 5 ?5( y ? 1) ? 3( x ? 5)

2.完成《高效课时训练》中本课的练习题。 七、课后反思:

第 5 课时
课 题:7.2 二元一次方程组的解法(4) 学习目标:
1.学会使用方程变形,再用加减消元法解二元一次方程组。 2.经历观察、探索,通过创设条件把陌生问题转化为熟悉问题来解决的过程,感 受数学思考过程的合理性。 3.了解解决问题的一个基本思想:化归,即将“未知”化为“已知”,将“复杂” 转为“简单”。

教学重点、难点:
重点:用加减消元法解二元一次方程组。 难点:使方程变形为较恰当的形式,然后加减消元。

方法设计:
本节课的主要任务是使学生学会将一般的二元一次方程组中的两个方程作适当 变形,使之满足“某个字母的系数相等或互为相反数”这个特征,然后再进行“加减 消元”。这一变形过程学生只要稍加练习,很快就能掌握。然而新课程的理念是让学 生经历获得某一方法或技能的过程, 并充分参与这个过程, 体验提出问题、 分析问题、 解决问题的乐趣。因此,本节应重视把这个过程还给学生,创设较好的导入情境,找 到方法后再练习巩固。

教学过程:
一、问题探知: 用加减消元法解下列方程组

15

(1) ?

?2 x ? 3 y ? 5 ? 2 x ? 8 y ? ?5

(2) ?

?4a ? 7b ? 7 ?8a ? 7b ? 5

(以上习题学生自行练习,复习用加减法解简单的二元一次方程组,并熟悉这类 方程组的特征,感受加减消元的简便,为新课的学习做好准备。) 我们可以用代入法来解一般的二元一次方程组,那么是否也可用加减法来解一 般的二元一次方程组呢? 试一试: 用加减法解方程组 ?

?3 x ? 4 y ? 10 ?5 x ? 6 y ? 42

① ②

(上题板书于黑板上,让学生思考 1—2 分钟。) 没法直接消元怎么办? 听一听。(听故事找灵感。) (教师朗读故事:《乌鸦找水喝》。) 内容:一只乌鸦口渴了,到处找水喝。飞呀飞,飞呀飞,它终于发现了一个有水 的瓶子。于是迫不及待地把嘴伸进去,结果费尽九牛二虎之力也够不着。哎呀!没法 直接喝到水可怎么办?(慢读,重读)于是它不得不动起了脑筋:喝不到水是因为水 位太低了,那么只要把水位升高,不就成了吗?它衔来小石子放到瓶子里,结果水位 渐渐升高,乌鸦喝到水啦!哇哇! 比一比。(是谁最聪明。) 同学们,听完了故事,请你们也学学聪明的乌鸦,一起再来解决这个问题,看谁 是第一个喝到水的人?(不要急于公布答案, 等大多数学生思考出方法后, 再从第一个 举手的学生开始发言,直至得出正确方法。) 学生发言后教师和学生一起总结:对于一般的二元一次方程组,可将方程变形

(即在方程两边同时乘以某一个数),使得方程满足“某个字母的系数相等或互为相 反数”这个条件,然后就可以消元了。
(“试一试”——“听一听”——“比一比”在这里实际上是一个提出问题—— 分析问题——解决问题的过程,但是它在更大程度上调动了学生的积极性。通过“试 一试”激趣,引发学生兴趣;“听一听”则是利用学生喜闻乐见的故事的形式引导学 生,启发学生思考。乌鸦喝水问题与待解决问题有可比性,学生在不知不觉中就接受 了化归这一重要思想,获得灵感。最后“比一比”更是迎合了青少年争强好胜的心 理,学习的积极性更进一步提高,思维活跃开来,问题迎刃而解。) 二、知识导学: 1、 问题提出( 教材 P30 例 5):用加减法解方程组: ?

?3 x ? 4 y ? 10 ?5 x ? 6 y ? 42

① ②

(此题即导入中的引题,直接以此为例,板演解题过程。应让学生各抒已见,尝试采 用不同的变形方式,以达到加减消元的目的。) 解法一:①×5 得 15x—20y=50 ③ ②×3 得 15x 十 18y=126 ④ ④—③得 38y=76 y=2

16

把 y=2 代人①得

3x 一(4×2)=10

x=6

?x ? 6 所以 ? ?y ? 2
解法二:① ×3 得 9x—12y=30 ②×2 得 10x 十 12y=84 ③十④得 19x=114, 把 x=6 代入②得 30 十 6y=42 所以 ? ③ ④ x=6 y=2

?x ? 6 ?y ? 2

(板书完毕,及时让学生思考解法二中采取① ? 6,②×4 是否可行,与上面的解 法有何不同,并且动手试一试、解一解。) (这一环节的设置,一方面让学生熟悉解题格式,另一方面让学生在自已动手操 作及比较中体会对同一个方程组中的方程选取不同变形方式的差异性,从而形成初 步解题经验:方程变形后,字母系数越简单越好。) 变式练习 :请同学们用加减法解本节例 2 中的方程组。 .... 2x-7y=8 3x-8y-10=0 做完后,并比较用加减法和代人法解,哪种方法方便? 教师讲评:应先整理为一般式。 2.实践与应用: 用加减消元法解下列方程组。 (1) ?

?3 x ? 2 y ? 6 ?2 x ? 3 y ? 17

(2) ? (4) ?

?4 x ? 2 y ? 14 ?5 x ? y ? 7

(3) ?

? x ? 3 y ? ?20 ?3 x ? 7 y ? 100

?2 x ? 3 y ? 8 ?5 y ? 7 x ? 5

(四大组分别派一名代表在黑板上各做一题, 看谁做得又快又好; 其余同学四题全做, 小组间再进行比赛,看哪个小组最先全部完成。最后优胜者(或组)谈谈成功经验。) (要能熟练地解方程组,不可忽视练习这一环节。这里的练习对学生来讲好比初学走 路的孩子正式上路前的摸索与尝试,过多的示范无益。另外,这种引进了竞争机制的 练习使单一的解题较为有趣,而且它是学生积累认识,总结经验的关键时刻。) 三、课堂小结 用加减消元法解方程组,首先观察方程组中两方程中相同字母前的系数,判断: ①如果相同或相反,直接加减消元。 ②如果有整数倍关系,变形一个方程,让它两边同乘以这个整数倍。 ③如果①、②均不满足,两个方程同时变形,注意:①所选系数尽可能简单;② 两方程两边同时扩大到两系数的最小公倍数。(课堂小结主要由学生完成,教师作适
17

当概括、补充。) (学生总结体现了新课程以学生为主体的教学方式,它能够培养学生自己概括 教学要点、抓住教学本质的能力——学生自己对教学内容的总结概括能力。) 四、反馈检测: 1.填空。 (1) 二元一次方程组 ? (2) 已知 ?

?x ? y ? 1 的解是_________。 ?x ? y ? 3

?2 x ? y ? 7 ,则 x-y 的值是_______. ?x ? 2 y ? 8 x y (3) 若 ? ? 3, 则 2x+y=___;4x+2y=____;___+4y=____;10x+____=_____. 2 4 ?ax ? by ? 2 ?x ? 3 (4) 已知方程组 ? 的解为 ? ,小李粗心把 c 看错,解得 ?cx ? 7 y ? 8 ? y ? ?2 ? x ? ?2 ,则 a+2b-c=_______. ? ?y ? 2
2.用加减法解下列方程组。 ? x ? 2a ? 9 (1) ? ?3 x ? a ? ?1
4 x ? 15 y ? 17 ? 0 (2) ? ? 6 ? x ? 25 y ? 23 ? 0

3.方程 2x+39=3 与下面哪个方程所组成的方程组的解是 x=3 y=-1 A.41+6y=-6 B.x-2y=5 C.3x+4y=4 D.以上都不对 4.方程组 3x-7y=7 的解是否满足方程 2x+9y=-5 5x+2y=2 28 满足,解法一,先求出方程组的解为 x= , 把 x,y 值代入方 41 29 y=41 28 29 程 2x+9y=-5 的左边,左边=2× +9×(- )=-5=右边,解法二,不用求解,因 41 41 为方程 2x+9y=-5,是方程组中的第二个方程减去第一个方程得到的,所以方程组的解必满足
方程 2x+9y=-5

5.解下列方程组应消哪个元,用哪一种方法较简便? (1) 2x-3y=-5 ① [消 x,用代入法, 3x=2y ② 由②得 x=2y/3 再代入①] (2) 2x+3y=5 ① [消 x 用加减法, 4x-2y=1 ② ①×2-②]

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(3)

3x+2y-2=0 ① 3x+2y+1 2 -2x=- 5 5

[整体代入,消 y, ② 由①得 3x+2y=2 代入②]

6.解方程组 (1) 6x+5z=25 ① 3x+2z=10 ② x+1 y-3 (2) - =0 ① 3 4 x-2 y-3 1 - = ② 4 3 12 x+y x-y (3) + =3 ① 6 10 x-3 y-3 - =-1 ② 4 3 探索简便方法: (1)可以用加减法,①-②×2,也可以用代人法,由②得 3x=l0-2x,代人① 得 2×(10-2z)+5z=25 (2)原方程组先整理为 4x-y=2 ③ 除用加减法解外。 3x-4y=-5 ④ 还可以用代入法解. (3)可以与(2)一样先把原方程组整理,也可以直接加减. 7.用适当的方法解方程组 x y 1 (1) + = 3 2 2 5x+7y=12 (2) 5x-2y=50 15%x+6%y=5 2x-y x-y (3) +1= 2 3 2x-3y=4 五、布置作业: 1.用加减消元法解下列方程组。 (1) ? (4) ?

?3m ? 2n ? 2 ?2m ? n ? ?2 ?5a ? 2b ? ?1 ?3a ? 4b ? 7

(2) ?

?6 x ? 3 y ? ?2 ?5 x ? 9 y ? 4

(3) ?

?7 x ? 4 y ? 2 ?3 x ? 6 y ? 24

(5)2x-3y=4x-5y=6

2.完成《高效课时训练》中本课的练习题。 六、课后反思:
19

第 6 课时
课 题:7.2 二元一次方程组的解法(5) 学习目标:
1,灵活运用代入消元法、加减消元法解题。 2,经历与体验综合运用知识,灵活、合理地选择并且运用有关方法解决特定问 题的过程。 3.更进一步体会消元思想,把复杂的问题转化为简单的问题来处理。

教学重点、难点:
重难点:灵活运用代入消元法、加减消元法解题

方法设计
解二元一次方程组的基本思想是消元,基本方法是代入消元法和加减消元法。 本节课主要任务是让学生学会灵活选用这两种方法解题,这是有一定难度的。对此, 教师不可越俎代庖,把教学变成按类型套方法的训练,而应充分调动学生的积极性, 自己主动探求方法、 总结经验, 从而真正学会灵活运用, 因此可设计这样的教学思路: 问题导入——自主探索——小组交流——总结发言——巩固练习——课堂小结。只 有让学生成为自己学习的主人,教学目标才能很好地实现。

教学过程
一、问题探索: 解二元一次方程组的基本思想是消元,把“二元一次方程组”’转化为“一元一 次方程”,基本方法是“代入消元”和“加减消元”。 本节课就让我们运用自己的智慧, 在面临解决不同类型的方程组时, 灵活地选用 适当的方法来解决。

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问题: 用适当的方法解下列方程组: (1) ?

?x ? 2 y ? 1 ?3 x ? 5 y ? 8 ?2 x ? 3 y ? ?5m ?4 x ? y ? 11m

(2) ?

?2 x ? 3 y ? 5 ?4 x ? 5 y ? 9

(3) ?

?9 x ? 3 y ? 9 ?7 x ? 5 y ? ?1

(4) ?

(5) ?

?4( x ? y ) ? 5( x ? y ) ? 3 ?2( x ? y ) ? 10 ( x ? y ) ? 39

1.自主探索。 个人根据具体题目,探求较适当、合理的方法来解题。 (这是一个自我探索的空间,培养学生独立思考,动手解题的能力。另外题目设 计有梯度、有层次,大多数同学可以解决又不同的学生会得到不同的发展。) 2.小组交流。 自主探索的结果放到小组内进行交流。 (小组交流,弥补个人思考的局限,并且在交流中比较,个人方法选择的优劣可 以更好地体现,从而及时修整个人意见,总结经验。) 3.总结发言。 各小组代表发言总结,并阐述理由,教师在恰当的地方加以补充、拓展。(应保 留学生的不同见解。) ((1)适合代入法;(2)适合加减法;(3)可先用减法得到“x-y=5,再用代入法; (4) 适合加减法;(5)可将(x+y)、(x-y)各作为一个整体,解出后再加减消元。) 4.实践与应用。 用适当的方法解下列方程组:

?x ? y ? 4 (1) ? ? 4 x ? 2 y ? ?1
二、综合探究: 问题 1:下列方程组将如何求解?

?2m ? n ? 14 ? (2) ? n 3m ? ? 1 ? 2 ?

x ? 3y y?5 ? 7? ? 2x ? ? ? 4 3 (1) ? ?10( x ? y ) ? 4(1 ? x) ? y ? 0 ? 3 ?

?y? x x? y 1 ? ? ? (2) ? 7 6 2 ? ?5( x ? y ) ? 2( y ? x) ? 1

思路导引:(1)一般较复杂的方程组的解法,应先将方程组经过去分母、去括号、 移项、合并同类项等一系列化简,把方程组化为整数系数的一般形式,再求解。 (2)如果方程组中每一个方程中含有未知数的项是具有同一种形式的整式表达 式,那么可以把这个同一整式看作一个整体,用新的未知数代替,求出新的未知数的 值,再求出原方程组的解。如本题(2)中的 x+y,y-x 都可看作一个整体考虑。 问题 2:(1)已知方程组 ? 式 3a+2b 的值。

?2 x ? 3 y ? 3 ?3 x ? 2 y ? 11 和方程组 ? 的解相同,求代数 ?ax ? by ? ?1 ?2ax ? 3by ? 3

21

(2)已知方程组 ? (3)已知 ?

?3x ? 5 y ? 2m 的解 x、y 互为相反数,求 m 的值。 ?2 x ? 7 y ? 3m ? 34

?4 x ? 3 y ? z ? 0 ,并且 xyz≠0,求 x:y:z。 ? x ? 3 y ? 3z ? 0
2

问题 3:已知 y ? ax ? bx ? 1 ,当 x=1 时,y= -2;当 x=2 时,y= -1。求: (1)a、b 的值; (2)当 x=3 时,y 的值。 三、课堂小结 课堂小结,即如何做到灵活运用适当的方法解二元一次方程组的小结。这个过 程全交由学生完成,他们完全可以为各种类型的方程匹配相应的解决方法。 (整个展开过程以及课堂小结,在新课程基本理念的指导下,尝试把学生作为学习 的主体,让他们成为数学学习的主人,而教师只担当数学学习的组织者、引导者与 合作者。学生获得学习的自由支配权后,在自主探索和合作交流中真正理解和掌握 基本的知识与技能,获得宝贵的活动经验。) 四、反馈检测: 1.填空: (1)关于 x、y 的方程组 ? (2)已知方程组 ?

?x ? y ? a 的解是________. ?x ? y ? b

?3m ? 2n ? 11 ?m ? 3 ?3( x ? y ) ? 2( x ? y ) ? 11 的解为 ? ,则由 ? 可 ?4m ? 3n ? 9 ? n ? ?1 ?4( x ? y ) ? 3( x ? y ) ? 9

知,x+y=_______;x-y=_______;x=_____;y=_____. 2.用适当的方法解下列方程组: (1)

?x ? y ? 4 ? ? 4 x ? 2 y ? ?1

(2) ?

?x ? y ? 8 ?5 x ? 2( x ? y ) ? ?1

3、已知 y=kx+b,当 x=2 时,y=-3;当 x=1 时,y=2.(1)求 k、b 的值;(2)当 x= -1 时,求 y 的值。 五、布置作业 1.解下列方程组: (1) ?

?3m ? 2n ? 2 ?4m ? 5n ? 19

(2) ?

?2(m ? 1) ? 3(n ? 2) ?2(n ? 3) ? 3(1 ? m)

3b ? ?m ? n m ? n 2a ? ?1 ? ?1 ? ? ? ? 2 2 2 (3) ? (4) ? ?a ? b ? b ? a ? ? 1 ? m ? n ? m ? n ? ?1 ? ? 4 4 4 ? 3 ? 3 ?x ? 1 ?x ? 0 ? 2.若 ? 与? 1 都是关于 x、y 的方程 ax+by=8 的解,求:a+b 的值. ? y ? ?2 ? y ? 2 ?
3、完成《高效课时训练》中本课的练习题。
22

3,

六、课后反思:

第 7 课时
课 题:7.2 二元一次方程组的解法(6) 学习目标:
1.借助二元一次方程组解决简单的实际问题,体验二元一次方程组与现实生活 的联系和作用。 2.通过学生自主探索,尝试导入活动,培养学生自主探索、使用交流的意识和 能力。 3.注重渗透数学建模的思想与化复杂为简单的化归思想,提高学生解决实际问 题的能力。

教学重点、难点:
重点:用二元一次方程组解决简单的实际问题。 难点:通过自主探索、尝试等活动,把实际问题构建为数学模型。

方法设计:
数学源于生活, 反过来又为生活服务, 本课让学生借助二元一次方程组解决简单 的实际问题,通过学生自主探索、尝试、合作交流等活动,让所有的学生学会数学的 思考,并积极地参与数学活动,努力提高学生解决实际问题的能力。同时渗透数学建 模的思想,使人人体会到数学的价值。

教学过程:
一、问题情境创设: 问题 1 : 足球小知识:有一种足球是由 32 块黑白相间的牛皮缝制而成的,(见 足球实物。)其中黑皮可看做正五边形,白皮可看做正六边形,若你要制作这样一个

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足球,你需要准备几块黑皮?几块白皮? (通过了解足球的小知识,激发学生制作小足球的兴趣,从而消除学生对应用题 的恐惧心理,取而代之的是对问题的好奇和想去解决的欲望。) 分析:这里有两个未知数,要求出这两个未知数,必须寻找两个等量关系。 如果设白皮为 x 块,黑皮为 y 块,则你必然很快就能发现一个等量关系,从而得 到一个二元一次方程:X+y=32 想一想,你还能找到第二个等量关系吗? 以下由投影给出几个问题,足球放在讲台上,由学生分组讨论。 (1)一个正六边形有_____条边(6); x 个正六边形共有_____条边(6X)。 (2)一个正五边形有_____条边(5); y 个正五边形共有_____条边(5y)。 (3)总的边数哪个多? (4)白皮(正六边形)与黑皮(正五边形)相邻的边数共有———条(3x)。 (5)白皮(正六边形)与白皮(正六边形)相邻的边数共有———条(3x)。 (6)白皮的边数与黑皮的边数的关系如何?(6x—3x=5y)以下由小组代表发 言,教师小结。 解:设白皮有 x 块,黑皮有 y 块,由题意得:

? x ? y ? 32 ? ?6 x ? 3 x ? 5 y
解这个方程组得: ?

? x ? 20 ? y ? 12

经检验,符合题意。 答:白皮有 20 块,黑皮有 12 块。 (通过对这一问题的解决,使学生了解数学与现实生活有着密切的联系,能培养 学生的自信心, 树立正确的世界观、 人生观——现在学好知识, 将来为社会作贡献。 ) 二、合作探究: 1.合作探究: 问题 2( 教科书例 6): 某蔬菜公司收购到某种蔬菜 140 吨,准备加工后上市 销售,该公司的加工能力是:每天精加工 6 吨或者粗加工 16 吨,现计划用 15 天完成 加任务,该公司应安排几天粗加工,几天精加工,才能按期完成?如果每吨蔬菜粗加 工后的利润为 1000 元, 精加工后为 2000 元, 那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可 获利多少元? 分析: 解决这个问题的关键是先解答前一个问题, 即先求出安排精加和粗加工的 天数,如果我们用列方程组的办法来解答。 可设应安排 x 天精加工,y 加粗加工,那么要找出能反映整个题意的两个等量关 系。引导学生寻找等量关系。 (1)精加工天数与粗加工天数的和等于 15 天。 (2)精加工蔬菜的吨数与粗加工蔬菜的吨数和为 140 吨。
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指导学生列出方程。对于有困难的学生也可以列表帮助分析。 例 2:有大小两种货车,2 辆大车与 3 辆小车一次可以运货 15.50 吨,5 辆大车 与 6 辆小车一次可以运货 35 吨。 求:3 辆大车与 5 辆小车一次可以运货多少吨? 分析:要解决这个问题的关键是求每辆大车和每辆小车一次可运货多少吨? 如果设一辆大车每次可以运货 x 吨, 一辆小车每次可以运货 y 吨, 那么能反映本题意 的两个等量头条是什么? 指导学生分析出等量关系。 2 辆大车一次运货+3 辆小车一次运货=15.5 5 辆大车一次运货+6 辆小车一次运货=35 根据题意,列出方程,并解答。教师指导。

解:设应安排 x 天精加工,y 天粗加工。根据题意,得 ? 解这个方程组得: ?

? x ? y ? 15 ?6 x ? 16 y ? 140

? x ? 10 ?y ? 5

经检验,符合题意。 出售这些加工后的蔬菜一共可获利: 2000×6×10 十 1000×16×5=200000(元) 答:应安排 10 天精加工,5 天粗加工,加工后出售共可获利 200000 元。 2.实践与应用: (1)甲、乙两人各有若干本书,如果甲把自己的书送给乙 15 本,那么两人的书的 本数相等,如果乙送给甲 15 本,那么甲的书的本数是乙的 6 倍,问甲、乙两人原来 各有多少本书? (2)王斌与李红进行投篮比赛,约定跑步上篮投中一个得 3 分,再罚球一次,投 入再加 1 分,而如果上篮未投中,那么就要扣 1 分,结果王斌跑步上篮 10 次,共得 27 分,已知王斌罚球得了 5 分,问王斌跑步上篮投中多少次? 三、课堂小结 列二元一次方程组解应用题与列一元一次方程解应用题一样,设未知数要合理; 通常情况下,设几个未知数就要找几个相等关系,有时候,题目中的相等关系隐藏得 较深,像问题 1 那样,这就要求我们首先仔细审题,理清思路,逐步在已知条件与所 求答案之间架起一座“桥梁”。 列二元一次方程组解应用题的步骤: 1.审题,弄清题目中的数量关系,找出未知数,用 x、y 表示所要求的两个未知 数。 2.找到能表示应用题全部含义的两个等量关系。 3.根据两个等量关系,列出方程组。 4.解方程组。 5.检验作答案。
25

四、达标练习: 1.22 名工人按定额完成了 1400 件产品,其中二级工每人定额 200 件,三级工 每人定额 50 件,若这 22 名工人中只有二级工与三级工,问二级工与三级工各有多 少名? 2.4 辆小货车与 7 辆大卡车一次能运 37 吨;6 辆小货车和 3 辆大卡车一次能运 货 18 吨,问 1 辆小货车和 1 辆大卡车一次各能运货多少吨? 3.某船的载重为 260 吨,容积为 l 000 m ,现有甲、乙两种货物要运,其中甲 种货物每吨体积为 8 m 2 ,乙种货物每吨体积为 2 m 2 ,若要充分利用这艘船的载重量 与容积,甲、乙两种货物应各装多少吨?(设装运货物时无任何空隙) 五、布置作业: 1.课本 32 页,习题 7.2 的第 3、4 题。 2.完成《高效课时训练》中本课的练习题。 六、课后反思:
2

第 8 课时]
课 题:7.2 二元一次方程组的解法(7) 学习目标:
1.继续探讨如何用二元一次方程组解决一些实际问题,体验二元一次方程组与 现实生活的联系和作用。 2.经历自主探索和使用交流,从中掌握有关知识,灵活使用方法处理实际问题。 3.注重联系实际,会用数学解决生活中的一些问题,培养学生主动探究的习惯。

教学重点、难点:
重点:借助二元一次方程组解决实际问题 难点:分析、寻找等量关系,构建数学模型

方法设计
本课让学生借助二元一次方程组继续解决简单的实际问题,通过学生自主探索、 尝试、 合作交流等活动, 让所有的学生学会数学的思考分析, 并积极地参与数学活动。 触体验二元一次方程组与现实生活的联系和作用,学会用数学的眼光看待生活中 的一些问题,并会用数学解决身边的一些问题,从而提高学生解决实际问题的能力。

教学过程
一、问题探知: 洗衣服中的数学:洗衣服时,如果洗衣粉放少了,浓度太低,去污效果就差;如 果洗衣粉放多了,不仅造成浪费,而且由于浓度太高,漂洗起来,既浪费水和时间, 又浪费精力。因此,事先估算一下需要放多少洗衣粉是很必要的。 据研究,一般洗衣水中洗衣粉的含量为 o.2%—0.5%比较合适,即 100 千克洗衣
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水里 200~500 克的洗衣粉比较合适,因为这时水的表面活性最大,去污效果最好。 现在要洗 4 千克重的衣服,洗衣缸里需有 15 千克洗衣水(包括衣服),且洗衣粉 的含量为 o. 4%, 如已放人两汤匙洗衣粉(一匙约 o. 02 千克), 则还需加多少洗衣粉、 添多少水比较合适? 解:设需加 x 千克洗衣粉、添 y 千克水。则 ? 解这个方程组,得 ?

? x ? y ? 4 ? 0.02 ? 2 ? 15 ?0.02 ? 2 ? x ? 15 ? 0.4%

? x ? 0.02 ? y ? 10 .94

答:还需要加水 10.94(约 11)千克,加洗衣粉一匙(约 0.02 千克)。 (通过了解洗衣服中的数学知识,让学生体验数学源于生活,学会用数学的眼光 看待生活中的一些问题,并会用数学解决身边的一些问题,培养学生主动探究的习 惯,提高学生解决实际问题的能力,同时对于培养学生的劳动技能和劳动的兴趣有 帮助。) 教材 P33 问题 1.实践与探索中的第一个问题。 学生阅读教科书并与同伴讨论、交流,探索解题方法,鼓励学生多角度地思考, 只要学生的方法有道理,就要给予肯定和鼓励。鼓励学生进行质问和大胆创新。 学生有困难,教师加以引导: 1.本题有哪些已知量? (1)共有白卡纸 20 张。 (2)一张白卡纸可以做盒身 2 个或盒底盖 3 个。 (3)1 个盒身与 2 个盒底盖配成一套。 2.求什么? (1)用几张白卡纸做盒身?几张白卡纸做盒底盖? 3.若设用 x 张白卡纸做盒身,y 张白卡纸做盒底盖。 那么可做盒身多少个?盒底盖多少个? [2x 个盒身,3y 个盒底盖] 4.找出 2 个等量关系。 (1)用做盒身的白卡纸张数十用做盒底盖的自卡纸张数:20。 (2)已知(3)可知盒底盖的个数应该是盒身的 2 倍, 才能使盒身和盒底盖正好配套。 根据题意,得 x+y=20 3y=2×2x 解出这个方程组。 以上结果表明不允许剪开白卡纸,不能找到符合题意的分法。 如果允许剪开一张白卡纸,怎样才能既符合题意且能充分利用白卡纸呢? 用 8 张白卡纸做盒身,可做 8×2 二 16(个) 用 1l 张白卡纸做盒底盖,可做 3×11=33(个) 将余下的 l 张白卡纸剪成两半,一半做盒身,另一半做盒底,一共 可做 17 个包装盒,较充分地利用了材料。 二、合作探究: 1. 王华同学去某批零兼营的文具商店, 为学校美术活动小组的 30 名学生购买铅
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笔和橡皮,按照商店规定,若给全组每人各买 2 枝铅笔和 1 块橡皮,则必须按零售价 计算,需支付 30 元;若给全组每人各买 3 枝铅笔和 2 块橡皮,则可以按批发价计算, 需支付 40.5 元,已知每枝铅笔的批发价比零售价低 o.05 元,每块橡皮的批发价比 零售价低 0.10 元,问这家商店每枝铅笔和每块橡皮的批发价各为多少元? 解:设每枝铅笔的批发价为 x 元,每块橡皮的批发价为 y 元,则有:

?2( x ? 0.05) ? 30 ? ( y ? 0.10 ) ? 30 ? 30 ? ?3 x ? 30 ? 2 y ? 30 ? 40 .5
解得 ?

? x ? 0.25 ? y ? 0.30

答:每枝铅笔的批发价为 0.25 元,每块橡皮的批发价为 O.30 元。 2.某农场 300 名职工耕种 5l 公顷土地,计划种植水稻、棉花和蔬菜,已知种植各种植 物每公顷所需劳动力人数及投入的设备资金如下表: 农作物品种 水稻 棉花 蔬菜 每公顷需劳动力 4人 8人 5人 每公顷需投入资金 1 万元 1 万元 2 万元

已知该农场计划在设备上投入 67 万元,应该怎样安排这三种作物的种植面积,才 能使所有职工都有工作,而且投入的设备资金正好够用? 先让学生自主探索,与伙伴交流。 对有困难的学生教师加以引导。(提问式) (1).本题中有哪些已知量? ①安排种三种农作物的人数共 300 名; ②安排种三种农作物的土地共 51 公 顷; ③每种农作物每公顷所需要的职工数; ④每种农作物每公顷需要投入的 资金; ⑤三种农作物需要的资金和为 67 万元。 (2).求什么? 分别安排多少公顷种水稻,多少公顷种棉花,多少公顷种蔬菜? 如果设安排 x 公顷种水稻, y 公顷种棉花, 那么由已知 ②可知, 种蔬菜有(51-x-y) 公顷。 这样根据已知③可得种水稻 4x 人, 棉花 8y 人, 蔬菜 5(51-x-y)人. 根据已知 ④ 可得, 种三种农作物所需的资金分别为 x 万元、 y 万元 2(51-x-y)万元已知量中的①、 ⑤就是两个等量关系 因此,列方程组 4x+8y+5(51-x-y)=300 x+y+2(51-x-y)=67 本题也可以列三元一次方程组求解,若有学生尝试用这种方法,应 给予鼓励, 鼓励有余力的学生自己探索、研究、体会,不要求统一规定。 2.实践与应用: (1)开学后书店向学校推销两种素质教育用书,如果按原价买两种书共需 880 元,
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书店推销时,第一种书打了八折,第二种打了七五折,结果两种书共少用了 200 元, 则原来买两种书各需多少元? (2)据《新华日报》消息,巴西医生马廷恩经过 10 年苦心研究后得出结论,卷入 腐败行为的人容易得癌症、心肌梗塞、过敏症、脑溢血、心脏病等,将犯有贪污、受 贿罪的 580 名官员和 600 名廉洁官员进行比较后发现, 后者的健康人数比前者的健康 人数多 272 人,两者患病(致死)者共 444 人,试问犯有贪污、受贿罪的官员与廉洁官 员的健康人数各占百分之几? 三、课堂小结: 在实际生活中,应用数学知识去解决的问题五花八门,各不相同,用列二元一次 方程组可以解决的问题只是其中的一小部分, 即使如此, 能用方程组思想来解决的问 题也各有特点很难硬性分类、套用现成模式来解决。我们应该根据具体问题,进行深 入具体的分析,这样才能解决好问题。这种处理问题的过程可以进一步概括为:

四、 达标 练习: 1.某种产品由 A 种原料 x 千克,B 种原料 y 千克混合而成,其中 A 种原料每千 克 50 元,B 种原料每千克 40 元,后来调价,A 种原料价格上涨 10%,B 种原料价格 下降 15%,经核算该产品价格调价前后没变,则 x:y 的值是-------------( ) A.

2 3

B〃

5 6

C.

6 5

D.

55 44 1 ,7 3

2.“昨晚我看到你儿子了”查理说,“好多年没有见到他了,现在多大了?” 汤姆笑了:“特德的年龄从他外表上看不出来,7 年前他的年龄是我的年龄的 年后他的年龄将是我的年龄的 年龄: 父 子 7 年前 现在 x 7 年后 特德的年龄 汤姆的年龄

1 。”根据上述对话填写下表,并求出特德和汤姆的 2

y 3.为改善富春河的周围环境,县政府决定,将该河上游 A 地的一部分牧场改造为林 场,改变后,预计林场和牧场共有 162 公顷,牧场面积是林场面积的 20%,请你算 一算,完成改造后林场、牧场的面积各为多少公顷? 五、布置作业(补充): 1.篮球数比排球数的 2 倍少 3 个,足球数与排球数的比是 2:3,三种球共 41 个, 求三种球各有多少个? 2.有一个两位数,个位上的数比十位上的数大 5,如果把这两位数的个位与十位数 位置对调,那么所得的新数与原数的和是 143,求这个两位数。
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3. 为了能有效地使用电力资源, 某市电业局从 2002 年 1 月起进行居民峰谷用电试点, 每天 8:00 至 22:oo 用电每千瓦时 0.56 元(“峰电”价),22:00 至次日 8:00 每千瓦时 0.28 元(“谷电”价),而目前不使用“峰谷”电的居民用电每千瓦时 0.53 元,一居民家庭在某月使用“峰谷”电后,付电费 95.2 元,经测算比不使用“峰谷” 电节约 10.8 元,问该家庭当月使用“峰电”和“谷电” 各多少千瓦时? 4.完成《同步训练与拓展》中本课的练习题。 六、课后反思:

第 9 课时
课 题:7.3 实践与探索(1) 学习目标:
1.学会用二元一次方程组解决简单的实际问题。 2.通过实践、自主探索、互相交流,培养和发展分析、抽象、求解和检验的能 力。

教学重点、难点:
重点:掌握“鸡兔同笼”问题的解决方法。 难点:怎样解决与“鸡兔同笼”相类似的问题。

方法设计:
根据基础教育课程改革的基本思路, 以与学生年龄特征相适应的大众化、 生活化 的方式呈现数学内容,使学生在活动中、在现实生活中学习数学,发展数学。因此要 求教师尽可能地组织学生运用合作、小组学习等方式,给学生充分表现的机会,学生 能做的事,教师绝不包办代替,遇到障碍时,教师适当地给以点拨,做好服务工作。 本节课我们从具体问题出发,通过观察、思考、讨论,从中探究出解决问题的方 法,再通过例题教学和练习,进一步的熟练巩固所学的内容,提高解决问题的能力。

教学过程:
一、问题导入: 一个农民有若干只鸡和兔子,它们共有 50 个头和 140 条 腿,问这个农民有多少 只鸡和多少只兔子? (“鸡兔同笼”问题在我国《孙子算经》中早有记载。在
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此提出这个问题不仅可以提高学生学习兴趣,而且可以对学生进行爱国主义教育。) 二、合作探究: 1.问题探究: (1)上面问题如何解决? (2)有没有其它解法? (对于同一个问题能从不同的角度进行解答,不仅能开阔学生的思维而又能提 高学生的解题能力。) 教师板书学生的各种解法: (1)算术解法:如果兔子也算为鸡,即有 50 只鸡,那么共有 100 条腿,多出 40 条 由于每只兔子少算了 2 条腿,可得算式: (140—50×2)÷(4—2)=20 故,20 为兔子只数,余下的 30 只为鸡的只数。 (2)巧解:“金鸡独立”,设想鸡都用一条腿站着,兔子前腿攀杠,只用两条后腿 站立,这样腿数就是 140 之半,因此 70—50=20 为兔子只数,同上。 (3)列方程求解: 用日常语言 一个农民有若干只鸡和若干只兔 子,它们共有 50 个头和 140 条腿。 (4)“试凑法”: 鸡数 用代数语言 x Y x 十 y=50 2X 十 4Y=140 腿数

兔数

50 o 100 0 50 200 -------30 20 140 同学们,看了上面的四种解法,你有何感想?你觉得哪一种方法更容易理解? (让学生自由地用各种方法来解决问题,符合学生的认知规律,是科学的。在提 出不同解法时,我们不能简单的罗列各种解法,而应注意方法的比较,结合本课的教 学目标,找准新知识的切入点。) 2.实践与应用: (1)44 名同学去划船,租了大小共 10 只船,小船每只坐 4 人,大船每只坐 6 人。 大小船各有几只? (2)有 5 角和 1 元的钱币共 108 元,一共 134 张,你能算出两种钱币各有几张? (3)5 米和 3 米长的水管共 90 根,装成 350 米长的自来水管道。两种各有多少根? (4)一次数学比赛共 15 题,每对一题得 8 分,每错一题倒扣 4 分,小刚共得 84 分, 他对了几道题? (通过对“鸡免同兔”问题的研究后,学生已经掌握了解决此类问题的一些方法。 在这种情况下,设计一组类似问题的练习是必要的,这不但能起到巩固知识的作用,
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且可以暴露学生思维过程中的不足,从中纠正学生的思维偏差。) 三、课堂小结 1.通过本节课的学习,你有何发现?有何体会? (这里通过提问的方式让学生进一步的感知:在我们生活中存在很多表面上看似 不同的问题,其实内在的量之间的关系是一样的,对此我们可以采用同一种方法来 解决。这不但突出本节课的重点和难点,而又有助于学生知识的网络化,促进学生认 知结构的完善。) 四、达标练习 1.从每千克 28 元的茶叶和每千克 42 元的茶叶中各取出一部分,混合成 34 元 一千克的茶叶共 14 千克,问两种茶叶各取出了多少千克? 2.从 A 地到 B 地,快车须行 3.6 小时,慢车须行 4.5 小时,已知快车每小时 比慢车多行 8 千米。那么从 A 地到 B 地的路程有多少千米? 3.鸡兔同笼,鸡比兔少 15 只,足共有 282 只。鸡免各有多少只? 4.三种昆虫 18 只,它们共有 20 对翅膀,116 条腿,其中每只蜘蛛 8 条腿,每 只蜻蜒 2 对翅膀 6 条腿,每只蝉是一对翅膀 6 条腿。问三种昆虫各几只? 5.某人从 A 村翻过山顶到 B 村,共行了 30.5 千米,用了 7 小时,他上山每小 时行 4 千米,下山每小时行 5 千米。如果上山下山速度不变由 B 村返回 A 村,要用 多少时间? (以上达标练习能充分体现本节课的重点,能准确及时地了解教和学的效果,巩 固教学目标,使各层次学生的能力都能得到不同程度的提高。) 五、布置作业: 1.达标练习。 2.完成《创新教育目标实验手册》中本课的练习题。 六、课后反思:

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第 10 课时
课 题:7.3 实践与探索(2)(研究性学习活动) 学习目标:
1.体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性。 2.认识到学习数学的目的是用数学知识去解决实际问题。

教学重点、难点:
重点:综合运用所学的知识解决一些实际问题。 难点:遇到问题如何设计出好的方案进行解决。

方法设计:
研究性活动以学生所学的数学知识为基础, 并且密切结合生活、 生产实际和其他 学科的知识,这样可以培养学生的创新精神和实践能力,使学生确实做到学以致用, 学会创新,还可以通过这类活动了解社会的需求和变革。教师在教学时应尽可能地 组织学生运用合作、小组学习等方式,给学生充分表现的机会,突出学生的主体性, 使学生能积极参与数学学习活动, 提高学生对数学的好奇心与求知欲。 本节课我们将 从具体问题出发,通过合作交流、分析讨论、设计制作等教学环节展开。

教学过程
一、问题创设: 上一节课我们探索了 2 个与生活密切相关的问题,它们都可以利用二元一次方程 组来解决。今天我们再宋探索一个有趣的问题。 请同学们打开课本第 35 页,阅读问题 2。 让学生充分思考,并与伙伴交流后,教师可以提出以 下问题: 这里讲的“其中的奥秘”,是指什么? 图 7.3.1 “奥秘” 是指用这 8 块大小一样的矩形拼成的正方形, 为什么中间会留下一个边长为 2mm 的小正方形的洞?其中
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图 7.3.2

的道理是什么? 教师可以作以下引导: 1. 观察小明的拼图, 你能发现小长方形的长 xmm 与宽 ymm 之间的数量关系吗? (根据矩形的对边相等,得 3x=5y) 2.再观察小红的拼图,你能写出表示小矩形的长 xmm 与宽 ymm 的另一个关系 式吗? 因为 AB=CD+DE+FG,所以有 x+25y=2x+2 即 2y-x=2 解方程组 3x=5y 2y-x=2 8 个小矩形的面积和= 8xy=8×10×6=480(mm2) 大正方形的面积=(x+2y)2 =(10+2×6)2=484(mm2) 484-480=4=22 因此小红拼出的大正方形中间还留下了一个恰好是边长 为 2mm 的小正方形。 问题:有没有这样的 8 个大小一样的小矩形,既能拼成像小明那样成的大矩形,又能 拼成一个没有空隙的正方形呢? 三、做一做。 把第 6 章实践与探索提出的问题, 用本章的方法来处理, 并比较两种, 谈谈你的感受。 问题 1:设长方形的长为 xcm,宽为 ycm,根据题意列方程组 2 y= x 3 60 x+y= 2 问题 2:设小明的爸爸前年存了 x 元,利息税为 y 元,由题意得: y=2.43%·x·2·20% 2.43%x·2-y=48.6 问题 3:设小张家到火车站有 x 千米,乘公共汽车从小张家到火车站要 y 小时,由题 意得: 40x·2=80y 3 40x+80y=40(x+y+ ) 4 四、课堂小结 通过本节课的学习,你有何收获?有何体会? 五、达标练习 1.一种马头牌的洗衣肥皂长、宽、高分别是 16 厘米、6 厘米和 3 厘米,一箱肥 皂 30 条,请你为肥皂厂设计一种包装箱,符合下列要求: (1)肥皂装箱时,相同的面积要互相对接; (2)包装箱是一个长方体; (3)装入肥皂后不留空隙。 请问:怎样设计才能使包装箱所用材料最少? 2.如图,要剪切如图(1)(尺寸单位:毫米)所示的甲、乙两种直角梯形零件,且
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使两种零件的数量相等。有两种面积相等的矩形铝板,第一种长 500 毫米,宽 300 毫米,如图(2);第二种长 600 毫米,宽 250 毫米,如图(3)可供选用。 (1) 填空:为了充分利用材料,应选用第_____种铝板,这时一块铝板最多能剪 甲、乙两种零件共______个,剪下这几个零件后,剩余的边角料的面积是 _______平方毫米。

(2)画图:从图(2)或图(3)中选出你要用的铝板示意图,在上面画出剪切线,并 把边角余料用阴影表示出来。 3.红光服装厂要生产某种型号学生服一批,已知每 3 米长的某种布料可做上衣 2 件或裤子 3 条,一件上衣和一条裤子为一套,计划用 600 米长的这种布料生产学生 服,应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套?共能生产多少套? 4.如图:某纸品加工厂为了制作甲、乙两种无盖的长方体小盒(如图(1)),利用 边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片,长方形的宽与正方形的边长相等 (如图(2)) 现将 150 张正方形硬纸片和 300 张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒, 可以做成 甲、乙两种小盒各多少个?

(以上达标练习能充分体现本节课的重点,能准确及时地了解教和学的效果,巩 固学习目标,使各层次学生的能力都能得到不同程度的提高。) 六、布置作业 完成《同步训练与拓展》中本课的练习题。 七、课后反思:

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第 11 课时
课 题:二元一次方程组复习(1) 学习目标:
1.了解二元一次方程组及它的解的基本概念。 2.会用代入消元法和加减消元法解简单的二元一次方程组,并能根据方程组的 特点,灵活选用适当的解法。 3.能综合运用所学的知识和技能解决问题,发展应用意识。 4.培养自己的口头表达能力,运算能力和合作交流能力。

教学重点、难点
重点:会用适当的方法解二元一次方程组。 难点:清析理解二元一次方程、二元一次方程组的概念。

方法设计
在学生已有二元一次方程组知识的基础上, 做一个给自己起数学名字的游戏, 激 发学生上复习课的兴趣, 并达到复习基础知识的目的, 给出一组基础训练题巩固基础 知识,再给出三个例题加深对二元一次方程、二元一次方程的解、二元一次方程组的 解法的认识,最后通过试卷检测反馈这节课的学习成效。

教学过程
一、游戏导入 请各位同学利用二元一次方程组中的数学名称给自己起一个数学名字。并且说 出自己数学名字的数学含义。赛一赛哪个小组中的学生起的数学名字最多,所说的 数学含义最准确。 游戏规则: 老师可给数学名字个数最多的小组优先发言权, 若所说数学含义不准 确,可请其他小组补充或改正,则改正的小组获得发言权,直到其他小组无补充或异 议,游戏结束。 (利用这一游戏复习巩固二元一次方程组中的基础知识,激发学生上复习课的
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兴趣,训练学生的口头表达能力,提高学生合作交流的能力,发展学生积极向上的竞 争意识,培养学生的集体荣誉感。) 二、基础训练 1.选择题: (1) 在①x+3y; ②3x—5y=z; ③2xy—x—2y=1; ④x 十

1 x y =2; ⑤x—3y=0; ⑥ ? y 3 5
) )

=6 中是二元一次方程的个数是------------------------------------------------------( A.5 B.4 C. 3 D. 2 (2)方程 2x—y=5 与 x+ 2y=0 的公共解是------------------------------------------( A· ?

?x ? 6 ? y ? ?2

B· ?

?x ? 2 ? y ? ?3

C· ?

?x ? 2 ? y ? ?1

D.

? x ? ?1 ? ?y ? 2

2.填空题: (1)已知 2x—3y 十 6=0,用 x 表示 y 得_________-;用 y 表示 x 得_________。 (2)已知方程 mx+ny=10 有两个解分别是 ?

?x ? 2 ? x ? ?1 和? ,则 m=______. ? y ? ?1 ? y ? 2

n=_____. (通过这一基础训练,使学生更清晰地明白二元一次方程和二元一次方程组的 概念,透彻理解二元一次方程组解的合义。) 三、实践与应用: 例 1.某旅行团从甲地到乙地游览。甲、乙两地相距 100 公里,团中的一部分人乘车 先行,余下的人步行,先坐车的人到途中某处下车步行,汽车返回接先步行的那部分 人,已知步行时速是 8 公里,汽车时速是 40 公里,问要使大家在下午 4:00 同时到达 乙地,必须在什么时候出发? 分析:这个问题实质上求的是如果按题设的行走方式,至少需要多少个小时? 本题比较复杂,引导学生用线段图帮助分析。 X 公里 A 甲 D
y 公里

B

C 乙

上车点 下车点

(1)汽车从 A→B→D 所需的时间与先步行的一部分人从 A 到 D 所需的时间相等。 (2)汽车从 B→D→C 所需的时间与后步行的一部分人从 B 到 C 所需要的时间相等。 因此可设先坐车的一部人下车地点距甲地 x 公里, 这一部分人下车地点距另一部 分人的上车地点相距 y 公里,如图所示。 由以上两个等量关系,得: x+y x-y = 40 8
37

2y+100-x 100-x = 40 8 解方程组即可得到方程组的解。 例 2:方程组 ax+by=62 mx-20y=-224 的解应为 x=8 y=10

但是由于看错了系数 m,而得到的解为,求 a+b+m 的值; 1.已知: (k ? 4) x ? (k ? 2) x ? (k ? 8) y ? k ? 7
2 2

(1)当 k 取何值时,方程为一元一次方程; (2)当 k 取何值时,方程为二元一次方程。 (分析:若方程为关于 y 的一元一次方程,则 k —4=0 且 k 十 2=0 且 k-8≠0; 则 k=—2。若方程为关于 x 的一元一次方程,则 k —4=0 且 k-8=0 且 k 十 2≠0; 则 k 不存在。若方程为关于 x、y 的二元一次方程,则 k —4=0 且 k 十 2≠0 且 k-8 ≠0 则 k=2。) 2.已知方程 5x+3y=22 (1)请写出方程的三个解; (2)求方程的非负整数解。 3.已知方程组 ?
2
2 2

? x ? 2 y ? 10 ?2 x ? y ? 5 2005 与方程组 ? 的解相同,求 (a ? b) 的值。 ?bx ? ay ? 6 ?ax ? by ? 1

(通过应用 1,我们可更清晰地辨别一元一次方程和二元一次方程的概念,其中 (1)还渗透了分类思想;应用 2,使我们知道二元一次方程有无数组解,其中(2)可用 列举法;应用 3,本质就是解关于 x、y、a、b 的四元一次方程组。) 四、达标练习: 1.选择题: (1)二元一次方程 3x+5y=11 的正整数解有-----------------------------------( ) A.一个 B.二个 C.三个 D.无数多个 (2)已知方程组 ? A.1 2.填空题: (1)已知方程 2 x b=________. (2)若 3x
2 m?n

?2 x ? y ? 5 ,那么 x—y 的值是-----------------------------( ?x ? 2 y ? 6
B.—1
4 a ?b ?1

)

C.0

D.2

? 5 y 5a ?2b =7 是关于 x、y 的二元一次方程,则 a=____,

y 7 ? x 3 y 3m? n 是单项式,则 m=_______,n=_______.
2

y (3)若 (2 x ? y ? 7) ? 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 ,则 x =_______.

(以试卷的形式检测,灵活运用二元一次方程组的解法来解决问题。) 五、课堂小结 1.使我们清楚了解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的基本概念。 2.会运用适当的方法解二元一次方程组。
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3.通过探求一次方程组的解法,体会消元的思想,把“未知”转化为“已知”, 把复杂问题转化为简单问题的化归思想。 六、课后作业 1.教科书第 39 页,复习题 A 组第 1、2 题。 2.教科书第 40 页,复习题 B 组第 9、10 题。 3.完成《创新教育目标实验手册》中本课的练习题。 七、课后反思:

第 12 课时
课 题:二元一次方程组复习(2) 学习目标:
1.体会实际问题中常会遇到有关多个未知量间互相依赖、影响的问题。二元一 次方程组就是反映现实世界多个量之间相等关系的一种有效的数学模型。 2.会根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程组并求解,能检验所得结果 是否符合实际意义。 3.通过实践、自主探索、互相交流,培养和发展分析、抽象、求解和检验的能 力。 4.形成解决问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力 与创新精神。

教学重点、难点:
重难点:让学生亲自经历将实际问题抽象成数学模型,并进行解释与应用的 过程。

方法设计
从编制实际问题的游戏导入二元一次方程组复习课,领悟数学与现实生活有密 切联系。给出一组基础训练题解决简单的实际问题,再给出三个例题,分别是以表格 形式给出数据的股票问题、年龄问题和利用不定方程解决分配问题。最后运用当堂 课内练习对学生的情况进行反馈检测。

教学过程
一、情境创设: 请联系自己的学习和生活,编制一道实际问题,使列得的方程组为

? x ? y ? 40 ,赛一赛,哪个小组中的同学编制的实际问题最多。 ? ?2 x ? 4 y ? 4 3 6
游戏规则:哪一小组编制的实际问题最多,就可获得优先发言权;若其他小组编
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制了不同的实际问题,可进行补充,直到没有补充,游戏结束。 (编制实际问题这一游戏可以培养学生的逆向思维,发散思维,使学生领悟到数 学来源于实际问题,并又为实际问题服务,还可以培养学生小组合作与交流能力,语 言文字的组织能力,培养学生的竞争意识。) 二、基础训练 1.选择题: (1)某家具的标价为 132 元,若降价以九折出售(优惠 10%)仍可获利 10%(相 对于进货价),则该家具的进货价是 --------------------------------------------- ( ) A.118 元 B.108 元 C.106 元 D.105 元 (2)若一条船顺流航速是逆流航速的 3 倍,这条船在静水中的航速与河水中的 流速之比是 ---------------------------------------------------------------------------- ( ) A.3:1 B.2:1 C.1:1 D.5:2 2.填空题: (1)甲、乙两绳共长 22 米,如果甲绳减去

1 ,乙绳增加 3 米,则两绳等长,甲绳 3

原长_______米;乙绳原长_______米。 (2)现有新版 20 元和 50 元人民币 28 张,总面额为 770 元,其中 20 元币____张, 50 元币_______张。 (3)甲、乙二人各有书若干本,如果乙送给甲 10 本,那么两人所拥有的书相等; 如果甲送给乙 5 本,那么乙所拥有的书比甲所剩的书多 1.5 倍,甲原有______本 书,乙原有________本书。 (通过这一基础训练,使学生能运用二元一次方程组解简单的实际问题,并认识 到现实生活中蕴含着大量的数学信息,数学在现实世界中有着广泛的应用。) 3.求二元一次方程 3x+y=10 的正整数解。 分析:求二元一次方程的解的方法是用一个未知数表示另一个未知数,如 y= 10-3x,给定 x 一个值,求出 y 的一个对应值,就可得到二元一次方程的一个解,而 此题是对未知数 x、y 作了限制必须是正整数,也就是说对于给定的 x 可能是 1、2、 3、4?但是当 x=4 时,y= 10-3×4=-2,y 却不是正整数,因此 x 只能取正整数的一 部分,即 x= 1,x=2,x=3。 4.已知 x=1 2xn-m=5 y=2 是方程组 mx-ny=5 的解,求 m 和 n 的值。 分析:因为,x=1,y=2 是方程组的解。 根据方程组解的定义和 x=1,y=2 既满足方程①又满足方程②于是有: 2n-2m=5 ③ m+2n=3 ④ 解这个方程组即可。 5.A、B 两地相距 150 千米,甲、乙两车分别从 A、月两地同时出发,同向而行, 甲车 3 小时可追上乙车;相向而行,两车 1.5 小时相遇,求甲、乙两车的速度。 分析:这里有两个未知数:甲、乙两车的速度;有两个相等关系:

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(1)同向而行:甲 3 小时的行程=乙 3 小时行程十 150 千米 (2)相向而行:甲 1.5 小时行程+乙 1.5 小时行程=150 千米 解设甲车的速度为 x 千米/时,乙车的速度为 y 千米/时。 根据题意,得 3x=3y+150 1.5x+1.5y=150 解这个方程组即可。 6.一个三位数,各数位上的数字之和为 13,十位上的数字比个位上的数字大 2, 如果把百位上的数字与个位上的数字对调,那么所得新数比原来的三位数大 99,求 这个三位数。 分析:怎样设未知数?直接设可以吗? 这里有三个未知数——个位上的数字, 百位上的数字及十位上数字, 若用二元一 次方程组求解,该怎样设未知数? 由“十位上数字比个位上的数字大 2”,可设原三位数的个位上的数字为 x,则 十位上数字为 x+2,另设百位上数字为 y. 如何表示原三位数和新三位数? 100y+10(x+2)+x,l00x+l0(x+2)+y 2 个等量关系是什么? (1)百位上数字十十位上数字十个位上数字=13 (2)新三位数一原三位数=99 根据题意,得 x+(x+2)+y=13 [100x+10(x+2)+y]-[100y+10(x+2)+x]=99 解这个方程组即可。 三、实践与探索: 问题 1:表中所示是某三天的 A、B 两种股票当天收盘价(单位:元),某人在该三天 内持有 A、B 两种股票各若干股,若按照两种股票每天收盘价计算(不计手续费和税 费等),此人第二天比第一天多盈利 920 元,第三天又比第一天多盈利 790 元,则此 人拥有 A、B 两种股票各多少股? 第一天 A股 B股 8.5 10.2 第二天 9 10.6 第三天 9.3 10.4

问题 2:王老师对小明说:我像你这么大时,你那时才 2 岁,到你长到我这般年 龄时,噢!我那时已经 44 岁了。”你知道王老师与小明现在年龄各是多少岁吗? 问题 3:严肃中学初三(1)班计划用勤工俭学收入的 66 元钱同时购买单价分别为
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3 元、2 元、1 元的甲、乙、丙三种纪念品奖励参加搞“艺术节”活动的同学。已知 购买乙种的件数比购买甲种的件数多 2 件,而购买甲种不少于 10 件,且购买甲种的 费用不超过总费用的一半,若购买的甲、乙、丙三种纪念品恰好用去 66 元,问可有 几种购买方案?每种方案买的甲、乙、丙各多少件? (通过问题 l,使学生了解股票情况,并会从表格中获取数据;问题 2,涉及到两 个人的年龄问题,不变的是两个人的年龄差;问题 3,会运用不定方程(未知数的个数 多于方程的个数)来解决实际问题,不定方程的解都不唯一,但在应用题中,联系列 生产实际,未知数的取值会受到一定的限制,一般只有有限个(组)解。) 四、达标练习 1.选择题: (1)甲、乙两人相距 42 千米,如果相向而行,2 小时相遇;如果同向而行,乙 14 小时才能追上甲,则甲、乙两人的速度分别是每小时 ------------------------( ) A.12 千米,9 千米 B.11 千米,10 千米 C.10 千米,11 千米 D.9 千米,12 千米 (2)已知甲、乙两人的年收入之比为 3:2,年支出之比为 7:4,年终时两人都余 了 400 元,若设甲的年收入为 x 元,、年支出为 y 元,则可列方程组------( )

? x ? y ? 400 ? A. ? 2 7 x ? y ? 400 ? 4 ?3 ? x ? y ? 400 ? C. ? 2 4 x ? y ? 400 ? 7 ?3

? x ? y ? 400 ? B. ? 3 4 x ? y ? 400 ? 7 ?2 ? x ? y ? 400 ? D. ? 3 7 x ? y ? 400 ? 4 ?2

2.填空题。 (1)一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小 2,若将个位上的数字与十位 上的数字对调,则所得两位数比原数小_________。 (2)暑假期间学校去体育用品商店购买篮球和足球,以便开学能更好开展体育活 动,原价买这两种球需 3400 元,由于购买量大,现打折出售,篮球八五折,足球八 折,结果两种球共少花了 600 元,则按原价买篮球需_______元,足球需_______元。 (通过达标练习,检测学生解决简单实际问题的掌握情况。并使学生明白,面对 实际问题时, 能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。 ) 五、课堂小结 1.会根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程组并求解。 2.面对新的数学知识时,能主动地寻找其实际背景,并探索其应用价值。 六、布置作业 1.教科书第 37 页,复习题 A 组第 2、3、4、5、6 题。 2.教科书第 38 页,复习题 B 组第 11、12 题。 3.教科书第 38 页,复习题 C 组第 13 题。 七、课后反思:

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