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2014届惠州市第一次模拟考试试题(理科数学)试题参考答案


惠州市 2014 届高三第一次模拟考试
数学 (理科)参考答案与评分标准
一.选择题:共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分 题号 答案 1 D 2 B 3 B 4 A 5 D 6 B 7 B 8 A

1.【解析】集合 A ? {0,1} 的子集有 ? 、 {0} 、 {1} 、 {1,2} .选 D.

2.【

解析】?
2

?( x ? 1)( 2 ? x ) ? 0 1? x 得: ? 2 ? x ? 1 .选 B. ?0?? 2?x ?2 ? x ? 0

3.【解析】 y ? 2px的 焦 点 坐 为 ( ,0),?

p 2

p ? 1, 即p ? 2 .选 B. 2

4.【解析】当 a ? 1时,函数可化为 y ? cos 2x ,故周期 ? ;反之,函数可化为 y ? cos 2ax , 若周期为 ? ,则 a ? ?1 .选 A. 5.【解析】可知该几何体是三棱锥,底面面积为

6.【解析】当 n ? 5 时, s ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 24 ,选 B.

1 1 1 1 ,高为 1,故 V ? ? 1 ? ? .选 D. 3 2 6 2
2 2

7. 【解析】设交点分别为 A ( x1 , y1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) ,代入椭圆方程: ax1 ? by1 ? 1 ,
2 2 ax2 ? by2 ?1











1?

b y1 ? y 2 y1 ? y 2 ? ? ?0 a x1 ? x 2 x1 ? x 2







?1 ?

b y1 ? y 2 y中 - 0 b 3 b 2 3 ? ? ? 0 ,可化简为: 1 ? ( ? -1 ) ? ? 0 ,即 ? .选 B. a x1 ? x 2 x中 - 0 a 2 a 3
2 2

3x 2 ? 2xy ? 3y 2 8.【解析】已知 x, y 满足 x ? ( y ? 2) ? 2, 则 w ? 可化为 x 2 ? y2

w ? 3?

2xy 2xy 2 xy ;要求 w ? 3 ? 2 最大值,即求 2 的最值,由基本不等式可 2 2 x ?y x ?y x ? y2
2

1



2xy ? x 2 ? y 2 ,?

?x ? y 2xy 取等号,即 x ? y ? 1 或 ? 1 ,当且仅当 ? 2 2 2 x ?y ?x ? ( y ? 2) ? 2
2

x ? y ? ?1 时, w ?

3x 2 ? 2xy ? 3y 2 的最大值为 Wmax ? 4 .选A. x 2 ? y2

二.填空题:共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选 做一题. 9. 1 10. ? 20 11. 6
1 n 1? 2?3??? n n

12. ( ??,?2) ? ( ?2, )

1 2

13. (c1 ? c ? c ? ?? ? c )
2 2 3 3

14. ( 2 ,

?
4

)

15. 2

9.【解析】? i(1 ? i) = ? 1 ? i ,所以虚部等于 1 . 10 . 【 解 析 】 ? (x ?

1 6 r 6? r r 6? 2 r x ( ? x ?1 ) r = ( ?1) r C 6 x ,当 ) = [x ? ( ?x ?1 )]6 , Tr ?1 ? C6 x

6 ? 2r ? 0 则 r ? 3 ,常数项为 T4 ? ( ?1) 3 C 3 6 = ? 20 .
y , 是可行域内的点 M ( x, y) 11. 【解析】先画出可行域(如图) x y 与原点 O (0,0) 连线的斜率,当直线 OM 过点 (1,6) 时, 取得最大值 6 . x

12. 【解析】? cos? ?
1 ? 2?

1 ? ( ?2 ) ? ? 5 ? 1 ? ?2

=

1 ? 2? 5(1 ? ?2 )

,又 ? 为锐角,

0?

1 1 ? 1 解得: ? ? 且? ? ?2 ,? ? ? ( ??,?2) ? ( ?2, ) . 2 2 5(1 ? ? )
2

13. 【解析】由等差数列 {a n } 的 a1 ? 2a 2 ? ? ? ? ? na n 的和,则等比数列 {c n } 可类比为

c1 ﹒ (c 2 ) 2 ? ? ? (c n ) n 的积;对 a1 ? 2a 2 ? ? ? ? ? nan 求算术平均值,所以对
1 3 n 1?2?3??? n c1 ﹒ (c 2 ) 2 ? ? ? (c n ) n 求几何平均值,所以类比结果为 (c1 ? c 2 . 2 ? c 3 ? ?? ? c n )

14.【解析】圆的圆心为 (1,1) , ? ? 1 ? 1 ?
2 2

1 2 , tan? ? (? ? [0,2? )) ,又圆心在第一 1

2

象限,故 ? ?

?
4

.圆心的极坐标为 ( 2 ,

?
4

).

15.【解析】如右图, P 是圆 O 外一点,过 P 引圆 O 的两条割线 PAB、PCD,PA = AB = 5 由圆的割线定理 PA ? ( PA ? PB) ? PC ? ( PC ? PD) ,即 5 ( 5 ? 5 ) ? x ( x ? 3) ,化简为

x 2 ? 3x ? 10 ? 0 ,解得: x ? 2 或 x ? -5 (舍去).
三.解答题 16. (本题满分 12 分) 本小题考查三角函数的化简与求值。

解(1)依题意得
16. (本题满分 12 分) 解:(1) f ( ) ? cos 2

?

?
6

6

? sin

?
6

cos

?
6

?(

3 2 1 3 3+ 3 ) ? ? ? 2 2 2 4

??????2 分

(2) f ( x) ? cos x ? sin x cos x ?
2

1+ cos 2 x 1 ? sin 2 x 2 2

????4 分

?

1 2 ? 1 1 ? ? sin(2 x + ) ? (sin 2 x + cos 2 x) 2 2 4 2 2

????6 分

? ? 1 2 ? ? f( + )? ? sin(? + + ) 2 24 2 2 12 4
1 2 ? 1 2 1 3 ? sin(? + ) ? ? (sin ? ? ? cos ? ? ) 2 2 3 2 2 2 2
3 ? 4 ,且 ? ? ( , ? ) ,所以 cos ? ? ? 5 2 5

???8 分

?

????10 分

因为 sin ? ?

??11 分

所以 f (

?
2

+

?
24

)?

1 2 3 1 4 3 10 ? 3 2 ? 4 6 ? ( ? ? ? )? 2 2 5 2 5 2 20

???12 分

17. (本题满分 12 分) 本小题考查利用离散型随机变量分布列的建立以及期望的求法. 解: (1)? x 、 y 可能的取值为 1 、 2 、 3 ,

? x ? 2 ? 1, y ? x ? 2 ,
3

? ? ? 3 ,且当 x ? 1 , y ? 3 或 x ? 3 , y ? 1 时, ? ? 3 .
因此,随机变量 ? 的最大值为 3 .

?????3 分

?有放回抽两张卡片的所有情况有 3 ? 3 ? 9 种, 2 ? P(? ? 3) ? . 9
答:随机变量 ? 的最大值为 3 ,事件“ ? 取得最大值”的概率为 (2) ? 的所有取值为 0 , 1 , 2 , 3 .

2 . 9

???4 分

? ? ? 0 时,只有 x ? 2 , y ? 2 这一种情况, ???5 分
有 x ? 1 , y ? 1或 x ? 2 , y ? 1 或 x ? 2 , y ? 3 或 x ? 3 , y ? 3 四种情况, ? ? 1 时, ???6 分

? ? 2 时,有 x ? 1 , y ? 2 或 x ? 3 , y ? 2 两种情况. ???7 分
? P(? ? 0) ? 1 4 2 , P(? ? 1) ? , P(? ? 2) ? . 9 9 9
????10 分

则随机变量 ? 的分布列为:

?
P
???11 分

0
1 9

1
4 9

2
2 9

3
2 9

因此,数学期望 E? ? 0 ?

1 4 2 2 14 ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? .????????12 分 9 9 9 9 9

18. (本题满分 14 分) 本小题考查利用定义法(向量法)求空间几何中的角度问题。 解: (1)设正三棱柱 ABC — A1 B1C1 的侧棱长为 x .取 BC 中点 E ,连 AE . ? ?ABC 是正三角形,? AE ? BC .???1 分 又底面 ABC ? 侧面 BB1C1C ,且交线为 BC . 连 ED , 则直线 AD 与侧面 BB1C1C 所 ? AE ? 侧面 BB1C1C . 成的角为 ?ADE ? 45 .
?

?????4 分
4

在 Rt?AED 中, tan 45 ?
?

AE ? ED

3 x2 1? 4

,解得 x ? 2 2 . ???5 分

?此正三棱柱的侧棱长为 2 2 .
? AE ? 侧面 BB1C1C , ? AF ? BD .

????6 分

(2)解法一:过 E 作 EF ? BD 于 F ,连 AF ,

??AFE 为二面角 A ? BD ? C 的平面角. 在 Rt?BEF 中, EF ? BE sin ?EBF ,又
BE ? 1,sin ?EBF ? CD ? BD 2 2 2 ? ( 2) 2 ?

???9 分

3 3 , ? EF ? . 3 3

又 AE ? 3, AF ?

AE2 ? EF 2 ? ( 3 ) 2 ? (

3 2 30 ) ? ??11 分 3 3

3 EF 10 . ? 3 ? ?在 Rt?AEF 中, cos?AFE ? AF 10 10 3
故二面角 A ? BD ? C 的余弦值得大小为

????13 分

10 . 10

???14 分

(2)解法 2:如图,建立空间直角坐标系 o ? xyz . 则 A(0, 0, 3), B(0, ?1, 0), C (0,1, 0), D( ? 2,1, 0) .????8 分 设
A

z

A1

? n1 ? ( x, y, z ) 为平面 ABD 的法向量.

B
x o
C

B1

? ? ? y ? ? 3z ?n1 ? AB ? 0, ? 由 ?? 得 ? . 2 x ? y ? 3 z ? 0 ? n ? AD ? 0 ? ? ? 2 ?? 取 n1 ? (? 6, ? 3,1). ???10 分
又平面 BCD 的一个法向量 n2 ? (0, 0,1).

D y

C1

?? ?

????11 分 ??12 分
5

? ? ? ? n1 ? n 2 ? cos ? n1 , n 2 ?? ? ? . n1 n 2

?

( ? 6 ,? 3,1) ? (0,0,1) 1 ? ( ? 6 ) 2 ? ( ? 3 ) 2 ? 12

?

10 10

????13 分

结合图形可知,二面角 A ? BD ? C 的余弦值大小为

10 .??14 分 10

19. (本题满分 14 分) 本小题考查利用等比数列的定义及其通项公式求法、和项公式的应用,以及错位求和与放 缩法求证数列不等式。 解: (1)设等比数列 {a n } 的首项为 a 1 ,公比为 q ,??????1 分

? a n ?1 ? 2Sn ? 2 , a n ? 2Sn ?1 ? 2 ( n ? 2 )??????2 分 ? a n?1 ? a n ? 2(Sn ? Sn?1 ) = 2a n a 即 n ?1 ? 3 ( n ? 2 )???3 分 an 当 n ? 1 ,得 a 2 ? 2a 1 ? 2 ,即 3a 1 ? 2a 1 ? 2 ,解得: a 1 ? 2 ?????4 分 a n ? a 1 ? q n ?1 ? 2 ? 3n ?1 ???5 分
即 an ? 2 ? 3
n ?1 .

???6 分

4 ? 3n ?1 1 n ?1 ? (2)① an ?1 ? an ? (n ? 1)d n ,则 d n ? , ???8 分 d n 4 ? 3n ?1 n ?1 1 1 1 1 2 3 4 n ?1 ? ( 0 ? ? 2 ? ? ? ? n?1 ) ???9 分 ? ? ? ??? ? d1 d 2 dn 4 3 3 3 3 2 3 4 n ?1 1 2 3 4 n ?1 设 Tn ? 0 ? ? 2 ? ? ? ? n ?1 ① 则 Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? ? n ②???10 分 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 n ?1 ①-②得: Tn ? 2+ ? 2 ? 3 ? ? ? ? n?1 ? n 3 3 3 3 3 3 1 1 n ?1 [1 ? ( ) ] n ?1 3 3 =2+ ? n =???12 分 1 3 1? 3 15 3 1 n ? 1 15 ? n ) ? ???13 分 ? Tn ? ? ( n ?1 4 2 2?3 3 4 1 1 1 1 15 15 ? ? ??? ? ? ? ? d1 d 2 d n 4 4 16 ???14 分

6

20. (本题满分 14 分) 本小题考查利用待定系数法直线与圆的方程,以及圆中定值问题的求解。 1 解: (1)因为 O 点到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 ,???????1 分 2 所以圆 O 的半径为 (
2

1 2
2

)2 ? (

6 2 ) ? 2, 2

故圆 O 的方程为 x ? y ? 2 .?????2 分 x y (2)设直线 l 的方程为 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,即 bx ? ay ? ab ? 0 , a b ab 1 1 1 由直线 l 与圆 O 相切,得 ? 2 ,即 2 ? 2 ? , ?????4 分 2 2 a b 2 a ?b
1 1 ? ) ≥8 , a 2 b2 当且仅当 a ? b ? 2 时取等号,此时直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 .???6 分 DE 2 ? a 2 ? b2 ? 2(a 2 ? b2 )(

(3)设 M ( x1 , y1 ) , P( x2 , y2 ) ,则 N ( x1 , ? y1 ) , x12 ? y12 ? 2 , x2 2 ? y2 2 ? 2 , x y ? x2 y1 x y ? x2 y1 直线 MP 与 x 轴交点 ( 1 2 , ,0) , m ? 1 2 y2 ? y1 y2 ? y1 x y ? x2 y1 x y ? x2 y1 直线 NP 与 x 轴交点 ( 1 2 ,??????10 分 ,0) , n ? 1 2 y2 ? y1 y2 ? y1
2 2 2 2 x1y 2 ? x 2 y1 x1y 2 ? x 2 y1 x 1 y 2 ? x 2 y 1 mn ? ? ? y 2 ? y1 y2 ? y1 y2 ? y2 2 1

?

(2 ? y 2 )y2 ? (2 ? y 2 )y2 1 2 2 1 y2 ? y2 2 1

?

2y 2 ? 2y 2 2 1 y2 ? y2 2 1

??????13 分

?2

故 mn 为定值 2. ??????14 分 21. (本题满分 14 分) 本小题考查利用导数研究函数的单调区间以及用导数的方法讨论方程根的情况。

3 ,0) ? (0,??). 2 1 2 ( x ? 1)( x ? 3) 对 f ( x) 求导得 f ?( x) ? ????2 分 ? 2 ? 3 x 3 2 x? x (x ? ) 2 2 3 由 f ?( x) ? 0,得 ? ? x ? ?1或x ? 3 ,由 f ?( x) ? 0,得 ? 1 ? x ? 0或0 ? x ? 3. 2 3 因此 (? ,?1)和(3, ? ?) 是函数 f ( x) 的增区间; 2
解: (1)函数 f ( x) 的定义域是 (? (-1,0)和(0,3)是函数 f ( x) 的减区间 ??????5 分

7

1 1 1 x ? m ? ln x ? x ? m ? m ? ln x ? x. 2 2 2 1 所以实数 m 的取值范围就是函数 ? ( x) ? ln x ? x 的值域 ????6 分 2 1 1 对 ? ( x)求导得? ?( x) ? ? . x 2
(2)因为 g ( x) ? 令 ? ?( x) ? 0,得x ? 2,并且当x ? 2时,? ?( x) ? 0;当0 ? x ? 2时,? ?( x) ? 0 ∴当 x=2 时 ? ( x ) 取得最大值,且 ? ( x) max ? ? (2) ? ln 2 ? 1. 又当 x 无限趋近于 0 时, ln x 无限趋近于 ? ?,? 进 而 有 ? ( x) ? ln x ?

1 x 无限趋近于 0, 2

1 1 x 无 限 趋 近 于 - ∞ . 因 此 函 数 ? ( x) ? ln x ? x 的 值 域 是 2 2

(??, ln 2 ? 1] ,即实数 m 的取值范围是 (??, ln 2 ? 1] ??????9 分
(3)结论:这样的正数 k 不存在。 ??????10 分 下面采用反证法来证明:假设存在正数 k,使得关于 x 的方程

f ( x) ? kg( x) 有两个不相等的实数根 x1和x2 ,则
3 2 ? ln( x1 ? ) ? ? k ln x1 , ? 2 x1 ? f ( x1 ) ? k g( x1 ) ? ?? ? ? f ( x 2 ) ? k g( x 2 ) ?ln( x ? 3 ) ? 2 ? k ln x . 2 2 ? 2 x2 ?
根据对数函数定义域知 x1和x2 都是正数。 又由(1)可知,当 x ? 0 时, f ( x ) min ? f (3) ? ln(3 ? ) ? ∴ f ( x1 ) = ln( x1 ? ) ?


????11 分



3 2

2 ?0 3

3 2

3 3 3 ? 0 , f ( x 2 ) = ln( x 2 ? ) ? ? 0, x1 2 x2

再由 k>0,可得 g ( x1 ) ? ln x1 ? 0, g ( x2 ) ? ln x2 ? 0 ? x1 ? 1, x2 ? 1. 由于 x1 ? x2 , 所以 不妨设 1 ? x1 ? x 2 ,

3 2 3 2 ln( x1 ? ) ? ln( x 2 ? ) ? 2 x1 2 x2 ? 由①和②可得 ln x1 ln x 2
8

利用比例性质得

3 2 3 2 ln( x1 ? ) ? ? ln x1 ln( x 2 ? ) ? ? ln x 2 2 x1 2 x2 ? ln x1 ln x 2

ln(1 ?


3 2 3 2 )? ln(1 ? )? 2 x1 x1 2 x2 x2 ? .(*) ????13 分 ln x1 ln x 2
ln x1 ? 1. ln x 2

由于 ln x是区间(1,??) 上的恒正增函数,且 1 ? x1 ? x 2 ,? 又 ln(1 ?

3 2 ) ? 是区间(1,??) 上 的 恒 正 减 函 数 , 且 1 ? x1 ? x 2 . ∴ 2x x
2 x1 ? 1. 2 x2 2 3 2 3 2 ln(1 ? )? ln(1 ? )? x1 2 x1 x1 2 x2 x2 ? ? ,这与(*)式矛盾。 2 ln x1 ln x 2 x2

3 )? 2 x1 3 ln(1 ? )? 2 x2 ln(1 ?

3 )? ln x1 2 x1 ? ∴ 3 ln x 2 ln(1 ? )? 2 x2 ln(1 ?

因此满足条件的正数 k 不存在 ????????14 分

9


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