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2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1


第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2 空间中直线与直线之间 的位置关系 复习引入: 1、同一平面内不重合两条直线有几种位置 关系? (1)、相交:有且仅有一个公共点。 (2)、平行:在同一平面内没有公共点。 2、在同一平面内,同平行于一条直线的两 条直线有什么位置关系? 互相平行 提出问题:空间中的两条直线呢?

1.空间中两条直线的位置关系 观察: 观察教室内的日光灯管所在直线与黑 板的左右两侧所在的直线,想一想:它 们相交吗?平行吗?共面吗? 观察长方体的棱所在 直线,回答类似的问题. 思考:我们把具有上述特征的两条 直线取个怎样的名字才好呢? 异面直线的定义: 我们把不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线(skew lines)。 想一想:怎样通过图形来表示异面直线? 为了表示异面直线a,b不共面的特点,作图 时,通常用一个或两个平面衬托。如下图: m ? m l l 想一想,做一做: 1.已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的 点,那么MN与AB所在的直线是异面直线吗? D1 M C1 A1 D A B1 N C B 想一想,做一做: 2. 下图是一个正方体的展开图,如果将它 还原成正方体,那么AB,CD,EF,GH这 四条线段所在直线是异面直线的有几对? C G H E A D B 三对 AB与CD AB与GH EF与GH F 3. l1 ? ? , l2 ? ? , 则l1 , l2一定是异面直线吗? 空间中两条直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有且只有三种 ? ?平行直线 ?共面直线 ? ? ?相交直线 ? 异面直线 ? 位置关系 相交 只有一个 没有 没有 公共点个 数 是否共面 共面 共面 不共面 平行 异面 2. 空间两平行直线 提出问题:在同一平面内,如果两条直线 都与第三条直线平行,那么这两条直线互 相平行。在空间中,是否有类似的规律? ' ' ' ' ABCD ? A B C D 中, BB'∥ AA' 观察:如图2.1.2-5,长方体 DD'∥ AA' 那么 BB ' 与 DD' 平行吗? D' C' A' D A B' C B 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相 平行。 公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间 这个性质都适用。 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。 符号表示:设空间中的三条直线分别为a, b, c,若 a∥ b a∥ c c∥b 想一想:空间中,如果两条直线都与第三条直 线垂直,是否也有类似的规律? 例题示范 例1: 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA的中点。 求证:四边形EFGH是平行四边形。 分析: 欲证EFGH是一个平行四边形 只需证EH∥FG且EH=FG E A H D G 连结BD,只需证: 1 EH ∥BD且EH = BD 2 1 FG ∥BD且FG = BD 2 B F C E,F,G,H分别是各边中点 例题示范 例1: 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA的中点。 求证:四边形EFGH是平行四边形。 证明: 连结BD ∵ EH是△ABD的中位线 1 ∴EH ∥BD且EH = BD 2 1 同理,FG ∥BD且FG = BD E D G A H 2 ∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形 B F C

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