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【名师一号】2014-2015学年高中数学人教版通用选修2-2双基限时练12]


双基限时练(十二)
1.下列各式中,正确的是( A.?bF′(x)dx=F′(b)-F′(a)
?a

)

B.?bF′(x)dx=F′(a)-F′(b)
?a ?a

C.?bF′(x)dx=F(b)-F(a) D.?bF′(x)dx=F(a)-F(b)
?a

/>答案

C ) B.1 π D.2 π ∫20(sinx-cosx)dx

π 2.∫20( sinx-cosx)dx=( A.0 C.2 解析

π π =∫20sinxdx-∫20cosxdx =(-cosx) =1-1=0. 答案 A )
?π ? 0-(sinx) ?2 ?π ? 0 ?2

1 3.若∫a1(2x+x)dx=3+ln2(a>1),则 a 的值为( A.6 C.3 解析 B.4 D.2 1 ∵?a(2x+x)dx
?1

=(x2+lnx)

?a ?1=a2+lna-1, ?

1 又?a(2x+x)dx=3+ln2,
?1

∴a=2. 答案
?

D )

4.?π-πcosxdx 等于( A.2π C.0 B.π D.1

解析 ?π-πcosxdx=sinx ? 答案 C

?π ?-π=sinπ-sin(-π)=0. ?

2 ? ?0≤x<1?, ?x 5.设 f(x)=? 则?2f(x)dx 等于( ?2-x ?1<x≤2?, ?0 ?

)

3 A.4 5 C.6

4 B.5 D.不存在
?0 ?0 ?1 ?2 ?1 ?

解析 ?2f(x)dx=?1x2dx+?2(2-x)dx 1 =3x3
?1 1 ?0+(2x- x2) 2 ?

1 3 5 =3+2-2=6. 答案 C

6.由曲线 y=x2-1,直线 x=0,x=2 和 x 轴围成的封闭图形的 面积(如图阴影部分)是( A. ?2(x2-1)dx
?0

)

B.|?2(x2-1)dx|
?0

C.?2|x2-1|dx
?0

D.?1(x2-1)dx+?2(x2-1)dx
?0 ?1

答案

C
?0 ?0 ?0

7.若 a=?2x2dx,b=?2x3dx,c=?2 sinxdx,则 a,b,c 的大小关 系是________. 1 解析 ∵a=?2x2dx=3x3
?0 ?2 8 ?0= , 3 ?

1 b=?2x3dx=4x4
?0

?2 ?0=4, ? ?2 ?0=-cos2+1<2. ?

c=?2 sinxdx=(-cosx)
?0

∴b>a>c. 答案 b>a>c

8.计算?2-2( sinx+2)dx=________.
?

解析 ?2-2(sinx+2)dx=?2-2sinxdx+?2-22dx ? ? ? =(-cosx)
?2 ?-2+2x ? ?2 ?-2 ?

=-cos2+cos(-2)+2×2-2×(-2) =8. 答案 8 9.设函数 f(x)=ax2+c(a≠0),若 0≤x0≤1.且
? f(x)dx=f(x0),则 x0=________. ?0 ?a ? 1 a 解析 ∵?1f(x)dx=?1(ax2+c)dx=?3x3+cx?? = +c, ? ?? 0 3 ? ?
0 0 1

a 又?1f(x)dx=f(x0),∴ax2 0+c= +c. 3
?0

1 2 ∵a≠0,∴x0 =3, 3 又 0≤x0≤1,∴x0= 3 . 答案 3 3

10.计算下列定积分: x- x2 (1)? d x; ? x+x
4 1

(2)?2(2-|1-x|)dx;
?0

π π (3)∫2-2(sinx-cosx)dx. 解 x-x2 ? x+x?? x-x? (1)? dx=?4 d x= x+x ? x+x ?
4 1 1

?2 3 1 2?? 4 ? ( x-x)dx=?3x2-2x ?? ? ?? ?1

4 1=

3 1 ?2 ? ?2 1? 16 2 1 17 ? ×4 - ×42?-? - ?= -8- + =- . 2 2 3 2 6 ?3 ? ?3 2? 3
? ?1+x,0≤x≤1, (2)∵y=2-|1-x|=? ?3-x,1<x≤2. ?

1 ?? ? ∴ ?2 (2 - |1 - x|)dx = ?1 (1 + x)dx + ?2 (3 - x)dx = ?x+2x2? ?
?0 ?0 ?1 ? ??

1 0+

1 ?? ? ?3x- x2?? 2 ?? ?

3 5 2 1= +4- =3. 2 2 π π 2-2=-1-1=-2.

? π π (3)∫2-2(sinx-cosx)dx=(-cosx-sinx)? ?

17 11.f(x)是一次函数,且?1f(x)dx=5,?1xf(x)dx= 6 ,求 f(x)的解析
?0 ?0

式. 解
?0

设 f(x)=ax+b(a≠0),
?0

17 由?1f(x)dx=5,?1xf(x)dx= 6 ,
? 1 得?1(ax+b)dx=(2ax2+bx)? ?0 ?
1 ? x(ax+b)dx=( ax + bx ) 3 2 ?0

1 1 0= a+b, 2
?1 1 1 ?0= a+ b, 3 2 ?

1

3

1

2

1 ? ?2a+b=5, ∴? 1 b 17 ? ?3a+2= 6 , ∴f(x)=4x+3.

? ?a=4, 解得? ? ?b=3.

12.求 f(a)=?1(6x2+4ax+a2)dx 的最小值.
?0



f(a)=?1(6x2+4ax+a2)dx
?0

=?16x2dx+?14axdx+?1a2dx
?0 ?0 ?0

=2x3

?1 ?0+2ax2 ?

?1 ?0+a2x ?

?1 ?0 ?

=2+2a+a2 =(a+1)2+1. ∴当 a=-1 时,f(a)的最小值为 1. 13.设 F(x)=?x(t2+2t-8)dt.
?0

(1)求 F(x)的单调区间; (2)求 F(x)在[1,3]上的最值. 解
?1 ?? F(x)=?x(t2+2t-8)dt=?3t3+t2-8t?? ?0 ? ??

1 3 2 x 0= x +x -8x,定义 3

域是(0,+∞). (1)F′(x)=x2+2x-8=(x+4)(x-2), ∵当 x<-4 或 x>2 时,F′(x)>0; 当-4<x<2 时,F′(x)<0. 又∵x>0,∴函数的增区间为(2,+∞),减区间为(0,2). (2)令 F′(x)=0,得 x=2(x=-4 舍去). 20 28 又 F(1)=- 3 ,F(2)=- 3 ,F(3)=-6, 28 ∴F(x)在[1,3]上的最大值为-6,最小值是- 3 .


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