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2016年秋新课标人教A版高中选修2-1:3命题及其关系(三)


命题及其关系(三) 复习 上节课我们重点认识了四种命题形式 原命题 若p,则q 互 否 否命题 若? p,则? q 互逆 互为逆否 逆命题 若q,则p 互 否 逆否命题 若? q,则? p 同真同假 互逆 为什么? 注:(1) “互为”的含义; (2)原命题与其逆否命题同真同假. (3)逆命题与否命题同真同假. 四种命题的真假,有且只有下面四种情况: 原命题 真 真 假

假 逆命题 真 假 真 假 否命题 真 假 真 假 逆否命题 真 真 假 假 原命题 若p,则q 否命题 若?p,则?q 同真同假 逆命题 为什么? 若q,则p 逆否命题 若?q,则?p 所以,证明原命题为真困难时,可以考虑证明逆否命题为真. 在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来 间接证明原命题为真命题. ──这是一种很好的尝试,它往往具有 正难则反,出奇制胜的效果. ──它其实是反证法的一种特殊表现: 从命 题结论的反面出发 , 引出矛盾 ( 如证明结论的条 件不成立),从而证明命题成立的推理方法. 反证法 反证法证明命题的一般步骤如下: 1.假设结论的反面成立; 推理过程中一定要用到才行 2. 由这个假设 出发 ,经过正确的推理 ,导 .. 出矛盾; 显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾). 3. 由矛盾判定假设不正确 , 从而肯定命 题的结论正确. 有一位数学家说:“反证法是数学上最 精良的武器之一.”数学上很多有名的结论 都是用反证法得证的.比如说,素数有无穷多 个等. 例 1.证明:若 p ? q ? 2 ,则 p ? q ≤ 2 . 2 2 分析:直接证不好下手. 将 “ 若 p ? q ? 2 , 则 p ? q ≤ 2 ” 看成 原命题 ,由于原命题和它的逆否命题具有 相同的真假性,要证原命题为真命题,可 以 证明 它的 逆否 命题 “ 若 p ? q ? 2 , 则 2 2 p ? q ? 2 ”为真命题. 2 2 例 1.证明:若 p ? q ? 2 ,则 p ? q ≤ 2 . 2 2 证明: 假设 p ? q ? 2 , 2 假设原命题结 论的反面成立 则 ( p ? q) ? 4 , 看能否推出原命题 2 2 ∴ p ? q ? 2 pq ? 4 , 条件的反面成立 ∵ p2 ? q2 ≥ 2 pq , 2 2 2 2 ∴ 2( p ? q ) ? 4 , ∴ p ? q ? 2 , 尝试成功 2 2 ∴ p ?q ? 2. 得证 这表明原命题的逆否命题为真命题 , 从而原命 题也为真命题. 例 2 如图,等腰三角形 ABC 中,AB=AC, 已知∠DAP≠∠PAC,求证:AP 与 BC 不平行. 分析 : 题中条件与结论中 有“∠ DAP ≠∠ PAC ” , “ AP 与 BC 不平行”这样的不等 关系、否定关系,像这样的 问题直接证明不好说理, 若考虑证明它的逆否命题 来代替会容易些. 证明: 假设 AP 与 BC 平行, 假设原命题结 ∵ AB ? AC 例 2 如图, 等腰三角形 ABC 中, AB=AC, 已知∠DAP≠∠PAC, 求证:AP 与 BC 不平行. “等腰△ABC中,AB=AC” 不是条件 ∴ ?B ? ?C 论的反面成立 ∵ AP ? BC ∴ ?DAP ? ?B 看能否推出原命题条件的反面成立 ?PAC ? ?C 尝试成功 得证 ∴ ?DAP ? ?PAC 因为原命题的逆否命题正确, 所以原命题也正确. 练习

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