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3.1.2 空间向量的数乘运算


船停在码头是最安全的,但那不是造船的目的;人呆在家里是最舒服的,但那不是人生的意义。最美好的生活方式,莫过于和一群志同道合的人奔跑在理想的路上! 回头,有一路的故事;低头,有坚定的脚步;抬头,有清晰的远方。 编写:高洪海 审稿: 2016 年 12 月 27 日

3.1.2
一【自学目标】

空间向量的数乘运算

三【预习自测】
???? ? ???? ? 1.1.如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点.若 A1B1 = a , A1D1 ??? ? ???? ? = b , A1 A = c ,则下列向量中与 B1M 相等的向量是( )
1 1 A.- a + b + c 2 2 1 1 1 1 1 1 B. a + b + c C. a - b + c D.- a - b + c 2 2 2 2 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? 2.已知空间向量 a ,b ,且 AB = a +2 b ,BC =-5 a +6 b ,CD =7 a -2 b , 则一定共线的三点是( ) A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 3.在下列条件中,使 M 与 A,B,C 一定共面的是( ) ???? ??? ??? ? ??? ? ???? ??? ??? ? ??? ? A. OM =3 OA -2 OB - OC B. OM + OA + OB + OC =0 ???? 1 ??? ? ??? 1 ??? ? ??? ? ??? ? ???? C. MA + MB + MC =0 D. OM = OB - OA + OC 4 2

1. 掌握空间向量的数乘运算律,能进行简单的代数式化简; 2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论; 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题.

二【知识要点】
1.空间向量的数乘运算 (1)定义:实数λ 与空间向量 a 的乘积 λ a 仍然是一个________,称为向量的数乘运算. (2)向量 a 与λ a 的关系: λ 的范 围 λ >0 λ =0 λ <0 (3)空间向量的数乘运算律 方向关系 方向________ λ a=0,其方向是任意的 方向________ 模的关系 λ a 的模是 a 的模的 ________

四【课内练习】
探究一:空间向量的线性运算
???? 1 ???? ???? 例 1 如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, AM = MC , A1 N = 2 ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ND .设 AB = a , AD = b , AA1 = c ,试用 a , b , c 表示 MN .

设λ , μ 是实数, 则有①分配律: λ ( a + b )=λ a +λ b .②结合律: λ (μ a )=(λ μ ) a . 2.共线向量 共线(平行)向量 共面向量 表示空间向量的有向线段所在的直线 定义 ________________ ,则这些向量叫做 平行于________的向量叫做共面向量 ________或平行向量 充要 条件 则向量 p 与 a , b 不共线, 对于空间任意两个向量 a ,b ( b ≠0), 若两个向量 a ,

a ∥ b 的充要条件是存在实数 λ 使 a
=λ b . 如果 l 为经过点 A 平行于已知非零向 量 a 的直线,那么对于空间任一点 O, 点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实 ??? ? ??? 数 t,使 OP = OA +t a ,①其中 a 叫 做直线 l 的________,如图所示. 若 ??? ? 在 l 上取 AB = a , 则①式可化为____ =________ .

b 共面的充要条件是存在唯一的有序实
数对(x,y),使 p =x a +y b . 探究二:向量共线问题 例 2 如图所示,已知四边形 ABCD,ABEF 都是平行四边形且不共面,M, ??? ? ???? N 分别是 AC,BF 的中点,判断 CE 与 MN 是否共线.

推论

如图,空间一点 P 位于平 面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对 ??? ? ??? ? ??? ? (x,y),使 MP =x MA +y MB ,或 ??? ? ???? 对空间任意一点 O 来说, 有 OP = OM + ??? ? ??? ? x MA +y MB .
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船停在码头是最安全的,但那不是造船的目的;人呆在家里是最舒服的,但那不是人生的意义。最美好的生活方式,莫过于和一群志同道合的人奔跑在理想的路上! 回头,有一路的故事;低头,有坚定的脚步;抬头,有清晰的远方。 编写:高洪海 审稿: 2016 年 12 月 27 日 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A. a - b + c B. a - b + c C. a + b + c D. a + b + c 探究三:向量共面问题 2 4 4 2 2 2 4 4 4 2 4 ??? ? ??? ??? ? ??? ? 例 3 对于任意空间四边形 ABCD,E,F 分别是 AB,CD 的中点. 3 1 1 ? ??? ??? ? ??? ? 3.A,B,C 不共线,对空间任意一点 O,若 OP = OA + OB + OC ,则 P,A,B,C 四 4 8 8 试证: EF 与 BC , AD 共面. 点( ) A.不共面 B.共面 C.不一定共面 D.无法判断是否共面 ? 3 ??? ? 1 ??? ??? ? 4.在三棱锥 A-BCD 中,若△BCD 是正三角形,E 为其中心,则 AB + BC - DE - AD 化 2 2 简的结果为________. ??? ? ??? ? 5.设 e1,e2 是平面内不共线的向量,已知 AB =2e1+ke2, CB =e1+3e2, CD =2e1-e2, 若 A,B,D 三点共线,则 k=________. 6.如图所示,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别在 B1B 和 D1D 上, 1 2 且 BE= BB1,DF= DD1.证明:A,E,C1,F 四点共面. 3 3

五【归纳反思】
1. 共线向量定理包含两个命题, 特别是对于两个向量 a ,b , 若存在实数λ , 使 a =λ b ( b ≠ 0 )? a ∥ b ,可以作为以后证明线线平行的依据. 2.共面向量的充要条件是判断三个向量是否共面的依据.其推论是判定空间四点共面的依 ??? ? ??? ??? ? ??? ? 据(若对空间任一点 O,有 OP =α OA +β OB +γ OC (α +β +γ =1)成立,则 P,A, B,C 共面). 3.在讨论向量共线或共面时,必须注意零向量与任意向量都共线.要注意:向量的共线与 共面不具有传递性.

六【巩固提高】
1.下列命题中正确的个数是( ) ①若 a 与共 b 线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线. ②向量 a , b , c 共面,即它们所在的直线共面. ③若 a ∥ b ,则存在唯一的实数λ ,使 a =λ b A.0 B.1 C.2 D.3 ??? ??? ? ??? ? 2.在四面体 O-ABC 中, OA = a , OB = b , OC = c ,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点, ??? ? 则 OE =( )

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