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【人教A版】选修1-1数学:2.1.1《椭圆及其标准方程》ppt课件


一、情境设置
取一条定长的细绳, 把它的两端都固定在 图板的同一点处, 套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔 尖, 这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆. 如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定 在图板的两点处(如图), 套上铅笔, 拉紧绳 子, 移动笔尖, 画出的轨迹是什么曲线? 在这一过程中, 你 能说出移动的笔尖 (动 点)满足的几何条件吗?

二、新知探究 1、椭圆的定义 我们把平面内与两个定点F1、F2

的距离之和等于常数(大于| F1F2 |)
的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫

做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做
椭圆的焦距.

若常数不大于|F1F2|, 那么点的轨迹 又是什么?

若常数不大于|F1F2|, 那么点的轨迹 又是什么? (1)若与两个定点F1、F2的距离之和 等于|F1F2|, 则点的轨迹为线段F1F2; (2)若与两个定点F1、F2的距离之和 小于| F1F2 |, 则平面内不存在这样的点.

2、椭圆的标准方程

观察椭圆的形状,你认为怎样建立 坐标系才能使椭圆的方程简单?

设M ( x , y )是椭圆上任意一点 , 椭圆的焦距为 2c(c ? 0), 那么焦点F1、 F2的坐标分别为 ( ? c , 0), (c , 0), 又设M与F1、F2的距离的和等于 2a .
由椭圆的定义,椭圆就是集合 P ? {M | | MF1 | ? | MF2 |? 2a}.

y
P

F1 O

F2

x

设M ( x , y )是椭圆上任意一点 , 椭圆的焦距为 2c(c ? 0), 那么焦点F1、 F2的坐标分别为 ( ? c , 0), (c , 0), 又设M与F1、F2的距离的和等于 2a .

由椭圆的定义,椭圆就 是集合 P ? { M | | MF1 | ? | MF 2 |? 2a }.
( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a (a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 ) x y ? 2 ?1 2 2 a a ?c
2 2

(1)

观察下图, 你能从中找出表示a , c, a ? c 的线段吗?
2 2

y
P F1 O F2

x

令b ? a ? c , 那么(1)式就是
2 2

x y ? 2 ? 1 (a ? b ? 0). 2 a b

2

2

( 2)

这样,我们把方程(2)叫做椭圆的
标准方程,它的焦点在x轴上,两个焦点 分别是F1(-c, 0), F2(c, 0), 这里c2=a2-b2.

y
如图, 如果焦点F1 , F2在 y轴上,且F1 , F2的坐标分别 为(0, ? c), (0, c),a, b的意义 同上, 那么椭圆的方程是什么?

M O

F2

x
F1

y
如图, 如果焦点F1 , F2 在 y轴上,且F1 , F2的坐标分别 为(0, ? c ), (0, c ),a , b的意义 同上, 那么椭圆的方程是什么 ?

M O

F2

x
F1

容易知道,此时椭圆的方程是 2 2 y x ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 2 a b

【例1】
已知椭圆两个焦点的坐 标分别是 5 3 ( ?2, 0), ( 2, 0), 并且经过点 ( , ? ), 求 2 2 它的标准方程.

【练习1】写出适合下列条件的椭 圆的标准方程:
(1)a ? 3, b ? 2, 焦点在x轴; ( 2)a ? 3, b ? 2 2 , 焦点在y轴上; ( 3)a ? b ? 9, c ? 3.

【练习2】
已知椭圆的中心在原点 ,焦点在坐标 轴上,且经过两点 A( 6 , 1), B( ? 3 , ? 2 ), 求该椭圆的标准方程 .

【拓展训练】
x 2 已知?ABC的顶点B , C在椭圆 ? y ? 1 3 上,顶点A是椭圆的一个焦点,且 另一 个焦点在边BC上,则?ABC的周长是 A.2 3 C. 4 3 B.6 D.12
2

三、课堂小结
1、椭圆的定义中务必注意2a>|F1F2|; 2、椭圆的标准方程 2 2 ( 1) x ? y ? 1 ( a ? b ? 0 ) 2 2 a b
y x (2) 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) a b
2 2

注意焦点所在的坐标轴.


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