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数学史知识点


●中世纪的中国数学
1.周髀算经 在现存的中国古代数学著作中,《周髀算经》是最早的一部。卷上叙述的关 于荣方与陈子的对话, 包含了勾股定理的一般形式。 (我国最早记载勾股定理, 中国历史上最早完成勾股定理证明的数学家是三国时期的赵爽。) 我国古代著作《周髀算经》中的“髀”是指竖立的表或杆子。 2.九章算术 第一章“方田”:田亩面积计算;提出了各种多边形、圆、弓形等的面积

公 式;分数的通分、约分和加减乘除四则运算的完整法则。后者比欧洲早 1400 多 年。 第二章“粟米”:谷物粮食的按比例折换;提出比例算法,称为今有术;衰 分章提出比例分配法则,称为衰分术; 第三章“衰分”:比例分配问题;介绍了开平方、开立方的方法,其程序与 现今程序基本一致。 这是世界上最早的多位数和分数开方法则。它奠定了中国在 高次方程数值解法方面长期领先世界的基础。 第四章“少广”:已知面积、体积,反求其一边长和径长等; 第五章“商功”:土石工程、体积计算;除给出了各种立体体积公式外,还 有工程分配方法;(《九章算术》中的“阳马”是指一种特殊的棱锥) 第六章“均输”:合理摊派赋税;用衰分术解决赋役的合理负担问题。今有 术、衰分术及其应用方法,构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连 锁比例在内的整套比例理论。 西方直到 15 世纪末以后才形成类似的全套方法。 第七章“盈不足”:即双设法问题;提出了盈不足、盈适足和不足适足、两 盈和两不足三种类型的盈亏问题, 以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的 一般问题的解法。这也是处于世界领先地位的成果,传到西方后,影响极大。 第八章“方程”:一次方程组问题;采用分离系数的方法表示线性方程 组, 相当于现在的矩阵;解线性方程组时使用的直除法,与矩阵的初等变换一 致。这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。在西方,直到 17 世纪才由莱 布尼兹提出完整的线性方程的解法法则。这一章还引进和使用了负数,并提出了 正负术——正负数的加减法则, 与现今代数中法则完全相同;解线性方程组时实 际还施行了正负数的乘除法。 这是世界数学史上一项重大的成就,第一次突破了 正数的范围,扩展了数系。外国则到 7 世纪印度的婆罗摩及多才认识负数。 第九章“勾股”: 利用勾股定理求解的各种问题。其中的绝大多数内容是与

当时的社会生活密切相关的。提出了勾股数问题的通解公式:若 a、b、c 分别是 勾股形的勾、股、弦,则,m>n。在西方,毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这 个公式的几种特殊情况,直到 3 世纪的丢番图才取得相近的结果,这已比《九章 算术》晚约 3 个世纪了。勾股章还有些内容,在西方却还是近代的事。例如勾股 章最后一题给出的一组公式,在国外到 19 世纪末才由美国的数论学家迪克森得 出。

●印度与阿拉伯的数学
1.首先使用符号“0”来表示零的国家或民族是印度。 2.印度古代数学著作《计算方法纲要》的作者是马哈维拉。 3.阿拉伯数学家花拉子米的《还原与对消计算概要》通常被称作《代数学》。它 第一次给出了二次方程的一般解法,并用几何方法对这一解法给出了证明。 4.“代数学”一词起源于阿拉伯人数学家花拉子米 《还原与对消计算概要》 的著 作。 5.创造并首先使用“阿拉伯数码”的国家或民族是印度, 而首先使用十进位值制 记数的国家或民族则是中国。

●微积分
1.就微分学与积分学的起源而言积分学早于微分学。 2.对微积分的诞生具有重要意义的“行星运行三大定律”,其发现者是开普勒。 3.微积分创立于 17 世纪,由牛顿所作的《流数简论》标志着微积分的诞生。牛 顿的“流数术”中,“正流数术”是指微分,“反流数术”是指积分。 4.微分符号“d”、积分符号“∫”的首先使用者是莱布尼茨。 5.历史上第一篇系统的微积分文献《流数简论》的作者是牛顿,第一个公开发表 微积分论文的数学家是莱布尼茨。 6.德沙格和帕斯卡等是微积分的开创者。 7.最早使用“函数”(function)这一术语的数学家是莱布尼茨。 8.1834 年有位数学家发现了一个处处连续但处处不可微的函数例子, 这位数学 家是波尔查诺。

9.被称为“现代分析之父”的数学家是魏斯特拉斯, 被称为“数学之王”的数学 家是高斯。 高斯:是德国数学家、物理学家和天文学家。数学史家们倾向于认为,高斯 当时已掌握了等差数列求和的方法。一位年仅 10 岁的孩子,能独立发现这一数 学方法实属很不平常。高斯的学术地位,历来被人们推崇得很高。他有“数学王 子”、“数学家之王”的美称。 10.拉格朗日在《解析函数论》一书中,主张用拉格朗日定理来定义导数,以此 作为整个微分、积分演算的出发点而将微积分归结为“代数运算”。 11.法国几何学家庞斯列对射影几何的发展作出了杰出的贡献,在他的研究中, 有两个基本原理扮演了重要角色。首先是连续性原理,另一个是对偶原理 。 12.哥德巴赫猜想是德国数学家哥德巴赫于 18 世纪在给数学家欧拉的一封信中 首次提出的。 13.简单多面体的顶点数 V、面数 F 及棱数 E 间有关系 V+F-E=2 这个公式叫欧拉 公式。 欧拉: 瑞士数学家和物理学家。他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位 数学家之一(另一位是卡尔·弗里德里克·高斯)。欧拉是第一个使用“函数” 一词来描述包含各种参数的表达式的人,例如:y = F(x) (函数的定义由莱 布尼兹在 1694 年给出)。他是把微积分应用于物理学的先驱者之一。 14.除了瑞士籍数学家欧拉外,在 18 世纪推进微积分及其应用的欧陆数学家中, 首先应该提到法国学派,其代表人物有克莱洛、达郎贝尔、拉格朗日、蒙日、拉 普拉斯等。 15.费马对微积分诞生的贡献主要在于其发明的求极值的方法。 ●非欧几何 1.“非欧几何”理论的建立源于对欧几里得几何体系中第五公设的证明, 最先建 立“非欧几何”理论的数学家是罗巴切夫斯基。 2.罗巴契夫斯基所建立的“非欧几何”假定过直线外一点, 至少可以做两条直线 与已知直线平行,而且在该几何体系中,三角形内角和小于两直角。 3. 欧氏几何、 罗巴契夫斯基几何都是三维空间中黎曼几何的特例, 其中 欧氏 几何对应的情形是曲率恒等于零,罗巴契夫斯基几何对应的情形是曲率为负常 数。

●一些常识问题 1.提出“集合论悖论”的数学家是罗素。 2.“纯数学的对象是现实世界的空间形式与数量关系.”给出这个关于数学本质 的论述的人是恩格斯。 3.中国最古的算书《算数书》出土于 1984 年之交在湖北江陵张家山 247 号墓。 4.2006 年,在西班牙马德里举行第 25 届国际数学家大会上,华裔科学家陶哲轩 因为他对偏微分方程、组合数学、谐波分析和堆垒数论方面的贡献,获得被誉为 “数学界的诺贝尔奖”的菲尔兹奖。 5.被誉为中国人工智能之父,在几何定理的机器证实取得重大突破,并获得首届 国家最高科学技术奖的数学家是吴文俊。 6.1900 年, 希尔伯特在巴黎国际数学家大会上提出的闻名数学问题共有 23 个。 7.现代电子计算机诞生于 20 世纪,对现代电子计算机的设计作出最大贡献的两 位数学家是冯.诺依曼和阿兰.图灵。 8.第一台能做加减运算的机械式计算机是数学家帕斯卡于 1642 年发明的,使现 代电子计算机技术走上康庄大道的 EDVAC 方案(即“101 页报告”)则是数学家 冯.诺伊曼提出的。 9.《几何基础》的作者是希尔伯特,该书所提出的公理系统包括五组公理。

●埃及数学
1.古埃及的数学知识常常记载在纸草书上。 2.古埃及数学的知识,主要来源于莱茵德纸草书和莫斯科纸草书。 3.数学史上三大数学危机是: 无理数的发现、 无穷小是“0”吗?、 悖论的产生。 4. 最早采用位值制记数的国家或民族是美索不达米亚。 5. .在代数和几何这两大传统的数学领域,古代美索不达米亚的数学成就主要 在 苏美尔人还会分数、加减乘除四则运算和解一元二次方程,发明了 10 进位 法和 16 进位法。他们把圆分为 360 度,并知道 π 近似于 3。甚至会计算不规则 多边形的面积及一些锥体的体积。方外,他们能够卓有成效地处理相当一般的解 一元二次方程。

●古希腊数学
1.欧几里得 欧几里得,古希腊数学家,被称为“几何之父”。他最著名的著作《几何原 本》是欧洲数学的基础,提出五大公设,发展欧几里得几何,被广泛的认为是历 史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及 数论的作品, 是几何学的奠基人。两千年来有关欧几里得几何原本第五公设的争 议,导致了非欧几何的诞生。 (五条公理 1.等于同量的量彼此相等; 2.等量 加等量,其和相等; 3.等量减等量,其差相等; 4.彼此能重合的物体是全 等的; 5.整体大于部分。 五条公设 1.过两点能作且只能作一直线; 2.线段(有限直线)可以无限地延 长; 3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆; 4.凡是直角都相等; 5. 同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在直线同侧的两个内角之和小于 180°,则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。) 2.阿基米德 阿基米德,古希腊哲学家、数学家、物理学家。阿基米德到过亚历山大里亚,据 说他住在亚历山大里亚时期发明了阿基米德式螺旋抽水机。 后来阿基米德成为兼 数学家与力学家的伟大学者, 并且享有“力学之父”的美称。阿基米德流传于世 的数学著作有 10 余种,多为希腊文手稿。阿基米德曾说过:给我一个支点,我 可以翘起地球。这句话告诉我们:要有勇气去寻找这个支点,要用于寻找真理。 3.以“万物皆数”为信条的古希腊数学学派是毕达哥拉斯学派。 4.古希腊的三大闻名几何尺规作图问题是化圆为方、倍立方体、三等分角。 5.古希腊开论证几何学先河的是爱奥尼亚学派(代表人物:泰勒斯) 6.古希腊数学家丢番图的 《算术》 是一本问题集, 特别以不定方程的求解而著称。 所谓“不定方程”是指未知数的个数多于方程个数, 且未知数受到某些 (如要求 是有理数、整数或正整数等等)的方程或方程组。 7. 《数学汇编》是一部荟萃总结前人成果的典型著作,它被认为是古希腊数学 的安魂曲,其作者为帕波斯。


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