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云南省玉溪一中2014-2015学年高二(下)期末数学试卷(理科)


云南省玉溪一中 2014-2015 学年高二 (下) 期末数学试卷 (理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1.设全集 U=R,集合 A={x|( ) ≥2},B={y|y=lg(x +1)},则(?UA)∩B=( A. {x|x≤﹣1 或 x≥0} >﹣1} 2.复数 z=1

﹣i,则 A. 第一象限 B. {(x,y)|x≤﹣1,y≥0} C. {x|x≥0}
x 2

) D. {x|x

对应的点所在象限为( B. 第二象限

) C. 第三象限 D. 第四象限

3.把函数 y=sin3x 的图象适当变化就可以得到 y= 以是( )

(sin3x﹣cos3x)的图象,这个变化可

A. 沿 x 轴方向向右平移 C. 沿 x 轴方向向右平移

B. 沿 x 轴方向向左平移 D. 沿 x 轴方向向左平移

4.已知函数
2 2

,则 f(f(f(﹣1) ) )的值等于(



A. π ﹣1

B. π +1

C. π
*

D. 0 ) D. 2

5.数列{an}中,已知 a1=1,a2=2,an+2=an+1﹣an(n∈N ) ,则 a2015=( A. 1 B. ﹣1 C. ﹣2

6.某高三学生进入高中三年来的第 1 次至 14 次数学考试成绩分别为:79,83,93,86,99, 98,94,88,98,91,95,103,101,114,依次记为 A1,A2…,A14.如图是成绩在一定 范围内考试次数的一个算法流程图.那么输出的结果是( )

A. 8

B. 9
2

C. 10

D. 11

7.设 M(x0,y0)为抛物线 C:x =8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、|FM| 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是( ) A. (0,2) B. [0,2] C. (2,+∞) D. [2,+∞) 8.如图是一个几何体的三视图,则该几何体体积为( )

A. 15

B. 16

C. 17 ) C. (0,2)

D. 18

9.在锐角△ABC 中,若 C=2B,则 的范围( A. D. B.

10.如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E 为 AB 的中点,将△ADE 与 △BEC 分别沿 ED、EC 向上折起,使 A、B 重合于点 P,则 P﹣DCE 三棱锥的外接球的体积 为( )

A.

B.

C.

D.

11.设函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,对任意 x∈R 都有 f(x)>f′(x)成立,则( ) A. 3f(ln2)>2f(ln3) B. 3f(ln2)=2f(ln3) C. 3f(ln2)<2f(ln3) D. 3f(ln2)与 2f(ln3)的大小不确定

12.如图,F1、F2 是双曲线

=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C )

的左、右 2 个分支分别交于点 A、B.若△ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为(

A. 4

B.

C.

D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.已知| |=2,| |=3, ( ﹣ )?( + )=﹣1,则 与 的夹角为 .

14. 在平面直角坐标系中, 不等式组

(a 为常数) 表示的平面区域的面积是 16,

那么实数 a 的值为



15.若 a=

cosxdx,则二项式(a



) 的展开式中的常数项为

4



16.若 sinx+siny= ,则 t=sinx﹣cos y 的最大值为

2



三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2Sn?Sn﹣1=0(n≥2,且 n∈N) ,a1= .

(1)求证:{

}是等差数列;

(2)若 bn=Sn?Sn+1,求数列{bn}的前 n 项和为 Tn. 18.经调查发现,人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒,其中罗非鱼体内汞含 量比其它鱼偏高.现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出 15 条作样本,经检测得各条鱼 的汞含量的茎叶图(以小数点前的数字为茎,小数点后一位数字为叶)如图. 《中华人民共 和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过 1.0ppm. (Ⅰ)检查人员从这 15 条鱼中,随机抽出 3 条,求 3 条中恰有 1 条汞含量超标的概率; (Ⅱ)若从这批数量很大的鱼中任选 3 条鱼,记 ξ 表示抽到的汞含量超标的鱼的条数.以此 15 条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据,求 ξ 的分布列及数学期望 Eξ.

19.如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,PA⊥底面 ABCD,E、F 分别为 AB、PC 的中点. (Ⅰ)求证:EF∥平面 PAD; (Ⅱ)若 PA=2,试问在线段 EF 上是否存在点 Q,使得二面角 Q﹣AP﹣D 的余弦值为 若存在,确定点 Q 的位置;若不存在,请说明理由. ?

20.已知椭

+

=1(a>b>0)的离心率为

,短轴的一个端点为(0,1) ,直线 l:y=kx

﹣ 与椭圆相交于不同的两点 A、B. (1)若|AB|= ,求 k 的值;

(2)求证:不论 k 取何值,以 AB 为直径的圆恒过点 M. 21.已知函数 f(x)=lnx﹣ax. (1)当 a=1 时,求曲线 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程;

(2)若 f(x)在区间[1,e]上的最大值为 2,求 a 的值.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请 写清题号. (本小题满分 10 分) 【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图所示,PA 为圆 O 的切线,A 为切点,PO 交于圆 O 与 B,C 两点,PA=10,PB=5, ∠BAC 的角平分线与 BC 和圆 O 分别交于点 D 和 E. (Ⅰ)求 = ;

(Ⅱ)求 AD?AE 的值.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】

23. (2015?江西模拟)在平面直角坐标系 x Oy 中,直线 l 的参数方程为

(t

为参数) . 在以原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标中, 圆 C 的方程为 (Ⅰ)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若点 P 坐标为 ,圆 C 与直线 l 交于 A,B 两点,求|PA|+|PB|的值.



【选修 4-5:不等式选讲】 2 24. (2015?兰州校级三模)若实数 a,b 满足 ab>0,且 a b=4,若 a+b≥m 恒成立. (Ⅰ)求 m 的最大值; (Ⅱ)若 2|x﹣1|+|x|≤a+b 对任意的 a,b 恒成立,求实数 x 的取值范围.

云南省玉溪一中 2014-2015 学年高二 (下) 期末数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1.设全集 U=R,集合 A={x|( ) ≥2},B={y|y=lg(x +1)},则(?UA)∩B=( A. {x|x≤﹣1 或 x≥0} D. {x|x>﹣1} B. {(x,y)|x≤﹣1,y≥0}
x 2



C. {x|x≥0}

考点:交、并、补集的混合运算. 专题:计算题. 分析:由全集 U=R,集合
2

={x|x≤﹣1},得到 CUA={x|x>﹣1},再由

B={y|y=lg(x +1)}={y|y≥0},能求出(CUA)∩B. 解答: 解:∵全集 U=R, 集合 ={x|x≤﹣1},

∴CUA={x|x>﹣1}, 2 ∵B={y|y=lg(x +1)}={y|y≥0}, ∴(CUA)∩B={x|x|x≥0}. 故选 C. 点评:本题考查集合的交、 并、 补集的混合运算, 是基础题. 解题时要认真审题, 仔细解答.

2.复数 z=1﹣i,则 A. 第一象限

对应的点所在象限为( B. 第二象限

) C. 第三象限 D. 第四象限

考点:复数的代数表示法及其几何意义. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数的运算法则及其几何意义即可得出. 解答: 解:∵复数 z=1﹣i, ∴ = = 所在象限为第四象限. 故选 D. 点评:本题考查了复数的运算法则及其几何意义,属于基础题. ﹣2i= = ,其对应的点

3.把函数 y=sin3x 的图象适当变化就可以得到 y= 以是( )

(sin3x﹣cos3x)的图象,这个变化可

A. 沿 x 轴方向向右平移 C. 沿 x 轴方向向右平移

B. 沿 x 轴方向向左平移 D. 沿 x 轴方向向左平移

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数中的恒等变换应用. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 解答: 解:∵函数 y= (sin3x﹣cos3x)=sin(3x﹣ )=sin3(x﹣ ) ,

∴把函数 y=sin3x 的图象沿 x 轴方向向右平移

个单位,可得 y=

(sin3x﹣cos3x)的图

象, 故选:C. 点评:本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.

4.已知函数
2 2

,则 f(f(f(﹣1) ) )的值等于(



A. π ﹣1

B. π +1

C. π

D. 0

考点:函数的值. 专题:计算题. 分析:根据分段函数的定义域,求出 f(﹣1)的值,再根据分段函数的定义域进行代入求 解;

解答: 解:函数
2



f(﹣1)=π +1>0, ∴f(f(﹣1) )=0, 可得 f(0)=π, ∴f(f(f(﹣1) ) )=π, 故选 C; 点评:此题主要考查函数值的求解,是一道基础题; 5.数列{an}中,已知 a1=1,a2=2,an+2=an+1﹣an(n∈N ) ,则 a2015=( A. 1 B. ﹣1 C. ﹣2
*

) D. 2

考点:数列递推式. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析:由 a1=1,a2=2,an+2=an+1﹣an 可判断数列{an}的周期为 6,从而求得. 解答: 解:∵a1=1,a2=2,an+2=an+1﹣an,

∴a3=a2﹣a1=2﹣1=1, a4=a3﹣a2=1﹣2=﹣1, a5=a4﹣a3=﹣1﹣1=﹣2, a6=a5﹣a4=﹣2﹣(﹣1)=﹣1, a7=a6﹣a5=﹣1﹣(﹣2)=1, a8=a7﹣a6=1﹣(﹣1)=2, ∴数列{an}的周期为 6,且 2015=335×6+5, ∴a2015=a5=﹣2; 故选 C. 点评:本题考查了数列的递推公式的应用及数列周期性的应用,属于中档题. 6.某高三学生进入高中三年来的第 1 次至 14 次数学考试成绩分别为:79,83,93,86,99, 98,94,88,98,91,95,103,101,114,依次记为 A1,A2…,A14.如图是成绩在一定 范围内考试次数的一个算法流程图.那么输出的结果是( )

A. 8

B. 9

C. 10

D. 11

考点:程序框图. 专题:图表型;算法和程序框图. 分析:根据流程图可知该算法表示统计 14 次考试成绩中大于等于 90 的人数, 结合已知即可 得答案. 解答: 解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加 14 次考试成绩超过 90 分的人数; 根据已知可得超过 90 分的人数为 10 个. 故选:C. 点评:本题主要考查了循环结构,解题的关键是弄清算法流程图的含义,属于基础题. 7.设 M(x0,y0)为抛物线 C:x =8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、|FM| 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是( ) A. (0,2) B. [0,2] C. (2,+∞) D. [2,+∞) 考点:抛物线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题.
2

分析:由条件|FM|>4,由抛物线的定义|FM|可由 y0 表达,由此可求 y0 的取值范围 解答: 解:由条件|FM|>4,由抛物线的定义|FM|=y0+2>4,所以 y0>2 故选 C 点评:本题考查直线和圆的位置关系、 抛物线的定义的运用. 抛物线上的点到焦点的距离往 往转化为到准线的距离处理. 8.如图是一个几何体的三视图,则该几何体体积为( )

A. 15

B. 16

C. 17

D. 18

考点:由三视图求面积、体积. 专题:空间位置关系与距离;立体几何. 分析:如图,可跟据题意得到该几何体的直观图,然后利用切割的方法求其体积. 解答: 解:由题意,在长方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,由题意可得到所求几何体的几何直观 图. 由题意可知:多面体 ADD′﹣EFC 即为所求的几何体.由题意作 EM⊥DC 于 M,则由已知 得 MC=1,EM=3.FM=3,DM=3. 则 V=V 三棱柱 ADD′﹣FME+V 三棱锥 E﹣FMC=S△EMF×DM = 故选 A. .

点评:本题考查了三视图的识图问题,体积以及表面积的计算问题,属于中档题. 9.在锐角△ABC 中,若 C=2B,则 的范围(



A. D.

B.

C. (0,2)

考点:正弦定理;函数的值域. 专题:计算题. 分析:由正弦定理得 的取值范围即可. 解答: 解:由正弦定理得 角均为锐角, 即有 解得 ∴ < < ,0<π﹣C﹣B=π﹣3B< ,又余弦函数在此范围内是减函数.故 <cosB< . ,∵△ABC 是锐角三角形,∴三个内 ,再根据△ABC 是锐角三角形,求出 B,cosB

故选 A 点评:本题考查了二倍角公式、正弦定理的应用、三角函数的性质.易错点是 B 角的范围 确定不准确. 10.如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E 为 AB 的中点,将△ADE 与 △BEC 分别沿 ED、EC 向上折起,使 A、B 重合于点 P,则 P﹣DCE 三棱锥的外接球的体积 为( )

A.

B.

C.

D.

考点:球内接多面体;球的体积和表面积. 专题:计算题;综合题;压轴题. 分析:判定三棱锥的形状,然后求出它的外接球的半径,再求体积. 解答: 解:易证所得三棱锥为正四面体,它的棱长为 1, 故外接球半径为 ,外接球的体积为 ,

故选 C. 点评:本题考查球的内接多面体,球的体积等知识,考查逻辑思维能力,是中档题. 11.设函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,对任意 x∈R 都有 f(x)>f′(x)成立,则( ) A. 3f(ln2)>2f(ln3) B. 3f(ln2)=2f(ln3) C. 3f(ln2)<2f(ln3) D. 3f(ln2)与 2f(ln3)的大小不确定

考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析:构造函数 g(x)= ,利用导数可判断 g(x)的单调性,由单调性可得 g(ln2)

与 g(ln3)的大小关系,整理即可得到答案. 解答: 解:令 g(x)= ,则 g′(x)

=

=



因为对任意 x∈R 都有 f(x)>f′(x) , 所以 g′(x)<0,即 g(x)在 R 上单调递减, 又 ln2<ln3,所以 g(ln2)>g(ln3) ,即 > ,

所以



,即 3f(ln2)>2f(ln3) ,

故选:A. 点评:本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性, 解决本题的关键是根据选项及已 知条件合理构造函数,利用导数判断函数的单调性.

12.如图,F1、F2 是双曲线

=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C )

的左、右 2 个分支分别交于点 A、B.若△ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为(

A. 4

B.

C.

D.

考点:双曲线的简单性质. 专题:压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用双曲线的定义可得可得|AF1|﹣|AF2|=2a,|BF2|﹣|BF1|=2a,利用等边三角形的 定义可得:|AB|=|AF2|=|BF2|, .在△AF1F2 中使用余弦定理可得



=



,再利用离心率的计算公

式即可得出. 解答: 解:∵△ABF2 为等边三角形,∴|AB|=|AF2|=|BF2|, 由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a,∴|BF1|=2a. 又|BF2|﹣|BF1|=2a,∴|BF2|=4a. ∴|AF2|=4a,|AF1|=6a. 在△AF1F2 中,由余弦定理可得: , ∴ ,化为 c =7a ,
2 2



=





=



故选 B. 点评:熟练掌握双曲线的定义、余弦定理、离心率的计算公式是解题的关键. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.已知| |=2,| |=3, ( ﹣ )?( + )=﹣1,则 与 的夹角为 120° .

考点:数量积表示两个向量的夹角. 专题:计算题. 分析:设 与 的夹角为 θ,由条件可得 2 0°≤θ≤180°,可得 θ 的值. 解答: 解:∵已知| |=2,| |=3, ( ﹣ 则有 2 ﹣2 )? ( + )=﹣1,设 与 的夹角为 θ, ﹣2 ﹣3 ? =﹣1,解得 cosθ=﹣ ,再由

﹣3 ? =8﹣18﹣3×2×3cosθ=﹣1,解得 cosθ=﹣ ,

再由 0°≤θ≤180°可得 θ=120°, 故答案为 120°. 点评:本题主要考查两个向量的数量积的定义,根据三角函数的值求角,属于中档题.

14. 在平面直角坐标系中, 不等式组

(a 为常数) 表示的平面区域的面积是 16,

那么实数 a 的值为 2 . 考点:简单线性规划.

专题:不等式的解法及应用. 分析:由约束条件作出可行域,由三角形的面积等于 16 列式求得 a 的值. 解答: 解:由约束条件作出可行域如图,

图中阴影部分为等腰直角三角形,∴

,解得:a=2.

故答案为:2. 点评:本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.

15.若 a=

cosxdx,则二项式(a



) 的展开式中的常数项为 24 .

4

考点:定积分;二项式系数的性质. 专题:二项式定理. 分析: 运用积分公式得出 a=2,二项式(2 (﹣1)?x , 利用常数项特征求解即可. 解答: 解:∵a= ∴a=2 ∴二项式(2 ﹣ ) 的展开式中项为:Tr+1= ?4×1=6×4=24
4 2﹣r



) 的展开式中项为:Tr+1=

4

?2

4﹣r

?

cosxdx=sinx

=sin

﹣sin(

)=2

?2

4﹣r

?(﹣1)?x

2﹣r



当 2﹣r=0 时,r=2,常数项为:

故答案为:24 点评:本题考察了积分与二项展开式定理,属于难度较小的综合题,关键是记住公式.
2

16.若 sinx+siny= ,则 t=sinx﹣cos y 的最大值为



考点:同角三角函数基本关系的运用. 专题:三角函数的求值.

分析:由已知等式表示出 sinx,代入所求式子中利用同角三角函数间基本关系化简,设 siny=m∈[﹣ ,1],得到 t 关于 m 的二次函数,结合二次函数性质及 m 的范围求出 t 的最大 值即可. 解答: 解:∵cos y=1﹣sin y,sinx= ﹣siny, ∴t=sinx﹣cos y= ﹣siny﹣(1﹣sin y)=sin y﹣siny﹣ , 令 siny=m∈[﹣ ,1],则 t=m ﹣m﹣ =(m﹣ ) ﹣ 当 m=﹣ 时,t 取得最大值,最大值为 , 则 t=sinx﹣cos y 的最大值为 , 故答案为: . 点评:此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. 三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2Sn?Sn﹣1=0(n≥2,且 n∈N) ,a1= . (1)求证:{ }是等差数列;
2 2 2 2 2 2 2 2

,m∈[﹣ ,1],

(2)若 bn=Sn?Sn+1,求数列{bn}的前 n 项和为 Tn. 考点:数列的求和;等差关系的确定. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,由于满足 an+2Sn?Sn﹣1=0(n≥2,且 n∈N) ,可得 Sn ﹣Sn﹣1+2SnSn﹣1=0,两边同除以 SnSn﹣1,化为 (2)由(1)可得 bn=Sn?Sn+1= =2+2(n﹣1)=2n, = .可得 .利用“裂项求和”即可得出. =2,即可证明;

解答: (1)证明:当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1, ∵满足 an+2Sn?Sn﹣1=0(n≥2,且 n∈N) , ∴Sn﹣Sn﹣1+2SnSn﹣1=0, 化为 ∴{ =2, }是等差数列. =2+2(n﹣1)=2n, =2,

(2)解:由(1)可得



. = . +…+

∴bn=Sn?Sn+1=

∴数列{bn}的前 n 项和为 Tn= = = .

点评:本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、递推式的应用,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题. 18.经调查发现,人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒,其中罗非鱼体内汞含 量比其它鱼偏高.现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出 15 条作样本,经检测得各条鱼 的汞含量的茎叶图(以小数点前的数字为茎,小数点后一位数字为叶)如图. 《中华人民共 和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过 1.0ppm. (Ⅰ)检查人员从这 15 条鱼中,随机抽出 3 条,求 3 条中恰有 1 条汞含量超标的概率; (Ⅱ)若从这批数量很大的鱼中任选 3 条鱼,记 ξ 表示抽到的汞含量超标的鱼的条数.以此 15 条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据,求 ξ 的分布列及数学期望 Eξ.

考点:离散型随机变量的期望与方差;茎叶图. 专题:概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据古典概型概率计算公式利用排列组合知识能求出 15 条鱼中任选 3 条恰 好有 1 条鱼汞含量超标的概率. (Ⅱ)依题意可知,这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率 2,3.分别求出相对应的概率,由此能求出 ξ 的分布列和数学期望. 解答: (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)记“15 条鱼中任选 3 条恰好有 1 条鱼汞含量超标”为事件 A, 则 , ,ξ 可能取 0,1,

∴15 条鱼中任选 3 条恰好有 1 条鱼汞含量超标的概率为 (Ⅱ)依题意可知,这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率 ξ 可能取 0,1,2,3.

.…(4 分) ,…(5 分) …(6 分)



, , , .…(10 分)

∴ξ 的分布列如下: ξ 0 P …(12 分) ∴

1

2

3

.…(13 分)

点评:本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题, 解题时要注意排列组合知识的合理运用. 19.如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,PA⊥底面 ABCD,E、F 分别为 AB、PC 的中点. (Ⅰ)求证:EF∥平面 PAD; (Ⅱ)若 PA=2,试问在线段 EF 上是否存在点 Q,使得二面角 Q﹣AP﹣D 的余弦值为 若存在,确定点 Q 的位置;若不存在,请说明理由. ?

考点:二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 专题:空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)取 PD 中点 M,连接 MF、MA,通过中位线定理可得 EF∥AM,利用线面 平行的判定定理即得结论; (Ⅱ) 以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系, 则平面 PAD 的法向量与平面 PAQ 的法向量 的夹角的余弦值即为 ,计算即可.

解答: 证明: (Ⅰ)取 PD 中点 M,连接 MF、MA, 在△PCD 中,F 为 PC 的中点,∴MF ,

正方形 ABCD 中 E 为 AB 中点,∴AE

,∴AE

MF,

故四边形 EFMA 为平行四边形,∴EF∥AM, 又∵EF?平面 PAD,AM?平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD; (Ⅱ)结论:满足条件的 Q 存在,是 EF 中点. 理由如下: 如图:以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系, 则 P(0,0,2) ,B(0,1,0) ,C(1,1,0) ,E(0, ,0) ,F( , ,1) , 由题易知平面 PAD 的法向量为 =(0,1,0) , 假设存在 Q 满足条件:设 ∵ =( ,0,1) ,∴Q( =λ , =( , ,λ) ,λ∈[0,1],

, ,λ) ,

设平面 PAQ 的法向量为 =(x,y,z) , 由 ,可得 =(1,﹣λ,0) ,



=

=



由已知:

=

,解得:



所以满足条件的 Q 存在,是 EF 中点.

点评:本题考查二面角,空间中线面的位置关系,向量数量积运算,注意解题方法的积累, 建立坐标系是解决本题的关键,属于中档题.

20.已知椭

+

=1(a>b>0)的离心率为

,短轴的一个端点为(0,1) ,直线 l:y=kx

﹣ 与椭圆相交于不同的两点 A、B.

(1)若|AB|=

,求 k 的值;

(2)求证:不论 k 取何值,以 AB 为直径的圆恒过点 M. 考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由椭圆 + =1(a>b>0)的离心率为 ,短轴的一个端点为(0,1) ,

可得
2 2 2

,b=1,又

a =b +c ,联立解得即可得到椭圆的方程.利用根与系数的关系及其弦长公式即可得出. (2)取 k=0 时,解得 A 的方程为 . ,B .可得以线段 AB 为直径的圆

可知:此圆过点(0,1) .猜想以 AB 为直径的圆恒过点 M(0,1) .利用数量积运算性质只 有证明 =0 即可. +
2

解答: 解: (1)∵椭圆
2 2

=1(a>b>0)的离心率为

,短轴的一个端点为(0,1) ,



,b=1,又 a =b +c ,联立解得 b=1=c,a= =1.



∴椭圆的方程为:

联立

,化为(9+18k )x ﹣12kx﹣16=0,

2

2

△>0, x1+x2= ,x1x2= .

∵|AB|= ∴ |AB|=



=

=


4 2

化为 23k ﹣13k ﹣10=0,解得 k=±1.

(2)取 k=0 时,解得 A 可得以线段 AB 为直径的圆的方程为

,B .



可知:此圆过点(0,1) .猜想以 AB 为直径的圆恒过点 M(0,1) . 下面给出证明:∵ =x1x2+(y1﹣1) (y2﹣1) = =(1+k )x1x2
2

=(x1,y1﹣1)?(x2,y2﹣1)

= =0, ∴ ,



+

因此以 AB 为直径的圆恒过点 M(0,1) . 点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、 直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根 与系数的关系及弦长公式、 数量积运算性质与向量垂直的关系, 考查了猜想能力与推理能力、 计算能力,属于难题. 21.已知函数 f(x)=lnx﹣ax. (1)当 a=1 时,求曲线 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)若 f(x)在区间[1,e]上的最大值为 2,求 a 的值. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:计算题;导数的概念及应用;导数的综合应用. 分析: (1)求出当 a=1 时,f(x)的解析式和导数,求出切线的斜率和切点,即可得到 切线方程; (2)求出导数,讨论当 a>0,分若 ≤1,若 ≥e,若 1 调性,得到函数的最大值,解出即可得到 a 的值. 解答: 解: (1)当 a=1 时,f(x)=lnx﹣x, 导数 f′(x)= ﹣1, 曲线 f(x)在点(1,f(1) )处的切线斜率为 f′(1)=0, 又切点为(1,﹣1) , 则切线方程为:y=﹣1; (2)定义域为(0,+∞) ,f′(x)= ﹣a= , <e,当 a≤0 时,通过函数的单

①若 a>0 时,由 f′(x)>0,得 0<x< ,f′(x)<0,得 x> ,

∴f(x)在(0, )上单调递增,在( ,+∞)单调递减. 若 ≤1,即 a≥1 时,f(x)在[1,e]单调递减, ∴f(x)max=f(1)=﹣a=2,a=﹣2 不成立; 若 ≥e,即 0<a≤ 时,f(x)在[1,e]单调递增, ∴f(x)max=f(e)=1﹣ae=2, ∴a=﹣ 不成立; 若1 <e,即 时,f(x)在(1, )单调递增,在( ,e)单调递减,
﹣3

∴f(x)max=f( )=﹣1﹣lna=2,解得,a=e ,不成立. ②当 a≤0 时,f′(x)>0 恒成立,则有 f(x)在[1,e]递增, 则有 f(e)最大,且为 1﹣ae=2,解得 a=﹣ . 综上知,a=﹣ . 点评:本题考查导数知识的运用, 考查求切线方程和函数的单调性, 考查分类讨论的数学思 想,考查函数的最值,正确求导,合理分类是关键. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请 写清题号. (本小题满分 10 分) 【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图所示,PA 为圆 O 的切线,A 为切点,PO 交于圆 O 与 B,C 两点,PA=10,PB=5, ∠BAC 的角平分线与 BC 和圆 O 分别交于点 D 和 E. (Ⅰ)求 = ;

(Ⅱ)求 AD?AE 的值.

考点:与圆有关的比例线段;相似三角形的性质. 专题:选作题;立体几何. 分析: (Ⅰ)证明△PAB∽△PCA,可得 = ;

(Ⅱ)由切割线定理求出 PC=40,BC=30,由已知条件条件推导出△ACE∽△ADB,由此能 求出 AD?AE 的值. 解答: 解: (Ⅰ)∵PA 为圆 O 的切线, ∴∠PAB=∠ACP,又∠P 为公共角,

∴△PAB∽△PCA, ∴ .…(4 分)

(Ⅱ)∵PA 为圆 O 的切线,BC 是过点 O 的割线, 2 ∴PA =PB?PC, ∴PC=20,BC=15, 又∵∠CAB=90°,∴AC +AB =BC =225, 又由(Ⅰ)知 ,∴ ,
2 2 2

连接 EC,则∠CAE=∠EAB, ∴△ACE∽△ADB, ∴ ∴ , . …(10 分)

点评:本题考查了切线的性质,相似三角形的性质和判定,等腰三角形的性质,圆周角定理 等知识点的应用. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】

23. (2015?江西模拟)在平面直角坐标系 x Oy 中,直线 l 的参数方程为

(t

为参数) . 在以原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标中, 圆 C 的方程为 (Ⅰ)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若点 P 坐标为 ,圆 C 与直线 l 交于 A,B 两点,求|PA|+|PB|的值.



考点:直线的参数方程;简单曲线的极坐标方程. 专题:选作题;坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ)先利用两方程相加,消去参数 t 即可得到 l 的普通方程,再利用直角坐标与 2 2 2 极坐标间的关系, 即利用 ρcosθ=x, ρsinθ=y, ρ =x +y , 进行代换即得圆 C 的直角坐标方程. (Ⅱ)把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,利用参数的几何意义,求|PA|+|PB| 的值.

解答: 解: (Ⅰ)由

得直线 l 的普通方程为 x+y﹣3﹣

=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣2 分 2 2 又由 得 ρ =2 ρsinθ,化为直角坐标方程为 x +(y﹣ ﹣﹣﹣﹣5 分 (Ⅱ)把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程, 得(3﹣ t) +(
2

) =5;﹣﹣﹣﹣﹣

2

t) =5,即 t ﹣3

2

2

t+4=0

设 t1,t2 是上述方程的两实数根, 所以 t1+t2=3 又直线 l 过点 P ,A、B 两点对应的参数分别为 t1,t2, 所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3 .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10 分. 点评:本题考查点的极坐标和直角坐标的互化, 能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置, 体 会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化. 【选修 4-5:不等式选讲】 2 24. (2015?兰州校级三模)若实数 a,b 满足 ab>0,且 a b=4,若 a+b≥m 恒成立. (Ⅰ)求 m 的最大值; (Ⅱ)若 2|x﹣1|+|x|≤a+b 对任意的 a,b 恒成立,求实数 x 的取值范围. 考点:二分法求方程的近似解. 专题:不等式的解法及应用. 分析:(Ⅰ)先求出 a>0,b>0,根据基本不等式求出 m 的最大值即可; (Ⅱ)问题转化为 2|x﹣1|+|x|≤3,解出即可. 解答: 解: (Ⅰ)由题设可得 b= ∴a+b=a+ = ≥ 3, >0,∴a>0,

当 a=2,b=1 时,a+b 取得最小值 3, ∴m 的最大值为 3; (Ⅱ)要使 2|x﹣1|+|x|≤a+b 对任意的 a,b 恒成立, 须且只须 2|x﹣1|+|x|≤3, ①x≥1 时,2x﹣2+x≤3,解得:1≤x≤ , ②0≤x<1 时,2﹣2x+x≤3,解得:0≤x<1, ③x<0 时,2﹣2x﹣x≤3,解得:x≥﹣ , ∴实数 x 的取值范围是﹣ ≤x≤ . 点评:本题考察了基本不等式的性质问题, 考察解不等式问题, 求出 a+b 的最小值是解题的 关键,本题是一道中档题.


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