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2014年全国各地高考题·理科数学·合订版


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)

数学(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷第 1 至第 2 页,第 II 卷第 3 至 第 4 页。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考生注意事项: 1. 答题前,务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上 所粘

贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的 地方填写姓名和座位号后两位。 2. 答第 I 卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3. 答第 II 卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上 书写,要求字体工整、笔迹清 .... 晰。作图题可先用铅笔在答题卡 规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描 ... 清楚。必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效 , 在答题卷、草 ............. . ...... 稿纸上答题无效 。 ....... 4. 考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)= P(A)+ P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A· B)= P(A)· P(B)

第 I 卷(选择题共 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.设 i 是虚数单位, z 表示复数 z 的共轭复数。若 z ? 1 ? i, 则 A. ? 2 B. ? 2i 2. “ x ? 0 ”是“ ln(x ? 1) ? 0 ”的( C. 2 ) D. 2i

z ? i? z ?( i



A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( ) A.34 B.55 C.78 D.89 4.以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直 线 l 的参数方程是 ? 的弦长为( A. 14 ) B. 2 14 C. 2 D. 2 2

?x ? t ? 1 , (t 为参数) ,圆 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? ,则直线 l 被圆 C 截得 ?y ? y ? 3

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?x ? y ? 2 ? 0 ? 5. x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,若 z ? y ? ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数 a 的值为 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
( A. )

1 1 或 ? 1 B. 2或 C.2 或 1 D. 2或 ? 1 2 2 6.设函数 f ( x)(x ? R) 满足 f ( x ? ? ) ? f ( x) ? sin x ,当 23? 0 ? x ? ? 时, f ( x) ? 0 ,则 f ( ) ?( ) 6 1 1 3 A. B. C. 0 D. ? 2 2 2
7.一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为( ) A. 21 ? 3 B. 18 ? 3 C. 21 D. 18 8.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为 60 ? 的共有( 7 题图 ) A.24 对 B.30 对 C.48 对 D.60 对 9.若函数 f ( x) ? x ? 1 ? 2 x ? a 的最小值为 3,则实数 a 的值为( A.5 或 8 B. ? 1 或 5 C. ? 1 或 ? 4 D. ? 4 或 8 )

10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 a, b, a ? b ? 1, a ? b ? 0, 点 Q 满 OQ ? 2(a ? b) 。曲线

C ? {P | OP ? a cos? ? b sin ? , 0 ? ? ? 2? },区域 ? ? {P | 0 ? r ?| PQ |? R, r ? R} 。
若 C ? ? 为两段分离的曲线,则( ) 1 ? r ? R ? 3 1 ? r ? 3 ? R A. B. C. r ? 1 ? R ? 3 D. 1 ? r ? 3 ? R

(在此卷上答题无效)
2014 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)



学(理科)
共 100 分)

第Ⅱ卷(非选择题

考生注意事项: 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 作答,在试题卷上答题无效 . ..... ......... 二.选择题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置。 11.若将函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? 的图像向右平移 ? 个单位,所得图像关于 y 轴对称, 4?

则 ? 的最

小正值是________. 12.数列 {an } 是等差数列,若 a1 ? 1, a3 ? 3, a5 ? 5 构成公比为 q 的等比数列,则 q ? ________。

? x? 13.设 a ? 0, n 是大于 1 的自然数, ?1 ? ? 的展开式为 ? a? 2 n a0 ? a1x ? a2 x ??? an x 。若点 Ai (i, ai )(i ? 0,1,2) 的位置如图所示,则 a ? ______ 。
14.设 F1 , F2 分别是椭圆 E : x ?
2

n

y2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A, B 两 b2 E 的方程为______ 点,若 AF ____。 1 ? 3 BF 1 , AF 2 ? x 轴,则椭圆

15. 已知两个不相等的非零向量 a, b , 两组向量 x1, x2 , x3 , x4 , x5 和 y1, y2 , y3 , y4 , y5 均由 2 个 a
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和 3 个 b 排列而成。记 S ? x1 ? y1 ? x2 ? y2 ? x3 ? y3 ? x4 ? y4 ? x5 ? y5 , Smin 表示 S 所有可能取值中的最 小值。则下列命题的是_________(写出所有正确命题的编号) 。 ① S 有 5 个不同的值。 ②若 a ? b 则 Smin 与 | a | 无关。 ③若 a b 则 Smin 与 | b | 无关. ④若 | b |? 4 | a | ,则 Smin ? 0 。 ⑤若 | b |? 2 | a |, Smin ? 8| a |2 ,则 a 与 b 的夹角为

? 4

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题 卡上的指定区域内。 16. (本小题满分 12 分)设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别是 a, b, c ,且 b ? 3, c ? 1, A ? 2 B. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求 sin( A ?

?
4

) 的值。 2 1 ,乙获胜的概率为 ,各局比 3 3

17. (本小题满分 12 分)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5 局仍未 出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛,假设每局甲获胜的概率为 赛结果相互独立。 (Ⅰ)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率;

(Ⅱ)记 为比赛决出胜负时的总局数,求 的分布列和均值(数学期望)。
18. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? 1 ? (1 ? a) x ? x2 ? x3 其中 a ? 0 。 (Ⅰ)讨论 f ( x ) 在其定义域上的单调性; (Ⅱ)当 x ? [0,1] 时,求 f ( x ) 取得最大值和最小值时的 x 的值。 19.(本小题满分 13 分)如图,已知两条抛物线 E1 : y ? 2 p1 x? p1 ? 0?和 E2 : y ? 2 p2 x? p2 ? 0? ,
2 2

过原点 O 的两条直线 l1 和 l 2 , l1 与 E1 , E2 分别交于 A1 , A2 两点, l 2 与 E1 , E2 分别交于 B1 , B2 两点。 (Ⅰ)证明: A1B1 // A2 B2 ; (Ⅱ)过原点 O 作直线 l (异于 l1 , l 2 )与 E1 , E2 分别交于 C1 , C2 两点。 记 ?A1B1C1 与 ?A2 B2C2 的面积分别为 S1 与 S2 ,求

S1 的值。 S2

AD // BC ,且 AD ? 2 BC .过 A1 , C, D 三点的平面记为 ? ,BB1 与 ? 的交点为 Q 。 Q 为 BB1 (Ⅰ) 证明:
的中点; (Ⅱ)求此四棱柱被平面 ? 所分成上下两部分的体积之比; (Ⅲ)若 A1 A ? 4 , CD ? 2 ,梯形 ABCD 的面积为 6,求

20. (本题满分13分)如图, 四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,A1 A ? 底面 ABCD .四边形 ABCD 为梯形,

平面 ? 与底面 ABCD 所成二面角大小。 * 21. (本小题满分 13 分)设实数 c ? 0 ,整数 p ? 1 , n ? N 。 (I)证明:当 x ? ?1 且 x ? 0 时, (1 ? x) ? 1 ? px ;
p

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(II)数列 ?an ?满足 a1 ? c p , an ?1 ?
1

1

p ?1 c 1? p an ? an , p p

证明: an ? an?1 ? c p



参考答案
z 1? i ?i?z ? ? i ? (1 ? i ) ? ?(i ? 1) ? (i ? 1) ? 2 i i 2.答案:B,解析: ln( x ? 1) ? 0 ? 0 ? x ? 1 ? 1 ? ?1 ? x ? 0 ,所以“ x ? 0 ”是“ ln(x ? 1) ? 0 ”
1.答案:C,解析: 的必要而不充分条件。 3.答案:B,解析:

x
y

1 1 2

1 2 3

2 3 5

3 5 8

5 8 13

8 13 21

13 21 34

21 34 55

z

5 5? 5 0 ,故运算 7 次后输出的结果为 55。 4.答案:D,解析:将直线 l 方程化为一般式为: x ? y ? 4 ? 0 ,
圆 C 的标准方程为: ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 , 圆 C 到直线 l 的距离为: d ?

|2?4| ? 2 2

∴弦长 L ? 2 R2 ? d 2 ? 2 2 。 5.答案:D,解析:画出约束条件表示的平面区域如右图, z ? y ? ax 取得最大值表示直线 z ? y ? ax 向上平移移动最大,

a 表示直线斜率,有两种情况: a ? ?1 或 a ? 2 。 6.答案:A,解析:
f(

23? 17? 17? )? f( ) ? sin 6 6 6 11? 11? 17? ? f( ) ? sin ? sin 6 6 6 5? 5? 11? 17? ? f ( ) ? sin ? sin ? sin 6 6 6 6 1 1 1 1 ? 0? ? ? ? 2 2 2 2

7.答案:A,解析:如右图,将边长为 2 的正方体截去两个角,

1 3 ? 1? 1 ? 2 ? ? ( 2) 2 ? 21 ? 3 2 4 0 8.答案:C,解析:与正方体一条对角线成 60 的对角线有 4 条,
∴ S表 ? 2 ? 2 ? 6 ? ∴从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的 角为 60 ? 的共有 4 ? 12 ? 48 (对) 。 9.答案:D,解析:

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x ? ?1 ??3 x ? a ? 1, ? ?? x ? a ? 1, ?1 ? x ? ? a a (1)当 a ? 2 时, ?1 ? ? ,此时 f ( x) ? ? 2; 2 ? a ? 3x ? a ? 1 x?? ? 2 a ? ??3x ? a ? 1, x ? ? 2 ? a (2)当 a ? 2 时, ?1 ? ? ,此时 f ( x) ? ? a 2 ? x ? a ? 1, ? 2 ? x ? ?1 ? ? 3x ? a ? 1 x ? ?1
a ? 1|? 3 ,解得 a ? ?4 或 a ? 8 。 2 a 注:此题也可以由绝对值的几何意义得 f ( x) min ?| ? ? 1|? 3 ,从而得 a ? ?4 或 a ? 8 。 2 10.答案:A,解析:设 a ? (1,0), b ? (0,1) 则 OP ? (cos? ,sin ? ) , OQ ? ( 2, 2) 所以曲线 C 是单位元,区域 ? 为圆环(如右图) ∵ | OQ |? 2 ,∴ 1 ? r ? R ? 3 。 3? 11.答案: , 8
在两种情况下, f ( x) min ? f ( ? ) ?| ? 解析: f ( x ? ? ) ? sin[2( x ? ? ) ? ∴

a 2

?

?
4

2 8 q ? 1 12.答案: , 解析:∵ {an } 是等差数列且 a1 ? 1, a3 ? 3, a5 ? 5 构成公比为 q 的等比数列,

? 2? ?

?

4

] ? sin(2 x ?

?

? k? , (k ? Z ) ,∴ ? ? ?

?

?

k? 3? , (k ? Z ) ,当 k ? ?1 时 ? min ? 。 2 8

4

? 2? )

∴ (a1 ? 1)(a1 ? 4d ? 5) ? (a1 ? 2d ? 3)2 即 (a1 ? 1)[(a1 ? 1) ? 4(d ? 1) ? [(a1 ? 1) ? 2(d ? 1)]2 令 a1 ? 1 ? x, d ? 1 ? y ,则有 x( x ? 4 y) ? ( x ? 2 y)2 ,展开的 y ? 0 ,即 d ? 1 ? 0 ,∴ q ? 1 。 13.答案: a ? 3 ,解析:由图易知 a0 ? 1, a1 ? 3, a2 ? 4

? n ?3 ? 1 2 ? a 1 1 2 ∴ Cn ? ? 3, Cn ? ( ) ? 4 ,∴ ? ,解得 a ? 3 。 n ( n ? 1) a a ? ?4 ? ? 2a 2 3 2 2 14.答案: x ? y ? 1 , 2 5c 1 2 解析:由题意得通径 AF2 ? b2 ,∴点 B 坐标为 B (? , ? b ) 3 3 ? 2 2 1 b ? (? b 2 ) 2 ? 5c 2 ? 3 2 2 3 将点 B 坐标带入椭圆方程得 (? ) ? ? 1 ,又 b ? 1 ? c ,解得 ? 2 3 b ?c2 ? 1 ? 3 ? 3 2 2 ∴椭圆方程为 x ? y ? 1 。 2
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15.答案:②④, 解析:S 有下列三种情况:

S1 ? a ? a ? b ? b ? b , S 2 ? a ? a ? b ? a ? b ? b ? b , S3 ? a ? b ? a ? b ? a ? b ? a ? b ? b
2 2 ∵ S1 ? S 2 ? S 2 ? S3 ? a ? b ? 2a ? b ? (a ? b) ?| a ? b | ? 0 , 2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

∴ Smin ? S3 ,

若 a ? b ,则 S min ? S3 ? b ,与 | a | 无关,②正确; 若 a b ,则 S min ? S3 ? 4a ? b ? b ,与 | b | 有关,③错误; 若 | b |? 4 | a | ,则 Smin ? S3 ? 4| a | ? | b | cos? ? | b | ? ?4| a | ? | b | ? | b | ? ? | b | ? | b | ? 0 ,④正确;
2 2 2 2
2 2 2 若 | b |? 2 | a |, Smin ? 8| a |2 ,则 S min ? S3 ? 4a ? b ? b ? 8 | a | cos ? ? 4 | a | ? 8 | a | 2 2

2

∴ cos ? ?

1 ? , ∴ ? ? ,⑤错误。 2 3

16. (本小题满分 12 分) 解析: (Ⅰ)∵ A ? 2 B ,∴ sin A ? sin 2 B ? 2sin B cos B ,

a 2 ? c2 ? b2 2ac 2 ∵ b ? 3, c ? 1 ,∴ a ? 12, a ? 2 3 。
由正弦定理得 a ? 2b ? (Ⅱ)由余弦定理得 cos A ?

b 2 ? c 2 ? a 2 9 ? 1 ? 12 1 ? ?? , 2bc 6 3 1 2 2 2 2 由于 0 ? A ? ? ,∴ sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? (? ) ? , 3 3 ? ? ? 2 2 2 1 2 4? 2 故 sin( A ? ) ? sin A cos ? cos A sin ? 。 ? ? (? ) ? ? 4 4 4 3 2 3 2 6

17. (本小题满分 12 分) 解析:用 A 表示“甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛” , Ak 表示“第 k 局甲获胜” , Bk 表示“第

2 1 , P( Bk ) ? , k ? 1, 2,3, 4,5 3 3 (Ⅰ) P( A) ? P( A 1A 2 ) ? P( B 1A 2A 3 ) ? P( A 1B2 A 3 A4 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ? P( B1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? P( A1 ) P( B2 ( A3 ) P( A4 )
k 局乙获胜” ,则 P( Ak ) ?

2 2 1 2 2 2 1 2 2 56 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 81
(Ⅱ) X 的可能取值为 2,3,4,5

P( X ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( B1B2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ? P( B1 ) P( B2 ) ?

5 9

P( X ? 3) ? P( B1 A2 A3 ) ? P( A1B2 B3 ) ? P( B1 ) P( A2 ) P ( A3 ) ? P ( A1 ) P ( B2 ) P ( B3 ) ?

2 9
10 81

P( X ? 4) ? P( A1 B2 A3 A4 ) ? P( B1 A2 B3 B4 ) ? P( A1 ) P( B2 ) P( A3 ) P( A4 ) ? P( B1 ) P( A2 ) P( B3 ) P( B4 ) ?

P( X ? 5 ) ? ? 1 P X( ?
故 X 的分布列为

? 2P ) X? (
2

8 ?P 3 )X ? ( ? 4 ) 81
3 4 5

X

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P

5 9

2 9

10 81

8 81

∴ EX ? 2 ?

5 2 10 8 224 ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 9 9 81 81 81

18. (本小题满分 12 分) 解析: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (??, ??) , f '( x) ? 1 ? a ? 2 x ? 3x2

?1 ? 4 ? 3a ?1 ? 4 ? 3a , x2 ? , x1 ? x2 3 3 所以 f '( x) ? ?3( x ? x1 )( x ? x2 ) 当 x ? x1 或 x ? x2 时 f '( x) ? 0 ;当 x1 ? x ? x2 时 f '( x) ? 0 故 f ( x ) 在 (??, x1 ) 和 ( x2 , ??) 内单调递减,在 ( x1 , x2 ) 内单调递增。 (Ⅱ)∵ a ? 0 ,∴ x1 ? 0, x2 ? 0
令 f '( x) ? 0 得 x1 ? (1)当 a ? 4 时 x2 ? 1 ,由(Ⅰ)知 f ( x ) 在 [0,1] 上单调递增 ∴ f ( x ) 在 x ? 0 和 x ? 1 处分别取得最小值和最大值。 (2)当 4 ? a ? 0 时, x2 ? 1 , 由(Ⅰ)知 f ( x ) 在 [0, x2 ] 上单调递增,在 [ x2 ,1] 上单调递减

?1 ? 4 ? 3a 处取得最大值 3 又 f (0) ? 1, f (1) ? a ∴当 1 ? a ? 0 时 f ( x ) 在 x ? 1 处取得最小值 当 a ? 1 时 f ( x ) 在 x ? 0 和 x ? 1 处同时取得最小值 当 4 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 x ? 0 取得最小值。
∴ f ( x ) 在 x ? x2 ? 19. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)证:设直线 l1 , l2 的方程分别为 y ? k1 x, y ? k2 x,(k1 , k2 ? 0) ,则 由?

? y ? k1 x ? y ? k1 x 2p 2p 2 p 2 p2 得 A1 ( 21 , 1 ) ;由 ? 2 得 A2 ( 22 , ) 2 k1 k1 k1 k1 ? y ? 2 p1 x ? y ? 2 p2 x

2 p1 2 p1 2p 2p , ) , B2 ( 22 , 2 ) 2 k2 k2 k2 k2 2p 2p 2p 2p 1 1 1 1 所以 A1 B1 ? ( 21 ? 21 , 1 ? 1 ) ? 2 p1 ( 2 ? 2 , ? ) k2 k1 k2 k1 k2 k1 k2 k1 2p 2p 2p 2p 1 1 1 1 A2 B2 ? ( 22 ? 22 , 2 ? 2 ) ? 2 p2 ( 2 ? 2 , ? ) k2 k1 k2 k1 k2 k1 k2 k1 p 故 A1 B1 ? 1 A2 B2 ,所以 A 1B 1∥A 2 B2 。 p2 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 A 1C1∥B2C2 , AC 1B 1∥A 2 B2 ,同理可得 B 1 1∥A 2C2
同理可得 B1 ( 所以 ?A 1B 1C1∽?A 2 B2C2 ,因此

S1 | AB | ? ( 1 1 )2 S2 | A2 B2 |

| A1 B1 | p1 p1 S1 p12 ? 又由(Ⅰ)中的 A1 B1 ? ,故 。 A2 B2 知 ? p2 | A2 B2 | p2 S2 p22
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20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)证:∵ BQ//AA1 , BC //AD,BC ∴ 平面QBC∥平面A1 AD

BQ=B,AD AA1 ? A

从而平面 A1CD 与这两个平面的交线相互平行,即 QC∥A1D 故 ?QBC 与 ?A1 AD 的对应边相互平行,于是 ?QBC∽?A1 AD

BQ BQ BC 1 ? ? ? ,即 Q 为 BB1 的中点。 BB1 AA1 AD 2 d, (Ⅱ)解:如图,连接 QA,QD。设 AA 1 ? h ,梯形 ABCD 的高为
∴ 四棱柱被平面 ? 所分成上下两部分的体积分别为 V上 和 V下 ,

BC ? a ,则 AD ? 2a 。 1 1 1 VQ ? A1 AD ? ? ? 2a ? h ? d ? ahd , 3 2 3 1 a ? 2a 1 1 VQ ? ABCD ? ? ? d ? ( h) ? ahd 3 2 2 4 7 ahd ∴ V下 ? VQ ? A1 AD ? VQ ? ABCD ? 图1 12 3 3 7 11 ahd ? ahd 又 VA1B1C1D1 ? ABCD ? ahd ,∴ V上 ? VA1B1C1D1 ? ABCD ? V下 ? ahd ? 2 2 12 12 V 11 故 上 ? V下 7
(Ⅲ)解法 1:如图 1,在 ?ADC 中,作 AE ? DC ,垂足为 E,连接 A 1E

AA1 ? A ∴ DE ? 平面AEA 1 ,∴ DE ? A 1E ∴ ?AEA1 为平面 ? 和平面 ABCD 所成二面角的平面角。 ∵ BC //AD , AD ? 2 BC , ∴ S?ADC ? 2S?ABC 又∵梯形 ABCD 的面积为 6,DC=2,∴ S?ADC ? 4 , AE ? 4 AA1 ? ? 1 , ?AEA1 ? , 于是 tan ?AEA1 ? AE 4 ? 故平面 ? 和底面 ABCD 所成二面角的大小为 。 4 解法 2:如图 2,以 D 为原点, DA , DD1 分别为 x 轴和 z 轴正方向,建立空间直角坐标系。 设 ?CDA ? ? 2 4 a ? 2a , 0, 4) ? 2sin ? ? 6 ,所以 a ? 因为 VABCD ? ,从而 C (2cos ? , 2sin ? ,0) , A1 ( sin ? sin ? 2 设平面 A 1 DC 的法向量为 n ? ( x, y,1)

又 DE ? AA1 ,且 AE

4 ? x?4?0 ? DA1 ? n ? sin ? 由? 得 x ? ? sin ? , y ? cos ? ?DC ? n ? 2 x cos ? ? 2 y sin ? ? 0 ? 所以 n ? (? sin ? ,cos? ,1)
又平面 ABCD 的法向量 m ? (0,0,1)

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所以 cos ? m, n ??

m?n 2 ? | m|?| n | 2

故平面 ? 和底面 ABCD 所成二面角的大小为 21. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)证:用数学归纳法证明

? 。 4

(1)当 p ? 2 时, (1 ? x)2 ? 1 ? 2 x ? x2 ? 1 ? 2 x ,原不等式成立。 (2)假设 p ? k (k ? 2, k ? N *) 时,不等式 (1 ? x)k ? 1 ? kx 成立 当 p ? k ? 1时, (1 ? x)k ?1 ? (1 ? x)(1 ? x)k ? (1 ? x)(1 ? kx)

? 1 ? (k ? 1) x ? kx2 ? 1 ? (k ? 1) x
所以 p ? k ? 1时,原不等式成立。 综合(1) (2)可得当当 x ? ?1 且 x ? 0 时,对一切整数 p ? 1 ,不等式 (1 ? x) p ? 1 ? px 均成立。
1

(Ⅱ)证法 1:先用数学归纳法证明 an ? c p 。 (1)当 n ? 1 时由假设 a1 ? c 知 an ? c 成立。 (2)假设 n ? k (k ? 1, k ? N *) 时,不等式 ak ? c 成立
1 p
1 p 1 p

p ?1 c 1? p an ? an 易知 an ? 0, n ? N * p p a p ?1 c ? p 1 c 当 n ? k ? 1 时 k ?1 ? ? ak ? 1 ? ( p ? 1) ak p p p ak
由 an ?1 ?

1 1 c ? ( ? 1) ? 0 p p akp a p 1 c 1 c c p 由(Ⅰ)中的结论得 ( k ?1 ) ? [1 ? ( p ? 1)] ? 1 ? p ? ( p ? 1) ? p ak p ak p ak ak
由 ak ? c ? 0 得 ?1 ? ? 因此 a
p k ?1

1 p

? c ,即 ak ?1 ? c

1 p 1 p

所以当 n ? k ? 1 时,不等式 an ? c 也成立。
1

综合(1) (2)可得,对一切正整数 n ,不等式 an ? c p 均成立。 再由

an?1 a 1 c ? 1 ? ( p ? 1) 得 n?1 ? 1 ,即 an?1 ? an an p an an
1 p

综上所述, an ? an?1 ? c , n ? N * 证法 2:设 f ( x) ?

p ?1 c x ? x1? p , x ? c p ,则 x p ? c ,并且 p p
1

1

p ?1 c p ?1 c f '( x) ? ? (1 ? p) x ? p ? (1 ? p ) ? 0 , x ? c p p p p x
由此可见, f ( x ) 在 [c , ??) 上单调递增,因而当 x ? c 时 f ( x) ? f (c ) ? c 。
1 p
1 p

1 p

1 p

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1

(1)当 n ? 1 时由 a1 ? c p ? 0 ,即 a1 p ? c 可知

a2 ?

p ?1 c 1 c a1 ? a11? p ? a1[1 ? ( p ? 1)] ? a1 , p p p a1
1 p 1 p

并且 a2 ? f (a1 ) ? c ,从而 a1 ? a2 ? c
1

故当 n ? 1 时,不等式 an ? an?1 ? c p 成立。 (2)假设 n ? k (k ? 1, k ? N *) 时,不等式 ak ? ak ?1 ? c 成立,则 当 n ? k ? 1 时 f (ak ) ? f (ak ?1 ) ? f (c ) ,即有 ak ?1 ? ak ?2 ? c , 所以当 n ? k ? 1 时原不等式也成立。 综合(1) (2)可得,对一切正整数 n ,不等式 an ? an?1 ? c 均成立。
1 p 1 p 1 p 1 p

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2014 年北京高考数学(理科)试题
一.选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) 1.已知集合 A ? {x | x2 ? 2 x ? 0}, B ? {0,1, 2} ,则 A

B?(


)

B. { 0 , 1} C. { 0 , 2 } D. { 0 , 1 , 2 } 2.下列函数中,在区间 (0, ??) 上为增函学科网数的是(

A.{0}

D. y? l o 0 g. 5 x (? 1 ) B. y? ( x ? 12) C. y ? 2? x A. y ? x ? 1 ? x ? ?1 ? cos ? 3.曲线 ? ( ? 为参数)的对称中心( ) ? y ? 2 ? sin ? A. 在直线 y ? 2 x 上 B. 在直线 y ? ?2 x 上 C. 在直线 y ? x ? 1 上 D. 在直线 y ? x ? 1 上 4.当 m ? 7, n ? 3 时,执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( ) A.7 B. 4 2 C.210 D. 8 4 0

5.设 {an } 是公比为 q 的等比数列,则 " q ? 1" 是 "{an }" 为递增数列的(



A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ? x? y?2?0 ? 6.若 x , y 满足 ?kx ? y ? 2 ? 0 且 z ? y ? x 的学科网最小值为-4,则 k 的值为( ? y?0 ? 1 1 A.2 B. ? 2 C. D. ? 2 2



7.在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A? 2,0,0? , B ? 2, 2,0? , C ? 0, 2,0? , D 1,1, 2 ,若

?

?

S1 , S2 , S3 分别表示三棱锥 D ? ABC 在 xOy , yOz , zOx 坐标学科网平面上的正投影图形的
面积,则( ) (A) S1 ? S2 ? S3 (C) S1 ? S3 且 S3 ? S2 (B) S1 ? S2 且 S3 ? S1 (D) S2 ? S3 且 S1 ? S3

8.有语文、数学两学科,成绩评定为“优秀” “合格” “不合格”三种.若 A 同学每科成绩不 低于 B 同学,且至少有一科成绩比 B 高,则称“ A 同学比 B 同学成绩好.”现有若干同学,
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他们之间没有一个人比另一个成绩好,学科 网且没有任意两个人语文成绩一样,数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生( ) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

? 1? i ? 9.复数 ? ? ? ________. ? 1? i ? 10.已知向量 a 、 b 满足 a ? 1 , b ? ? 2,1? ,且 ? a ? b ? 0 ? ? ? R ? ,则 ? ? ________.
y2 ? x 2 ? 1 具有相同渐近线,则 C 的方程为________; 11.设双曲线 C 经过点 ? 2, 2 ? ,且与 4
渐近线方程为________. 12.若等差数列 ?an ? 满足 a7 ? a8 ? a9 ? 0 , a7 ? a10 ? 0 ,则当 n ? ________时 ?an ? 的前 n 项和最大. 13. 把 5 件不同产品摆成一排,若产品 A 与产品 C 不相邻,则不同的摆法有_______种. 14. 设函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) , A ? 0, ? ? 0 ,若 f ( x) 在学科网区间 [

2

? ?

, ] 上具有单调性,且 6 2

?? ? ? 2? ? ?? ? f? ?? f? ? ? ? f ? ? ,则 f ( x) 的最小正周期为________. ?2? ? 3 ? ?6?
三.解答题(共 6 题,满分 80 分)

?B ? 15.(本小题 13 分) 如图, 在 ?ABC 中,
(1)求 sin ?BAD (2)求 BD, AC 的长

?
3

, AB ? 8 , 点 D 在 BC 边上, 且 CD ? 2, cos ?ADC ?

1 7

16. (本小题 13 分). 李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况如下(假设各场比赛互相独立) :

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(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0 .6 的概率. (2)从上述比赛中选择一个主场和一个客场,学科 网求李明的投篮命中率一场超过 0 .6 ,一 场不超过 0 .6 的概率. (3)记 x 是表中 10 个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记 X 为李明 在这比赛中的命中次数,比较 E ( X ) 与 x 的大小学科网(只需写出结论)

17.(本小题 14 分) 如图,正方形 AMDE 的边长为 2, B, C 分别为 AM , MD 的中点,在五棱锥 P ? ABCDE 中, F 为棱 PE 的中点,平面 ABF 与棱 PD, PC 分别交于点 G , H . (1)求证: AB // FG ; (2)若 PA ? 底面 ABCDE ,且 AF ? PE ,求直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小,并 求线段 PH 的长.

18.(本小题 13 分) 已知函数

f ( x) ? x cos x ? sin x, x ? [0, ] , 2 (1)求证: f ( x) ? 0 ; sin x ? ? b 在 (0, ) 上恒成立,求 a 的学科网最大值与 b 的最小值. (2)若 a ? 2 x
19.(本小题 14 分) 已知椭圆 C : x
2

?

? 2 y2 ? 4 ,
y ? 2 上,且 OA ? OB ,求直线 AB 与圆

(1)求椭圆 C 的离心率. (2)设 O 为原点,若点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线

x ? y ? 2 的位置关系,并证明学科网你的结论.
2 2

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20.(本小题 13 分) 对于数对序列 P(a1 , b1 ),(a2 , b2 ),

,(an , bn ) ,记 T1 ( P) ? a1 ? b1 , Tk ( P) ? bk ? max{Tk ?1 ( P), a1 ? a2 ? ? ak }(2 ? k ? n) ,其中 max{Tk ?1 ( P), a1 ? a2 ? ? ak }表示 Tk ?1 ( P) 和 a1 ? a2 ? ? ak 两个数中最大的数, (1)对于数对序列 P(2,5), P(4,1) ,求 T1 ( P), T2 ( P) 的值. (2)记 m 为 a, b, c, d 四个数中最小值,学科 网对于由两个数对 (a, b),(c, d ) 组成的数对序列 P(a, b),(c, d ) 和 P '(a, b),(c, d ) ,试分别对 m ? a 和 m ? d 的两种情况比较 T2 ( P) 和 T2 ( P ') 的大
小. (3)在由 5 个数对 (11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6) 组学科网成的所有数对序列中,写出一个数 对序列 P 使 T5 ( P) 最小,并写出 T5 ( P) 的值.(只需写出结论).

2014 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理) (北京卷)参考答案
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)C (2)A (3)B (4)C (5)D (6)D (7)D (8)B 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) ? 1 (10) 5 2 2 x y ?1 y ? ?2 x (11) ? (12)8 3 12 (13)36 (14) ? 三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (I)在 ?ADC 中,因为 COS ?ADC ?
1 4 3 ,所以 sin ?ADC ? 。 7 7 所以 sin ?BAD ? sin(?ADC ? ?B) ? sin ?ADC cos B ? cos ?ADC sin B

。 (Ⅱ)在 ?ABD 中,由正弦定理得
3 3 8? AB ? sin ?BAD 14 ? 3 , BD ? ? sin ?ADB 4 3 7 在 ?ABC 中,由余弦定理得 AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos B

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? 82 ? 52 ? 2 ? 8 ? 5 ?

1 ? 49 2

所以 AC ? 7

(16)

所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是 05. (Ⅱ)设事件 A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6” , 事件 B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6” , 事件 C 为 “在随机选择的一个主场和一个客场中, 李明的投篮命中率一场超过 0.6, 一场不超过 0.6” 。 则 C= AB AB ,A,B 独立。 3 2 根据投篮统计数据, P( A) ? , P( B) ? . 5 5 P(C) ? P( AB) ? P( AB) 3 3 2 2 ? ? ? ? 5 5 5 5 13 ? 25 所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过 0.6, 13 一场不超过 0.6 的概率为 . 25 (Ⅲ) EX ? x . (17) (共 14 分) 解: (I)在正方形中,因为 B 是 AM 的中点,所以 AB ∥ DE 。 又因为 AB ? 平面 PDE, 所以 AB ∥平面 PDE, 因为 AB ? 平面 ABF,且平面 ABF 平面 PDF ? FG , 所以 AB ∥ FG 。 PA ? 底面 ABCDE,所以 PA ? AB , PA ? AE . (Ⅱ)因为 如图建立空间直角坐标系 Axyz ,则 A(0, 0, 0) , B(1, 0, 0) , C (2,1, 0) , P(0, 0, 2) , F (0,1,1) ,

BC ? (1,1, 0) . 设平面 ABF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则
? ?n ? AB ? 0, ? x ? 0, 即? ? ? ?n ? AF ? 0, ? y ? z ? 0. ? 1, 1) 令 z ? 1, , 则 y ? ?1 。 所 以 n ? ( 0 , , 设 直 线 BC 与 平 面 ABF 所 成 角 为 a, 则

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sin a ? cos n, BC ?

n ? BC n BC

?

1 。 2

设点 H 的坐标为 (u, v, w). 。 因为点 H 在棱 PC 上,所以可设 PH ? ? PC(0 ? 1), , 即 (u, v, w ? 2) ? ? (2,1, ?2). 。所以 u ? 2? , v ? ? , w ? 2 ? 2? 。 因为 n 是平面 ABF 的法向量,所以 n ? AB ? 0 ,即 (0, ?1,1) ? (2?, ?, 2 ? 2? ) ? 0 。 2 4 2 2 解得 ? ? ,所以点 H 的坐标为 ( , , ). 。 3 3 3 3 4 2 4 所以 PH ? ( )2 ? ( )2 ? (? )2 ? 2 3 3 3 (18) (共 13 分) 解: (I)由 f ( x) ? x cos x ? sin x 得 f ' (x ) ? c ox s? x s ix ? n cx o ? s? x 。 s xi n ? ? ?? 因为在区间 (0, ) 上 f '( x) ? ? x sin x 0 ,所以 f ( x ) 在区间 ? 0, ? 上单调递减。 2 ? 2? 从而 f ( x ) ? f (0) ? 0 。 sin x nis x a” b” (Ⅱ) 当 x 0 时, “ 等价于 “ sin x ? ax 0 ” “ 等价于 “ sin x ? bx 0 ” 。 x x 令 g ( x) ? sin x ? cx ,则 g '( x ) ? cos x ? c , ? 当 c ? 0 时, g ( x) 0 对任意 x ? (0, ) 恒成立。 2 ? ? ?? 当 c ? 1 时,因为对任意 x ? (0, ) , g '( x ) ? cos x ? c 0 ,所以 g ( x) 在区间 ?0, ? 上 2 ? 2? ? 单调递减。从而 g ( x) g (0) ? 0 对任意 x ? (0, ) 恒成立。 2 ? 当 0 c 1 时,存在唯一的 x0 ? (0, ) 使得 g '( x0 ) ? cos x0 ? c ? 0 。 2 ? g ( x) 与 g '( x ) 在区间 (0, ) 上的情况如下: 2

x
g '( x ) g ( x)

(0, x0 )



x0
0

( x0 , ) 2 →

?


0对

“ g ( x) g (0) ? 0 。进一步, ? ? ? 2 任意 x ? (0, ) 恒成立”当且仅当 g ( ) ? 1 ? c ? 0 ,即 0 c ? , 2 2 2 ?

因为 g ( x) 在区间 ?0, x0 ? 上是增函数,所以 g ( x0 )

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综上所述,当且仅当 c ?
g ( x)

2

0 对任意 x ? (0, ) 恒成立。 2 sin x ? 2 b 对任意 x ? (0, ) 恒成立,则 a 最大值为 ,b 的最小值为 1. 所以,若 a x 2 ?

?

?

时, g ( x)

0 对任意 x ? (0, ) 恒成立;当且仅当 c ? 1 时, 2

?

(19)
x2 y 2 ? 1。 解: (I)由题意,椭圆 C 的标准方程为 ? 4 2 所以 a2 ? 4, b2 ? 2 ,从而 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2 。因此 a ? 2, c ? 2 。

c 2 。 ? a 2 (Ⅱ) 直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切。证明如下: 设点 A,B 的坐标分别为 ( x0 , y0 ) , (t , 2) ,其中 x0 ? 0 。

故椭圆 C 的离心率 e ?

因为 OA ? OB ,所以 OA ? OB ? 0 ,即 tx0 ? 2 y0 ? 0 ,解得 t ? ?

2 y0 。 x0

t2 当 x0 ? t 时, y0 ? ,代入椭圆 C 的方程,得 t ? ? 2 , 2 故直线 AB 的方程为 x ? ? 2 。圆心 O 到直线 AB 的距离 d ? 2 。 此时直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切。 y ?2 当 x0 ? t 时,直线 AB 的方程为 y ? 2 ? 0 (x ? t) , x0 ? t 即 ( y0 ? 2) x ? ( x0 ? t ) y ? 2x0 ? ty0 ? 0 ,

圆心 0 到直线 AB 的距离 2 x0 ? ty0 d? ( y0 ? 2) 2 ? ( x0 ? t ) 2 2y 又 x02 ? 2 y02 ? 4 , t ? ? 0 故 x0
2 x0 ? d?
2 2

2 y0 2 x0

4 y0 2 x0 ? y0 ? 2 ? 4 x0

?

4 ? x0 x0 x0 4 ? 8 x0 2 ? 16 2 x0 2

? 2

此时直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切。

(20) 解: (I) T1 ( P) ? 2 ? 5 ? 7
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T1 (P) ? 1? max ?T1 (P),2 ? 4? ? 1 ? m a ? x 7 6 ?,=8
(Ⅱ) T2 ( P) ? max ?a ? b ? d , a ? c ? d?

T2 ( P ' ) ? max ?c ? d ? b , c? a?? .b
当 m=a 时, T2 ( P ') = max ?c ? d ? b, c ? a ? b? = c ? d ? b 因为 c ? d ? b ? c ? b ? d ,且 a ? c ? d ? c ? b ? d ,所以 T2 ( P) ≤ T2 ( P ') 当 m=d 时, T2 ( P ') ? max ?c ? d ? b, c ? a ? b? ? c ? a ? b 因为 a ? b ? d ≤ c ? a ? b ,且 a ? c ? d ? c ? a ? b 所以 T2 ( P) ≤ T2 ( P ') 。 所以无论 m=a 还是 m=d, T2 ( P) ≤ T2 ( P ') 都成立。 (Ⅲ)数对序列 P : (4,6) , (11,11) , (16,11) , (11,8) , (5,2)的 T5 ( P) 值最小,

T1 ( P) =10, T2 ( P) =26, T3 ( P) =42, T4 ( P) =50, T5 ( P) =52

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2014 年普通高等学校统一考试(大纲) 理科
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.
1.设 z ?

10i , 则 z 的共轭复数为 3?i
B. ?1 ? 3i C. 1 ? 3i D. 1 ? 3i





A. ?1 ? 3i 【答案】D.

2 2.设集合 M ? {x | x ? 3x ? 4 ? 0} , N ? {x | 0 ? x ? 5} ,则 M

N?





A. (0, 4] 【答案】B.

B. [0, 4)

C. [?1, 0)

D. (?1, 0]

3.设 a ? sin 33?, b ? cos55?, c ? tan 35?, 则 A. a ? b ? c 【答案】C. 4.若向量 a, b 满足: a ? 1, a ? b ? a, 2a ? b ? b, 则 b ? A.2 B. 2 C.1 D. B. b ? c ? a C. c ? b ? a D. c ? a ? b





?

?

?

?





2 2

【答案】B. 5.有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共 有( A.60 种 【答案】C. 6.已知椭圆 C: ) B.70 种 C.75 种 D.150 种

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点为 F1 、 F2 ,离心率为 ,过 F2 的直线 l 交 C 2 a b 3

于 A、B 两点,若 ?AF1B 的周长为 4 3 ,则 C 的方程为 ( A. )

x2 y 2 ? ?1 3 2
x ?1

B.

x2 ? y2 ? 1 3

C.

x2 y 2 ? ?1 12 8

D.

x2 y 2 ? ?1 12 4

【答案】A. 7.曲线 y ? xe 在点(1,1)处切线的斜率等于
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A. 2 e

B. e

C.2

D.1

【答案】C. 8. 正四棱锥的顶点都在同一球面上, 若该棱锥的高为 4, 底面边长为 2, 则该球的表面积为 A. ( )

81? 4

B. 16?

C. 9?

D.

27? 4

【答案】A. 9.已知双曲线 C 的离心率为 2, 焦点为 F 点 A 在 C 上, 若F 则 cos ?AF2 F ( F2 , 1、 1 ? 1A ? 2 F 2A , A. )

1 4

B.

1 3

C.

2 4

D.

2 3

【答案】A. 10.等比数列 {an } 中,a4 ? 2, a5 ? 5 , 则数列 {lg an } 的前 8 项和等于 A.6 【答案】C. 11.已知二面角 ? ? l ? ? 为 60 ? , AB ? ? , AB ? l ,A 为垂足,CD ? ? ,C ? l ,?ACD ? 135? , 则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 ( A. ) B .5 C.4 D.3 ( )

1 4

B.

2 4

C.

3 4

D.

1 2

【答案】B. 12.函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? g ( x) 的图象关于直线 x ? y ? 0 对称,则 y ? f ( x) 的反函数是 ( ) B. y ? g ( ? x ) C. y ? ? g ( x ) D. y ? ? g (? x)

A. y ? g ( x ) 【答案】D.

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

? x y ? 2 2 13. ? 的展开式中 x y 的系数为 ? ? ? y ? x? ?
【答案】70.

8

.(用数字作答)

? x? y ?0 ? 14.设 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ,则 z ? x ? 4 y 的最大值为 ? x ? 2y ?1 ?

.

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【答案】5. 15.直线 l1 和 l2 是圆 x2 ? y 2 ? 2 的两条切线,若 l1 与 l2 的交点为 ?1,3? ,则 l1 与 l2 的夹角的正切值等 于 【答案】 .

4 . 3

16.若函数 f ( x) ? cos 2 x ? a sin x 在区间 ( 【答案】 ? ??,2? .

? ? , ) 是减函数,则 a 的取值范围是 6 2

.

三、解答题 :解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 10 分)

?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 3a cos C ? 2c cos A , tan A ?
解:由题设和正弦定理得 3sin A cos C = 2sin C cos A , \ 3tan A cos C = 2sin C . tan A =
\ tan C =
0?

1 ,求 B. 3

1 , \ cos C = 2sin C , 3

1 tan A + tan C , \ tan B = tan 轾 180? ( A + C ) = - tan ( A + C ) = = - 1, 又 臌 2 tan A tan C - 1
135 .

B < 180癨 , ?B

18. (本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 10 , a2 为整数,且 Sn ? S4 . (I)求 {an } 的通项公式; (II)设 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an an?1

解: (I)由 a1 ? 10 , a2 为整数知,等差数列 {an } 的公差 d 为整数.又 Sn ? S4 ,故 a4 ? 0 , a5 ? 0 , 于 是 10 ? 3d ? 0 ,10 ? 4d ? 0 ,解得 an = 13 - 3n . (II) bn

10 #d 3

-

5 ,因此 d = - 3 ,故数列 {an } 的通项公式为 2

?

1? 1 1 ? ,于是 ? ? ? ?13 ? 3n ??10 ? 3n ? 3 ? 10 ? 3n 13 ? 3n ? ? 1
1 ?? 1 ? 1 1? n ? 1 ?? ? ? ?? ?? ? ? ? 10 ? 3n 13 ? 3n ?? 3 ? 10 ? 3n 10 ? 10 ?10 ? 3n ?

Tn ? b1 ? b2 ?


1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? bn ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 3 ?? 7 10 ? ? 4 7 ?

19. (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,点 A 1 在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上, ?ACB ? 90 ,
0

BC ? 1, AC ? CC1 ? 2 .

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(I)证明: AC1 ? A 1B ; (II)设直线 AA1 与平面 BCC1B1 的距离为 3 ,求二面角 A1 ? AB ? C 的大小.

C1 A1

B1

D A

C

B

解:解法一: (I) A1 D ^ 平面 ABC , A1 D ? 平面 AA1C1C ,故平面 AA1C1C ^ 平面 ABC .又 BC ^ AC ,
\ BC ^ 平面 AA1C1C .连结 A1C ,∵侧面 AA1C1C 为菱形,故 AC1 ^ A1C ,由三垂线定理得 AC1 ^ A1 B ;

(II) BC ^ 平面 AA1C1C , BC ? 平面 BCC1 B1 ,故平面 AA1C1C ^ 平面 BCC1 B1 .作 A1 E ^ CC1 , E 为垂足, 则 A1 E ^ 平 面 BCC1 B1 . 又 直 线 AA1 ∥ 平 面 BCC1 B1 , 因 而 A1 E 为 直 线 AA1 与 平 面 BCC1 B1 的 距 离 ,
A1 E = 3 .∵ A1C 为 ?ACC1 的角平分线,故 A1 D = A1 E = 3 .作 DF ^ AB , F 为垂足,连结 A1 F ,由三

垂线定理得 A1 F ^ AB , 故 ?AF 的平面角. 由 AD = AA12 - A1D2 = 1 得 D 为 AC 的中 1 D 为二面角 A 1 ? AB ? C 点, DF = 1 ? AC ? BC
2 AB 5 , tan ? A1 FD 5 A1 D = DF 15 , ∴二面角 A 1 ? AB ? C 的大小为 arctan 15 .

z
C1 A1 E B1

C1

B1

A1

C
C D A F B

B y

D x A

解法二:以 C 为坐标原点,射线 CA 为 x 轴的正半轴,以 CB 长为单位长,建立如图所示的空间直角坐 标系 C - xyz .由题设知 A1 D 与 z 轴平行, z 轴在平面 AA1C1C 内. ( I ) 设
A1 ( , a 0 ) ,c ,









a? 2

(, A

)2 ( ,

B0 )

, 则0

,

0

AB = (- 2 , 1, 0) , AC = (- 2 , 0 , 0) , AA1 = (a - 2 , 0 , c) , AC1 = AC + AA1 = (a - 4 , 0 , c) , BA1 = (a , - 1, c) . 由

.于是 AC1 ?BA1 AA1 = 2 得 (a - 2) + c 2 = 2 ,即 a 2 - 4a + c 2 = 0 (①) ( II ) 设 平 面
BCC1 B1

2

a2 - 4a + c2 = 0 , \ AC1 ^ A1 B .









m = ( ,x

,y )

则 ,z

m ^ CB , m ^ BB1 ,



m ?CB

0 , m ?BB1

0 . CB = (0 , 1, 0) ,

BB1 = AA1 = (a - 2 , 0 , c) , 故 y = 0 ,且 (a - 2) x + cz = 0 .令 x = c ,则 z = 2 - a , m = (c , 0 , 2 - a ) ,点 A

第 22页 ( 共 191页 )

到平面 BCC1 B1 的距离为 CA ? cos m , CA 的距离为 3 , \ c =

CA ×m m

=

2c c 2 + (2 - a )
2

= c .又依题设,点 A 到平面 BCC1 B1

3 .代入①解得 a = 3(舍去)或 a = 1 .于是 AA1 = - 1 , 0 , 3 .设平面 ABA1 的法
0,n ? AB 0, \ - p + 3 r = 0 ,故且 - 2 p + q = 0 .令

(

)

向量 n = ( p , q, r ) ,则 n ^ AA1 , n ^ AB ,即 n ?AA1
p= 3 , 则 q = 2 3r,= 1n ,?

?

3 , 2 3 ,. 1 又 p ? ? 0 , 0 ?, 1 为 平 面 ABC 的 法 向 量 , 故

?

cos n, p ?

n? p n? p

?

1 1 ,∴二面角 A1 ? AB ? C 的大小为 arccos . 4 4

20. (本小题满分 12 分) 设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6 , 0.5 , 0.5 , 0.4 , 各人是否需 使用设备相互独立. (I)求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率; (II)X 表示同一工作日需使用设备的人数,求 X 的数学期望. 解:记 Ai 表示事件:同一工作日乙、丙恰有 i 人需使用设备,i ? 0,1, 2 ; B 表示事件:甲需使用设备;

C 表示事件:丁需使用设备; D 表示事件:同一工作日至少 3 人需使用设备.
(I) D ? A 1 ? B?C ? A 2 ?B? A 2 ? B ? C ,又
i P ? B? ? 0.6, P ?C ? ? 0.4, P ? Ai ? ? C2 ? 0.52 , i ? 0,1,2.? P ? D? ?

P ? A1 ? B ? C ? A2 ? B ? A2 ? B ? C ? ? P ? A1 ? B ? C ? ? P ? A2 ? B ? ? P ? A2 ? B ? C ? ? P ? A1 ? P ? B ? P ? C ? ? P ? A2 ? P ? B ? ? P ? A2 ? P ? B ? P ?C ? ? 0.31.

(II) X 的可能取值为 0,1,2,3,4.
P ? X ? 0 ? ? P B ? A0 ? C ? P B P ? A0 ? P C ? ?1 ? 0.6 ? ? 0.52 ? ?1 ? 0.4 ? ? 0.06 ,
P ? X ? 1? ? P B ? A0 ? C ? B ? A0 ? C ? B ? A1 ? C ? P ? B ? P ? A0 ? P C ? P B P ? A0 ? P ?C ? ? P B P ? A1 ? P C ? 0.6 ? 0.52

?

?

? ?

? ?
?

?

? ? ? ?

? ?

? ?

??1? 0.4? ? ?1? 0.6? ? 0.5 ? 0.4 ? ?1 ? 0.6? ? 2 ? 0.5 ? ?1 ? 0.4? ? 0.25 , P ? X ? 4? ? P ? A2 ? B ? C ? ?
2 2

?P ? X ? 1? ? P ? X ? 3? ? P ? X ? 4? ? 1? 0.06 ? 0.25 ? 0.25 ? 0.06 ? 0.38.
∴数学期望
EX = 0? P ( X 0)+ 1? P ( X 1)+ 2? P ( X 2)+ 3? P ( X 3)+ 4? P ( X

P ? A2 ? P ? B? P ?C ? ? 0.52 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.06 , P ? X ? 3? ? P ? D? ? P ? X ? 4? ? 0.25 , P ? X ? 2? ? 1 ? P ? X ? 0?

4) = 0.25 + 2? 0.38 3? 0.25

4? 0.06

2.

21. (本小题满分 12 分)
2 已知抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,直线 y ? 4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点为 Q,

且 | QF |?

5 | PQ | . 4

(I)求 C 的方程;

第 23页 ( 共 191页 )

(II)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,若 AB 的垂直平分线 l ? 与 C 相较于 M,N 两点,且 A,M, B,N 四点在同一圆上,求 l 的方程. 解: ( I ) 设 Q (x0 , 4) , 代 入 y 2 = 2 p x , 得 x0 =
p 8 5 + = 2 p 4 8 8 p p 8 , \ PQ = , QF = + x0 = + . . 由 题 设 得 p p 2 2 p

8 ,解得 p = - 2 (舍去)或 p = 2 ,∴C 的方程为 y 2 = 4 x ; (II)由题设知 l 与坐标轴不垂 p

直,故可设 l 的方程为 x = my + 1(m
y1 + y2 = 4m ,

0) ,代入 y 2 = 4 x 得 y 2 - 4my - 4 = 0 .设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则

y1 y2 = - 4 . 故 AB 的中点为 D (2m2 + 1 , 2m) , AB =

又 l ?的斜率为 - m , \ l ?的 m2 + 1 y1 - y2 = 4 (m2 + 1) .

方 程 为 x= -

1 4 y + 2m2 + 3 . 将 上 式 代 入 y 2 = 4 x , 并 整 理 得 y 2 + y - 4(2m2 + 3) = 0 . 设 m m
y3 + y4 = 4 , y3 y4 = - 4(2m2 + 3) m

M( x y ) , (B 4x, ) 4y , 则 3 , 3
骣 2 2 E? + 2m2 + 3 , - ÷ ÷, MN = ? ? 桫 m÷ m2





MN









1+

4 (m2 + 1) 2m2 + 1 1 . y3 - y4 = 2 m m2

由 于 MN 垂 直 平 分 线 AB , 故 A , M , B , N四 点 在 同 一 圆 上 等 价 于 AE = BE = 1 MN , 从 而
2
2 2 4(m2 + 1) (2m2 + 1) 骣 2鼢 骣 2 珑 , 化简得 m 2 - 1 = 0 , 解得 2m + 鼢 + +2 = (m + 1) + 珑 2 4 鼢 珑 桫 桫 m m m 2 2 2

1 1 2 2 2 AB + DE = MN , 即 4 4 4

m = 1或 m = - 1 .所求直线 l 的方程为 x - y - 1 = 0 或 x + y - 1 = 0 .

22. (本小题满分 12 分) 函数 f ? x ? ? ln ? x ? 1? ?

ax ? a ? 1? . x?a

(I)讨论 f ? x ? 的单调性; (II)设 a1 ? 1, an?1 ? ln(an ? 1) ,证明:

2 3 ? an ? . n +2 n?2
2 ? x? ? x ? ? a ? 2a ??

解: (I) f ? x ? 的定义域为 ? ?1, ? ? ? , f ? ? x ? ?

? x ? 1?? x ? a ?

2



2 2 ( i )当 1 ? a ? 2 时,若 x ? ?1 , a ? 2a ,则 f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ?1 , a ? 2a 上是增函数;若

?

?

?

?

x ? ? a2 ? 2 a , 0? , 则 f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ? a 2 ? 2a , 0 ? 上 是 减 函 数 ; 若 x ? ? 0 , ? ?? , 则

f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ? 0 , ? ?? 上是增函数.
(ii)当 a = 2 时, f ⅱ ( x) ? 0 , f ( x )
0 成立当且仅当 x = 0 , f ( x) 在 (- 1, +

) 上是增函数.

2 (iii)当 a > 2 时,若 x ? ( 1, 0) ,则 f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在是 (- 1 , 0) 上是增函数;若 x ? 0 , a ? 2a ,

?

?

第 24页 ( 共 191页 )

2 2 则 f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 0 , a ? 2 a 上 是 减 函 数 ; 若 x ? a ? 2a , ? ? , 则 f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在

?

?

?

?

?a

2

? 2a , ? ? ? 上是增函数.

(II)由(I)知,当 a = 2 时, f ( x) 在 (- 1, +
ln ( x + 1) >

) 是增函数.当 x ? (0 ,

) 时, f (x) > f (0) = 0 ,即

2x (x > 0) .又由( I )知,当 a = 3 时, x+ 2

f ? x ? 在 [0 , 3) 上是减函数;当 x ? (0 , 3) 时,
3 . n+ 2

f (x) < f (0) = 0 ,即 ln (x + 1) <

3x 2 < an (0 < x < 3) .下面用数学归纳法证明 x+ 3 n+ 2

2 (i)当 n = 1 时,由已知 < a1 = 1 ,故结论成立; 3

( ii ) 假 设 当 n = k 时 结 论 成 立 , 即

2 < ak k+ 2

3 k+ 2

. 当 n= k+1 时 ,

骣2 ak + 1 = ln (ak + 1) > ln 珑 + 1鼢 > 鼢 珑 珑 桫 k+ 2 鼢

2 3 2创 3 k + 2 = 2 , a = ln a + 1 ? ln 骣 3 k + 2 = 3 ,即 1 < ( k ) k+1 2 3 桫 k + 3 k + 2 +2 + 3 k+ 3 k+ 2 k+ 2

当 n = k + 1 时有

2 < ak k+ 3

3 ,结论成立.根据(i) 、 (ii)知对任何 n ? N * 结论都成立. k+ 3

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2014 年福建高考数学试题(理)
第I卷(选择题
题目要求的. 1.复数 z ? (3 ? 2i)i 的共轭复数 z 等于( )

共 50 分)

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合

A. ? 2 ? 3i A. 圆柱

B. ? 2? 3 i B. 圆锥

C. 2? 3 i

D. 2? 3 i


2.某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是(

C. 四面体

D. 三棱柱
)

3.等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,若 a1 ? 2, S3 ? 12 ,则 a6 ? (

A.8

B. 1 0

C. 1 2

D.14


4.若函数 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 的图像如右图所示,则下列函数图象正确的是学科网(

5.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 S 得值等于(



A.18

B. 2 0

C. 2 1

D.40

第 26页 ( 共 191页 )

6.直线 l : y ? kx ? 1 与圆 O : x2 ? y 2 ? 1 相交于 A, B 两点,则 " k ? 1" 是“ ?ABC 的面积为 ( )

1 ”的 2

A. 充分而不必要条件
C. 充分必要条件

B. 必要而不充分条件
D. 既不充分又不必要条件

7.已知函数 f ?x ? ? ? A. f ?x ? 是偶函数

?x 2 ? 1, x ? 0 ?cos x, x?0

则下列结论正确的是(



B. f ?x ? 是增函数

C. f ?x ? 是周期函数 D. f ?x ? 的值域为 ?? 1,??? )

8.在下列向量组中,可以把向量 a ? ?3,2? 表示出来的是( A. e1 ? (0,0), e2 ? (1,2) C. e1 ? (3,5), e2 ? (6,10)
2

B . e1 ? (?1,2), e2 ? (5,?2) D. e1 ? (2,?3), e2 ? (?2,3)

9.设 P, Q 分别为 x 2 ? ? y ? 6? ? 2 和椭圆 A. 5 2 B. 46 ? 2 C. 7 ? 2

x2 ? y 2 ? 1 上的点,则 P, Q 两点间的最大距离是( 10
D. 6 2



10.学科网用 a 代表红球, b 代表蓝球, c 代表黑球,由加法原理及乘法原理,从 1 个红球和 1 个篮球 中取出若干个球的所有取法可由 ?1 ? a ??1 ? b? 的展开式 1 ? a ? b ? ab 表示出来,如: “1”表示一个球 都不取、 “ a ”表示取出一个红球,而“ ab ”则表示把红球和篮球都取出来。.依此类推,下列各式中, 其展开式可用来表示从 5 个无区别的红球、5 个无区别的蓝球 5 个有区别的黑球中取出若干个球,且 所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是 A. 1 ? a ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 1 ? b5 ?1 ? c? C. ?1 ? a? 1 ? b ? b2 ? b3 ? b4
5

?

??

?

? ? b ??1 ? c ?
5 5 5

B. 1 ? a5 1 ? b ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ?1 ? c?
5 5 2

? ?? D. ? 1 ? a ??1 ? b? ?1 ? c ? c

?

5

? c 3 ? c 4 ? c5

?

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第 II 卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。把答案填在答题卡的相应位置。

?x ? y ? 1 ? 0 ? 11、若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 8 ? 0 则 z ? 3x ? y 的最小值为________ ?x ? 0 ?
12、在 ?ABC 中, A ? 60?, AC ? 4, BC ? 2 3 ,则 ?ABC 的面积等于_________ 13、要制作一个容器为 4 m ,高为 1m 的无盖长方形容器,已知该容器的底面造价是每平方米 20 元, 侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是_______(单位:元) 14.如图,在边长为 e ( e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则他落到阴影部分的概率
3

为______. 15.若集合 {a, b, c, d } ? {1,2,3,4}, 且下列四个关系: ① a ? 1 ;② b ? 1 ;③ c ? 2 ;④ d ? 4 有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组 (a, b, c, d ) 的 个数是_________. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 13 分) 已知函数

1 f ( x) ? cos x(sin x ? cos x) ? . 2 ?

(1)若 0 ? ? (2)求函数

?
2

,且 sin ?

?

2 ,求 f (? ) 的值; 2

f ( x) 的最小正周期及单调递增区间.

17.(本小题满分 12 分) 在平行四边形 ABCD 中, AB ? BD ? CD ? 1 , AB ? BD, CD ? BD .将 ? ABD 沿 BD 折起, 使得平面 ABD ? 平面 BCD ,如图. (1)求证:AB ? CD; (2)若 M 为 AD 中点,求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值.

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18.(本小题满分 13 分) 为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行奖励,规定:每位顾客从 一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球,球上所标的面值之和为该顾 客所获的奖励额. (1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元,其余 3 个均为 10 元,求 ①顾客所获的奖励额为 60 元的概率 ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; (2)商场对奖励总额的预算是 60000 元,并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成,或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励 总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的 4 个球 的面值给出一个合适的设计,并说明理由.

19.(本小题满分 13 分) 已知双曲线 E :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线分别为 l1 : y ? 2 x, l2 : y ? ?2 x . a 2 b2

(1)学科网求双曲线 E 的离心率; (2)如图, O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1 , l2 于 A, B 两点( A, B 分别在第一, 四象限) ,且 ?OAB 的面积恒为 8,试探究:是否存在总与直线 l 有且只有一个公 共点的双曲线 E ?若存在,求出双曲线 E 的方程;若不存在,说明理由。

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20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ?x ? ? e x ? ax ( a 为常数)的图像与 y 轴交于点 A ,曲线 y ? f ?x ? 在点 A 处 的切线斜率为-1. (I)求 a 的值及函数 f ?x ? 的极值; (II)证明:当 x ? 0 时, x ? e ;
2 x

(III)证明:对任意给定的正数 c ,总存在 x0 ,使得当 x ? ?x0, ? ?? ,恒有 x ? ce .
2 x

21. 本题设有(1) , (2) , (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分. 如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题 号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 已知矩阵 A 的逆矩阵 A ? ? ?1 ? (I)求矩阵 A ; (II)求矩阵 A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. (2) (本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为 ? 参数). (I)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (II)学科网若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围. (3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 已知定义在 R 上的函数 f ?x? ? x ?1 ? x ? 2 的最小值为 a . (I)求 a 的值;
?1

?1

? 2 1? ?. 2? ?

? x ? a ? 2t ? x ? 4 cos? , ( t 为参数) ,圆 C 的参数方程为 ? , (? 为 ? y ? ?4t ? y ? 4 sin ?

q, r 为正实数,且 p ? q ? r ? a ,求证: p 2 ? q 2 ? r 2 ? 3 . (II)若 p ,

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2014 年福建高考数学试题(理)答案
一.选择题:本大题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,共 50 分.

1-10

CACBBADBDA

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算,每小题 4 分,共 20 分。 11. 1 12. 2 3 13. 160 14.

2 e2

15. 6

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16、本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和与差的三角函数及三角函数的 图 象与性质等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想。满分 13 分. 解法一:(1)因为 0 ? ? ? 所以 f (? ) ? (2)因为

?
2

, sin ? ?

2 2 . , 所以 cos ? ? 2 2

2 2 2 1 1 ( ? )? ? 2 2 2 2 2 1 1 1 ? cos 2 x 1 1 1 2 ? ? sin 2 x ? ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) , 2 2 2 2 2 2 2 4

f ( x) ? sin x cos x ? cos 2 x ?
所以 T ?

2? ? ? ? 3? ? ? ? .由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z , 得 k? ? ? x ? k? ? , k ? Z .所以 2 2 4 2 8 8
3? ? , k? ? ], k ? Z . 8 8

f ( x) 的单调递增区间为 [k? ?
解法二:

f ( x) ? sin x cos x ? cos2 x ?
(1)因为 0 ? ? ? 从而 f (? ) ? (2) T ? 由 2 k? ? 为 [ k? ?

1 1 1 ? cos 2 x 1 1 1 2 ? ? sin 2 x ? ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 2 2 2 2 2 4

?
2

, sin ? ?

? 2 , 所以 ? ? 4 2

2 ? 2 3? 1 sin(2? ? ) ? sin ? 2 4 2 4 2

2? ?? 2 ? 2x ?

?
2

?
4

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z , 得 k? ?

3? ? ? x ? k? ? , k ? Z .所以 f ( x) 的单调递增区间 8 8

3? ? , k? ? ], k ? Z . 8 8

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17. 本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想 象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想。 满分 13 分。 解: (1) 因为 ABD ? 平面 BCD , 平面 ABD 平面 BCD ? BD , AB ? 平面 ABD, AB ? BD, 所以

AB ? 平面 BCD. 又 CD ? 平面 BCD, 所以 AB ? CD .

(2)过点 B 在平面 BCD 内作 BE ? BD ,如图. 由(1)知 AB ? 平面 BCD, BE ? 平面 BCD, BD ? 平面 BCD, 所以 AB ? BE, AB ? BD . 以 B 为坐标原点,分别以 BE, BD, BA 的方向为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向建立空间直角坐标系. 依题意,得 B(0, 0, 0), C (1,1, 0), D(0,1, 0), A(0, 0,1), M (0, , ) . 则 BC ? (1,1, 0), BM ? (0, , ), AD ? (0,1, ?1) . 设平面 MBC 的法向量 n ? ( x0 , y0 , z0 ) .

1 1 2 2

1 1 2 2

? x ? y0 ? 0 ? ?n ? BC ? 0 ? 0 则? 即 ?1 . y ? z ? 0 n ? BM ? 0 ? 0 0 ? ? ?2
取 z0 ? 1, 得平面 MBC 的一个法向量 n ? (1, ?1,1) . 设直线 AD 与平面 MBC 所成角为 ? , 则 sin ? ? cos ? n, AD ? ?

n ? AD n AD

?

6 , 3
6 . 3

即直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值为

18.本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识,考查数据处理 能力、运算求解能力、应用意识,考查必然与或然思想、分类与整合思想。满分 13 分。 解:(1)设顾客所获的奖励为 X.
1 1 C1 C3 1 ①依题意,得 P( X ? 60) ? ? . 2 C4 2

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即顾客所获得的奖励额为 60 元的概率为 ②依题意,得 X 的所有可能取值为 20,60.

1 . 2

C2 1 1 P( X ? 60) ? , P( X ? 20) ? 32 ? . 2 C4 2
即 X 的分布列为 X P 20 0.5 60 0.5

所以顾客所获得的奖励额的期望为 E ( X ) ? 20 ? 0.5 ? 60 ? 0.5 ? 40 (元). (2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励为 60 元.所以先寻找期望为 60 元的可能方案.对于面值由 10 元和 50 元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为 60 元是面值之和的最大值,所以期望不 可能为 60 元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为 60 元是面值之和的最小值,所以数学期望也不可能 为 60 元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案 1. 对于面值由 20 元和 40 元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的 方案是(20,20,40,40),记为方案 2. 以下是对两个方案的分析: 对于方案 1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励为 X 1 ,则 X 1 的分布列为

X1
P

20

60

100

1 6

2 3

1 6

1 2 1 X1 的期望为 E ( X 1 ) ? 20 ? ? 60 ? ? 100 ? ? 60 , 6 3 6 1 2 1 1600 . X1 的方差为 D( X 1 ) ? (20 ? 60) 2 ? ? (60 ? 60) 2 ? ? (100 ? 60) 2 ? ? 6 3 6 3
对于方案 2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励为 X 2 ,则 X 2 的分布列为

X2
P

40

60

80

1 6

2 3

1 6

1 2 1 X 2 的期望为 E ( X 2 ) ? 40 ? ? 60 ? ? 80 ? ? 60 , 6 3 6 1 2 1 400 . X 2 的方差为 D( X 2 ) ? (40 ? 60) 2 ? ? (60 ? 60) 2 ? ? (80 ? 60) 2 ? ? 6 3 6 3
由于两种方案的奖励额都符合要求,但方案 2 奖励的方差比方案 1 的小,所以应该选择方案 2. 19. 本小题主要考查双曲线的 方程与性质、 直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识, 考查抽象概括能
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力、推理论证能力、运算求解能力,考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类与整合思想、函数与 方程思想。满分 13 分。 解法一:(1)因为双曲线 E 的渐近线分别为和 y ? 2 x, y ? ?2 x . 所以

b c2 ? a2 ? 2,? ? 2,? c ? 5a , a a

从而双曲线 E 的离心率 e ? 5 . (2)由(1)知,双曲线 E 的方程为 设直线 l 与 x 轴相交于点 C. 当 l ? x 轴时,若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点, 则 OC ? a, AB ? 4a , 又因为 ?OAB 的面积为 8, 所以

x2 y 2 ? ? 1. a 2 4a 2

1 1 OC AB ? 8,? a ? 4a ? 8,? a ? 2 . 2 2

此时双曲线 E 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 16 x2 y 2 ? ?1. 4 16

若存在满足条件的双曲线 E,则 E 的方程只能为

以下证明:当直线 l 不与 x 轴垂直时,双曲线 E:

x2 y 2 ? ? 1 也满足条件. 4 16

设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,依题意,得 k>2 或 k<-2. 则 C (?

m , 0) ,记 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) . k

由?

? y ? 2x 2m 2m 1 ,得 y1 ? ,同理得 y2 ? .由 S ?OAB ? OC y1 ? y2 得, 2?k 2?k 2 ? y ? kx ? m

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1 m 2m 2m ? ? ? ? 8 即 m2 ? 4 4 ? k 2 ? 4(k 2 ? 4) . 2 k 2?k 2?k

? y ? kx ? m ? 2 由 ? x2 y2 得, (4 ? k 2 ) x2 ? 2kmx ? m2 ?16 ? 0 .因为 4 ? k ? 0 , ?1 ? ? ? 4 16
所以 ? ? 4k 2m2 ? 4(4 ? k 2 )(m2 ? 16) ? ?16(4k 2 ? m2 ?16) , 又因为 m2 ? 4(k 2 ? 4) .所以 ? ? 0 ,即 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点. 因此,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 16

20.本小题主要考查导数的运算及导数的应用、全称量词等基础知识的考查运用,考查抽象概括能力、 推理论证能力,考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想、分类与整合思想、函数 与方程思想等。 满分 14 分。
x 解法一: ( I ) 由 f ( x) ? e x ? ax , 得 f '( x )? e ? a. 又 f '(0) ? 1 ? a ? ?1 , 得 a ? 2 . 所 以

令 f '( x) ? 0 ,得 x ? ln 2 .当 x ? ln 2 时, f '( x) ? 0, f ( x) 单调递减; f ( x ) ? ex ? 2 x ,f x '( ? ) ex ? .2 当 x ? ln 2 时 ,

f '( x) ? 0, f ( x) 单 调 递 增 . 所 以 当 x ? l n 2 时 , f ( x) 取 得 极 小 值 , 且 极 小 值 为

f (ln 2) ? eln 2 ? 2ln 2 ? 2 ? ln 4, f ( x) 无极大值.
0 ,故 g ( x) 在 R 上单 (II)令 g ( x) ? e x ? x 2 ,则 g '( x) ? e x ? 2 x .由(I)得 g '( x) ? f ( x) ? f (ln2) ?
2 x 调递增,又 g (0) ? 1 ? 0 ,因此,当 x ? 0 时, g ( x) ? g (0) ? 0 ,即 x ? e . x x 2 x 2 x (III)①若 c ? 1 ,则 e ? ce .又由(II)知,当 x ? 0 时, x ? e .所以当 x ? 0 时, x ? ce .取

x0 ? 0 ,当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 x 2 ? cx 2 .
②若 0 ? c ? 1 ,令 k ?
2

1 x 2 x 2 ? 1 ,要使不等式 x 2 ? ce x 成立, 只要 e ? kx 成立.而要使 e ? kx 成立, 则只 c 2 x?2 ? .所以当 x x

要 x ? ln(kx ) ,只要 x ? 2ln x ? ln k 成立.令 h( x) ? x ? 2ln x ? ln k ,则 h '( x) ? 1 ?

x ? 2 时, h '( x) ? 0, h( x) 在 (2, ??) 内单调递增.取 x0 ? 16k ? 16 ,所以 h( x) 在 ( x0 , ??) 内单调递增.
又 h( x0 ) ? 16k ? 2ln(16k ) ? ln k ? 8(k ? ln 2) ? 3(k ? ln k ) ? 5k .易知 k ? ln k , k ? ln 2,5k ? 0 .所以

h( x0 ) ? 0 .即存在 x0 ?

16 2 x ,当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 x ? ce . c
2 x

综上,对任意给定的正数 c,总存在 x0 ,当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 x ? ce . 解法二: (I)同解法一 (II)同解法一

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(III)对任意给定的正数 c,取 xo ?
x
2

4 c
x x 2 x 2

由(II)知,当 x>0 时, e ? x ,所以 e ? e , e ? ( ) ( )
2

x 2

x 2

2

当 x ? xo 时, e ? ( ) ( ) ?
x 2 2

x 2

x 2

4 x 2 1 2 ( ) ? x c 2 c
2 x

因此,对任意给定的正数 c,总存在 x0 ,当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 x ? ce . 21.(1)选修 4—2:矩阵与变换 本小题主要考查逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与 转化思想。满分 7 分。 ( I ) 因 为 矩 阵 A 是 矩 阵 A
?1
?1 的 逆 矩 阵 , 且 A ? 2 ? 2 ? 1? 1 ? 3 ? 0 , 所 以

3? ?2 ? ? ? 1 ? 2 ?1? 3 A? ? ?. ??? 3 ? ?1 2 ? ? 1 2 ? ? ?? ? 3 3 ?
(II)矩阵 A 的特征多项式为 f (? ) ?
?1

? ? 2 ?1 ? ? 2 ? 4? ? 3 ? (? ? 1)(? ? 3) ,令 f (? ) ? 0 ,得 ?1 ? ? 2
?1 ? ?1 ? 是矩阵 A 的属于特征值 ?1 ? 1的一个特征向量. ? 1 ? ?

矩阵 A 的特征值为 ?1 ? 1或 ?2 ? 3 ,所以 ?1 ? ?
?1

?2 ? ? ? 是矩阵 A ?1 的属于特征值 ?2 ? 3 的一个特征向量. ? 1?
(2)选修 4-4:坐标系与参数方程 本小题主要考查直线与圆的 参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想。满 分 7 分。 (I)直线 l 的普通方程为 2 x ? y ? 2a ? 0 .圆 C 的普通方程为 x ? y ? 16 .
2 2

? 1?

(II)因为直线 l 与圆有公共点,故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d ? (3)选修 4-5:不等式选讲

?2a 5

? 4 ,解得 ?2 5 ? a ? 2 5 .

本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思 想。满分 7 分。 (I)因为 x ?1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 3 ,当且仅当 ?1 ? x ? 2 时,等号成立, 所以 f ( x ) 的最小值等于 3,即 a ? 3 . (II)由(I)知 p ? q ? r ? 3 ,又因为 p, q, r 是正数,

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所以 ( p2 ? q2 ? r 2 )(12 ? 12 ? 12 ) ? ( p ?1 ? q ?1 ? r ?1)2 ? ( p ? q ? r )2 ? 9 , 即 p2 ? q2 ? r 2 ? 3 .

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2014 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.学科网在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? {?1,0,1} , N ? {0,1, 2} ,则 M N ? A. {0,1} B. {?1, 0, 2} C. {?1, 0,1, 2} D. {?1, 0,1}

2.已知复数 Z 满足 (3 ? 4i) z ? 25 ,则 Z= A. ?3 ? 4i B. ?3 ? 4i C. 3 ? 4i D. 3 ? 4i

? y?x ? 3.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1且z ? 2 x ? y 的最大值学科网和最小值分别为 m 和 n ,则 ? y ? ?1 ? m? n ?
A.5 B.6 C.7 D.8

4.若实数 k 满足 0 ? k ? 9 ,则曲线 A. 焦距相等

x2 y2 x2 y2 ? ? 1的 ? ? 1 与曲线 25 ? k 9 25 9 ? k
C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等

B. 实半轴长相等

5.已知向量 a ? ?1,0, ?1? ,则下列向量中与 a 成 60 ? 夹角的是 A.(-1,1,0) B.(1,-1,0) C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)

6. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示, 学科网为了解该地区中小学生的近视 形成原因,用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是 近视率/% 小学生 3500 名 高中生 2000 名

50 30 10 O 小学 初中 高中 D.100,10 年级

初中生 4500 名

A.200,20

B.100,20

C.200,10

7.若空间中四条两两不同的直线 l1 , l2 , l3 , l4 ,满足 l1 ? l2 , l2 ? l3 , l3 ? l4 ,则学科网下面结论一定正确 的是 A. l1 ? l4 8.设集合 A= A.60 B. l1 / / l4
2 3 4

?? x , x , x , x , x ? x ?{?1, 0,1}, i ? 1, 2,3, 4,5? ,那么集合 A 中满足条件
1 5 i

C. l1 , l4 既不垂直也不平行

D. l1 , l4 的位置关系不确定

“ 1 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? 3 ”的元素个数为 B.90 C.120 D.130

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.
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(一)必做题(9~13 题) 9.不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 的解集为 10.曲线 y ? e ?5 x ? 2 在点 (0,3) 处的切线方程为 。 。 。

11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是 6 的概率为 12.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c ,已知 b cos C ? c cos B ? 2b ,则

a ? b



13.若等比数列 ?an ? 的各项均为正数,学科网且 a10 a11 ? a9 a12 ? 2e5 ,则

ln a1 ? ln a2 ?

? ln a20 ?



(二)选做题(14~15 题,考生从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ? sin 2 ? ? cos? 和

? sin ? ? 1 ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C1 和 C2 交点的直角坐标为_________.
15. (几何证明选讲选做题)如图 3,在平行四边形 ABCD 中, 点 E 在 AB 上且 EB ? 2 AE , AC 与 DE 交于点 F ,则 D F A E B C

?CDF的面积 ? ?AEF的面积

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? A sin( x ? (1)求 A 的值; (2)若 f (? ) ? f (?? ) ?

?

4

), x ? R ,且 f (

5 3 ?) ? , 12 2

3 ? 3 , ? ? (0, ) ,求 f ( ? ? ? ) 。 2 2 4

17. (本小题满分 13 分)随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数(单位:件) ,获 得数据如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36,根据上述数据 得到样本的频率分布表如下: 分组 频数 频率 [25,30 ] 3 0.12 (30,35 ] 5 0.20 (35,40 ] 8 0.32 (40,45 ] n1 f1 (45,50 ] n2 f2 (1)确定样本频率分布表中 n1 , n2 , f1 和 f 2 的值; (2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图; (3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取 4 人,至少有 1 人的日加工零件数落在区间(30,35] 的概率。

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18. (本小题满分 13 分)如图 4,四边形 ABCD 为正方形, PD ? 平面 ABCD , ?DPC ? 30 , AF ? PC 于点 F , FE / / CD ,交 PD 于点 E . (1)证明: CF ? 平面ADF (2)求二面角 D ? AF ? E 的余弦值。 A B
0

D E P F

C

19. (本小题满分 14 分)设数列 ?an ? 的前 n 和为 Sn ,满足 Sn ? 2nan?1 ? 3n ? 4n, n ? N ,且 S3 ? 15 ,
2 *

(1)求 a1 , a2 , a3 的值;

(2)求数列 ?an ? 的通项公式。

20. (本小题满分 14 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 5 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点为 ( 5, 0) ,离心率为 , 2 a b 3

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动点 P( x0 , y0 ) 为椭圆外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方程。

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ?

1 ( x ? 2 x ? k ) ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? 3
2 2

,其中 k ? ?2 ,

(1)求函数 f ( x ) 的定义域 D(用区间表示) ; (2)讨论函数 f ( x ) 在 D 上的单调性; (3)若 k ? ?6 ,求 D 上满足条件 f ( x) ? f (1) 的 x 的集合(用区间表示) 。

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2014 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(理科)参考答案
1-8:CDBA BADD; 8.解:A 中元素为有序数组 ? x1, x2 , x3 , x4 , x5 ? ,题中要求有序数组的 5 个数中仅 1 个数为 ?1 、仅 2 个
1 2 3 数为 ?1 或仅 3 个数为 ?1 ,所以共有 C5 ? 2 ? C5 ? 2 ? 2 ? C5 ? 2 ? 2 ? 2 ? 130 个不同数组;

(2, ??) ; 10. y ? ?5x ? 3 ; 11. 1 ; 12.2; 13.50; 14.(1,1); 15.9; 6 3 3 C6 ? C3 11.解:6 之前 6 个数中取 3 个,6 之后 3 个数中取 3 个, P ? ? 1; 3 6 C10 16.解: (1) f ( 5? ) ? A sin( 5? ? ? ) ? 3 , 12 12 4 2 ? A ? 3 ? 3 , A ? 3 ; f (??) f (?) 2 2 (2) f (? ) ? f (?? ) ? 3 sin(? ? ? ) ? 3 sin(?? ? ? ) ? 3 , 4 4 2 ? 3[ 2 (sin ? ? cos ? ) ? 2 ( ? sin ? ? cos ? )] ? 3 , 2 2 2 ? ? 6 cos ? ? 3 , cos ? ? 6 ,又 ? ? (0, ) , 4 2 2 ? sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 10 , 4 3 f ( ? ? ? ) ? 3 sin(? ? ? ) ? 3 sin ? ? 30 . 4 4 17. 解: (1) n1 ? 7, n2 ? 2 , f1 ? 0.28, f 2 ? 0.08 ;
9. (??, ?3) (2)样本频率分布直方图为
频率 组距

0.064 0.056

0.04 0.024 0.016 0 25 30 35 40 45 50 日加工零件数

(3)根据样本频率分布直方图,每人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率 0.2, 设所取的 4 人中,日加工零件数落在区间(30,35]的人数为 ? ,则 ? ~ B(4, 0.2) ,

P(? ? 1) ? 1 ? P(? ? 0) ? 1 ? (1 ? 0.2)4 ? 1 ? 0.4096 ? 0.5904 ,
所以 4 人中,至少有 1 人的日加工零件数落在区间(30,50]的概率约为 0.5904.

PD ? 平面 ABCD , ? PD ? AD ,又 CD ? AD , PD CD ? D , ? AD ? 平面 PCD ,
18.(1)
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? AD ? PC ,又 AF ? PC , ? PC ? 平面 ADF ,即 CF ? 平面ADF ; 0 (2)设 AB ? 1 ,则 Rt ?PDC 中, CD ? 1 ,又 ?DPC ? 30 , ? PC ? 2 , PD ? 3 ,由(1)知 CF ? DF

z A B

? DF ? 3 , AF ? 2

AD 2 ? DF 2 ? 7 , 2 ?CF ? AC 2 ? AF 2 ? 1 ,又 FE / /CD , 2 ? DE ? CF ? 1 ,? DE ? 3 ,同理 EF ? 3 CD ? 3 , 4 PD PC 4 4 4 如图所示,以 D 为原点,建立空间直角坐标系,则 A(0, 0,1) , E ( 3 , 0, 0) , F ( 3 , 3 , 0) , P( 3,0,0) , C (0,1, 0) , 4 4 4

D E P x F

C

y

? 3 ?m ? AE ? AE ? ( 4 , 0, 0) AEF 设 m ? ( x, y, z ) 是平面 的法向量,则 ? ,又 ? , ?m ? EF ? EF ? (0, 3 , 0) ? 4 ? 3 ? m ? AE ? 4 x ? z ? 0 所以 ? ,令 x ? 4 ,得 z ? 3 , m ? (4,0, 3) , 3 ? m ? EF ? y ? 0 ? 4 由(1)知平面 ADF 的一个法向量 PC ? (? 3,1,0) , 设二面角 D ? AF ? E 的平面角为 ? ,可知 ? 为锐角, | m ? PC | cos ? ?| cos ? m, PC ?|? ? 4 3 ? 2 57 ,即所求. 19 | m | ?| PC | 19 ? 2
19.解: S2 ? 4a3 ? 20 , S3 ? S2 ? a3 ? 5a3 ? 20 ,又 S3 ? 15 ,

? a3 ? 7 , S2 ? 4a3 ? 20 ? 8 ,又 S2 ? S1 ? a2 ? (2a2 ? 7) ? a2 ? 3a2 ? 7 , ? a2 ? 5 , a1 ? S1 ? 2a2 ? 7 ? 3 , 综上知 a1 ? 3 , a2 ? 5 , a3 ? 7 ;
(2)由(1)猜想 an ? 2n ? 1,学科网下面用数学归纳法证明. ①当 n ? 1 时,结论显然成立; ②假设当 n ? k ( k ? 1 )时, ak ? 2k ? 1 , 则 Sk ? 3 ? 5 ? 7 ? (2k ? 1) ?

3 ? (2k ? 1) 2 ? k ? k (k ? 2) ,又 Sk ? 2kak ?1 ? 3k ? 4k , 2

?k (k ? 2) ? 2kak ?1 ? 3k 2 ? 4k ,解得 2ak ?1 ? 4k ? 6 , ? ak ?1 ? 2(k ? 1) ? 1 ,即当 n ? k ? 1 时,结论成立;
由①②知, ?n ? N*, an ? 2n ? 1. 20.解: (1)可知 c ? 5 ,又 椭圆 C 的标准方程为

c ? 5 ,? a ? 3 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 , a 3

x2 y 2 ? ? 1; 9 4 (2)设两切线为 l1 , l2 ,
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①当 l1 ? x 轴或 l1 / / x 轴时,对应 l2 / / x 轴或 l2 ? x 轴,可知 P(?3, ?2) ②当 l1 与 x 轴不垂直且不平行时, x0 ? ?3 ,设 l1 的斜率为 k ,则 k ? 0 , l2 的斜率为 ? 1 ,

k

x y ? ? 1, 9 4 得 (9k 2 ? 4) x2 ? 18( y0 ? kx0 )kx ? 9( y0 ? kx0 )2 ? 36 ? 0 ,

l1 的方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,联立

2

2

因为直线与椭圆相切,学科网所以 ? ? 0 ,得 9( y0 ? kx0 )2 k 2 ? (9k 2 ? 4)[( y0 ? kx0 )2 ? 4] ? 0 ,

??36k 2 ? 4[( y0 ? kx0 )2 ? 4] ? 0 , ?( x02 ? 9)k 2 ? 2x0 y0k ? y02 ? 4 ? 0
所以 k 是方程 ( x02 ? 9) x2 ? 2x0 y0 x ? y02 ? 4 ? 0 的一个根, 同理 ? 1 是方程 ( x02 ? 9) x2 ? 2x0 y0 x ? y02 ? 4 ? 0 的另一个根,

k y 2 ?4 ,得 x02 ? y02 ? 13 ,其中 x0 ? ?3 , ? k ? (? 1 ) ? 0 2 k x0 ? 9
所以点 P 的轨迹方程为 x2 ? y 2 ? 13 ( x ? ?3 ) ,

因为 P(?3, ?2) 满足上式,综上知:点 P 的轨迹方程为 x2 ? y 2 ? 13 . 21.解: (1)可知 ( x2 ? 2 x ? k )2 ? 2( x2 ? 2 x ? k ) ? 3 ? 0 ,

?[( x2 ? 2x ? k ) ? 3] ?[( x2 ? 2x ? k ) ?1] ? 0 , ? x2 ? 2 x ? k ? ?3 或 x 2 ? 2 x ? k ? 1 , ?( x ? 1)2 ? ?2 ? k (?2 ? k ? 0) 或 ( x ? 1)2 ? 2 ? k (2 ? k ? 0) ,

? | x ? 1|? ?2 ? k 或 | x ?1|? 2 ? k ,
??1 ? ?2 ? k ? x ? ?1 ? ?2 ? k 或 x ? ?1 ? 2 ? k 或 x ? ?1 ? 2 ? k , 所以函数 f ( x ) 的定义域 D 为

(?1 ? ?2 ? k , ?1 ? ?2 ? k ) (?1 ? 2 ? k , ? ?) ; 2( x 2 ? 2 x ? k )(2 x ? 2) ? 2(2 x ? 2) ( x 2 ? 2 x ? k ? 1)(2 x ? 2) ? ? (2) f '( x) ? ? , 3 3 2 2 2 2 2 2 2 ( x ? 2 x ? k ) ? 2( x ? 2 x ? k ) ? 3 ( x ? 2 x ? k ) ? 2( x ? 2 x ? k ) ? 3
2 由 f '( x) ? 0 得 ( x ? 2x ? k ? 1)(2 x ? 2) ? 0 ,即 ( x ? 1 ? k )( x ? 1 ? k )( x ? 1) ? 0 ,

(??, ?1 ? 2 ? k )

? x ? ?1 ? ?k 或 ?1 ? x ? ?1 ? ?k ,结合定义域知 x ? ?1 ? 2 ? k 或 ?1 ? x ? ?1 ? ?2 ? k , 所以函数 f ( x ) 的学科网单调递增区间为 (??, ?1 ? 2 ? k ) , (?1, ?1 ? ?2 ? k ) ,
同理递减区间为 (?1 ? ?2 ? k , ?1) , (?1 ? 2 ? k , ? ?) ;
2 2 2 2 (3)由 f ( x) ? f (1) 得 ( x ? 2x ? k ) ? 2( x ? 2x ? k ) ? 3 ? (3 ? k ) ? 2(3 ? k ) ? 3 ,

?[( x2 ? 2x ? k )2 ? (3 ? k )2 ] ? 2[( x2 ? 2x ? k ) ? (3 ? k )] ? 0 , ?( x2 ? 2x ? 2k ? 5) ? ( x2 ? 2x ? 3) ? 0 ,

?( x ?1 ? ?2k ? 4)( x ?1 ? ?2k ? 4) ? ( x ? 3)( x ?1) ? 0 ,
? x ? ?1 ? ?2k ? 4 或 x ? ?1 ? ?2k ? 4 或 x ? ?3 或 x ? 1 , k ? ?6 ,?1? (?1, ?1 ? ?2 ? k ) , ?3 ? (?1 ? ?2 ? k , ?1) , ?1 ? ?2k ? 4 ? ?1 ? 2 ? k , ?1 ? ?2k ? 4 ? ?1 ? 2 ? k , 结合函数 f ( x ) 的单调性知 f ( x) ? f (1) 的解集为
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(?1 ? ?2k ? 4, ?1 ? 2 ? k )

(?1 ? ?2 ? k , ? 3)

(1, ?1 ? ?2 ? k )

(?1 ? 2 ? k , ?1 ? ?2k ? 4) .

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2014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科(新课标卷二Ⅱ)
第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,学科网只有一项是符合题 目要求的. 1.设集合 M={0,1,2} ,N= ?x | x2 ? 3x ? 2≤0? ,则 M ? N =( A. {1} B. {2} C. {0,1} ) D. {1,2} )

2.设复数 z1 , z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,zxxk z1 ? 2 ? i ,则 z1 z2 ? ( A. - 5 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i 3.设向量 a,b 满足|a+b|= 10 ,|a-b|= 6 ,则 a ? b = ( A. 1 B. 2 C. 3 ) D. 5 ) D. 1

4.钝角三角形 ABC 的面积是 1 ,AB=1,BC= 2 ,则 AC=( A. 5

2

B.

5

C. 2

5.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良学科网的概率是 0.75,连续两为优良的概率 是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概 率是( ) A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 6.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm),图中粗线画出的是 某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛 坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) A.

17 27

B. 5

9

C. 10

27

D.

1 3


7.执行右图程序框图,如果输入的 x,t 均为 2,则输出的 S= ( A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8.设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a= A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

? x ? y ? 7≤0 ? 9.设 x,y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1≤0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?3 x ? y ? 5≥0 ?



A. 10 B. 8 C. 3 D. 2 2 10.设 F 为抛物线 C: y ? 3x 的焦点, 过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( ) A.

3 3 4

B.

9 3 8

C.

63 32

D. 9

4

11.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1, 则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( ) A.

1 10

B. 2

5

C.

30 10

D.

2 2
第 45页 ( 共 191页 )

2 12.设函数 f ? x ? ? 3 sin ? x .若存在 f ? x ? 的极值点 x0 满足 x0 2 ? ? ? f ? x0 ? ? ? ? m ,则 m 的取值范围 m 2

是( A.

? ??, ?6? ? ? 6, ?? D. ? ??, ?1? ? ? 4, ??
第Ⅱ卷



B.

? ??, ?4? ? ? 4, ??

C.

? ??, ?2? ? ? 2, ??

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,学科网每个试题考生必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题 13. ? x ? a ? 的展开式中, x 7 的系数为 15,则 a=________.(用数字填写答案)
10

14.函数 f ? x ? ? sin ? x ? 2? ? ? 2sin ? cos ? x ? ? ? 的最大值为_________.

15.已知偶函数 f ? x ? 在 ?0, ??? 单调递减, f ? 2? ? 0 .若 f ? x ?1? ? 0 ,则 x 的取值范围是__________. 16.设点 M( x0 ,1) ,若在圆 O: x 2 ? y 2 ? 1上存在点 N,使得 zxxk∠OMN=45°,则 x0 的取值范围是 ________. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 =1, an?1 ? 3an ? 1 . (Ⅰ)证明 an ? 1 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式;

?

2

?

(Ⅱ)证明: 1 ? 1 ? …+ 1 ? 3 .

a1

a2

an

2

18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面 AEC; (Ⅱ)设二面角 D-AE-C 为 60°,AP=1,AD= 3 ,求三棱锥 E-ACD 的体积.

19. (本小题满分 12 分) 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份 1 2 3 4 5 6 7 年份代号 t 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 人均纯收入 y (Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况, 并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

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b?

?

? ? t ? t ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

? ?t ? t ?
i ?1 i

n

2

? ? ? y ? bt ,a

20. (本小题满分 12 分)
2 x2 y 设F M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 1 , F2 分别是椭圆 C: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左,右焦点,

a

b

MF1 与 C 的另一个交点为 N. (Ⅰ)若直线 MN 的斜率为 3 ,求 C 的离心率; 4 (Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN ? 5 F1N ,求 a,b.
21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? = e x ? e ? x ? 2 x zxxk (Ⅰ)讨论 f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)设 g ? x ? ? f ? 2x ? ? 4bf ? x ? ,当 x ? 0 时, g ? x ? ? 0 ,求 b 的最大值; (Ⅲ)已知 1.4142 ?

2 ? 1.4143 ,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001)

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,学科网同按所做的第一题计分,做答时请写清 题号. 22.(本小题满分 10)选修 4—1:几何证明选讲 如图,P 是 O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与 O 相 交于点 B,C,PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线交 O 于点 E.证明: (Ⅰ)BE=EC; (Ⅱ)AD ? DE=2 PB 2

23. (本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? ,

? ? .zxxk ? ?? ?0, ?
? 2?
(Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程, 确定 D 的坐标.

24. (本小题满分 10)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? = x ? 1 ? x ? a (a ? 0)

a

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(Ⅰ)证明: f ? x ? ≥ 2; (Ⅱ)若 f ? 3? ? 5 ,求 a 的学科网取值范围.

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2014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案
一、 选择题 (1)D (2)A (7)D 二、 (8)D

(3)A (9)B

(4)B (10)D

(5)A (11)C

(6)C (12)C

填空题 1 (13) (14)1 2 三、 解答题 (17)解:

(15) (? 3 ,1 )

(16) ??1,1?

1 1 ? 3(an ? ) 。 2 2 1 3 3 1? ? 又 a1 ? ? ,所以 ? an ? ? 是首项为 ,公比为 3 的等比数列。 2 2 2 2? ? n 1 3 3n ? 1 an ? ? ,因此 ?an ? 的通项公式为 an ? . 2 2 2 1 2 (Ⅱ)由(I)知 ? n an 3 ? 1 1 1 ? 因为当 n ? 1 时, 3n ? 1 ? 2 ? 3n?1 ,所以 n 。 3 ? 1 2 ? 3n ?1 1 1 1 1 1 3 1 3 于是 ? ? ... ? ? 1 ? ? ... ? n?1 ? (1 ? n ) 。 a1 a2 an 3 3 2 3 2 1 1 1 3 所以 ? ? ... ? a1 a2 an 2

(I)由 an?1 ? 3an ? 1 得 an ?1 ?

(18)解: (I)连接 BD 交 AC 于点 O,连结 EO。 因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点。 又 E 为 PD 的中点,所以 EO∥PB。 EO ? 平面 AEC,PB ? 平面 AEC,所以 PB∥平面 AEC. (Ⅱ)因为 PA ? 平面 ABCD,ABCD 为矩形,所以 AB,AD,AP 两两垂直。 如图,以 A 为坐标原点, AB 的方向为 x 轴的正方向, AP 为单位长,建立空间直 角坐标系 A ? xyz ,则 D(0, 3,0), E (0, 设 b(m,0,0)(m

3 1 3 1 , ). , ), AE ? (0, 2 2 2 2 0) ,则 c(m, 3,0), AC ? (m, 3,0) 。

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设 n1 ? ( x, y, z ) 为平面 ACE 的法向量,
?mx ? 3 y ? 0, ? ? n1 ? AC ? 0, ? 则? 即? 3 , 1 y ? z ? 0, ? ? n1 ? AE ? 0, ? ? 2 2

3 , ?1, 3) 。 m 又 n2 ? (1,0,0) 为平面 DAE 的法向量, 1 由题设 cos n1 , n2 ? ,即 2 3 3 1 ? ,解得 m ? 。 2 2 3 ? 4m 2

可取 n1 ? (

因为 E 为 PD 的中点,所以三棱锥 E ? ACD 的高为 三菱锥 E ? ACD 的体积
V? 1 1 3 1 3 ? ?3 ? ? ? . 3 2 2 2 8

1 . 2

(19)解: (I) 由所给数据计算得
t? 1 (1+2+3+4+5+6+7)=4 7 1 y ? (2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3 7
7 t ?1 7 1

? (t ? (t
t ?1

? t ) 2 =9+4+1+0+1+4+9=28

1

? t )( y1 ? y)

=( ? 3)×( ? 1.4)+( ? 2)×( ? 1)+( ? 1)×( ? 0.7)+0×0.1+1×0.5 +2×0.9+3×1.6 =14.
b?

? (t
t ?1

7

1

? t )( y1 ? y )
1

? (t
t ?1

7

?

? t )2

14 ? 0.5 , 28

a ? y ? b t? 4 . 3 ?0 . 5 ? 4? . 2 . 3 所求回归方程为 y ?0.t 5? 2 . 3 (Ⅱ) 由(I)知,b=0.5﹥0,故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年
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增加,平均每年增加 0.5 千元。 将 2015 年的年份代号 t=9 带入(I)中的回归方程,得

y ?0. 5 ? 9? 2 . ? 3 6.8 故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元.
(20) 解: (I)根据 c ? a2 ? b2 及题设知 M (c,
b2 ), 2b 2 ? 3ac a c 1 c 将 b2 ? a 2 ? c 2 代入 2b2 ? 3ac ,解得 ? , ? ?2 (舍去) a 2 a 1 故 C 的离心率为 . 2 (Ⅱ) 由题意, 原点 O 为 F1F2 的中点,MF2 ∥ y 轴, 所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0, 2) b2 是线段 MF1 的中点,故 ? 4 ,即 a 2 b ? 4a ① 由 MN ? 5 F1N 得 DF1 ? 2 F1N 。

设 N ( x1 , y1 ) ,由题意知 y1

0 ,则

3 ? ? 2(?c ? x1 ) ? c ? x1 ? ? c, ,即 ? 2 ? ? ?2 y1 ? 2 ? y ? ? 1 ? 1 9c 2 1 代入 C 的方程,得 2 ? 2 ? 1。 4a b 9(a 2 ? 4a) 1 2 2 ? ?1 将①及 c ? a ? b 代入②得 4a 2 4a 解得 a ? 7, b2 ? 4a ? 28 ,
故 a ? 7, b ? 2 7 .

(21)解: (I) f '( x) = e x ? e? x ? 2 ? 0 ,等号仅当 x ? 0 时成立。 所以 f ( x) 在 (??, ??) (Ⅱ) g ( x) = f (2x) ? 4bf ( x) ? e2 x ? e?2 x ? 4b(ex ? e? x ) ? (8b ? 4) x
2x ?2 x x ?x g ' (x ) =2? ?e ? e ? 2b(e ? e ) ? (4b ? 2) ? ?

= 2(ex ? e? x ? 2)(ex ? e? x ? 2b ? 2) (i) 当 b ? 2 时,g '( x ) ≥0, 等号仅当 x ? 0 时成立, 所以 g ( x) 在 (??, ??) 单调递增。 而 g (0) =0,所以对任意 x 0, g ( x) 0 ; (ii)当 b
2 时,若 x 满足 2

e x ? e? x

2b ? 2 ,即 0

x

ln(b ? 1 ? b2 ? 2b ) 时

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g '( x ) <0.而 g (0) =0,因此当 0 综上,b 的最大值为 2.

x ? ln(b ?1 ? b2 ? 2b ) 时, g ( x) <0.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知, g (ln 2) ? 当 b=2 时, g (ln 2) ? 当b ?

3 ? 2 2b ? 2(2b ? 1) ln 2 . 2

3 8 2 ?3 ? 4 2 ? 6 ln 2 >0; ln 2 > >0.6928; 2 12

3 2 ? 1 时, ln(b ? 1 ? b2 ? 2b ) ? ln 2 , 4 3 g ( l n 2=)? ? 2 2 ? (3 2 ? 2) ln 2 <0, 2 18 ? 2 ln 2 < <0.6934 28 所以 ln 2 的近似值为 0.693.

(22)解: (I) 连结 AB,AC.由题设知 PA=PD,故∠PAD=∠PDA. 因为∠PDA=∠DAC+∠DCA ∠PAD=∠BAD+∠PAB ∠DCA=∠PAB, 所以∠DAC=∠BAD,从而 BE ? EC 。 因此 BE=EC. (Ⅱ)由切割线定理得 PA2 ? PB ? PC 。 因为 PA=PD=DC,所以 DC=2PB,BD=PB。 由相交弦定理得 AD ? DE ? BD ? DC , 所以 AD ? DE ? 2PB 2 .

(23)解: (I)C 的普通方程为 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1(0 ? y ? 1) . 可得 C 的参数方程为 ? x ? 1 ? cos t , (t 为参数, 0 ? t ? x ) ? y ? sin t , ? (Ⅱ)设 D (1 ? cos t ,sin t ) .由(I)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆。
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因为 C 在点 D 处的切线与 t 垂直,所以直线 GD 与 t 的斜率相同, ? tan t? 3 t? , . 3 ? ? 3 3 故 D 的直角坐标为 (1 ? cos ,sin ) ,即 ( , ) 。 3 3 2 2

(24)解: (I)由 a
0 ,有 f ( x) ? x ?

1 1 1 ? x ? a ? x ? ? ( x ? a) ? ? a ? 2 . a a a

所以 f ( x) ≥2. (Ⅱ) f (3) ? 3 ?
1 ? 3? a . a

1 5 ? 21 ,由 f (3) <5 得 3<a< 。 a 2 1 1? 5 当 0<a≤3 时, f (3) = 6 ? a ? ,由 f (3) <5 得 <a≤3. a 2 1? 5 5 ? 21 综上,a 的取值范围是( , ). 2 2

当时 a>3 时, f (3) = a ?

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2014 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)

数学(理科)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。

1. i 为虚数单位,则 ( A. ? 1 B. 1

1? i 2 ) ?( 1? i
C. ? i

) D. i

1 的系数是 84,则实数 a ? ( ) x3 2 A.2 B. 5 4 C. 1 D. 4 3. 设 U 为全集, A, B 是集合,则“存在集合 C 使得 A ? C, B ? CU C 是“ A ? B ? ? ”的(
2. 若二项式 (2 x ? ) 的展开式中
7

a x



A. 充分而不必要条件 C. 充要条件

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4.根据如下样本数据 x 3 4 y 4.0 2.5 ? 得到的回归方程为 y ? bx ? a ,则( A. a ? 0, b ? 0 B. a ? 0, b ? 0

5
? 0 .5

6 0.5

7
? 2 .0

8
? 3 .0

) C. a ? 0, b ? 0 D. a ? 0.b ? 0 )

5.在如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2) , (2,2,0) , (1,2,1) , (2,2,2) ,给出编号①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为(

A. ①和② 三组函数:

B.③和①

C. ④和③

6.若函数 f ( x), g ( x)满足 ① f ( x) ? sin A.0 B.1

?

1 ?1

f ( x) g ( x)dx ? 0, 则称 f ( x), g ( x)为区间?? 1,1? 上的一组正交函数,给出

D.④和②

1 1 x, g ( x) ? cos x ;② f ( x) ? x ? 1, g ( x) ? x ? 1 ;③ f ( x) ? x, g ( x) ? x 2 2 2 其中为区间 [ ?1,1] 的正交函数的组数是( )
C.2 D.3

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?x ? 0 ?x ? y ? 1 ? 7.由不等式 ? y ? 0 确定的平面区域记为 ?1 ,不等式 ? ,确定的平面区域记为 ? 2 , x ? y ? ? 2 ? ?y ? x ? 2 ? 0 ?
在 ?1 中随机取一点,则该点恰好在 ? 2 内的概率为( A. )

1 8

B.

1 4

C.

3 4

D.

7 8

8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学 典籍,其中记载有求“盖”的术:置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一. 该术相当于给出了有圆锥的底面周长 L 与高 h , 计算其体积 V 的近似公式 v ? 锥体积公式中的圆周率 ? 近似取为 3.那么近似公式 v ? ( ) B.

1 2 L h. 它实际上是将圆 36

2 2 L h 相当于将圆锥体积公式中的 ? 近似取为 75

22 A. 7

25 8

C.

157 50

D.

355 113

9.已知 F1 , F2 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是他们的一个公共点,且 ?F1 PF2 ? 的离心率的倒数之和的最大值为( A. )

?
3

,则椭圆和双曲线

4 3 3

B.

2 3 3

C.3

D.2

10.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ?

?x ? R, f ( x ? 1) ? f ( x), 则实数 a 的取值范围为(
A. [? , ]

1 (| x ? a 2 |)? | x ? 2a 2 | ?3a 2 ). 若 2



1 1 6 6

B. [?

6 6 , ] 6 6

C. [? , ]

1 1 3 3

D. [?

3 3 , ] 3 3

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案天灾答题卡对 应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11—14 题) 11.设向量 a ? (3,3) , b ? (1, ?1) ,若 a ? ? b ? a ? ? b ,则实数 ? ? ________. 12. 直 线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将 单 位 圆 C : x ? y ? 1 分 成 长 度 相 等 的 四 段 弧 , 则
2 2

?

? ?

?

a 2 ? b 2 ? ________. 13.设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数.将组成 a 的 3 个数字按从小到大排成的三位 数记为 I ? a ? ,按从大到小排成的三位数记为 D ? a ? (例如 a ? 815 ,则 I ? a ? ? 158 , D ? a ? ? 851 ). 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,任意输入一个 a ,输出的结果 b ? ________.
14.设 f ?x ? 是定义在 ?0,??? 上的函数, 且 f ?x ? ? 0 , 对任意 a ? 0, b ? 0 , 若经过点 ?a, f ?a ??, ?b, f ?b??

的直线与 x 轴的交点为 ?c,0? ,则称 c 为 a , b 关于函数 f ?x ? 的平均数,记为 M f (a, b) ,例如,当

f ?x? ? 1( x ? 0) 时,可得 M f (a, b) ? c ?

a?b ,即 M f (a, b) 为 a , b 的算术平均数. 2

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(1)当 f ?x ? ? _____( x ? 0) 时, M f (a, b) 为 a , b 的几何平均数; (2)当当 f ?x ? ? _____( x ? 0) 时, M f (a, b) 为 a , b 的调和平均数 (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)

2 ab ; a?b

(二)选考题 15.(选修 4-1:几何证明选讲) 如图, P 为⊙ O 的两条切线,切点分别为 A, B ,过 PA 的中点 Q 作割线交⊙ O 于 C , D 两点,若

QC ? 1, CD ? 3, 则 PB ? _____

16.(选修 4-4:坐标系与参数方程)

?x ? t ? 已知曲线 C1 的参数方程是 ? 3t ?t为参数? ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐 ?y ? 3 ? 标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ? ? 2 ,则 C1 与 C2 交点的直角坐标为________

17、 (本小题满分 11 分) 某实验室一天的温度(单位: (1) 求实验室这一天的最大温差; (2) 若要求实验室温度不高于

) 随 时 间 ( 单 位 ;h ) 的 变 化 近 似 满 足 函 数 关 系 ;

,则在哪段时间实验室需要降温?

18(本小题满分 12 分) 已知等差数列 满足: =2,且 , (1) 求数列 的通项公式.

成等比数列.

(2) 记 为数列 的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 值;若不存在,说明理由.

若存在,求 n 的最小

19(本小题满分12分)
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如图,在棱长为2的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E, F , M , N 分别是棱 AB, AD, A1B1 , A1D1 的 中点,点 P, Q 分别在棱 DD1 , BB1 上移动,且 DP ? BQ ? ? ?0 ? ? ? 2? . (1)当 ? ? 1 时,证明:直线 BC1 平面 EFPQ; (2)是否存在 ? ,使平面 EFPQ与面 PQMN 所成的二面角?若存在,求出 ? 的值;若不 存在,说明理由.

20.(本小题满分 12 分) 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站,过去 50 年的水文资料显示,水库年入流量 X (年 入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在 40 以上.其中,不足 80 的年份有 10 年,不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年,超过 120 的年份有 5 年.将年入流量在以上三段的频率作 为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立. (1)求未来 4 年中,至多 1 年的年入流量超过 120 的概率; (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行, 但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制, 并有如下 关系;

若某台发电机运行,则该台年利润为 5000 万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损 800 万元,欲使 水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台? 21.(满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F ?1,0 ? 的距离比它到 y 轴的距离多 1,记点 M 的轨迹为 C. (1)求轨迹为 C 的方程

(2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 p ? ?2,1? ,求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点,两个公共点,三个公 共点时 k 的相应取值范围。

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数学(理) (湖北卷)参考答案 一、 选择题 (1)A (2)C (3)C (4)B (5)D (6)C (7)D (8)B (9)A (10)B 二、 填空题 (12)2 (13)495 (14) x ;x 或 k1 x ; k 2 x (15)4 (16) ( 3,1)

(11) ? 3

三、 解答题 (17)解: (I)因为 f (t ) ? 10 ? 2( 又 0 ? t ? 24 ,所以 当 t ? 2 时, sin(

3 ? 1 ? ? ? cos t ? sin t ) ? 10 ? 2sin( t ? ) , 2 12 2 12 12 3

?
3

?

?
12

t?

?
3

?

7? ? ? , ? 1 ? sin( t ? ) ? 1 , 3 12 3

?
12

t?

?
3

) ? 1 ;当 t ? 14 时, sin(

?
12

t?

?
3

) ? ?1 ;

于是 f (t ) 在 [0,24) 上取得最大值 12,取得最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12?C ,最低温度为 8?C ,最大温差为 4?C (II)依题意,当 f (t ) ? 11时实验室需要降温. 由(1)得 f (t ) ? 10 ? 2 sin( 所以 10 ? 2 sin(

t ? ), 12 3

?

?

? ? 1 ? t ? ) ? 11 ,即 sin( t ? ) ? ? , 12 3 2 12 3
7? ? ? 11? ,即 10 ? t ? 18 , ? t? ? 6 12 3 6

?

又 0 ? t ? 24 ,因此

故在 10 时至 18 时实验室需要降温. (18)解: (I)设数列 {a n } 的公差为 d ,依题意, 2,2 ? d ,2 ? 4d 成等比数列,
2 2 所以 (2 ? d ) ? 2(2 ? 4d ) ,化简得 d ? 4d ? 0 ,解得 d ? 0 或 d ? 4 ,

当 d ? 0 时, an ? 2 ;当 d ? 4 时, an ? 2 ? (n ?1) ? 4 ? 4n ? 2 , 从而得数列 {a n } 的通项公式为 an ? 2 或 an ? 4n ? 2 . (II)当 an ? 2 时, S n ? 2n ,显然 2n ? 60 n ? 800 ,不存在正整数 n ,使得 Sn ? 60n ? 800 .成立 当 an ? 4n ? 2 时, S n ?
2

n[2 ? (4n ? 2)] ? 2n 2 , 2
2

令 2n ? 60n ? 800 ,即 n ? 30n ? 400 ? 0 , 解得 n ? 40 或 n ? ?10 (舍去) 此时存在正整数 n ,使得 Sn ? 60n ? 800成立, n 的最小值为 41.

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综上所述,当 an ? 2 时,不存在满足题意的 n ; 当 an ? 4n ? 2 时,不存在满足题意的 n ; n 的最小值为 41. (19)解: (I)证明:如图 1,连结 AD1 ,由 ABCD ? A1B1C1D1 是正方体,知 BC1 // AD1 , 当 ? ? 1 时, P 是 DD1 的中点,又 F 是 AD 的中点,所以 FP // AD1 , 所以 BC1 // FP , 而 FP ? 平面 EFPQ ,且 BC1 ? 平面 EFPQ , 故直线 BC1 // 平面 EFPQ . (II)如图 2,连结 BD ,因为 E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点, 所以 EF // BD ,且 EF ?

1 BD ,又 DP ? BQ , DP // BQ , 2

所以四边形 PQBD 是平行四边形, 故 PQ // BD ,且 PQ ? BD , 从而 EF // PQ ,且 EF ?

1 PQ , 2

在 Rt?EBQ 和 Rt ?FDP 中,因为 BQ ? DP ? ? , BE ? DF ? 1, 于是, EQ ? FP ? 1 ? ?2 ,所以四边形 EFPQ 是等腰梯形, 同理可证四边形 PQMN 是等腰梯形, 分别取 EF 、 PQ 、 MN 的中点为 H 、 O 、 G ,连结 OH 、 OG , 则 GO ? PQ , HO ? PQ ,而 GO ? HO ? O , 故 ?GOH 是平面 EFPQ 与平面 PQMN 所成的二面角的平面角, 若存在 ? ,使平面 EFPQ 与平面 PQMN 所成的二面角为直二面角,则 ?GOH ? 90 ,
?

连结 EM 、 FN ,则由 EF // MN ,且 EF ? MN ,知四边形 EFNM 是平行四边形, 连结 GH ,因为 H 、 G 是 EF 、 MN 的中点,所以 GH ? ME ? 2 ,
2 2 在 ?GOH 中, GH ? 4 , OH ? 1 ? ? ? (
2

2 2 1 ) ? ?2 ? , 2 2

OG2 ? 1 ? (2 ? ? ) 2 ? (

2 2 1 ) ? (2 ? ? ) 2 ? , 2 2
2

2 2 2 由 OG ? OH ? GH 得 (2 ? ? ) ?

1 1 2 ? ?2 ? ? 4 ,解得 ? ? 1 ? , 2 2 2

故存在 ? ? 1 ?

2 ,使平面 EFPQ 与平面 PQMN 所成的二面角为直二面角. 2
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向量法: 以 D 为原点,射线 DA, DC, DD1 分别为 x, y, z 轴的正半轴建立如图 3 的空间直角坐标系 D ? xyz ,

由已知得 B(2,2,0), C1 (0,2,2), F (1,0,0), P(0,0, ? ) , 所以 BC1 ? (?2,0,2) , FP ? (?1,0, ? ) , FE ? (1,1,0) , (I)证明:当 ? ? 1 时, FP ? (?1,0,1) ,因为 BC1 ? (?2,0,2) , 所以 BC1 ? 2FP ,即 BC1 // FP , 而 FP ? 平面 EFPQ ,且 BC1 ? 平面 EFPQ , 故直线 BC1 // 平面 EFPQ . (II)设平面 EFPQ 的一个法向量 n ? ( x, y, z ) , 由?

? ?FE ? n ? 0 ? ?FP ? n ? 0

可得 ?

?x ? y ? 0 ,于是取 n ? (? ,?? ,1) , ?? x ? ? z ? 0

同理可得平面 MNPQ 的一个法向量为 m ? (? ? 2,2 ? ? ,1) , 若存在 ? ,使平面 EFPQ 与平面 PQMN 所成的二面角为直二面角, 则 m ? n ? (? ? 2,2 ? ? ,1) ? (? ,?? ,1) ? 0 , 即 ? (? ? 2) ? ? (2 ? ? ) ? 1 ? 0 ,解得 ? ? 1 ? 故存在 ? ? 1 ? (20)解: (I)依题意, P 1 ? P ( 40 ? X ? 80 ) ?

2 , 2

2 ,使平面 EFPQ 与平面 PQMN 所成的二面角为直二面角. 2
10 ? 0.2 , 50

P2 ? P(80 ? X ? 120 ) ?

35 5 ? 0.7 , P3 ? P( X ? 120 ) ? ? 0.1 , 50 50

由二项分布,在未来 4 年中至多有 1 年入流量找过 120 的概率为:

第 60页 ( 共 191页 )

9 9 1 0 1 P ? C4 (1 ? P3 ) 4 ? C4 (1 ? P3 )3 P3 ? ( ) 4 ? 4 ? ( )3 ? ? 0.9477 . 10 10 10
(II)记水电站年总利润为 Y (单位:万元) ① 安装 1 台发电机的情形. 由于水库年入流量总大于 40,所以一台发电机运行的概率为 1, 对应的年利润 Y ? 5000 , EY ? 5000 ?1 ? 5000 . ② 安装 2 台发电机. 当 40 ? X ? 80 时,一台发电机运行,此时 Y ? 5000 ? 800 ? 4200 , 因此 P( y ? 4200 ) ? P(40 ? X ? 80) ? P 1 ? 0.2 , 当 X ? 80 时,两台发电机运行,此时 Y ? 5000 ? 2 ? 10000 , 因此 P(Y ? 10000 ) ? P( X ? 80) ? P 1?P 2 ? 0.8 .由此得 Y 的分布列如下:

Y P
所以 EY ? 4200 ?1 ? 10000 ? 2 ? 8840 . ③ 安装 3 台发电机.

4200 0.2

10000 0.8

依题意,当 40 ? X ? 80 时,一台发电机运行,此时 Y ? 5000 ? 1600 ? 3400 , 因此 P(Y ? 3400 ) ? P(40 ? X ? 80) ? P 1 ? 0.2 ; 当 80 ? X ? 120 时,两台发电机运行,此时 Y ? 5000 ? 2 ? 800 ? 9200 , 此时 P(Y ? 9200 ) ? P(80 ? X ? 120) ? P2 ? 0.7 , 当 X ? 120 时,三台发电机运行,此时 y ? 5000? 3 ? 15000, 因此 P(Y ? 15000 ) ? P( X ? 120) ? P 3 ? 0.1 ,

由此得 Y 的分布列如下:

Y P

34 0.2

9200 0.8

15000 0.1

所以 EY ? 3400 ? 0.2 ? 9200 ? 0.7 ? 15000 ? 0.1 ? 8620 . 综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机 2 台. (21)解:
2 2 (I)设点 M ( x, y ) ,依题意, | MF |?| x | ?1 ,即 ( x ? 1) ? y ?| x | ?1 ,

整理的 y ? 2(| x | ? x) ,
2

第 61页 ( 共 191页 )

所以点 M 的轨迹 C 的方程为 y 2 ? ?

?4 x( x ? 0) . ?o, ( x ? 0)

(II)在点 M 的轨迹 C 中,记 C1 : y 2 ? 4 x( x ? 0) , C2 : y ? 0( x ? 0) , 依题意,设直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) , 由方程组 ?

? y ? 1 ? k ( x ? 2) ? y ? 4x
2

得 ky ? 4 y ? 4(2k ? 1) ? 0
2



当 k ? 0 时,此时 y ? 1 ,把 y ? 1 代入轨迹 C 的方程得 x ? 所以此时直线 l 与轨迹 C 恰有一个公共点 ( ,1) . 当 k ? 0 时,方程① 的判别式为 ? ? ?16(2k ? k ? 1)
2

1 , 4

1 4



设直线 l 与 x 轴的交点为 ( x0 ,0) ,则由 y ? 1 ? k ( x ? 2) ,令 y ? 0 ,得 x0 ? (i)若 ?

2k ? 1 ③ k

?? ? 0 1 ,由② ③ 解得 k ? ?1 或 k ? . 2 ? x0 ? 0

即当 k ? (??,?1) ? ( ,??) 时,直线 l 与 C1 没有公共点,与 C 2 有一个公共点, 故此时直线 l 与轨迹 C 恰有一个公共点. (ii)若 ?

1 2

?? ? 0 ?? ? 0 1 1 或? ,由② ③ 解得 k ? {?1, } 或 ? ? k ? 0 , 2 2 ? x0 ? 0 ? x0 ? 0

即当 k ? {?1, } 时,直线 l 与 C1 有一个共点,与 C 2 有一个公共点. 当 k ? [?

1 2

1 ,0) 时 ,直线 l 与 C1 有两个共点,与 C 2 没有公共点. 2 1 2 1 ,0) 时,故此时直线 l 与轨迹 C 恰有两个公共点. 2

故当 k ?{?1, } ? [?

(iii)若 ?

?? ? 0 1 1 ,由② ③ 解得 ? 1 ? k ? ? 或 0 ? k ? , 2 2 ? x0 ? 0

即当 k ? (?1 ) ? (0, ) 时,直线 l 与 C1 有两个共点,与 C 2 有一个公共点. 故此时直线 l 与轨迹 C 恰有三个公共点. 综上所述,当 k ? (??,?1) ? ( ,??) 时直线 l 与轨迹 C 恰有一个公共点;

1 2

1 2

1 2

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当 k ?{?1, } ? [?

1 2

1 ,0) 时,故此时直线 l 与轨迹 C 恰有两个公共点; 2 1 2

当 k ? (?1 ) ? (0, ) 时,故此时直线 l 与轨迹 C 恰有三个公共点. (22)解: (I)函数 f ( x) 的定义域为 (0,??) ,因为 f ( x) ?

1 2

ln x 1 ? ln x ,所以 f ?( x) ? , x x2

当 f ?( x) ? 0 ,即 0 ? x ? e 时,函数 f ( x) 单调递增; 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? e 时,函数 f ( x) 单调递减; 故函数 f ( x) 的单调增区间为 (0, e) ,单调减区间为 (e,??) .
e e ? ? (II)因为 e ? 3 ? ? ,所以 e ln 3 ? e ln ? , ? ln e ? ? ln 3 ,即 ln 3 ? ln ? , ln e ? ln 3 ,

x x 于是根据函数 y ? ln x 、 y ? e 、 y ? ? 在定义域上单调递增,

所以 3 ? ? ? ? , e ? e ? 3 ,
e e 3 3

?

?

故这 6 个数的最大数在 ? 3 与 3? 之中,最小数在 3e 与 e 3 之中, 由 e ? 3 ? ? 及(I)的结论得 f (? ) ? f (3) ? f (e) ,即 由

ln ?

?

?

ln 3 ln e , ? 3 e

ln ?

?

?

ln 3 ? 3 3 ? 得 ln ? ? ln 3 ,所以 3 ? ? , 3



ln 3 ln e e 3 e 3 得 ln 3 ? ln e ,所以 3 ? e , ? 3 e

综上,6 个数中的最大数为 3? ,最小数为 3e .
e 3 e e 3 (III)由(II)知, 3 ? ? ? ? , 3 ? e ,又由(II)知,

ln ?

?

?

ln e , e

故只需比较 e 3 与 ? e 和 e ? 与 ? 3 的大小, 由(I)知,当 0 ? x ? e 时, f ( x) ? f (e) ? 在上式中,令 x ?

ln x 1 1 ,即 ? , x e e
e

e2

?

,又

e2

?

? e ,则 ln

e2

?

?

?

,即得 ln ? ? 2 ?

e

?



由① 得, e ln ? ? e(2 ?

e

?

) ? 2.7 ? (2 ?

2.71 ) ? 2.7 ? (2 ? 0.88) ? 3.024 ? 3 , 3.1

3 e e 3 即 e ln ? ? 3 ,亦即 ln ? ? ln e ,所以 e ? ? ,

又由① 得, 3 ln ? ? 6 ?
e 3

3e

?
e

? 6 ? e ? ? ,即 3 ln ? ? ? ,所以 e? ? ? 3 ,
?
3

综上所述, 3 ? e ? ? ? e ? ? ? 3 ,即 6 个数从小到大的顺序为 3e , e 3 , ? e , e ? , ? 3 , 3? .

?

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2014 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(理工农医类)
一、 选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1. 满足

z ?i ? i (i为虚数单位) 的复数 z ? z 1 1 1 1 1 1 A. ? i B. ? i C. ? ? i 2 2 2 2 2 2

D. ?

1 1 ? i 2 2

2.对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,学科网当选取简单随机抽样、zxxk 系统抽样和分层 抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别是 p1 , p2 , p3 , 则 A. p1 ? p2 ? p3 B. p2 ? p3 ? p1 C. p1 ? p3 ? p2 D. p1 ? p2 ? p3 3.已知 f ( x), g ( x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f ( x) ? g ( x) ? x3 ? x 2 ? 1,

则f (1) ? g (1) =
A.-3 B.-1
5

C.1

D.3

4. ( x ? 2 y ) 的展开式中 x 2 y 3 的系数是 zxxk A.-20 B.-5 C.5 D.20 5.已知命题 p : 若x ? y, 则 ? x ? ? y; 命题q : 若x ? y, 则x2 ? y 2 . 在命题 ① p ? q ② p ? q ③ p ? (?q) ④ (?p) ? q 中,真命题是 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 6.执行如图 1 所示的程序框图,如果输入的 t ?[?2, 2] ,则输出的 S 属于 A . [?6, ?2] B . [?5, ?1] C . [?4,5] D . [?3, 6]

1 2

7.一块石材表示的几何何的三视图如图 2 所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球 的半径等于 A.1 B.2 C.3 D.4 8.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为 p ,第二年的增长率为 q ,则该市这两年生 产总值的年平均增长率为 A.

p?q 2

B.

( p ? 1)( q ? 1) ? 1 2

C.

pq

D. ( p ? 1)(q ? 1) ?1

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9.已知函数 f ( x) ? sin( x ? ? ), 且 A. x ?

?

2? 3 0

f ( x)dx ? 0, 则函数 f ( x) 的图象的一条对称轴是

5? 6

B. x ?

7? 12
2 x

C. x ?

?
3

D. x ?

?
6

10.已知函数 zxxk f ( x) ? x ? e ? 点,则 a 的取值范围是 A. (??,

1 ( x ? 0)与g ( x) ? x 2 ? ln( x ? a) 的图象上存在关于 y 轴对称的 2
C. ( ?

1 ) e

B. (??, e )

1 , e) e

D. ( ? e ,

1 ) e

二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (一)选做题(请考生在第 11,12,13 三题中任选两题作答,学科网如果全做,则按前两题记分)

? x ? 2 ? cos ? ? 的直线 l 与曲线 C : ? 交于 A,B 两点, ,(?为参数) 4 ? y ? 1 ? sin ? |AB |=2 ,以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线 l 的极坐标方程是 则 12.如图 3,已知 AB, BC 是 O 的两条弦, AO ? BC, AB ? 3, BC ? 2 2, 则 O 的半径等于
11. 在平面直角坐标系中, 倾斜角为

13.若关于 x 的不等式 | ax ? 2 |? 3 的解集为 {x | ? (二)必做题(14-16 题)

5 1 ? x ? } ,则 a ? 3 3

? y?x ? 14.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,且 z ? 2 x ? y 的最小值为-6,则 k ? ? y?k ?
15.如图 4,正方形 ABCD和正方形DEFG 的边长分别为 a, b(a ? b) ,原点 O 为 AD 的中点,抛物

b ? a 16.在平面直角坐标系中, O 为原点, A(?1,0), B(0, 3), C(3,0), 动点 D 满足
线 y ? 2 px( p ? 0) 经过 C , F 两点,则
2

的最大值是 | CD |? 1, 则| OA ? OB ? OD | 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.学科网解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为 品 A ,乙组研发新产品 B .设甲、乙两组的研发相互独立. (I) 求至少有一种新产品研发成功的概率;
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2 3 和 .现安排甲组研发新产 3 5

(II)

若新产品 A 研发成功,预计企业可获利润 120 万元;若新产品 B 研发成功,预计企业 可获利润 100 万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.

18. (本小题满分 12 分) 如图 5,在平面四边形 ABCD 中, AD=, 1 CD=2,AC= 7. (I) 求 cos ?CAD 的值; (II) 若 cos ?BAD ? ?

7 21 ,sin ?CBA ? , 求 zxxk BC 的长. 14 6

19. (本小题满分 12 分) 如图 6,四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的所有棱长都相等, AC 边形 ACC1 A 1和四边形BDD 1B 1 均为矩形. (I) (II) 证明: O1O ? 底面ABCD;

BD ? O, AC 1 1

B1D1 ? O1 , 四

若 ?CBA ? 60 , 求二面角C1 ? OB1 ? D 的余弦值.

第 66页 ( 共 191页 )

20. (本小题满分 13 分) 已知数列{ an }满足 a1 ? 1,| an?1 ? an |? pn , n ? N *. (I) (II) 若{ an }是递增数列,且 a1 , 2a2, 3a3 成等差数列,求 p 的值; 若p? 公式.

1 ,且{ a2 n?1 }是递增数列,{ a2 n }学科网是递减数列,zxxk 求数列{ an }的通项 2

21. (本小题满分 13 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1 , F2 , 离心率为 e1 ; a 2 b2 x2 y 2 3 双曲线 C2 : 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F3 , F4 ,离心率为 e2 .已知 e1e2 ? , 且 | F2 F4 |? 3 ?1. a b 2 (I) 求 C1 , C2 的方程; y 轴的弦 AB 的中点.当直线 OM 与 C2 交于 P, Q 两点时,求 (II) 过F 1 作 C1 的不垂直于 四边形 APBQ 面积的最小值.
如图 7,O 为坐标原点, 椭圆 C1 :

22. (本小题满分 13 分) 已知常数 a ? 0, 函数f ( x) ? ln(1 ? ax) ? (I) (II)

讨论 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上的单调性; 若 f ( x ) 存在学科网两个极值点 x1 , x2 , 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 求 a 的 zxxk 取值范围.

2x . x?2

2014 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)
数学(理工农医类)答案
一、选择题 1、B 2、D 6、D 7、B 3、C 8、D 4 、A 9、A
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5、C 10、B

二、填空题 11、 p(cos ? ? sin ? ) ? 1
3 12、 2

13、 ?3 14、 ?2 15、 1 ? 2 16、 1 ? 7
三、解答题 17、 (本小题满分 12 份) 解: ( I ) 记 E= { 甲 组 研 发 新 产 品 成 功 } , F= { 乙 组 研 发 新 产 品 成 功 } . 由 题 设 知

2 1 3 2 P( E ) ? , P( E ) ? , P( F ) ? , P( F ) ? , 3 3 5 5
故所求的概率为 ( Ⅱ ) 设 企 业 可 获 利 润 为 X ( 万 元 ), 则 X 的 可 能 取 值 为 0 , 100,120,220. 因

1 2 2 1 3 3 P( X ? 0) ? P( E F ) ? ? ? , P( X ? 100) ? P( EF ) ? ? ? 3 5 15 3 5 15 2 2 4 2 3 5 P( X ? 120) ? P( E F ) ? ? ? , P( X ? 220) ? P( EF ) ? ? ? , 3 5 15 3 5 15 故所求的分布为

数学期望为 E ( X ) ? 0 ?

2 3 4 6 300 ? 480 ? 1320 2100 ? ? 140 + 100 ? + 120 ? + 220 ? = 15 15 15 15 15 15

18、 (本小题满分 12 份) 解: (I)如图 5,在 ?ADC 中,由余弦定理,得 cos ?CAD ? 故由题设知, cos ?CAD ?

AC 2 ? AD 2 ? CD 2 . 2 AC ? AD

7 ?1? 4 2 7 ? . 7 2 7

sin ?BAD ? 1 ? COS 2?BAD ? 1 ? (?
于是 sin x = sin(?BAD ? ?CAD)

7 2 3 21 ) ? . 14 14

= sin ?BAD cos ?CAD ? cos ?BAD sin ?CAD

第 68页 ( 共 191页 )

=

3 21 2 7 7 21 ? ? (? )? 14 7 14 7 3 . 2

=

在 ?ABC 中,由正弦定理,

AC ? sin a ? BC= sin ?CBA

7?

3 2 ?3 21 6

19、 (本小题满分 12 份) 解: (I)如图(a) ,因为四边形 ACC1 A1 为矩形,所以 CC1 ? AC .同理 DD1 ? BD 。因为 CC1 ∥ DD1 , 所以 CC1 ? BD 。而 AC

BD ? 0 ,因此 CC1 ? 底面 ABCD。由题设知, O1O ∥ C1C 。故 O1O ? 底

面 ABCD。 (Ⅱ)解法 I 如图(a) ,过 O1 作 O1H ? OB1 于 H,连接 HC1 . 由(I)知, O1O ? 底面 ABCD,所以 O1O ? 底面 A1B1C1D1 ,于是 O1O ? AC 1 1.

又因为四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 的所有棱长都相等,所以四边形 A1B1C1D1 是菱形,因此 AC 1 1 ?B 1D 1, 从而 AC 所以 AC 于是 OB1 ? 平面O1HC1 , 进而 OB1 ? C1H 。 故 ?C1HO1 1 1 ? 平面BDD 1B 1, 1 1 ? OB 1, 是二面角 C1 ? OB1 ? D 的平面角。 不妨设 AB=2。因为 ?CBA ? 60 ,所以 OB ? 3 , OC ? 1 ,OB1 ? 7 。
O

在 Rt?OO1B1 中,易知 O1H ?

OO1 ? O1B1 3 ? 2 。而 O1C1 ? 1 , OB1 7

于是



第 69页 ( 共 191页 )

3 OH 7 ? 2 57 。 故 COS ?C1 HO1 ? 1 ? C1 H 19 19 7 2 57 即二面角 C1 ? OB1 ? D 的余弦值为 。 19 2

解法 2 因为四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 的所有棱长都相等,所以四边形 ABCD 是菱形,因此 AC ? BD。又 O1O ? 底面 ABCD,从而 OB,OC, OO1 两两垂直。

如图(b) ,以 O 为坐标原点,OB,OC, OO1 所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系。不妨
O OC ? 1, 设 AB=2.因为 ?CBA ? 60 , 所以 OB ? 3 , 于是相关各点的坐标为: O(0, 0, 0), B1 ( 3,0,2) ,

C1 (0,1, 2) . 易知, n1 ? (0,1,0) 是平面 BDD1B1 的一个法向量。
设 n2 ? ( x, y, z ) 是平面 OB1C1 的一个法向量,则 ?

? ?n2 ? OB1 ? 0, ? ?n2 ? OC1 ? 0,

即?

? 3x ? 2 z ? 0, ? 取 z ? ? 3 ,则 ? ? y ? 2 z ? 0.

x ? 2, y ? 2 3,所以 n2 ? (2,2 3, ? 3) 。 设二面角 C1 ? OB1 ? D 的大小为 ? ,易知 ? 是锐角,于是

COS? ? COS

n1, n2

?

n1 ? n2 2 3 2 57 ? ? 。 n1 ? n2 19 19

故二面角 C1 ? OB1 ? D 的余弦值为 20、 (本小题满分 13 份)

2 57 19
n

解(I)因为 ?an ? 是递增数列,所以 an?1 ? an ? an?1 ? an ? p 。而 a1 ? 1 ,因此又 a1 , 2a2 ,3a3 成等差

第 70页 ( 共 191页 )

数列,

解得 p ?

1 ,p?0 3

当 p ? 0 时, an?1 ? an ,这与 ?an ? 是递增数列矛盾。故 p ? (Ⅱ)由于 ?a2n?1? 是递增数列,因而 a2n?1 ? a2n?1

1 . 3

0 ,于是



1 22 n

1 2
2 n ?1

,所以 . a ?a 2n 2n ?1 ②

a ?a 2n ? 1 2n 又①,②知, a2n ? a2 n?1 0 ,因此

a2n ? a2n?1 ? ( )2n?1 ?
因为 ?a2 n ? 是递减数列,同理可得, a2n?1 ? a2 n

1 2

(?1)2n 22n?1



0故

a2n?1 ? a2n
由③,④即知, an ?1 ? an ? 于是

?1? ? ?? ? ?2?

2n

?

(?1)2n?1 22 n



(?1)n?1 。 2n

an ? a1 ? (a2 ? a1) ? (a3 ? a2 ) ? ... ? (an ? an?1)
1 1 (?1)n ? 1 ? ? 2 ? ... ? n?1 2 2 2 1 1 ? (? ) n ?1 1 2 ? 1? ? 1 2 1? 2 n 4 1 (?1) ? ? ? n ?1 . 3 3 2 an ? 4 1 (?1) n ? ? 3 3 2n ?1

故数列 ?an ? 的通项公式为

21 、 (本小题满分 13 份)

3 4 3 a 2 ? b2 a 2 ? b2 3 4 4 2 2 解(I)因为 e1e2 ? ,即 a ? b ? a ,因此 a ? 2b ,从而 , ,所以 ? ? 4 2 a a 2 2 F2 (b,0), F4 ( 3b,0) ,于是 3b ? b ? F2 F4 ? 3 ? 1 ,所以 b ? 1 , a ? 2 。故 C1 , C2 的方程分别为

x2 x2 ? y 2 ? 1, ? y 2 ? 1. 2 2

第 71页 ( 共 191页 )

(Ⅱ)因 AB 不垂直于 y 轴,且过点 F1 (?1,0) ,故可设直线 AB 的方程为

x ? my ? 1 .

? x ? my ? 1, ? 由 ? x2 得 2 ? y ? 1 ? ?2

(m2 ? 2) y 2 ? 2my ?1 ? 0 易知此方程的判别式大于 0.设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 , y2 是上述方程的两个实根,所以

因此 x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2 ? 为?

?4 ?2 m , 2 ) ,故直线 PQ 的斜率 ,于是 AB 的中点为 M ( 2 2 m ?2 m ?2 m ?2

m m ,PQ 的方程为 y ? ? x ,即 mx ? 2 y ? 0 。 2 2 m ? y ? ? x, ? 4 m2 ? 2 2 2 2 2 2 0 ,且 x ? 由 ? 2 得 (2 ? m ) x ? 4 , 所 以 2 ? m , y ? ,从而 2 ? m2 2 ? m2 ? x ? y2 ? 1 ? ?2

PQ ? 2 x 2 ? y 2 ? 2

m2 ? 4 。 2 ? m2


设点 A 到直线 PQ 的距离为 d,则点 B 到直线 PQ 的距离也为 d,所以

m2 ? 4 因为点 A、B 在直线 mx ? 2 y ? 0 的异侧,所以 (mx1 ? 2 y1 )(mx2 ? 2 y2 )

2d ?

mx1 ? 2 y1 ? mx2 ? 2 y2

0 ,于是

mx1 ? 2 y1 ? mx2 ? 2 y2 ? mx1 ? 2 y1 ? mx2 ? 2 y2 ,
从而

第 72页 ( 共 191页 )

2d ?

(m2 ? 2) y1 ? y2 m2 ? 4

2 2 ? 1 ? m2 又因为 y1 ? y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ? ,所以 m2 ? 2 2 2 ? 1 ? m2 2d ? 。 m2 ? 4
2

故四边形 APBQ 的面积

而0 综上所述,四边形 APBQ 面积的最小值为 2.

1 2 2 ? 1 ? m2 3 . PQ ? 2d ? ? 2 2 ? ?1 ? 2 2 ? m2 2 ? m2 2 ? m2 ? 2 ,故当 m ? 0 时,S 取得最小值 2. S?

22. (本小题满分 13 份)

解: (I) f ( x) ?

'

a 2( x ? 2) ? 2 x ax 2 ? 4(a ? 1) ? = 1 ? ax ( x ? 2) 2 (1 ? ax)( x ? 2)2

当 ? 1 时, ,此时 f

( x) 在区间 ?0, ??? 上单调递增。
1

当 0<a<1 时,由 f '

( x) <0 得 x

?2

1? a 1? a ( x 2 ? ?2 舍去) a a
>0



x ∈(0, x1 )时 f '( x) <0;当 x∈ x 1?( x1 , ??) 时, f '( x)

故f

( x) 在区间(0, x1 )上单调递增,在区间( x1 , ?? )上单调递增。
? 1 时, f ( x) 在区间(0, ?? )上单调递增;

综上所述 当a

当 0< a <1 时, f

( x) 在区间(0, 2

1? a 1? a )上单调递减,在区间( 2 , ?? )上单调递增 a a

(II)由()式知。当 a ? 1 , f ' 点,必有 0< a <1。又 f 义可知,

( x) ? 0,此时 f ( x) 不存在极值点,因而要使得 f ( x) 有两个极值
1? a 1? a 和 x = -2 ,且由 f ( x) 的定 2 a a
1 1? a >? 。 a a
第 73页 ( 共 191页 )

( x) 的极值点只可能是 x1 = 2

x > ? 1 且 x ? —2,所以 2
a

2


1? a a

? —2,解得 a ?

1 。此时,由()式易知, x 1 , x 2 分别是 f ( x) 的极小值点和极大值点, 2

2x 2x f ( x ) + f ( x ) = in (1 ? ax )+ in (1+ ax 2 )2 1 x 1 ?2 x 2 ?2
2 = in ? ?1 ? a ? x x ? x 2 ? ? a x 1 x 2 ? ?-

4 x 1 x 2 ?4 ? x ? X ? x 1 x 2 ?2 ? x 1 ? x 2 ? ? 4

= in ? 2 a ? 1? —
2

4 ? a ? 1? 2 2 ?2 = in ? 2 a ? 1? + 2a ? 1 2a ? 1

令 2 a -1=x,由 0< a <1 且 a

?

1 知 2

当 0< a <

1 1 时,-1<x<0; 当 < a <1 时。0<x<1 2 2
2

记 g (x)=in x +

2 -2 x 2 -2,所以 x

(i)

当-1<x<0 时, g (x)=2in(-x)+

2 2 2x ? 2 g ' (x)= - 2 = 2 <0 x x x
因此, g (x)在区间(-1,0)上单调递减,从而 g (x)< g (-1)=-4<0,故当 0< a <

1 时, 2

f ( x ) + f ( x ) <0 2 1
(ii)当 0<x<1 时, g (x)=2inx+

2 -2,所以 x

因此。g(x) 在区间 (0,1) 上单调递减, 从而 g(x) > g(1) =0.故当 >0 综上所述。满足条件的 a 的取值范围为(

1 < a <1 时, f ( x ) + f ( x ) 2 1 2

1 ,1) 2

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2014 年江苏高考数学试题
数学Ⅰ试题
参考公式: 圆柱的侧面积公式:S 圆柱=cl, 其中 c 是圆柱底面的周长,l 为母线长. 圆柱的体积公式:V 圆柱=Sh,其中 S 是圆柱的底面积,h 为高.
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........
? 1,, 3 4} , B ? {?1 , 2, 3} ,则 A 1.已知集合 A ? {?2 ,
3} 【答案】 {?1 ,
B?



2.已知复数 z ? (5 ? 2i)2 (i 为虚数单位),则 z 的实部为 【答案】21 3.右图是一个算法流程图,则输出的 n 的值是 【答案】5 .



2 ,, 3 6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的乘积为 6 的 4.从 1,

概率是 【答案】 1 3



5.已知函数 y ? cos x 与 y ? sin(2 x ? ? )(0 ≤ ? ? ?) ,它们的图象有一个横坐标为
? 的交点,则 的值是 ? 3



【答案】 ? 6 6.为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中 60 株树木的
130] 上,其频率分布 底部周长(单位:cm) ,所得数据均在区间 [80 ,

直方图如图所示,则在抽测的 60 株树木中,有 树木的底部周长小于 100 cm. 【答案】24



7.在各项均为正数的等比数列 {an } 中,若 a2 ? 1 , a8 ? a6 ? 2a4 , 则 a 6 的值是 【答案】4
S 2 ,体积分别为 V1 , V2 ,若它们的侧面积相等,且 8.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1 ,



S1 9 ? , S2 4

第 75页 ( 共 191页 )



V1 的值是 V2



【答案】 3 2 9. 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 被圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 截得的弦长为 【答案】 2 55 5
m ? 1] ,都有 f ( x) ? 0 成立,则实数 m 的取值范围 10.已知函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? 1 ,若对任意 x ? [m ,







? ? 0? 【答案】 ? ? 2 , 2 ? ?

b 为常数)过点 P(2 , ? 5) ,且该曲线在点 P 处的 11.在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y ? ax 2 ? b ( a , x

切线与直线 7 x ? 2 y ? 3 ? 0 平行,则 a ? b 的值是 【答案】 ?3



AD ? 5 , CP ? 3PD , 12.如图,在平行四边形 ABCD 中,已知, AB ? 8 , AP ? BP ? 2 ,则 AB ? AD 的

值是 【答案】22



3) 时,f ( x) ? x2 ? 2 x ? 1 . 13. 已知 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数, 当 x ? [0 , 若函数 y ? f ( x) ? a 2
4] 上有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的取值范围是 在区间 [?3 ,



1 【答案】 0 , 2

? ?


14.若 ?ABC 的内角满足 sin A ? 2 sin B ? 2sin C ,则 cos C 的最小值是 【答案】 6 ? 2 4

二、解答题:本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内 作答, 解答时应写出文字说明、证明 ........ 过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分)已知 ? ? ? , ? , sin ? ? 5 . 5 2

? ?

? ? (2)求 cos ? ?? ? 2? ? 的值. 6
(1)求 sin ? ? ? 的值; 4 【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式,考查运算求解能 力. 满分 14 分.
第 76页 ( 共 191页 )

(1)∵ ? ? ? , ? , sin ? ? 5 , 2 5 ∴ cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 2 5 5

? ? ?

sin ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 2 (cos ? ? sin ? ) ? ? 10 ; 4 4 4 2 10
(2)∵ sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? 4 , cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 3 5 5 ∴ cos ?? ? 2? ? cos ?? cos 2? ? sin ?? sin 2? ? ? 3 ? 3 ? 1 ? ? 4 ? ? 3 3 ? 4 . 6 6 6 2 5 2 5 10
E, F 分别为棱 PC , AC , AB 的中点.已知 16. (本小题满分 14 分)如图,在三棱锥 P ? ABC 中, D ,
PA ? AC , PA ? 6 ,BC ? 8 ,DF ? 5 .

?

?

?

? ?

(1)求证:直线 PA∥平面 DEF; (2)平面 BDE⊥平面 ABC. 【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系, 考查空间想象能力和推理论证能力.满分 14 分.
AC 中点 E 为 PC , (1)∵ D ,

∴DE∥PA ∴PA∥平面 DEF

∵ PA ? 平面 DEF,DE ? 平面 DEF
AC 中点 E 为 PC , (2)∵ D , AB 中点 F 为 AC , ∵E,

∴ DE ? 1 PA ? 3 2

∴ EF ? 1 BC ? 4 2 ∴ ?DEF ? 90° ,∴DE⊥EF

∴ DE 2 ? EF 2 ? DF 2

PA ? AC ,∴ DE ? AC ∵ DE //PA ,

∵ AC

EF ? E

∴DE⊥平面 ABC ∴平面 BDE⊥平面 ABC.

∵DE ? 平面 BDE,

2 y2 17. (本小题满分 14 分)如图, 在平面直角坐标系 xOy 中,F1 , F2 分别是椭圆 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 a b

b) ,连结 BF2 并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另 右焦点,顶点 B 的坐标为 (0 ,

一点 C,连结 F1C .

1 ,且 BF ? 2 ,求椭圆的方程; (1)若点 C 的坐标为 4 , 2 3 3
? AB ,求椭圆离心率 e 的值. (2)若 FC 1

? ?

【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识,考查运 算求解能力. 满分 14 分.

第 77页 ( 共 191页 )

16 1 4 1 (1)∵ C , ,∴ 92 ? 92 ? 9 3 3 a b

? ?

∵ BF2 2 ? b2 ? c 2 ? a 2 ,∴ a2 ? ( 2)2 ? 2 ,∴ b 2 ? 1 ∴椭圆方程为 x ? y 2 ? 1 2
2

0) , F2 (c , 0) , C( x , y) (2)设焦点 F1 (?c ,
? y) C 关于 x 轴对称,∴ A( x , ∵ A,

b? y ∵ B, ,即 bx ? cy ? bc ? 0 ① F2 , A 三点共线,∴ b ? ?c ?x
? AB ,∴ ∵ FC 1

y ? b ? ?1 ,即 xc ? by ? c 2 ? 0 ② x ? c ?c
∴C

? x ? ca 2 ? b2 ? c2 ①②联立方程组,解得 ? bc 2 ?y ? 2 2 b ? c2 ?
2 2 2 2 2 2 2 2

? b a?cc ,b2bc ?c ?
2 2 2 2 2 2

ac 2bc ? b ? c ? ?b ? c ? ? ?1, ∵C 在椭圆上,∴ a2 b2

化简得 5c 2 ? a 2 ,∴ c ? 5 , 故离心率为 5 a 5 5 18. (本小题满分 16 分)如图, 为保护河上古桥 OA, 规划建一座新桥 BC, 同时设立一个圆形保护区. 规 划要求:新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆,且古桥 两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m.经测量,点 A 位于点 O 正北方向 60m 处,点 C 位于点 O 正东方向 170m 处(OC 为河岸), tan ?BCO ? 4 . 3 (1)求新桥 BC 的长; (2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大? 解:本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形 等基础知识, 考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能 力.满分 16 分. 解法一: (1) 如图,以 O 为坐标原点,OC 所在直线为 x 轴,建立平面直角 坐标系 xOy. 由条件知 A(0, 60),C(170, 0), 直线 BC 的斜率 k BC=-tan∠BCO=-

4 . 3

3 . 4 b?0 4 ?? , 设点 B 的坐标为(a,b),则 k BC= a ? 170 3
又因为 AB⊥BC,所以直线 AB 的斜率 k AB=

第 78页 ( 共 191页 )

k AB=

b ? 60 3 ? , a?0 4

2 2 解得 a=80,b=120. 所以 BC= (170 ? 80) ? (0 ? 120) ? 150 .

因此新桥 BC 的长是 150 m. (2)设保护区的边界圆 M 的半径为 r m,OM=d m,(0≤d≤60). 由条件知,直线 BC 的方程为 y ? ?

4 ( x ? 170) ,即 4 x ? 3 y ? 680 ? 0 3

由于圆 M 与直线 BC 相切,故点 M(0,d)到直线 BC 的距离是 r, 即r ?

| 3d ? 680 | 680 ? 3d ? . 5 5

因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m,

? 680 ? 3d ? d ≥ 80 ? ?r ? d ≥ 80 ? 5 所以 ? 即? 解得 10 ≤ d ≤ 35 ?r ? (60 ? d ) ≥ 80 ? 680 ? 3d ? (60 ? d ) ≥ 80 ? 5 ? 680 ? 3d 故当 d=10 时, r ? 最大,即圆面积最大. 5
所以当 OM = 10 m 时,圆形保护区的面积最大. 解法二:(1)如图,延长 OA, CB 交于点 F.

4 4 3 .所以 sin∠FCO= ,cos∠FCO= . 3 5 5 680 因为 OA=60,OC=170,所以 OF=OC tan∠FCO= . 3 OC 850 500 ? CF= ,从而 AF ? OF ? OA ? . cos ?FCO 3 3 4 因为 OA⊥OC,所以 cos∠AFB=sin∠FCO== , 5 400 又因为 AB⊥BC,所以 BF=AF cos∠AFB== ,从而 BC=CF-BF=150. 3
因为 tan∠BCO= 因此新桥 BC 的长是 150 m. (2)设保护区的边界圆 M 与 BC 的切点为 D,连接 MD,则 MD⊥BC,且 MD 是圆 M 的半 径,并设 MD=r m,OM=d m(0≤d≤60). 因为 OA⊥OC,所以 sin∠CFO =cos∠FCO, 故由(1)知,sin∠CFO =

680 ? 3d MD MD r 3 . ? ? ? , 所以 r ? 5 MF OF ? OM 680 ? d 5 3

因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m,

? 680 ? 3d ? d ≥ 80 ? ?r ? d ≥ 80 ? 5 所以 ? 即? 解得 10 ≤ d ≤ 35 ?r ? (60 ? d ) ≥ 80 ? 680 ? 3d ? (60 ? d ) ≥ 80 ? 5 ? 680 ? 3d 故当 d=10 时, r ? 最大,即圆面积最大. 5
所以当 OM = 10 m 时,圆形保护区的面积最大. 19.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? e x ? e? x 其中 e 是自然对数的底数.

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(1)证明: f ( x) 是 R 上的偶函数;
? ?) 上恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)若关于 x 的不等式 mf ( x) ≤ e? x ? m ? 1 在 (0 ,

(3)已知正数 a 满足:存在 x0 ?[1, ? ?) ,使得 f ( x0 ) ? a(? x03 ? 3x0 ) 成立.试比较 e a?1 与 a e?1 的大小, 并证明你的结论. 【答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识,考查综合运用数学思想 方法分析与解决问题的能力.满分 16 分. (1) ?x ? R , f (? x) ? e? x ? e x ? f ( x) ,∴ f ( x) 是 R 上的偶函数 (2)由题意, m(e? x ? e x ) ≤ e? x ? m ? 1 ,即 m(ex ? e? x ? 1) ≤ e? x ? 1
? ?) ,∴ e x ? e ? x ? 1 ? 0 ,即 m ≤ ∵ x ? (0 ,

e? x ? 1 对 x ? (0 , ? ?) 恒成立 e ? e? x ? 1
x

? ?) 恒成立 令 t ? e x (t ? 1) ,则 m ≤ 2 1 ? t 对任意 t ? (1, t ? t ?1

t ?1 1 ∵ 2 1? t ? ? ?? ≥ ? 1 ,当且仅当 t ? 2 时等号成立 t ? t ?1 (t ? 1)2 ? (t ? 1) ? 1 1 3 t ?1 ? ?1 t ?1
∴ m≤?1 3
? ?) 上单调增 (3) f '( x) ? e x ? e? x ,当 x ? 1 时 f '( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 (1 ,

令 h( x) ? a(? x3 ? 3x) , h '( x) ? ?3ax( x ? 1)
x ? 1 ,∴ h '( x) ? 0 ,即 h( x) 在 x ? (1 , ? ?) 上单调减 ∵ a ? 0,

? ?) ,使得 f ( x0 ) ? a(? x03 ? 3x0 ) ,∴ f (1) ? e ? 1 ? 2a ,即 a ? 1 e ? 1 ∵存在 x0 ?[1, e 2 e

? ?

∵ ln aa?1 ? ln ae?1 ? ln ea?1 ? (e ? 1)ln a ? a ? 1 e
e-1

设 m(a) ? (e ? 1) ln a ? a ? 1 ,则 m '(a) ? e ? 1 ? 1 ? e ? 1 ? a , a? 1 e?1 a a 2 e 当 1 e ? 1 ? a ? e ? 1 时, m '(a) ? 0 , m(a) 单调增; 2 e 当 a ? e ? 1 时, m '(a) ? 0 , m(a) 单调减 因此 m(a) 至多有两个零点,而 m(1) ? m(e) ? 0 ∴当 a ? e 时, m(a) ? 0 , a e?1 ? ea?1 ; 当 1 e ? 1 ? a ? e 时, m(a) ? 0 , a e?1 ? ea?1 ; 2 e 当 a ? e 时, m(a) ? 0 , a e?1 ? ea?1 .

? ?

? ?

? ?

20. (本小题满分 16 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n . 若对任意的正整数 n, 总存在正整数 m, 使得 Sn ? am , 则称 {an } 是“H 数列” .

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(1)若数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n (n ? N? ) ,证明: {an } 是“H 数列” ; (2)设 {an } 是等差数列,其首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 .若 {an } 是“H 数列” ,求 d 的值; (3)证明:对任意的等差数列 {an } ,总存在两个“H 数列”{bn } 和 {cn } ,使得 an ? bn ? cn (n ? N? ) 成 立. 【答案】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识,考查探究能力及推理论证能力, 满分 16 分. (1)当 n ≥ 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 2n?1 ? 2n?1 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ∴ n ? 1 时, S1 ? a1 ,当 n ≥ 2 时, Sn ? an?1 ∴ {an } 是“H 数列” (2) Sn ? na1 ?
n(n ? 1) n(n ? 1) d ?n? d 2 2
n(n ? 1) d ? 1 ? (m ? 1)d 2

对 ?n ? N ? , ?m ? N ? 使 Sn ? am ,即 n ? 取 n ? 2 得 1 ? d ? (m ? 1)d , m ? 2 ? 1 d

∵ d ? 0 ,∴ m ? 2 ,又 m ? N ? ,∴ m ? 1 ,∴ d ? ?1 (3)设 {an } 的公差为 d 令 bn ? a1 ? (n ? 1)a1 ? (2 ? n)a1 ,对 ?n ? N ? , bn?1 ? bn ? ?a1
cn ? (n ? 1)(a1 ? d ) ,对 ?n ? N ? , cn?1 ? cn ? a1 ? d {cn } 为等差数列 则 bn ? cn ? a1 ? (n ? 1)d ? an ,且 {bn } , {bn } 的前 n 项和 Tn ? na1 ?

n(n ? 1) n(n ? 3) (?a1 ) ,令 Tn ? (2 ? m)a1 ,则 m ? ?2 2 2

当 n ? 1 时 m ? 1; 当 n ? 2 时 m ? 1; 当 n ≥ 3 时,由于 n 与 n ? 3 奇偶性不同,即 n(n ? 3) 非负偶数, m ? N ? 因此对 ?n ,都可找到 m ? N ? ,使 Tn ? bm 成立,即 {bn } 为“H 数列” .
{cn } 的前n项和 Rn ?

n(n ? 1) n(n ? 1) (a1 ? d ) ,令 cn ? (m ? 1)(a1 ? d ) ? Rm ,则 m ? ?1 2 2

∵对 ?n ? N ? , n(n ? 1) 是非负偶数,∴ m ? N ? 即对 ?n ? N ? ,都可找到 m ? N ? ,使得 Rn ? cm 成立,即 {cn } 为“H 数列” 因此命题得证.

数学Ⅱ(附加题)
第 81页 ( 共 191页 )

21.【选做题】本题包括 A, B,C,D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做, 则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.【选修 4-1:几何证明选讲】(本小题满分 10 分) 如图,AB 是圆 O 的直径,C、 D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点 证明:∠OCB=∠D. 本小题主要考查圆的基本性质,考查推理论证能力.满分 10 分. 证明:因为 B, C 是圆 O 上的两点,所以 OB=OC. 故∠OCB=∠B. 又因为 C, D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点, 故∠B,∠D 为同弧所对的两个圆周角, 所以∠B=∠D. 因此∠OCB=∠D. B.【选修 4-2:矩阵与变换】(本小题满分 10 分)
? ?1 2? ?1 1 ? ?2 ? 已知矩阵 A ? ? y 为实数,若 Aα = Bα ,求 x , y 的值. ? , B ? ? 2 ? 1? ,向量 ? ? ? y ? , x , 1 x ? ? ? ? ? ?

【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识,考查运算求解能力.满分 10 分.
?2 y ? 2? ?2 ? y ? ?2 y ? 2 ? 2 ? y , 1 y?4 A? ? ? ? , Bα ? ? 4 ? y ? ,由 Aα = Bα 得 ?2 ? xy ? 4 ? y ,解得 x ? ? 2 , 2 ? xy ? ? ? ? ?

C.【选修 4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分 10 分)

? ?x ? 1 ? 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 2 ? ?
B 两点,求线段 AB 的长. 交于 A ,

2 t, 2 (t 为参数), 直线 l 与抛物线 y 2 ? 4 x 2t 2

【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识,考查运算求解能力.满分 10 分. 直线 l: x ? y ? 3 代入抛物线方程 y 2 ? 4 x 并整理得 x 2 ? 10 x ? 9 ? 0
2) , B(9 , ? 6) ,故 | AB |? 8 2 ∴交点 A(1 ,

D.【选修 4-5:不等式选讲】(本小题满分 10 分) 已知 x>0, y>0,证明:(1+x+y2)( 1+x2+y)≥9xy. 本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分 10 分.
2 2 证明:因为 x>0, y>0, 所以 1+x+y2≥ 3 3 xy ? 0 ,1+x2+y≥ 3 3 x y ? 0 , 2 2 所以(1+x+y2)( 1+x2+y)≥ 3 3 xy ? 3 3 x y =9xy.

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文

第 82页 ( 共 191页 )

字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 盒中共有 9 个球,其中有 4 个红球,3 个黄球和 2 个绿球,这些球除颜色外完全相同. (1)从盒中一次随机取出 2 个球,求取出的 2 个球颜色相同的概率 P; (2)从盒中一次随机取出 4 个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 x1 , x2 , x3 ,随机变量 X 表 示 x1 , x2 , x3 中的最大数,求 X 的概率分布和数学期望 E ( X ) . 22.【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识,考查运算求解能力 . 满分 10 分.
2 2 2 (1)一次取 2 个球共有 C9 ? 36 种可能情况,2 个球颜色相同共有 C2 4 ? C3 ? C2 ? 10 种可能情况

∴取出的 2 个球颜色相同的概率 P ? 10 ? 5 36 18
3 2 ,则 (2)X 的所有可能取值为 4 ,,

P( X ? 4) ? P( X ? 3) ?

C4 4 ? 1 4 C9 126
1 3 1 C3 4 C5 ? C3 C6 ? 13 C3 63 9

P( X ? 2) ? 1 ? P( X ? 3) ? P( X ? 4) ? 11 14

∴X 的概率分布列为 X P 2
11 14

3

4

13 63

1 126

故 X 的数学期望 E ( X ) ? 2 ? 11 ? 3 ? 13 ? 4 ? 1 ? 20 14 63 126 9 23.(本小题满分 10 分) 已知函数 f 0 ( x) ? sin x ( x ? 0) ,设 f n ( x) 为 f n?1 ( x) 的导数, n ? N? . x (1)求 2 f1 ? ? ? f 2 ? 的值; 2 2 2 (2)证明:对任意的 n ? N? ,等式 nf n?1 ? ? ? f n ? ? 2 成立. 4 4 4 2 23.【必做题】本题主要考查简单的复合函数的导数,考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力. 满分 10 分. (1)解:由已知,得 f1 ( x) ? f 0?( x) ? ?

??

??

??

??

? sin x ?? cos x sin x ? 2 , ? ? x x ? x ?

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于是 f 2 ( x) ? f1?( x) ? ? 所以 f1 ( ) ? ?

sin x 2 cos x 2sin x ? cos x ?? ? sin x ?? ? ? , ? ?? 2 ? ? ? x x2 x3 ? x ? ? x ?

?

2

? 2 16 , f2 ( ) ? ? ? 3 , ? 2 ? ?
4
2

故 2 f1 ( ) ?

?

?

2

f 2 ( ) ? ?1. 2 2

?

(2)证明:由已知,得 xf 0 ( x) ? sin x, 等式两边分别对 x 求导,得 f0 ( x) ? xf0?( x) ? cos x , 即 f 0 ( x) ? xf1 ( x) ? cos x ? sin( x ? ? ) ,类似可得 2
2 f1 ( x) ? xf 2 ( x) ? ? sin x ? sin( x ? ? ) ,

3 f 2 ( x) ? xf 3 ( x) ? ? cos x ? sin( x ? 3? ) , 2
4 f3 ( x) ? xf 4 ( x) ? sin x ? sin( x ? 2? ) .

下面用数学归纳法证明等式 nf n?1 ( x) ? xf n ( x) ? sin( x ? n? ) 对所有的 n ? N* 都成立. 2 (i)当 n=1 时,由上可知等式成立. (ii)假设当 n=k 时等式成立, 即 kf k ?1 ( x) ? xf k ( x) ? sin( x ? k? ) . 2
? 因为 [kf k ?1 ( x) ? xf k ( x)]? ? kf k? ?1 ( x) ? f k ( x) ? xf k ( x) ? (k ? 1) f k ( x) ? f k ?1 ( x),

[sin( x ? k? )]? ? cos( x ? k? ) ? ( x ? k? )? ? sin[ x ? 2 2 2

(k ? 1)? ], 2

所以 (k ? 1) f k ( x) ? f k ?1 ( x) ? sin[ x ? 所以当 n=k+1 时,等式也成立.

(k ? 1)? ]. 2

综合(i),(ii)可知等式 nf n?1 ( x) ? xf n ( x) ? sin( x ? n? ) 对所有的 n ? N* 都成立. 2 令x?

?

,可得 nf n?1 (? ) ? ? f n (? ) ? sin(? ? n? ) ( n ? N* ). 4 4 4 4 2 4

所以 nf n?1 (? ) ? ? f n (? ) ? 2 ( n ? N* ). 4 4 4 2

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2014 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)

数学(理科)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1. z 是 z 的共轭复数. 若 z ? z ? 2 , ( ( z ? z )i ? 2 ( i 为虚数单位) ,则 z ? ( B. 1 ? i B. ? 1 ? i
2



C. ? 1 ? i

D. 1 ? i D. (??,0] ? [1,??) )

2. 函数 f ( x) ? ln(x ? x) 的定义域为( ) B. (0,1) B. [0,1] C. (??,0) ? (1,??)

3. 已知函数 f ( x) ? 5| x| , g ( x) ? ax2 ? x(a ? R) ,若 f [ g (1)] ? 1 ,则 a ? ( A. 1 B. 2 C. 3 D. -1
2 2

5.在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对应的边分别为 a, b, c, ,若 c ? (a ? b) ? 6, C ? ( A.3 ) B.

?
3

, 则 ?ABC 的面积

9 3 2

C.

3 3 2

D. 3 3 )

5.一几何体的直观图如右图,下列给出的四个俯视图中正确的是(

6.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量之间的关系,随机抽查 52 名中学生, 得到统计数据如表 1 至表 4,泽宇性别有关联的可能性最大的变量是( )

A.成绩 B.视力 C.智商 D.阅读量 7.阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为(



A.7

B.9

C.10

D.11

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8.若 f ( x ) ? x ? 2
2

?

1

0

f ( x)dx, 则 ? f ( x )dx ? (
0

1



A. ? 1

B. ?

1 3

C.

1 3

D.1

9. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , A, B 分 别 是 x 轴 和 y 轴 上 的 动 点 , 若 以 AB 为 直 径 的 圆 C 与 直 线 2 x ? y ? 4 ? 0 相切,则圆 C 面积的最小值为( )

5 4 AB 10.如右图,在长方体 ABCD ? A =11, AD =7, AA1 =12,一质点从顶点 A 射向点 1B 1C 1D 1 中,
A. ? B. ? C. (6 ? 2 5)? D. ? ,将 i ? 1 次到第 i 次反射点之间的线段记为 E ? 4, 312 , ? ,遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理) )

4 5

3 4

Li ?i ? 2,3,4? , L1 ? AE ,将线段 L1 , L2 , L3 , L4 竖直放置在同一水平线上,则大致的图形是(

二.选做题:请考生在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按所做的第一题评阅计分,本题共 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 11(1).(不等式选做题)对任意 x, y ? R , x ?1 ? x ? y ?1 ? y ? 1 的最小值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11(2).(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标 系,则线段 y ? 1 ? x ? 0 ? x ? 1? 的极坐标为( ) A. ? ?

1 ? ,0 ?? ? cos ? ? sin ? 2

B. ? ?

C. ? ? cos ? ? sin ? , 0 ? ? ?

?

1 ? ,0 ?? ? cos ? ? sin ? 4

2

D. ? ? cos ? ? sin ? , 0 ? ? ?

?

4

三.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 12.10 件产品中有 7 件正品,3 件次品,从中任取 4 件,则恰好取到 1 件次品的概率是________. 13.若曲线 y ? e? x 上点 P 处的切线平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则点 P 的坐标是________. 14.已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 ? ,且 cos ? ? 则 cos ? =

1 ,向量 a ? 3e1 ? 2e2 与 b ? 3e1 ? e2 的夹角为 ? , 3

1 x2 y 2 15.过点 M (1,1) 作斜率为 ? 的直线与椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A, B , 若 M 是线段 AB 2 a b 的中点,则椭圆 C 的离心率为
四.简答题 16.已知函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? a cos( x ? 2? ) ,其中 a ? R, ? ? (? (1)当 a ?

? ?

2, ? ?

?
4

, ) 2 2

时,求 f ( x ) 在区间 [0, ? ] 上的最大值与最小值;

第 86页 ( 共 191页 )

(2)若 f ( ) ? 0, f (? ) ? 1 ,求 a, ? 的值.

?

2

17、 (本小题满分 12 分) 已知首项都是 1 的两个数列 ( (1) 令 ,求数列 的通项公式; (2) 若 ,求数列 的前 n 项和 .

) ,满足

.

18、 (本小题满分 12 分) 已知函数 (1) 当 时,求 的极值; (2) 若

.

在区间

上单调递增,求 b 的取值范围.

19(本小题满分12分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, ABCD 为矩形,平面 PAD ? 平面 ABCD . (1)求证: AB ? PD; (2)若 ?BPC ? 90? , PB ? 2, PC ? 2, 问 AB 为何值时,四棱锥 P ? ABCD 的体积最大?并 求此时平面 PBC 与平面 DPC 夹角的余弦值.

20.(本小题满分 13 分)

x2 2 如图,已知双曲线 Cn 2 ? y ? 1(a ? 0) 的右焦点 F ,点 A, B 分别在 C 的两条渐近线上, AF ? x 轴, a AB ? OB, BF ∥ OA ( O 为坐标原点). (1)求双曲线 C 的方程; xx 3 (2)过 C 上一点 P( x0, y0 )( y0 ? 0) 的直线 l : 02 ? y0 y ? 1 与直线 AF 相交于点 M ,与直线 x ? 相 a 2 MF 交于点 N ,证明点 P 在 C 上移动时, 恒为定值,并求此定值 NF

? 21.(满分 14 分)随机将 1, 2, ???, 2n n ? N , n ? 2 这 2n 个连续正整数分成 A,B 两组,每组 n 个数,

?

?

第 87页 ( 共 191页 )

A 组最小数为 a1 ,最大数为 a2 ;B 组最小数为 b1 ,最大数为 b1 ,记 ? ? a2 ? a1 ,? ? b1 ? b2 (1)当 n ? 3 时,求 ? 的分布列和数学期望; (2)令 C 表示事件 ? 与? 的取值恰好相等,求事件 C 发生的概率 p ? c ? ; (3)对(2)中的事件 C, c 表示 C 的对立事件,判断 p ? c ? 和 p ? c ? 的大小关系,并说明理由。

参考答案 一、1.D 2. C 3.A 4.C 5.B 6.D 7.B 8.B 9.A 10.C 二、11(1).C 11(2).A 三、12. 四、 16. 解(1)当 a ?
f ( x) ? sin( x ?

1 2

13.(-ln2,2)

14.

2 2 3

15.

2 2

2, ? ?

?
4

时,

?
4

) ? 2 cos( x ?

?
2

)?

2 2 ? sin x ? cos x ? 2 sin x ? sin( ? x) 2 2 4

因为 x ? [0, ? ] ,从而

?
4

? x ? [?

3? ? , ] 4 4

2 , 最小值为-1. 故 f ( x) 在 [0, ? ] 上的最大值为 2

? a ? ?1 ? ? ? ? ? f ( ) ? 0 ? cos ? (1 ? 2a sin ? ) ? 0 ? (2)由 ? 2 得? ,又 ? ? (? , ) 知 cos ? ? 0, 解得 ? ?. 2 ? ?? 2 2 ?2a sin ? ? sin ? ? a ? 1 ? ? f ( ? ) ? 1 6 ? ?

17. (1)因为 所以
an ?1 an ? ? 2, cn ?1 ? cn ? 2 bn ?1 bn



所以数列 {cn } 是以首项 c1 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列,故 cn ? 2n ? 1. (2)由 bn ? 3n ?1 知 an ? cnbn ? (2n ? 1)3n?1 于是数列 前 n 项和 Sn ? 1 ? 30 ? 3 ? 31 ?
? (2n ? 1) ? 3n
? 3n?1 ) ? (2n ? 1) ? 3n ? 2 ? (2n ? 2) ? 3n

? (2 n ?1) ?3 n?1

3Sn ? 1? 31 ? 3 ? 32 ?

相减得 ?2Sn ? 1 ? 2 ? (31 ? 32 所以 Sn ? (n ? 1) ? 3n ? 1. 18. (1)当

时, f ?( x) ?

?5 x( x ? 2) 1 ? 2x

, 由 f ?( x) ? 0 得 x ? ?2 或 x ? 0.

1 当 x ? (??, ?2) 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减,当 x ? (?2, 0) 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增,当 x ? (0, ) 时, 2
f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减,故 f ( x) 在 x ? ?2 取极小值 f (-2)= 0 ,在 x ? 0. 取极大值 f (0)= 4.

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(2) f ?( x) ?

? x(5 x ? 3b ? 2) 1 ? 2x

1 , 因为当 x ? (0, ) 时, 3

?x 1 ? 2x

?0

1 5 依题意当 x ? (0, ) 时,有 5 x ? 3b ? 2 ? 0 ,从而 ? 3b ? 2 ? 0 3 3 1 所以 b 的取值范围为 (??, ]. 9
19. (1)证明:ABCD 为矩形,故 AB ? AD, 又平面 PAD ? 平面 ABCD 平面 PAD 平面 ABCD=AD 所以 AB ? 平面 PAD,因为 PD ? 平面 PAD,故 AB ? PD (2)解:过 P 作 AD 的垂线,垂足为 O,过 O 作 BC 的垂线,垂足为 G,连接 PG. 故 PO ? 平面 ABCD,BC ? 平面 POG,BC ? PG 在直角三角形 BPC 中, PG ?
2 3 2 6 6 , GC ? , BG ? , 3 3 3

设 AB ? m, ,则 DP ? PG 2 ? OG 2 ?
1 4 m V ? ? 6 ?m? ? m2 ? 8 ? 6m 2 . 3 3 3 2 8 因为 m 8 ? 6m 2 ? ?6(m 2 ? ) 2 ? 3 3

4 ? m 2 , ,故四棱锥 P-ABCD 的体积为 3

故当 m ?

6 6 时,即 AB ? 时,四棱锥的体积 P-ABCD 最大. 3 3

建立如图所示的空间直角坐标系, O(0, 0, 0), B( 故 PC ? (

6 6 6 2 6 2 6 6 ,? , 0), C ( , , 0), D(0, , 0), P(0, 0, ) 3 3 3 3 3 3

6 2 6 6 6 , ,? ), BC ? (0, 6, 0), CD ? ( ? , 0, 0) 3 3 3 3

? 6 2 6 6 x? y? ?0 ? 3 3 设平面 BPC 的法向量 n1 ? ( x, y,1), ,则由 n1 ? PC , n1 ? BC 得 ? 3 ? 6y ? 0 ?

解得 x ? 1, y ? 0, n1 ? (1,0,1),

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1 同理可求出平面 DPC 的法向量 n2 ? (0, ,1), ,从而平面 BPC 与平面 DPC 夹角 ? 的余弦值为 2
cos? ? n1 ? n2 ? | n1 | ? | n2 | 1 2? 1 ?1 4 ? 10 . 5

20. (1)设 F (c,0) ,因为 b ? 1 ,所以 c ? a2 ? 1

1 1 c c 直线 OB 方程为 y ? ? x ,直线 BF 的方程为 y ? ( x ? c) ,解得 B( , ? ) a a 2 2a
又直线 OA 的方程为 y ?

1 c 3 x ,则 A(c, ), k AB ? . a a a

3 1 x2 又因为 AB ? OB,所以 (? ) ? ?1,解得 a 2 ? 3 ,故双曲线 C 的方程为 ? y 2 ? 1. a a 3
(2)由(1)知 a ? 3 ,则直线 l 的方程为
x0 x ? 3 x0 x ? y0 y ? 1( y0 ? 0) ,即 y ? 3 y0 3 2 x0 ? 3 ) 3 y0

因为直线 AF 的方程为 x ? 2 ,所以直线 l 与 AF 的交点 M (2,
3 x0 ? 3 3 的交点为 N ( 3 , 2 ) 2 2 3y
0

直线 l 与直线 x ?



4(2 x0 ? 3)2 MF 2 ? 2 NF 2 9[ y0 ? ( x0 ? 2)2 ]
x0 2 ? y0 2 ? 1. ,代入上式得 3

因为是 C 上一点,则

4(2 x0 ? 3)2 MF 2 ? ? 2 NF 2 9[ y0 ? ( x0 ? 2)2 ]

4(2 x0 ? 3)2 x2 9[ 0 ? 1 ? ( x0 ? 2)2 ] 3

?

4 MF 2 3 ? 3 ,所求定值为 NF 3

21. (1)当 n ? 3 时, ? 所有可能值为 2,3,4,5.将 6 个正整数平均分成 A,B 两组,不同的分组方法共有
3 C6 ? 20 种,所以 ? 的分布列为

?
P

2
1 5

3
3 10

4
3 10

5
1 5

1 3 3 1 7 E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? . 5 10 10 5 2
(2) ? 和 ? 恰好相等的所有可能值为 n ? 1, n, n ? 1,
, 2n ? 2.

又 ? 和 ? 恰好相等且等于 n ? 1 时,不同的分组方法有 2 种;

? 和 ? 恰好相等且等于 n 时,不同的分组方法有 2 种;
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? 和 ? 恰好相等且等于 n ? k (k ? 1, 2,
所以当 n ? 2 时, P(C ) ?

k , n ? 2),(n ? 3) 时,不同的分组方法有 2 C2 k 种;

4 2 ? 6 3

当n ? 3时

P(C ) ?

k 2(2 ? ? C2 k) k ?1 n C2 n

n?2

1 (3)由(2)当 n ? 2 时, P(C ) ? , 因此 P(C ) ? P(C ), 3
而当 n ? 3 时, P(C ) ? P(C ), 理由如下:

P(C ) ? P(C ), 等价于 4(2 ? ? C2 k ) ? C2 n ①
k n k ?1

n?2

用数学归纳法来证明:
1 3 ) ? 16, ① ? 20, 所以① 式左边 ? 4(2 ? C2 式右边 ? C6 式成立 1 当 n ? 3 时,①

式成立,即 4(2 ? ? C2 k ) ? C2 m 成立 2 假设 n ? m(m ? 3) 时①
k m k ?1

m?2

那么,当 n ? m ? 1 时,① 式左边 ? 4(2 ?
? ?

m ?1? 2 k ?1

?C

k 2k

k m ?1 m m ?1 ) ? 4(2 ? ? C2 k ) ? 4C2 m ? 2 ? C2 m ? 4C2 m ? 2 k ?1

m?2

(2m)! 4 ? (2m ? 2)! ( m ? 1) 2 (2m)(2m ? 2)!(4 m ? 1) ? ? m !m ! (m ? 1)!(m ? 1)! (m ? 1)!( m ? 1)! (m ? 1)2 (2m)(2m ? 2)!(4m) 2(m ? 1)m m ?1 m ?1 ? C2 ? C2 式右边 m?2 ? m ? 2 =① (m ? 1)!(m ? 1)! (2m ? 1)(2m ? 1)

即当 n ? m ? 1 时① 式也成立 综合 1 2 得,对于 n ? 3 的所有正整数,都有 P(C) ? P(C) 成立

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2014 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 理科数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项 是符合题目要求的.
1.已知全集 U ? R, A ? {x | x ? 0}, B ? {x | x ? 1} ,则集合 CU ( A A. {x | x ? 0} B. {x | x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} )

B) ? (



D. {x | 0 ? x ? 1}

2.设复数 z 满足 ( z ? 2i)(2 ? i) ? 5 ,则 z ? ( A. 2 ? 3i 3.已知 a ? 2
?

B. 2 ? 3i
1 3

C. 3 ? 2 i

D. 3 ? 2i ) D. c ? b ? a )

, b ? log 2

1 1 , c ? log 1 ,则( 3 2 3
C. c ? a ? b

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

4.已知 m,n 表示两条不同直线, ? 表示平面,下列说法正确的是( A.若 m / /? , n / /?, 则 m / / n C.若 m ? ? , m ? n ,则 n / /? B.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n D.若 m / /? , m ? n ,则 n ? ?

5. 设 a, b, c 是非零向量,学科 网已知命题 P :若 a ? b ? 0 , b ? c ? 0 ,则 a ? c ? 0 ;命题 q :若

a / /b, b / /c ,则 a / / c ,则下列命题中真命题是(
A. p ? q B. p ? q C. (?p) ? (?q)



D. p ? (?q) )

6.6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的做法种数为( A.144 B.120 C.72 D.24 )

7.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 8 ? 2? B. 8 ? ? C. 8 ?

? 2

D. 8 ?

? 4

8.设等差数列 {an } 的公差为 d,若数列 {2 1 n } 为递减数列,则(
第 92页 ( 共 191页 )

aa



A. d ? 0

B. d ? 0

C. a1d ? 0

D. a1d ? 0

9.将函数 y ? 3sin(2 x ? A.在区间 [ B.在区间 [

?
3

) 的图象向右平移

? 个单位长度,所得图象对应的函数( 2



, ] 上单调递减 12 12

? 7?

, ] 上单调递增 12 12

? 7?

C.在区间 [ ? D.在区间 [ ?

? ?

, ] 上单调递减 6 3 , ] 上单调递增 6 3
2

? ?

10.已知点 A(?2,3) 在抛物线 C: y ? 2 px 的准线上,学 科网过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于 点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为( A. )

1 2

B.

2 3

C.

3 4
3

D.
2

4 3


11.当 x ?[?2,1] 时,不等式 ax ? x ? 4 x ? 3 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. [?5, ?3] B. [ ?6, ? ]

9 8

C. [?6, ?2]

D. [?4, ?3] ZXXK

12.已知定义在 [0,1] 上的函数 f ( x ) 满足: ① f (0) ? f (1) ? 0 ; ②对所有 x, y ? [0,1] ,且 x ? y ,有 | f ( x) ? f ( y ) |?

1 | x ? y |. 2


若对所有 x, y ? [0,1] , | f ( x) ? f ( y) |? k ,则 k 的最小值为( A.

1 2

B.

1 4

C.

1 2?

D.

1 8

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.执行右侧的程序框图,若输入 x ? 9 ,则输出 y ? . ZXXK

第 93页 ( 共 191页 )

14.正方形的四个顶点 A(?1, ?1), B(1, ?1), C (1,1), D(?1,1) 分别在抛物线 y ? ? x2 和 y ? x2 上,如图所 示,若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中,学科网则质点落在阴影区域的概率是 .

15.已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 ,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A,B, 9 4
. ZXXK

线段 MN 的中点在 C 上,则 | AN | ? | BN |?

2 2 16.对于 c ? 0 ,当非零实数 a,b 满足 4a ? 2ab ? 4b ? c ? 0 ,且使 | 2a ? b | 最大时, ?

3 a

4 5 ? 的最 b c

小值为

.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A,B,C 的对边 a,b,c,且 a ? c ,已知 BA ? BC ? 2 , cos B ? (1)a 和 c 的值; (2) cos( B ? C ) 的值. 18. (本小题满分 12 分) 一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示:
第 94页 ( 共 191页 )

1 , b ? 3 ,求: 3

将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另一天的日销售量低于 50 个的 概率; (2)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数,求随机变量 X 的分布列,期望 E ( X ) 及方 差 D( X ) . 19. (本小题满分 12 分)
0 如图, ?ABC 和 ?BCD 所在平面互相垂直,且 AB ? BC ? BD ? 2 , ?ABC ? ?DBC ? 120 ,E、

F 分别为 AC、DC 的中点. (1)求证: EF ? BC ; (2)求二面角 E ? BF ? C 的正弦值.

20. (本小题满分 12 分) 圆 x ? y ? 4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为 P
2 2

(如图) ,双曲线 C1 : (1)求 C1 的方程;

x2 y 2 ? ? 1 过点 P 且离心率为 3 . a 2 b2

(2)椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点,直线 l 过 C2 的右焦点且与 C2 交于 A,B 两点,若以线段 AB 为直径的圆心过点 P,求 l 的方程.

第 95页 ( 共 191页 )

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (cos x ? x)(? ? 2 x) ? (sin x ? 1) , g ( x) ? 3( x ? ? ) cos x ? 4(1 ? sin x) ln(3 ? 证明: (1)存在唯一 x0 ? (0, (2)存在唯一 x1 ? (

8 3

2x

?

).

?
2

) ,使 f ( x0 ) ? 0 ;

?
2

, ? ) ,使 g ( x1 ) ? 0 ,且对(1)中的 x0 有 x0 ? x1 ? ? .

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用 2B 铅笔 在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲学科网 如图,EP 交圆于 E、C 两点,PD 切圆于 D,G 为 CE 上一点且 PG ? PD ,连接 DG 并延长交圆于点 A, 作弦 AB 垂直 EP,垂足为 F. (1)求证:AB 为圆的直径; (2)若 AC=BD,求证:AB=ED.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 将圆 x ? y ? 1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C.
2 2

(1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 与 C 的交点为 P 1, P 2 ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极坐标建立极 坐标系,求过线段 PP 1 2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
2 设函数 f ( x) ? 2 | x ? 1| ? x ? 1 , g ( x) ? 16 x ? 8x ? 1 ,记 f ( x) ? 1 的解集为 M, g ( x) ? 4 的解集为

第 96页 ( 共 191页 )

N. (1)求 M; (2)当 x ? M

N 时,证明: x 2 f ( x) ? x[ f ( x)]2 ?

1 . 4

2014 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 理科数学答案
1. D 13. 2. A 3. C 4. B 5. A 6. D 7. B 8. C 9. B 10. D 11. C 12. B

29 2 C 14. 9 3

15. 12 16. ?2

17.(Ⅰ)由 BA ? BC ? 2 得, c ? a cos B ? 2 ,又 cos B 由余弦定理,得 a 又 b=3,所以 a 解? 2
2 2

1 ? ,所以 ac=6. 3

? c ? b ? 2ac cos B .
2

2

2

? c ? 9 ? 2 ? 2 ? 13 .
,得 a=2,c=3 或 a=3,c=2.

? ?ac ? 6 ? ?a ? c ? 13
2

因为 a>c,∴ a=3,c=2. (Ⅱ)在 ?ABC 中, sin B ?

1 2 2 2 2 1 ? cos B ? 1 ? ( ) ? . 3 3

由正弦定理,得 sin C

c 2 2 2 4 2 ,又因为 a ? b ? c ,所以 C 为锐角,因此 ? sin B ? ? ? b 3 3 9
4 2 2 7 ) ? . 9 9

cos C ? 1 ? sin C ? 1 ? (

2

于是 cos( B ? C) ? cos B cos C ? sin B sin C =

1 7 2 2 4 2 23 . ? ? ? ? 3 9 3 9 27

18.(Ⅰ)设 A , A2 表示事件“日销售量低于 50 个” ,B 表示事件 1 表示事件“日销售量不低于 100 个” “在未来连续 3 天里有连续 2 天日销售量不低于 100 个且另一天的日销售量低于 50 个”.因此

P( A1 ) ? (0.006 ? 0.004 ? 0.002) ? 50 ? 0.6 . P( A2 ) ? 0.003? 50 ? 0.15 .
P( B) ? 0.6 ? 0.6 ? 0.15 ? 2 ? 0.108 .
(Ⅱ)X 的可能取值为 0,1,2,3.相应的概率为

第 97页 ( 共 191页 )

0 P( X ? 0) ? C3 ? (1 ? 0.6)3 ? 0.064 , 1 P( X ? 1) ? C3 ? 0.6(1 ? 0.6)2 ? 0.288 , 2 P( X ? 2) ? C3 ? 0.62 (1 ? 0.6) ? 0.432 ,

3 P( X ? 3) ? C3 ? 0.63 ? 0.216 ,

分布列为
X P 0 0.064 1 0.288 2 0.432 3 0.216

因为 X~B(3,0.6),所以期望为 E(X)=3×0.6=1.8,方差 D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72 19.(Ⅰ)证明: (方法一)过 E 作 EO⊥BC,垂足为 O,连 OF,

由△ABC≌△DBC 可证出△EOC≌△FOC,所以∠EOC=∠FOC= 又 EO⊥BC,因此 BC⊥面 EFO, 又 EF ? 面 EFO,所以 EF⊥BC.

? ,即 FO⊥BC, 2

(方法二)由题意,以 B 为坐标原点,在平面 DBC 内过 B 左垂直 BC 的直线为 x 轴,BC 所在直线为 y 轴,在平面 ABC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

易 得 B ( 0,0,0 ) , A(0 , -1 ,

1 3 ) F, 3 ),D( 3 ,-1,0) , C(0,2,0), 因 而 E ( 0 , , 2 2

3 1 ( , ,, 0 )以 所 2 2

EF ? (

3 3 , 0, ? ), BC ? (0, 2, 0) ,因此 EF ? BC ? 0 ,从而 EF ? BC ,所以 EF ? BC . 2 2

(Ⅱ) (方法一)在图 1 中,过 O 作 OG⊥BF,垂足为 G,连 EG,由平面 ABC⊥平面 BDC,从而 EO ⊥平面 BDC,又 OG⊥BF,由三垂线定理知 EG 垂直 BF.
第 98页 ( 共 191页 )

因此∠EGO 为二面角 E-BF-C 的平面角; 在△EOC 中,EO=

1 1 BO 3 3 EC= BC·cos30°= ,由△BGO∽△BFC 知, OG ? ,因此 ? FC ? 2 2 BC 4 2

tan∠EGO=

EO 2 5 2 5 ? 2 ,从而 sin∠EGO= ,即二面角 E-BF-C 的正弦值为 . OG 5 5

(方法二)在图 2 中,平面 BFC 的一个法向量为 n1 ? (0,0,1) ,设平面 BEF 的法向量 n2 ? ( x, y, z) , 又 BF ? (

? 3 1 1 3 ?n2 ? BF ? 0 得其中一个 n2 ? (1, ? 3,1) , 设二面角 E-BF-C , , 0), BE ? (0, , ) ,由 ? 2 2 2 2 ? ?n2 ? BE ? 0
2 2 5 n1 ? n2 1 , 因 sin ? = = , |? 5 5 | n1 | ? | n2 | 5

的大小为 ? , 且由题意知 ? 为锐角, 则 cos ? ?| cos ? n1 , n2 ?|?|

即二面角 E-BF-C 的正弦值为

2 5 . 5 x0 ,切线方程为 y0

20.(Ⅰ)设切点坐标为 ( x0 , y0 )( x0 ? 0, y0 ? 0) ,则切线斜率为 ?

y ? y0 ? ?

x0 ( x ? x0 ) ,即 x0 x ? y0 y ? 4 ,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为 y0

1 4 4 8 .由 x02 ? y02 ? 4 ? 2x0 y0 知当且仅当 x0 ? y0 ? 2 时 x0 y0 有最大值,即 S 有最 S? ? ? ? 2 x0 y0 x0 y0
小值,因此点 P 得坐标为 ( 2, 2) , 由题意知

?2 2 y2 ? 2 ? 2 ?1 2 2 2 ? 1. 解得 a ? 1, b ? 2 ,故 C1 方程为 x ? ?a b 2 ?a 2 ? b 2 ? 3a 2 ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 C2 的焦点坐标为 (? 3,0),( 3,0) ,由此 C2 的方程为 由 P( 2, 2) 在 C2 上,得

x2 y2 ? ? 1 ,其中 b1 ? 0 . 3 ? b12 b12

2 2 ? 2 ? 1, 2 3 ? b1 b1
x2 y 2 ? ?1 6 3

解得 b12=3,因此 C2 方程为

显然,l 不是直线 y=0.设 l 的方程为 x=my+ 3 ,点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

? x ? my ? 3 ? 由 ? x2 y 2 ?1 ? ? 3 ?6

得 (m2 ? 2) y2 ? 2 3my ? 3 ? 0 , 又 y1 , y2 是 方 程 的 根 , 因 此

第 99页 ( 共 191页 )

? 2 3m y1 ? y2 ? ? 2 ? ? m ?2 ? ? 3 ?y y ? 1 2 ? m2 ? 2 ?


, 由

x1 ?

m31 ? y,

2

? x 得 32 ? m



? 4 3 x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2 3 ? 2 ? ? m ?2 ? 2 ? x x ? m2 y y ? 3m( y ? y ) ? 3 ? 6 ? 6m 1 2 1 2 1 2 ? m2 ? 2 ?


③ ④

AP ? ( 2 ? x1, 2 ? y1 ), BP ? ( 2 ? x2 , 2 ? y2 ) 由 题 意 知

A ? P

? B0 P , 所 以

x1x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 ? 0
2m2 ? 2 6m ? 4 6 ?11 ? 0 , 解 得 m ?
x?(

⑤ ,将①,②,③,④代入⑤式整理得

3 6 3 6 ?1 , 因 此 直 线 l 的 方 程 为 ?1 或 m ? ? 2 2

3 6 3 6 ? 1) y ? 3 ? 0 ,或 x ? ( ? 1) y ? 3 ? 0 . 2 2

21.(Ⅰ)当 x ? (0,

?

2 ? ) 时, f '( x) ? ?(1 ? sin x)(? ? 2 x) ? 2 x ? cos x ? 0 ,函数 f ( x) 在 (0, ) 上为 2 3 2 8 ? 16 ? ? 0, f ( ) ? ?? 2 ? ? 0 ,所以存在唯一 x0 ? (0, ) ,使 f ( x0 ) ? 0 . 3 2 3 2 3( x ? ? ) cos x 2 ? ? 4 ln(3 ? x), x ? [ , ? ] , 1 ? sin x ? 2

减函数,又 f (0) ? ? ? (Ⅱ)考虑函数 h( x) ? 令 t ? ? ? x ,则 x ? [ 记 u (t ) ? h(? ? t ) ?

?

, ? ] 时, t ? [0, ] , 2 2

?

3t cos t 2 3 f (t ) ? 4 ln(1 ? t ) ,则 u '(t ) ? , 1 ? sin t ? (? ? 2t )(1 ? sin t )

由(Ⅰ)得,当 t ? (0, x0 ) 时, u '(t ) ? 0 ,当 t ? ( x0 ,

?
2

) 时, u '(t ) ? 0 .

在 (0, x0 ) 上 u(t ) 是增函数,又 u (0) ? 0 ,从而当 t ? (0, x0 ] 时, u(t ) ? 0 ,所以 u(t ) 在 (0, x0 ] 上无零 点. 在 ( x0 ,

?

) 上 u(t ) 是减函数, 由 u ( x 0 ) ? 0, u ( ) ? ?4 ln 2 ? 0 , 存在唯一的 t1 ? ( x0 , ) , 使 u(t1) ? 0 . 2 2 2

?

?

所以存在唯一的 t1 ? ( x0 ,

?
2

) 使 u(t1 ) ? 0 .

因此存在唯一的 x1 ? ? ? t1 ? (

?
2

, ? ) ,使 h( x1 ) ? h(? ? t1 ) ? u(t1 ) ? 0 .

第 100页 ( 共 191页 )

因为当 x ? ( 的 x1 ? (

?
2

, ? ) 时, 1 ? sin x ? 0 ,故 g ( x) ? (1 ? sin x )h (x ) 与 h( x) 有相同的零点,所以存在唯一

?
2

, ? ) ,使 g ( x1 ) ? 0 .

因 x1 ? ? ? t1 , t1 ? x0 ,所以 x0 ? x1 ? ? 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用 2B 铅笔 在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.(Ⅰ)因为 PD=PG,所以∠PDG=∠PGD. 由于 PD 为切线,故∠PDA=∠DBA,又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠ EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA. 由于 AF 垂直 EP,所以∠PFA=90°,于是∠BDA=90°,故 AB 是直径. (Ⅱ)连接 BC,DC.

由于 AB 是直径,故∠BDA=∠ACB=90°, 在 Rt△BDA 与 Rt△ACB 中,AB=BA,AC=BD, 从而 Rt△BDA≌Rt△ACB,于是∠DAB=∠CBA. 又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA,故 DC∥AB. 由于 AB ? EP, 所以DC ? EP, ?DCE为直角 于是 ED 是直径,由(Ⅰ)得 ED=AB. 23. (Ⅰ) 设 ( x1 , y1 ) 为圆上的点, 在已知变换下位 C 上点 (x, y) , 依题意, 得?

? x ? x1 由 x12 ? y12 ? 1 y ? 2 y ? 1

2 得 x ? ( ) ? 1 ,即曲线 C 的方程为 x ?
2 2

y 2

? x=cos t y2 ? 1.,故 C 得参数方程为 ? (t 为参数). 4 ? y=2sin t

? 2 y2 ?x ? 1 ?x ? 0 ?1 ?x ? (Ⅱ)由 ? 解得: ? ,或 ? . 4 ?y ? 0 ?y ? 2 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
不妨设 P 1 2 的中点坐标为 ( ,1) ,所求直线的斜率为 k ? 1 (1,0), P 2 (0, 2) ,则线段 PP 为 y ?1 ?

1 2

1 , 于是所求直线方程 2

1 1 (x ? ) , 2 2

化极坐标方程,并整理得
第 101页 ( 共 191页 )

2? cos ? ? 4? sin ? ? ?3 ,即 ? ?
24.(Ⅰ) f ( x) ? ?

3 . 4sin ? ? 2 cos ?

?3x ? 3, x ?[1, ??) ?1 ? x , x ? (??,1)
4 4 ,故 1 ? x ? ; 3 3

当 x ? 1 时,由 f ( x) ? 3x ? 3 ? 1 得 x ?

当 x ? 1 时,由 f ( x) ? 1 ? x ? 1 得 x ? 0 ,故 0 ? x ? 1 ; 所以 f ( x) ? 1 的解集为 M ? {x | 0 ? x ? } . (Ⅱ)由 g ( x) ? 16 x2 ? 8x ? 1 ? 4 得 16( x ? ) ? 4, 解得 ?
2

4 3

1 4

1 3 1 3 ? x ? ,因此 N ? {x | ? ? x ? } ,故 4 4 4 4

M

3 N ? {x | 0 ? x ? }. 4
N 时, f ( x) ? 1 ? x ,于是

当 x?M
2

x f ( x) ? x ?[ f ( x)]2 ? xf ( x)[ x ? f ( x)]
? x ? f ( x) ? x(1 ? x) ? 1 1 1 ? ( x ? )2 ? . 4 2 4

第 102页 ( 共 191页 )

2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标 1 理科数学
注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮搽干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试题上无效. 4. 考试结束,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的一项。 1.已知集合 A={ x | x ? 2 x ? 3 ? 0 },B={ x |-2≤ x <2=,则 A ? B =
2

A .[-2,-1]
2.

B .[-1,2)

C .[-1,1]

D .[1,2)

(1 ? i )3 = (1 ? i ) 2
B .1 ? i

A .1 ? i

C . ?1 ? i

D . ?1 ? i

3.设函数 f ( x ) , g ( x) 的定义域都为 R,且 f ( x ) 时奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结论正确的是

A . f ( x) g ( x) 是偶函数

B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数 D .| f ( x) g ( x) |是奇函数
2 2

C . f ( x) | g ( x) |是奇函数

4.已知 F 是双曲线 C : x ? my ? 3m(m ? 0) 的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为学科 网

A. 3

B .3

C . 3m

D . 3m

5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概 率

A.

1 8

B.

3 8

C.

5 8

D.

7 8

6.如图, 圆 O 的半径为 1, A 是圆上的定点, P 是圆上的动点, 角 x 的始边为射线 OA , 终边为射线 OP ,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M ,将点 M 到直线 OP 的距 离表示为 x 的函数 f ( x ) ,则 y = f ( x ) 在[0, ? ]上的图像大致为

7.执行下图的程序框图,若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3,则输出的 M =
第 103页 ( 共 191页 )

A.

20 3

B.

16 5

C.

7 2

D.

15 8

8.设 ? ? (0,

?

1 ? sin ? ? ) , ? ? (0, ) ,且 tan ? ? ,则 2 2 cos ?

A . 3? ? ? ?
9.不等式组 ?

?
2

B . 2? ? ? ?

?
2

C . 3? ? ? ?

?
2

D . 2? ? ? ?

?
2

?x ? y ? 1 的解集记为 D .有下面四个命题: ?x ? 2 y ? 4

p1 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?2 , p2 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? 2 , P 3 : ?( x, y ) ? D, x ? 2 y ? 3 , p4 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?1 .
其中真命题是

A . p2 , P 3

B . p1 , p4

C . p1 , p2

D . p1 , P 3

10.已知抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的一个焦点, 若 FP ? 4FQ ,则 | QF | =

A.

7 2

B.

5 2

C .3
3

D .2
2

11.已知函数 f ( x ) = ax ? 3x ? 1 ,学科网 若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 >0,则 a 的取值范围为

A .(2,+∞)

B .(-∞,-2)

C .(1,+∞)

D .(-∞,-1)

12.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线

画出的是某多面体的三

第 104页 ( 共 191页 )

视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为

A .6 2

B .4 2

C .6

D .4

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作答。第(22) 题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。 13. ( x ? y)( x ? y)8 的展开式中 x 2 y 2 的系数为 .(用数字填写答案)

14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 .

15.已知 A,B,C 是圆 O 上的三点,若 AO ?

1 ( AB ? AC ) ,则 AB 与 AC 的夹角为 2

.

16.已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, a =2,且

(2 ? b)(sin A ? sin B) ? ( c ? b)sin C ,则 ?ABC 面积的最大值为
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

.

17.(本小题满分 12 分)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn , a1 =1, an ? 0 , an an?1 ? ? Sn ?1,其中 ? 为 常数. (Ⅰ)证明: an? 2 ? an ? ? ; (Ⅱ)是否存在 ? ,使得{ an }为等差数列?并说明理由. 18. (本小题满分 12 分)从某企业的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量 结果得如下频率分布直方图:

第 105页 ( 共 191页 )

(Ⅰ)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s (同一组数据用该区间的中点值作代 表) ; (Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N (?, ? ) ,其中 ? 近似
2

2

为样本平均数 x , ? 近似为样本方差 s 2 .
2

(i)利用该正态分布,求 P(187.8 ? Z ? 212.2) ; (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,学科网记 X 表示这 100 件产品中质量指标值为于区间 (187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求 EX . 附: 150 ≈12.2. 若 Z ~ N (?, ? 2 ) ,则 P( ? ? ? ? Z ? ? ? ? ) =0.6826, P(? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ) =0.9544. 19. (本小题满分 12 分)如图三棱锥 ABC ? A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形, AB ? B1C . (Ⅰ) 证明: AC ? AB1 ; (Ⅱ)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60o , AB=Bc,求二面角 A ? A 1B 1 ? C1 的余弦值.

20. (本小题满分 12 分) 已知点 A (0,-2) , 椭圆 E : 坐标原点. (Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x0 ? ae ln x ?
x

x2 y 2 3 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , F 是椭圆的焦点,直线 AF 的斜率为 ,O 为 2 a b 2 3

be x ?1 ,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) 处的切线为 x

第 106页 ( 共 191页 )

y ? e( x ? 1) ? 2 . (Ⅰ)求 a , b ; (Ⅱ)证明: f ( x) ? 1 .
请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按 所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的 延长线交于点 E,且 CB=CE .(Ⅰ)证明:∠D=∠E;学科网 (Ⅱ) 设 AD 不是⊙O 的直径, AD 的中点为 M, 且 MB=MC, 证明: △ADE 为等边三角形.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为 参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t
o

(Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与最小值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 若 a ? 0, b ? 0 ,且
3 3

1 1 ? ? ab . a b

(Ⅰ) 求 a ? b 的最小值; (Ⅱ)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由.

理科数学试题答案 一、 选择题

(1)A (2)D (3)B (4)A (5)D (6)B (7)D (8)B (9)C (10)C (11)C (12)C 二、填空题 (13)-20 (14)A (15)90° (16) 3 三、解答题 (17)解: (I)由题设, an an?1 ? ? Sn ?1, an?1an?2 ? ? Sn?1 ? 1. 两式相减得

an?1 ( an?2 ? a )? ? a n ?1.
??6 分

由于 an?1 ? 0 ,所以 an?2 ? an ? ?.
第 107页 ( 共 191页 )

(II)由题设, a1 ? 1 , a1a2 ? ? S1 ?1 ,可得 a2 ? ? ? 1. 由(I)知, a3 ? ? ? 1. 令 2a2 ? a1 ? a3 ,解得 ? ? 4. 故 an? 2 ? an ? 4 ,由此可得

?a2n?1? 是首项为 1,公差为 4 的等差数列, a2n?1 ? 4n ? 3 ;
?a2n ? 是首项为 3,公差为 4 的等差数列, a2n ? 4n ?1 .
所以 an ? 2n ? 1, an?1 ? an ? 2 . 因此存在 ? ? 4 ,使得数列 ?an ? 为等差数列. (18)解: (I)抽取产品的质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s 分别为
2

??12 分

x ? 170 ? 0.02 ? 180 ? 0.09 ? 190 ? 0.22 ? 200 ? 0.33
?2 1 0? 0 . 2? 4
=200

22 ?0

0? . 0 8 ?2 3 0

0.02

s2 ? (?30)2 ? 0.02 ? (?20)2 ? 0.09 ? (?10)2 ? 0.22
?0 ? 0 . 3? 3 2 1? 0 ? 150.
(II) (i)由(I)知, Z ~ N (200,150) ,从而
2 0? . 2 42? 2 0 ? 0 . 0 ?8

30

0.02

??6 分

P(187.8 ? Z ? 212.2) =P(200 ?12.2 ? Z ? 200 ? 12.2) ? 0.6826.
(ii)由(i)知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为 0.682 6, 依题意知 X-B(100,0.682 6),所以 EX ? 100 ? 0.6826 ? 68.26. (19)解: (I)连接 BC1 ,交 B1C于点O ,连接 AO,因为侧面 BB1C1C为菱形 ,所以

??9 分

??12 分

B1C ? BC1 , 且O为B1C及BC1的中点.
又 AB ? B1C, 所以B1C ? 平面ABO. 由于AO ? 平面ABO,故B1C ? AO. 又 B1O ? CO, 故AC =AB1. (II)因为 AC ? AB1 , 且O为B1C的中点,所以AO ? CO. 又因为 AB ? BC, 所以?BOA ? ?BOC, 故OA ? OB, 从而OA, OB, OB1两两相互垂直, 以

O为坐标原点, OB的方向为x轴正方向, OB 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O ? xyz.
因为 ?CBB1 ? 60?, 所以?CBB1为等边三角形又 . AB ? BC,则
第 108页 ( 共 191页 )

3 3 A(0, 0, ), B(1, 0, 0), B1 (0, , 0), C (0, ? 3 3 3 3 AB1 ? (0, , ? ), A1B1 ? AB ? (1, 0, ? 3 3

3 , 0). 3 3 3 ), B1C1 ? BC ? (?1, ? , 0), 3 3

设n ? ( x, y, z )是平面AA1 B1的法向量,则 ? 3 3 y ? z =0, ? ? ?n ? AB1 ? 0, ? 3 3 即? ? n ? A B ? 0, ? ? x ? 3 z ? 0. ? 1 1 ? 3 ? 所以可取n ? (1, 3, 3).

? ?m ? A1B1 ? 0, 设m是平面A1B1C1的法向量,则 ? ? ?m ? B1C1 ? 0, 同理可取m ? (1, ? 3, 3).
c o sn m , ?


n?m 1 ? n m 7

.
??12 分

1 所以二面角A ? A1 B 1? C 的余弦值为 . 1 7

(20)解:

2 2 3 (I)设F (c, 0),由条件知, = ,得c = 3. c 3 c 3 又 ? , 所以a=2, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1. a 2 x2 故E的方程为 ? y 2 ? 1. 4
??5 分

(II)当? ? x轴时不合题意,故设? : y =kx ? 2, P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ). 将y ? kx ? 2代入 x2 ? y 2 ? 1得 4

(1 ? 4k 2 ) x2 ?16kx ? 12 ? 0.

第 109页 ( 共 191页 )

3 8k ? 2 4 k 2 ? 3 当? =16(4k 2 ? 3) ? 0, 即k 2 ? 时,x1,2 ? . 4 4k 2 ? 1 4 k 2 ? 1 ? 4k 2 ? 3 . 4k 2 ? 1 2 又点O到直线PQ的距离d ? .所以?OPQ的面积 k 2 ?1 从而 PQ ? k 2 ? 1 x1 ? x2 ?

1 4 4k 2 ? 3 S?OPQ = d ? PQ ? . 2 4k 2 ? 1
设 4k 2 ? 3 ? t , 则t ? 0, S ?OPQ ? 4t 4 ? . t ?4 t? 4 t
2

??9 分

因为t ?

4 7 ? 4, 当且仅当t ? 2,即k ? ? 时等号成立,且满足? ? 0. t 2 所以,当?OPQ的面积最大时,?的方程为 y? 7 7 x ? 2或y ? ? x?2 2 2
??12 分

(21)解:

a b b (I)函数f ( x)的定义域为(0,+?),f '( x) ? ae x1nx ? e x ? 2 e x ?1 ? e x ?1. x x x 由题意可得f (1) ? 2, f '(1) ? e. 故a ? 1, b ? 2.
2 2 (II)由(I)知f ( x) ? e x1n ? e x ?1 , 从而f ( x) ? 1等价于x1nx ? xe ? x ? . x e 设函数g ( x) ? x1nx, 则g '( x) ? 1nx.
1 1 所以当x ? (0, )时,g '( x) ? 0; 当x ? ( , ??)时,g '( x) ? 0. e e

??5 分

1 1 故g ( x)在(0, )单调递减,在( , ??)单调递增,从而g ( x)在(0,?)的最小值为 e e 1 1 g( )=- . e e
??8 分

第 110页 ( 共 191页 )

2 设函数h( x) ? xe ? x ? , 则h '( x) ? e ? x (1 ? x). e 所以当x ? (0,1)时h '( x) ? 0; 当x ? (1, ??)时,h '( x) ? 0.故h( x)在(0,1)单调递增, 1 在(1,+?)单调递减,从而h( x)在(0, ?)的最大值为h(1) ? ? . e 综上,当x ? 0时,g ( x) ? h( x), 即f ( x) ? 1.
??12 分 (22)解: (I)由题设知 A, B, C, D四点共圆,所以?D=?CBE,由已知得?CBE=?E,故?D ? ?E。

??5 分

(II)设BC的中点为N,链接MN,则由MB ? MC知MN ? BC,故O在直线MN 上 又AD不是 O的直径,M 为AD的中点,故OM ? AD,即MN ? AD. 所以AD BC,故?A ? ?CBE. 又?CBE ? ?E,故?A ? ?E ,由(I)知,?D ? ?E , 所以?ADE为等边三角形.
??10 分 (23)解:

? x ? 2 cos ? . (I)曲线C的参数方程为 ? (? 为参数). ? y ? 3sin ? . 直线l的普通方程为2x ? y ? 6 ? 0.
??5 分

(II)曲线C上任意一点P(2cos? .3sin? )到l的距离为 d? 5 4cos ? ? 3sin ? ? 6 . 5
d 2 5 4 ? 5sin(? ? ? ) ? 6 , 其中? 为锐角,且 tan ? ? . sin 30? 5 3 22 5 . 5 2 5 . 5
??10 分 (24)解: (I)由 ab ?

则 PA ?

当sin(? +? )=-1时, PA 取得最大值,最大值为 当 sin(? ? ? ) ? 1时, PA 取得最小值,最小值为

1 1 2 3 3 ? ? ,得 ab ? 2 ,且当 a ? b ? 2 时取等号.故 a ? b ? 2 a3b3 ? 4 2 , a b ab
3

且当 a ? b ? 2 时取等号.所以 a

? b3 的最小值为 4 2 .
第 111页 ( 共 191页 )

??5 分

(II)由(I)知, 2a ? 3b ? 2 6 ab ? 4 3 .由于 4 3 ? 6 ,从而不存在 a, b ,使得 2a ? 3b ? 6 . ??10 分

第 112页 ( 共 191页 )

2014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科(新课标卷二Ⅱ)
第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,学科网只有一项是符合题 目要求的. 1.设集合 M={0,1,2} ,N= ?x | x2 ? 3x ? 2≤0? ,则 M ? N =( A. {1} B. {2} C. {0,1} ) D. {1,2} )

2.设复数 z1 , z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,zxxk z1 ? 2 ? i ,则 z1 z2 ? ( A. - 5 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i 3.设向量 a,b 满足|a+b|= 10 ,|a-b|= 6 ,则 a ? b = ( A. 1 B. 2 C. 3 ) D. 5 ) D. 1

4.钝角三角形 ABC 的面积是 1 ,AB=1,BC= 2 ,则 AC=( A. 5

2

B.

5

C. 2

5.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良学科网的概率是 0.75,连续两为优良的概率 是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概 率是( ) A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 6.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm),图中粗线画出的是 某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛 坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) A.

17 27

B. 5

9

C. 10

27

D.

1 3


7.执行右图程序框图,如果输入的 x,t 均为 2,则输出的 S= ( A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8.设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a= A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

? x ? y ? 7≤0 ? 9.设 x,y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1≤0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?3 x ? y ? 5≥0 ?



A. 10 B. 8 C. 3 D. 2 2 10.设 F 为抛物线 C: y ? 3x 的焦点, 过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( ) A.

3 3 4

B.

9 3 8

C.

63 32

D. 9

4

11.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1, 则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( ) A.

1 10

B. 2

5

C.

30 10

D.

第 113页 ( 共 191页 )

2 12.设函数 f ? x ? ? 3 sin ? x .若存在 f ? x ? 的极值点 x0 满足 x0 2 ? ? ? f ? x0 ? ? ? ? m ,则 m 的取值范围 m 2

2 2

是( A.

? ??, ?6? ? ? 6, ?? D. ? ??, ?1? ? ? 4, ??
第Ⅱ卷



B.

? ??, ?4? ? ? 4, ??

C.

? ??, ?2? ? ? 2, ??

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,学科网每个试题考生必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题 13. ? x ? a ? 的展开式中, x 7 的系数为 15,则 a=________.(用数字填写答案)
10

14.函数 f ? x ? ? sin ? x ? 2? ? ? 2sin ? cos ? x ? ? ? 的最大值为_________.

15.已知偶函数 f ? x ? 在 ?0, ??? 单调递减, f ? 2? ? 0 .若 f ? x ?1? ? 0 ,则 x 的取值范围是__________. 16.设点 M( x0 ,1) ,若在圆 O: x 2 ? y 2 ? 1上存在点 N,使得 zxxk∠OMN=45°,则 x0 的取值范围是 ________. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 =1, an?1 ? 3an ? 1 . (Ⅰ)证明 an ? 1 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式;

?

2

?

(Ⅱ)证明: 1 ? 1 ? …+ 1 ? 3 .

a1

a2

an

2

18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面 AEC; (Ⅱ)设二面角 D-AE-C 为 60°,AP=1,AD= 3 ,求三棱锥 E-ACD 的体积.

19. (本小题满分 12 分) 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份 1 2 3 4 5 6 7 年份代号 t 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 人均纯收入 y (Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,

第 114页 ( 共 191页 )

并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

b?

?

? ? t ? t ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

? ?t ? t ?
i ?1 i

n

2

? ? ? y ? bt ,a

20. (本小题满分 12 分)
2 x2 ? y ? 1? a ? b ? 0? 的左,右焦点,M 是 C 上一点且 MF 与 x 轴垂直,直线 设F , 分别是椭圆 C: F 1 2 2 2 2

a

b

MF1 与 C 的另一个交点为 N.
(Ⅰ)若直线 MN 的斜率为 3 ,求 C 的离心率;

4

(Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN ? 5 F1N ,求 a,b. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? = e x ? e ? x ? 2 x zxxk (Ⅰ)讨论 f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)设 g ? x ? ? f ? 2x ? ? 4bf ? x ? ,当 x ? 0 时, g ? x ? ? 0 ,求 b 的最大值; (Ⅲ)已知 1.4142 ?

2 ? 1.4143 ,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001)

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,学科网同按所做的第一题计分,做答时请写清 题号. 22.(本小题满分 10)选修 4—1:几何证明选讲 如图,P 是 O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与 O 相 交于点 B,C,PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线交 O 于点 E.证明: (Ⅰ)BE=EC; (Ⅱ)AD ? DE=2 PB 2

23. (本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? ,

? ? .zxxk ? ?? ?0, ?
? 2?
(Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)

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