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高考数学一轮复习:第8章 解析几何 第1讲


第八章
A组
一、选择题

第一讲
基础巩固
)

1.直线 l:xsin30° +ycos150° +1=0 的斜率是 ( A. 3 3 B. 3 D.- 3 3

C.- 3 [答案] A [解析] 设直线 l 的斜率为 k,则 k=-

sin30° 3

= . cos150° 3

2.在等腰三角形 AOB 中,AO=AB,点 O(0,0),A(1,3),点 B 在 x 轴的正半轴上,则直线 AB 的方程为 ( ) B.y-1=-3(x-3) D.y-3=-3(x-1)

A.y-1=3(x-3) C.y-3=3(x-1) [答案] D

[解析] 因为 AO=AB,所以直线 AB 的斜率与直线 AO 的斜率互为相反数,所以 kAB=- kOA=-3,所以直线 AB 的点斜式方程为:y-3=-3(x-1). 3.已知直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a 的值是 ( A.1 C.-2 或-1 [答案] D [解析] 由题意可知 a≠0.当 x=0 时,y=a+2. a+2 当 y=0 时,x= . a ∴ a+2 =a+2, a B.-1 D.-2 或 1 )

解得 a=-2 或 a=1. x y x y 4.两条直线 l1: - =1 和 l2: - =1 在同一直角坐标系中的图象可以是 ( a b b a )

-1-

[答案] A [解析] 取特殊值法或排除法,可知 A 正确. π 5. 函数 y=asinx-bcosx 的一条对称轴为 x= , 则直线 l: ax-by+c=0 的倾斜角为 ( 4 A.45° C.120° [答案] D π π [解析] 由函数 y=f(x)=asinx-bcosx 的一条对称轴为 x= 知,f(0)=f( ),即-b=a,∴ 4 2 直线 l 的斜率为-1,∴倾斜角为 135° . 6. 直线 l 经过点 A(1,2), 在 x 轴上的截距的取值范围是(-3,3), 则其斜率的取值范围是( 1 A.-1<k< 5 1 C.k> 或 k<1 5 [答案] D [解析] 设直线的斜率为 k,则直线方程为 y-2=k(x-1),令 y=0,得直线 l 在 x 轴上的 2 2 1 截距为 1- ,则-3<1- <3,解得 k> 或 k<-1. k k 2 1 B.k>1 或 k< 2 1 D.k> 或 k<-1 2 ) B.60° D.135° )

二、填空题 π π 2π 7 .若直线 l 的斜率为 k ,倾斜角为 α ,而 α∈[ , ]∪[ , π) ,则 k 的取值范围是 6 4 3 ____________________. [答案] [- 3,0)∪[ 3 ,1] 3

π π 2π [解析] ∵k=tanα,α∈[ , ]∪[ ,π) 6 4 3 ∴- 3≤k<0 或 3 ≤k≤1. 3
-2-

8 . 若 ab > 0 , 且 A(a,0) , B(0 , b) , C( - 2 , - 2) 三 点 共 线 , 则 ab 的 最 小 值 为 ____________________. [答案] 16 x y [解析] 根据 A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为 + =1,又 C(-2,-2)在该直线上,故 a b -2 -2 + =1,所以-2(a+b)=ab.又 ab>0,故 a<0,b<0. a b 根据基本不等式 ab=-2(a+b)≥4 ab,从而 ab≤0(舍去)或 ab≥4,故 ab≥16,当且仅当 a =b=-4 时取等号.即 ab 的最小值为 16. 9 .设点 A( - 1,0) , B(1,0),直线 2x + y - b = 0 与线段 AB 相交,则 b 的取值范围是 ____________________. [答案] [-2,2] [解析] b 为直线 y=-2x+b 在 y 轴上的截距,如图,当直线 y=- 2x+b 过点 A(-1,0)和点 B(1,0)时,b 分别取得最小值和最大值. ∴b 的取值范围是[-2,2]. 10.一条直线经过点 A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面 积为 1,则此直线的方程为____________________. [答案] x+2y-2=0 或 2x+y+2=0 [解析] 设直线的斜率为 k(k≠0), 则直线方程为 y-2=k(x+2), 由 x=0 知 y=2k+2. -2k-2 由 y=0 知 x= . k -2k-2 1 由 |2k+2|| |=1. 2 k 1 得 k=- 或 k=-2. 2 故直线方程为 x+2y-2=0 或 2x+y+2=0.

三、解答题 11.已知直线 l 过点 M(2,1),且与 x 轴、y 轴的正半轴分别相交于 A、B 两点,O 为坐标 → → 原点,求当|MA|· |MB|取得最小值时,直线 l 的方程. [答案] x+y-3=0 [解析] 设 A(a,0),B(0,b),则 a>0,b>0, x y 2 1 直线 l 的方程为 + =1,所以 + =1. a b a b

-3-

→ → → → 故|MA|· |MB|=-MA· MB=-(a-2,-1)· (-2,b-1)=2(a-2)+b-1=2a+b-5=(2a+ 2 1 2b 2a b)( + )-5= + ≥4,当且仅当 a=b=3 时取等号, a b a b 此时直线 l 的方程为 x+y-3=0. 12.如图,射线 OA、OB 分别与 x 轴正半轴成 45° 和 30° 角,过点 P(1,0)作直线 AB 分别交 OA、OB 于 A、B 两点,当 AB 的中点 C 恰好 1 落在直线 y= x 上时,求直线 AB 的方程. 2 [答案] (3+ 3x-2y-3- 3=0 [解析] 由题意可得 kOA=tan45° =1, kOB=tan(180° -30° )=- 所以直线 lOA:y=x,lOB:y=- 设 A(m,m),B(- 3n,n), m- 3n m+n 所以 AB 的中点 C( , ), 2 2 m+n 1 m- 3n ? = · , ? 2 2 2 1 由点 C 在直线 y= x 上,且 A、P、B 三点共线得? 2 m-0 n-0 = , ? m - 1 ? - 3n-1 解得 m= 3,所以 A( 3, 3). 又 P(1,0),所以 kAB=kAP= 3+ 3 所以 lAB:y= (x-1), 2 即直线 AB 的方程为(3+ 3)x-2y-3- 3=0. 3+ 3 3 = , 2 3-1 3 x. 3 3 , 3

B组

能力提升

π 1.(原创题)已知直线 l 过点 O(0,0)和点 P( 2cosα, 2sinα-4),其中 α≠kπ+ ,k∈Z,则 2 直线 l 的斜率的取值范围为 ( A.[- 7, 7] C.(- 7, 7) [答案] B [解析] 动点 P 的轨迹为圆 C:x2+(y+4)2=2,但应除去圆与 y 轴的两个交点.当直线 l 与圆 C 相切时,设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y=kx,由圆心 C(0,-4)到直线 l 的
-4-

) B.(-∞,- 7]∪( 7,+∞) D.(-∞,- 7)∪( 7,+∞)

距离等于半径 2,得

4 = 2,解得 k=± 7.利用数形结合,得直线 l 的斜率的取值范围 k +1
2

为(-∞,- 7]∪[ 7,+∞). 2.已知两直线的方程分别为 l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0, 它们在坐标系中的位置如图所示,那么 ( A.b>0,d<0,a<c C.b<0,d>0,a>c [答案] C ) B.b>0,d<0,a>c D.b<0,d>0,a<c

[解析]

?-a>0, 1 b 由题意知 l :y=- x- ,则? a a b ?-a<0,
1

1

? ?a<0, 所以? ?b<0. ?

?-c>0, 1 d 由题意知 l :y=- x- ,则? c c d ?-c>0,
2

1

? ?c<0, 所以? ?d>0. ?

?x+ay+b=0, ? 由? 得(a-c)y=d-b. ?x+cy+d=0, ?

d-b 因为直线 l1 与 l2 的交点在第一象限,所以 y= >0,又 d-b>0,所以 a-c>0,即 a a-c >c,故选 C. 3.经过 P(0,-1)作直线 l,若直线 l 与连接 A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点,则直 线 l 的斜率 k 和倾斜角 α 的取值范围分别为____________________,____________________. π 3π [答案] [-1,1] [0, ]∪[ ,π) 4 4 [解析] 如图所示,结合图形:为使 l 与线段 AB 总有公共点,则 kPA≤k≤kPB,而 kPB>0,kPA<0,故 k<0 时,倾斜角 α 为钝角,k=0 时,α =0,k>0 时,α 为锐角. 又 kPA= kPB= -2-?-1? =-1, 1-0

-1-1 =1, 0-2

∴-1≤k≤1. π 3π 又当 0≤k≤1 时,0≤α≤ ;当-1≤k<0 时, ≤α<π. 4 4 π 3π 故倾斜角 α 的取值范围为 α∈[0, ]∪[ ,π). 4 4 4.设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
-5-

(1)若 l 在两坐标轴上截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围. [答案] (1)3x+y=0 或 x+y+2=0 (2)a≤-1

[解析] (1)当直线过原点时,在 x 轴和 y 轴上的截距为零. ∴a=2,方程即为 3x+y=0. 当直线不过原点时,a≠2,由截距存在且均不为 0, ∴ a-2 =a-2,即 a+1=1. a+1

∴a=0,方程即为 x+y+2=0. 因此直线 l 的方程为 3x+y=0 或 x+y+2=0. (2)将 l 的方程化为 y=-(a+1)x+a-2,
? , ?-?a+1? ≥0 ∴? ∴a≤-1. ?a-2≤0. ?

综上可知 a 的取值范围是 a≤-1. 5.在△ABC 中,已知 A(1,1),AC 边上的高线所在直线方程为 x-2y=0,AB 边上的高线 所在直线方程为 3x+2y-3=0.求 BC 边所在直线方程. [答案] 2x+5y+9=0 2 [解析] kAC=-2,kAB= . 3 ∴AC:y-1=-2(x-1),即 2x+y-3=0, 2 AB:y-1= (x-1),即 2x-3y+1=0. 3
?2x+y-3=0, ? 由? 得 C(3,-3). ? ?3x+2y-3=0, ? ?2x-3y+1=0, 由? 得 B(-2,-1). ?x-2y=0, ?

∴BC:2x+5y+9=0.

-6-


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