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2014高考理科数学湖北卷


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(理科) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。

1. i 为虚数单位,则 ( A. ? 1 B. 1

1? i 2 ) ?( 1? i
C. ? i

) D. i

r />
1 的系数是 84,则实数 a ? ( ) x3 2 A.2 B. 5 4 C. 1 D. 4 U 3. 设 为全集, A, B 是集合,则“存在集合 C 使得 A ? C, B ? CU C 是“ A ? B ? ? ”的(
2. 若二项式 (2 x ? ) 的展开式中
7

a x



A. 充分而不必要条件 C. 充要条件

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4.根据如下样本数据 x 3 4 y 4.0 2.5 ? ? bx ? a ,则( 得到的回归方程为 y A. a ? 0, b ? 0 B. a ? 0, b ? 0

5
? 0 .5

6 0.5

7
? 2 .0

8
? 3 .0

) C. a ? 0, b ? 0 D. a ? 0.b ? 0 )

5.在如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2) , (2,2,0) , (1,2,1) , (2,2,2) ,给出编号①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为(

A. ①和② 三组函数:

B.③和①

C. ④和③

6.若函数 f ( x), g ( x)满足 ① f ( x) ? sin A.0 B.1

?

1 ?1

f ( x) g ( x)dx ? 0, 则称 f ( x), g ( x)为区间?? 1,1? 上的一组正交函数,给出

D.④和②

1 1 x, g ( x) ? cos x ;② f ( x) ? x ? 1, g ( x) ? x ? 1 ;③ f ( x) ? x, g ( x) ? x 2 2 2 其中为区间 [ ?1,1] 的正交函数的组数是( )
C.2 D.3

?x ? 0 ?x ? y ? 1 ? 7.由不等式 ? y ? 0 确定的平面区域记为 ?1 ,不等式 ? ,确定的平面区域记为 ? 2 , x ? y ? ? 2 ? ?y ? x ? 2 ? 0 ?
在 ?1 中随机取一点,则该点恰好在 ? 2 内的概率为( A. )

1 8

B.

1 4

C.

3 4

D.

7 8

8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学 典籍,其中记载有求“盖”的术:置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一. 该术相当于给出了有圆锥的底面周长 L 与高 h , 计算其体积 V 的近似公式 v ? 锥体积公式中的圆周率 ? 近似取为 3.那么近似公式 v ? ( ) B.

1 2 L h. 它实际上是将圆 36

2 2 L h 相当于将圆锥体积公式中的 ? 近似取为 75

22 A. 7

25 8

C.

157 50

D.

355 113

9.已知 F1 , F2 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是他们的一个公共点,且 ?F1 PF2 ? 的离心率的倒数之和的最大值为( A. )

?
3

,则椭圆和双曲线

4 3 3

B.

2 3 3

C.3

D.2

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案天灾答题卡对 应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11—14 题) 11.设向量 a ? (3,3) , b ? (1, ?1) ,若 a ? ? b ? a ? ? b ,则实数 ? ? ________. 12. 直 线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将 单 位 圆 C : x2 ? y 2 ? 1 分 成 长 度 相 等 的 四 段 弧 , 则

?

? ?

?

a 2 ? b 2 ? ________. 13.设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数.将组成 a 的 3 个数字按从小到大排成的三位 数记为 I ? a ? ,按从大到小排成的三位数记为 D ? a ? (例如 a ? 815 ,则 I ? a ? ? 158 , D ? a ? ? 851 ). 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,任意输入一个 a ,输出的结果 b ? ________.
14.设 f ?x ? 是定义在 ?0,??? 上的函数, 且 f ?x ? ? 0 , 对任意 a ? 0, b ? 0 , 若经过点 ?a, f ?a ??, ?b, f ?b??

的直线与 x 轴的交点为 ?c,0? ,则称 c 为 a , b 关于函数 f ?x ? 的平均数,记为 M f (a, b) ,例如,当

a?b ,即 M f (a, b) 为 a , b 的算术平均数. 2 (1)当 f ?x ? ? _____( x ? 0) 时, M f (a, b) 为 a , b 的几何平均数;

f ?x? ? 1( x ? 0) 时,可得 M f (a, b) ? c ?

(2)当当 f ?x ? ? _____( x ? 0) 时, M f (a, b) 为 a , b 的调和平均数 (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)

2 ab ; a?b

(二)选考题 15.(选修 4-1:几何证明选讲) 如图, P 为⊙ O 的两条切线,切点分别为 A, B ,过 PA 的中点 Q 作割线交⊙ O 于 C , D 两点,若

QC ? 1, CD ? 3, 则 PB ? _____

16.(选修 4-4:坐标系与参数方程)

?x ? t ? 已知曲线 C1 的参数方程是 ? 3t ?t为参数? ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐 ?y ? 3 ? 标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ? ? 2 ,则 C1 与 C2 交点的直角坐标为________

17、 (本小题满分 11 分) 某实验室一天的温度(单位: (1) 求实验室这一天的最大温差; (2) 若要求实验室温度不高于

) 随 时 间 ( 单 位 ;h ) 的 变 化 近 似 满 足 函 数 关 系 ;

,则在哪段时间实验室需要降温?

18(本小题满分 12 分) 已知等差数列 满足: =2,且 , (1) 求数列 的通项公式.

成等比数列.

(2) 记 为数列 的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 值;若不存在,说明理由.

若存在,求 n 的最小

19(本小题满分12分) 如图,在棱长为2的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E, F , M , N 分别是棱 AB, AD, A1B1 , A1D1 的 中点,点 P, Q 分别在棱 DD1 , BB1 上移动,且 DP ? BQ ? ? ?0 ? ? ? 2? . (1)当 ? ? 1 时,证明:直线 BC1 平面 EFPQ; (2)是否存在 ? ,使平面 EFPQ与面 PQMN 所成的二面角?若存在,求出 ? 的值;若不 存在,说明理由.

20.(本小题满分 12 分) 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站,过去 50 年的水文资料显示,水库年入流量 X (年 入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在 40 以上.其中,不足 80 的年份有 10 年,不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年,超过 120 的年份有 5 年.将年入流量在以上三段的频率作 为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立. (1)求未来 4 年中,至多 1 年的年入流量超过 120 的概率; (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行, 但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制, 并有如下 关系;

若某台发电机运行,则该台年利润为 5000 万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损 800 万元,欲使 水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台? 21.(满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F ?1,0 ? 的距离比它到 y 轴的距离多 1,记点 M 的轨迹为 C. (1)求轨迹为 C 的方程

(2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 p ? ?2,1? ,求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点,两个公共点,三个公 共点时 k 的相应取值范围。


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