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04-06年福建卷文科数学(含答案)


2004 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)
数学(文史类) 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B={2,3,5},则 (A∩B)等于( ) A.{1,2,4} B.{4} C.{3,5}

D. 2. tan 15 ? ? cot 15 ? 的值是 ( ) A.2 B.2+ 3 C.4 D.

4 3 3

3.命题 p:若 a、b∈R,则|a|+|b|>1 是|a+b|>1 的充要条件; 命题 q:函数 y= | x ? 1 | ?2 的定义域是(-∞,-1 ] ∪[3,+∞ ) .则 A. “p 或 q”为假 C.p 真 q 假 B. “p 且 q”为真 D.p 假 q 真 ( )

4.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点,若△ ABF2 是正三角形,则这个椭圆的离心率是 A. 2
3

( C. 2
2


2

B. 3
3

D. 3

5.设 Sn 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若 A.1 B.-1

a5 5 S ? ,则 9 ? a3 9 S5
C.2 D.





1 2


6.已知 m、n 是不重合的直线,α 、β 是不重合的平面,有下列命题: (

①若 m ? α ,n∥α ,则 m∥n; ②若 m∥α ,m∥β ,则α ∥β ; ③若α ∩β =n,m∥n,则 m∥α 且 m∥β ;④若 m⊥α ,m⊥β ,则α ∥β . 其中真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 —1 —1 7.已知函数 y=log2x 的反函数是 y=f (x),则函数 y= f (1-x)的图象是





8.已知 a、b 是非零向量且满足(a-2b) ⊥a,(b-2a) ⊥b,则 a 与 b 的夹角是 (
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A.

?
6

B.

?
3

C.

2? 3

D.

5? 6

9.已知 ( x ?

a 8 ) 展开式中常数项为 1120,其中实数 a 是常数,则展开式中各项系数的和是 x
( )
8 8

A.2 B.3 C.1 或 3 10.如图,A、B、C 是表面积为 48π 的球面上三点, AB=2,BC=4,∠ABC=60?,O 为球心,则直线 OA 与截面 ABC 所成的角是( ) A.arcsin 3
6

8

D.1 或 2

8

B.arccos 3
6

C.arcsin

3 3

D.arccos 3
3

11 .定义在 R 上的偶函数 f(x) 满足 f(x)=f(x+2) ,当 x ∈ [3 , 4] 时, f(x)= x - 2 ,则 ( ) A.f(sin

1 1 )<f(cos ) 2 2

C.f(sin1)<f(cos1)

? ? )>f(cos ) 3 3 3 3 D.f(sin )>f(cos ) 2 2
B.f(sin

12.如图,B 地在 A 地的正东方向 4 km 处,C 地在 B 地的北偏东 30°方向 2 km 处,河流 的沿岸 PQ(曲线)上任意一点到 A 的距离 比到 B 的距离远 2km,现要在曲线 PQ 上任 意选一处 M 建一座码头,向 B、C 两地转运 货物,经测算,从 M 到 B、C 两地修建公路 的费用都是 a 万元/km、那么修建这两条公路 的总费用最低是( ) A.( 7 +1)a 万元 C.2 7 a 万元 B.(2 7 -2) a 万元 D.( 7 -1) a 万元

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置. 2 2 13.直线 x+2y=0 被曲线 x +y -6x-2y-15=0 所截得的弦长等于 .

?1 x ? 1( x ? 0), ? ?2 若f (a) ? a. 则实数 a 的取值范围是 14.设函数 f ( x) ? ? 1 ? ( x ? 0). ? ?x

.

15.一个总体中有 100 个个体,随机编号 0,1,2,?,99,依编号顺序平均分成 10 个小 组,组号依次为 1,2,3,?,10.现用系统抽样方法抽取一个容量为 10 的样本,规定 如果在第 1 组随机抽取的号码为 m,那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 m+k 的个位 数字相同,若 m=6,则在第 7 组中抽取的号码是 .
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16.图 1,将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起, 做成一个无盖的正六棱柱容器 (图 2) .当这个正六棱柱容器的底面边长为 时, 其容积最大.

图1 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=a·b,其中向量 a=(2cosx,1),b=(cosx, 3 sin2x),x∈R.

? ],求 x; 3 3 ? (Ⅱ)若函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m,n)(|m|< )平移后得到函数 y=f(x)的图象, 2
(Ⅰ)若 f(x)=1- 3 且 x∈[- , 求实数 m、n 的值.

?

18. (本小题满分 12 分) 甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的 10 道试题中,甲能答对其中的 6 题, 乙能答对其中的 8 题.规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试,至少答对 2 题才 算合格. (Ⅰ)分别求甲、乙两人考试合格的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.

19. (本小题满分 12 分) 在三棱锥 S—ABC 中, △ABC 是边长为 4 的正三角形, 平面 SAC⊥平面 ABC, SA=SC=2 2 ,

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M 为 AB 的中点. (Ⅰ)证明:AC⊥SB; (Ⅱ)求二面角 N—CM—B 的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 SCM 的距离.

20. (本小题满分 12 分) 某企业 2003 年的纯利润为 500 万元, 因设备老化等原因, 企业的生产能力将逐年下降. 若不能进行技术改造,预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元,今年初该企业一次 性投入资金 600 万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的情况下,第 n 年(今年为 第一年)的利润为 500(1+

1 )万元(n 为正整数). 2n

(Ⅰ)设从今年起的前 n 年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An 万元,进行 技术改造后的累计纯利润为 Bn 万元(须扣除技术改造资金) ,求 An、Bn 的表达式; (Ⅱ)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不 进行技术改造的累计纯利润?

21. (本小题满分 12 分) 如图,P 是抛物线 C:y=

1 2 x 上一点,直线 l 过点 P 并与抛物线 C 在点 P 的切线垂直,l 2

与抛物线 C 相交于另一点 Q. (Ⅰ)当点 P 的横坐标为 2 时,求直线 l 的方程; (Ⅱ)当点 P 在抛物线 C 上移动时,求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程,并求点 M 到 x 轴的 最短距离.

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22. (本小题满分 14 分) 已知 f(x)= 4 x ? ax ?
2

2 3 x ( x ? R ) 在区间[-1,1]上是增函数. 3 1 3 x 的两个非零实根为 x1、x2.试问:是否存在实数 m, 3

(Ⅰ)求实数 a 的值组成的集合 A; (Ⅱ)设关于 x 的方程 f(x)= 2 x ?
2

使得不等式 m +tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立?若存在,求 m 的取值范围; 若不存在,请说明理由.

2004 年普通高等学校招生全国统一考试 数学答案(文史类) (福建卷) 一、1.A 2.C 3.D 4.B 5.A 6.B 7.C 8.B 9.C 14.(-∞,-1) 15.63 10.D 11.C 12.B

二、13.4 5

16.2/3

三、 17. 本小题主要考查平面向量的概念和计算,三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技 能,考查运算能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)依题设,f(x)=2cos x+ 3 sin2x=1+2sin(2x+
2

? ). 6

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由 1+2sin(2x+

?
6

)=1- 3 ,得 sin(2x+

? 3 )=- . 6 2

? ? ? ? 5? ? ? ≤x≤ ,∴- ≤2x+ ≤ ,∴2x+ =- , 3 3 2 6 6 3 6 ? 即 x=- . 4
∵- (Ⅱ) 函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m, n)平移后得到函数 y=2sin2(x-m)+n 的图象, 即函数 y=f(x)的图象. 由(Ⅰ)得 f(x)=2sin2(x+

? )+1. 12

∵|m|<

? ? ,∴m=- ,n=1. 2 12

18.本小题主要考查概率统计的基础知识,运用数学知识解决问题的能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A、B,则 P(A)=
2 1 3 C6 C 4 ? C6 60 ? 20 2 = = , 3 3 120 C10

P(B)=

1 3 C82 C2 ? C8 56 ? 56 14 = = . 3 120 15 C10

答:甲、乙两人考试合格的概率分别为

2 14 和 . 3 15

(Ⅱ)解法一、因为事件 A、B 相互独立,所以甲、乙两人考试均不合格的概率为 P( A ? B )=P( A )P( B )=(1-

2 14 1 )(1- )= . 3 15 45

∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P=1-P( A ? B )=1-

1 44 = . 45 45 44 . 45

答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为

解法二:因为事件 A、B 相互独立,所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P=P(A· B )+P( A ·B)+P(A·B)=P(A)P( B )+P( A )P(B)+P(A)P(B) =

2 1 1 14 2 14 44 × + × + × = . 3 15 3 15 3 15 45 44 . 45

答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为

19.本小题主要考查直线与直线,直线与平面,二面角,点到平面的距离等基础知识,考查 空间想象能力和逻辑推理能力.满分 12 分. 解法一: (Ⅰ)取 AC 中点 D,连结 DS、DB. ∵SA=SC,BA=BC, ∴AC⊥SD 且 AC⊥DB, ∴AC⊥平面 SDB,又 SB ? 平面 SDB, ∴AC⊥SB. (Ⅱ)∵SD⊥AC,平面 SAC⊥平面 ABC, ∴SD⊥平面 ABC. 过 D 作 DE⊥CM 于 E,连结 SE,则 SE⊥CM,
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∴∠SED 为二面角 S-CM-A 的平面角.

1 AM ,所以 DE=1,又 SA=SC=2 2 ,AC=4,∴SD=2. ? 2 SD 在 Rt△SDE 中,tan∠SED= =2, DE
由已知有 DE // ∴二面角 S-CM—A 的大小为 arctan2. (Ⅲ)在 Rt△SDE 中,SE= SD2 ? DE 2 ? 5 ,CM 是边长为 4 正△ABC 的中线,

CM ? 2 3 .

∴S△SCM=

1 1 CM·SE= ? 2 3 ? 5 ? 15 , 2 2 1 1 S△SCM·h= S△CMB·SD, 3 3

设点 B 到平面 SCM 的距离为 h, 由 VB-SCM=VS-CMB,SD⊥平面 ABC, 得

∴h=

S ?CMB ? SD 4 5 4 5 . ? . 即点 B 到平面 SCM 的距离为 5 S ?SCM 5

解法二: (Ⅰ)取 AC 中点 O,连结 OS、OB. ∵SA=SC,BA=BC, ∴AC⊥SO 且 AC⊥BO. ∵平面 SAC⊥平面 ABC,平面 SAC∩平面 ABC=AC ∴SO⊥面 ABC,∴SO⊥BO. 如图所示建立空间直角坐标系 O-xyz. 则 A(2,0,0) ,C(-2,0,0) , S(0,0,2) ,B(0,2 3 ,0). ∴ AC =(-4,0,0) , BS =(0,-2 3 ,2) , ∵ AC · BS =(-4,0,0) · (0,-2 3 ,2)=0, ∴AC⊥BS. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 M(1, 3 ,0) , CM ? (3, 3,0) ,

CS =(2,0,2).


设 n=(x,y,z)为平面 SCM 的一个法向量,

? ?n ? CM ? 3x ? 3 y ? 0 ? ? ?n ? CS ? 2 x ? 2 z ? 0,

取x ? ?1, 则y ? 3, z ? 1,

∴n=(-1, 3 ,1), 又 OS =(0,0,2)为平面 ABC 的一个法向量, ∴cos(n, OS )=

n ? OS | n | ? | OS |

=

5 . 5

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∴二面角 S-CM-A 的大小为 arccos

5 . 5

(Ⅲ)由(Ⅰ) (Ⅱ)得 CB =(2,2 3 ,0) , n=(-1, 3 ,1)为平面 SCM 的一个法向量, ∴点 B 到平面 SCM 的距离 d=

| n ? CM | |n|

?

4 5 . 5

20.本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识,考查运用数学知识 解决实际问题的能力.满分 12 分. 2 解: (Ⅰ)依题设,An=(500-20)+(500-40)+?+(500-20n)=490n-10n ;

1 1 1 500 )+(1+ 2 )+?+(1+ n )]-600=500n- n -100. 2 2 2 2 500 2 (Ⅱ)Bn-An=(500n- n -100) -(490n-10n ) 2 500 50 2 =10n +10n- n -100=10[n(n+1) - n -10]. 2 2 50 因为函数 y=x(x+1) - n -10 在(0,+∞)上为增函数, 2 50 50 当 1≤n≤3 时,n(n+1) - n -10≤12- -10<0; 8 2 50 50 当 n≥4 时,n(n+1) - n -10≥20- -10>0. 16 2
Bn=500[(1+ ∴仅当 n≥4 时,Bn>An. 答: 至少经过 4 年, 该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯 利润. 21. 本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识,求轨迹方程的方法,解析几何的基本 思想和综合解题能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)把 x=2 代入 y ? 由

1 2 x ,得 y=2, ∴点 P 坐标为(2,2). 2
得 y ? ? x , ∴过点 P 的切线的斜率 k 切=2, ∴直线 l 的方程为 y-2=-

y?

1 2 x , ① 2

直线 l 的斜率 kl=- 即 x+2y-6=0.

1 1 =? , 2 k切 1 2 x0 . 2

1 (x-2), 2

(Ⅱ)设 P ( x 0 , y 0 ), 则y 0 ?

∵ 过点 P 的切线斜率 k 初=x0,当 x0=0 时不合题意,

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x0 ? 0. ∴ 直线 l 的斜率 kl=-

1 1 =? , x0 k切


直线 l 的方程为

y?

1 2 1 x0 ? ? ( x ? x0 ). 2 x0
2

方法一:联立①②消去 y,得 x + ∵M 是 PQ 的中点,

2 x-x02-2=0. x0

设 Q ( x1 , y1 ), M ( x, y).

x0 ? x1 1 ? ?x ? 2 ? ? x , 0 ? ∴? 2 ? y ? ? 1 (? 1 ? x ) ? 1 x 2 ? 1 ? x0 ? 1. 0 0 2 ? x0 x0 2 2 x0 ? 1 2 消去 x0,得 y=x + 2 ? 1 (x≠0)就是所求的轨迹方程. 2x
由 x≠0 知 x ? 0,? y ? x ?
2 2

1 1 ? 1 ? 2 x 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1. 2 2x 2x

上式等号仅当 x ?
2

1 1 时成立,所以点 M 到 x 轴的最短距离是 2 ? 1. ,即x ? ? 4 2 2 2x

方法二: 设 Q ( x1 , y1 ), M ( x, y). 则 由 y0=

x ? x1 1 2 1 , x0 ,y1= x12,x= 0 2 2 2
1 2 1 2 1 x0 - x1 = (x0+x1)(x0-x1)=x(x0-x1), 2 2 2
∴ x0 ? ?
2

∴ y0-y1= ∴x?

y 0 ? y1 1 ? kl ? ? , x0 ? x1 x0

1 , x

将上式代入②并整理,得 y=x +

1 ? 1 (x≠0)就是所求的轨迹方程. 2x 2

由 x≠0 知 x ? 0,? y ? x ?
2 2

1 1 ? 1 ? 2 x 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1. 2 2x 2x

上式等号仅当 x ?
2

1 1 时成立,所以点 M 到 x 轴的最短距离是 2 ? 1. ,即x ? ? 4 2 2 2x

22.本题主要考查函数的单调性,导数的应用和不等式等有关知识,考查数形结合及分类讨
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论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分 14 分. 解: (Ⅰ)f'(x)=4+2 ax ? 2 x 2 , ∵f(x)在[-1,1]上是增函数,

∴f'(x)≥0 对 x∈[-1,1]恒成立, 2 即 x -ax-2≤0 对 x∈[-1,1]恒成立. 2 设 ? (x)=x -ax-2, 方法一:



? (1)=1-a-2≤0,


?

? (-1)=1+a-2≤0.

? -1≤a≤1,

∵对 x∈[-1,1],只有当 a=1 时,f'(-1)=0 以及当 a=-1 时,f'(1)=0 ∴A={a|-1≤a≤1}. 方法二:

a ≥0, 2
①? 或

a <0, 2

? (-1)=1+a-2≤0

? (1)=1-a-2≤0

0≤a≤1 或 -1≤a<0 -1≤a≤1. ∵对 x∈[-1,1],只有当 a=1 时,f'(-1)=0 以及当 a=-1 时,f'(1)=0 ∴A={a|-1≤a≤1}. (Ⅱ)由 4 x ? ax ?
2
2

? ?

2 3 1 x ? 2 x ? x 3 , 得x ? 0, 或x 2 ? ax ? 2 ? 0, 3 3

∵△=a +8>0 2 ∴x1,x2 是方程 x -ax-2=0 的两非零实根, x1+x2=a, ∴
2 从而|x1-x2|= ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 = a 2 ? 8 .

x1x2=-2,
∵-1≤a≤1,∴|x1-x2|= a 2 ? 8 ≤3. 要使不等式 m +tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立, 2 当且仅当 m +tm+1≥3 对任意 t∈[-1,1]恒成立, 2 即 m +tm-2≥0 对任意 t∈[-1,1]恒成立. ② 2 2 设 g(t)=m +tm-2=mt+(m -2), 方法一: 2 g(-1)=m -m-2≥0, ② ? 2 g(1)=m +m-2≥0, ? m≥2 或 m≤-2. 2 所以,存在实数 m,使不等式 m +tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立,其 取值范围是{m|m≥2,或 m≤-2}. 方法二:
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2

当 m=0 时,②显然不成立; 当 m≠0 时, m>0, m<0, ②? 或 2 2 g(-1)=m -m-2≥0 g(1)=m +m-2≥0 ? m≥2 或 m≤-2. 2 所以,存在实数 m,使不等式 m +tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立,其 取值范围是{m|m≥2,或 m≤-2}.

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2005 年高考文科数学 福建卷 试题及答案
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利!

第 I 卷(选择题

共 60 分)

注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 P ?| x || x ? 1 |? 1, x ? R|, Q ? {x | x ? N}, 则P ? Q 等于 A.P 2.不等式 B.Q C.{1,2} D.{0,1,2} ( ) ( )

2x ? 1 ? 0 的解集是 3x ? 1 1 1 A. {x | x ? ? 或x ? } 3 2 1 C. { x | x ? } 2

1 1 ?x? } 3 2 1 D. { x | x ? ? } 3
B. { x | ? ( D.64 ( ) )

3.已知等差数列 {an } 中, a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1,则 a12 的值是 A.15 B.30 C.31

4.函数 y ? cos 2 x 在下列哪个区间上是减函数 A. [ ?

? ?

, ] 4 4

B. [

? 3?
4 , 4

]

C. [0,

?
2

]

D. [

?
2

,? ]
( )

5.下列结论正确的是 A.当 x ? 0且x ? 1时, lg x ? 1 ? 2 lg x C. 当x ? 2时, x ? 6.函数 f ( x) ? a
x ?b

B. 当x ? 0时, x ? 1 ? 2 x D.当 0 ? x ? 2时, x ?

1 的最小值为 2 x

1 无最大值 x
y

的图象如图,其中 a、b 为常数, ( )

则下列结论正确的是 A. a ? 1, b ? 0

2

B. a ? 1, b ? 0
-1

1

O

1

x

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C. 0 ? a ? 1, b ? 0 D. 0 ? a ? 1, b ? 0 7.已知直线 m、n 与平面 ? , ? ,给出下列三个命题: ①若 m // ? , n // ? , 则m // n; ②若 m // ? , n ? ? , 则n ? m; ③若 m ? ? , m // ? , 则? ? ? . 其中真命题的个数是 A.0 B.1 8.已知 p : a ? 0, q : ab ? 0, 则p是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.已知定点 A、B 且|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是 A. ( C.2 D.3 ( ) )





1 2

B.

3 2

C.

7 2

D.5

10.从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人 游览,每人只游览一个城市,且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案 共有 ( ) A.300 种 B.240 种 C.144 种 D.96 种 11.如图,长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=AB=2, D1 C1 AD=1,点 E、F、G 分别是 DD1、AB、CC1 的中 点,则异面直线 A1E 与 GF 所成的角是( ) A1 B A. arccos 15 5 C. arccos 10 5

? B. 4 ? D. 2

1

E D A F B

G

C

12. f ( x) 是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,且 f (2) ? 0 , 则方程 f ( x) =0 在区间(0,6)内解的个数的最小值是 A.5 B.4 C.3 共 90 分) D.2





第Ⅱ卷(非选择题
6 13. (2 x ? ) 展开式中的常数项是

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置

王新敞
奎屯

新疆

1 x

(用数字作答)

王新敞
奎屯

新疆

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14.在△ABC 中,∠A=90°, AB ? (k ,1), AC ? (2,3),则k 的值是 15.非负实数 x , y 满足 ?

王新敞
奎屯

新疆

?2 x ? y ? 0, 则x ? 3 y 的最大值为 ? x ? y ? 3 ? 0,

王新敞
奎屯

新疆

16.把下面不完整的命题补充完整,并使之成为真命题: 若函数 f ( x) ? 3 ? lo g2 x 的图象与 g ( x) 的图象关于
王新敞
奎屯 新疆

对称,则函数 g ( x) =

(注:填上你认为可以成为真命题的一件情形即可,不必考虑所有可能的情形). 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 ?

?
2

? x ? 0, sin x ? cos x ?

1 . 5

(I)求 sinx-cosx 的值;

sin 2 x ? 2 sin 2 x (Ⅱ)求 的值. 1 ? tan x

18. (本小题满分 12 分) 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为 与

1 2

2 ,投中得 1 分,投不中得 0 分. 5

(Ⅰ)甲、乙两人在罚球线各投球一次,求恰好命中一次的概率; (Ⅱ)甲、乙两人在罚球线各投球二次,求这四次投球中至少一次命中的概率;

19.已知{ an }是公比为 q 的等比数列,且 a1 , a3 , a2 成等差数列. (Ⅰ)求 q 的值; (Ⅱ)设{ bn }是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn,当 n≥2 时,比较 Sn 与 bn 的大小,并说明理由.

第 14 页 共 34 页

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? ax ? d 的图象过点 P(0,2) ,且在点 M(-1,f(-1) ) 处的切线方程为 6 x ? y ? 7 ? 0 . (Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调区间.

21. (本小题满分 12 分) 如图,直二面角 D—AB—E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,AE=EB,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. C D (Ⅰ)求证 AE⊥平面 BCE; (Ⅱ)求二面角 B—AC—E 的大小; (Ⅲ)求点 D 到平面 ACE 的距离.

A E

F

B

22. (本小题满分 14 分) 已知方向向量为 v=(1, 3 )的直线 l 过点 (0, -2 3 ) 和椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

的焦点,且椭圆 C 的中心关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 是否存在过点 E (-2, 0) 的直线 m 交椭圆 C 于点 M、 N, 满足 OM ? ON ? ∠MON≠0(O 为原点).若存在,求直线 m 的方程;若不存在,请说明理由.

4 6 cot 3

第 15 页 共 34 页

y

E

O

x

2005 年高考文科数学 福建卷 试题及答案
参考答案
1. D. 2. A. 3. A.4. C. 5. B. 6. D. 7. C.8. B. 9. C.10. B. 11. D. 13. 240 14.

? 12. B. 2

王新敞
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?

3 2

王新敞
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新疆

15. 9

王新敞
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16. ① x轴 , ?3 ? log2 x ② y轴 , 3 ? log 2 (? x)
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王新敞
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③ 原点 , ?3 ? log2 (? x) ④ 直线y ? x , 2
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x ?3
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17. (本小题满分 12 分) 已知 ?

?
2

? x ? 0, sin x ? cos x ?

1 . 5

(I)求 sinx-cosx 的值;

sin 2 x ? 2 sin 2 x (Ⅱ)求 的值. 1 ? tan x
本题主要考查三角函数的基本公式、 三角恒等变换、 各个象限内三角函数符号的特点等基本 知识,以及推理和运算能力
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解法一: (Ⅰ)由 sin x ? cos x ? 即

2 sin x cos x ? ?

又? ?

?
2

24 . 25

1 1 , 平方得 sin 2 x ? 2 sin x cos x ? cos 2 x ? , 5 25 49 ? (sin x ? cos x) 2 ? 1 ? 2 sin x cos x ? . 25

? x ? 0,? sin x ? 0, cos x ? 0, sin x ? cos x ? 0, 7 5

故 sin x ? cos x ? ? .

1 ? sin x ? cos x ? , ? 解法二: (Ⅰ)联立方程 ? 5 ?sin 2 ? cos2 x ? 1. ?

第 16 页 共 34 页

1 ? cos x, 将其代入②,整理得 25cos2 x ? 5 cos x ? 12 ? 0, 5 3 ? sin x?? , ? 3 4 ? ? 5 ?c o s x ? ? 或c o s x? . ? ? ? x ? 0,? ? 4 5 5 2 ?c o s x? . ? 5 ? 7 故 sin x ? cos x ? ? . 5 24 ? II ? ? 175
由①得 sin x ? 18. (本小题满分 12 分) 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为 与

1 2

2 ,投中得 1 分,投不中得 0 分. 5

(Ⅰ)甲、乙两人在罚球线各投球一次,求恰好命中一次的概率; (Ⅱ)甲、乙两人在罚球线各投球二次,求这四次投球中至少一次命中的概率; 本题主要考查概率的基本知识,运用数学知识解决问题的能力,以及推理和运算能力 解: (I)依题意,记“甲投一次命中”为事件 A, “乙 投 一 次 命 中 ” 为事 件 B ,则
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1 2 1 1 2 3 , P ? B ? ? , P ? A? ? 1? ? , P ? B ? ? 1? ? 2 5 2 2 5 5 1 恰好命中一次的概率为 P(A)P(B)+P(A)P(B) = 2 P ? A? ?
(Ⅱ) “甲、乙两人在罚球线各投球二次,这四次投球中至少一次命中”的事件是“甲、乙 两人在罚球线各投球二次,这四次投球均未命中”的事件 C 的对立事件,

9 ?1? ?1? 2 ? 2? ? 3? 而 P ? C ? ? C ? ? ? ? ? C2 ? ? ? ? ? ?2? ? 2? ? 5 ? ? 5 ? 100
0 2

0

2

0

2

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新疆

∴甲、乙两人在罚球线各投球二次,这四次投球中至少一次命中的概率为 1 ? P ? C ? ? 答:甲、乙两人在罚球线各投球二次,这四次投球中至少一次命中的概率为

91 100

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奎屯

新疆

91 100

王新敞
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新疆

另法: (II) “甲、乙两人在罚球线各投球二次,这四次投球中至少一次命中”的事件是“甲、 乙两人在罚球线各投球二次,这四次投球均未命中”的事件 C 的对立事件,

9 ?1? ?1? 2 ? 2? ? 3? 而 P ? C ? ? C ? ? ? ? ? C2 ? ? ? ? ? ?2? ? 2? ? 5 ? ? 5 ? 100
0 2

0

2

0

2

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∴甲、乙两人在罚球线各投球二次,这四次投球中至少一次命中的概率为 1 ? P ? C ? ? 答:甲、乙两人在罚球线各投球二次,这四次投球中至少一次命中的概率为 19.已知{ an }是公比为 q 的等比数列,且 a1 , a3 , a2 成等差数列. (Ⅰ)求 q 的值;

91 100

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91 100

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(Ⅱ)设{ bn }是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn,当 n≥2 时,比较 Sn 与 bn 的大小,并说明理由. 本题主要考查等差数列、等比数列及不等式的基本知识,考察利用分类讨论的思想分析和 解决问题的能力

2a3 ? a1 ? a2 ,即2a1 q ? a1 ? a1 q,? 2q ? q ? 1 ? 0,? q ? 1或q ? ? (1) 由题意可知,
2 2

1 ; 2

(II) q ? 1时,Sn ? 2n ?

n ? n ? 1? n ? n ? 3? ? , 2 2

n ? 2,? Sn ? bn ? Sn ?1 ?
当 n ? 2时,Sn ? bn

? n ? 1?? n ? 2? ? 0
2

?n ? n ? 9 ? 1 若q ? ? , 则Sn ? , 2 4 同理Sn ? bn ? ? ? n ? 1?? n ? 10 ? 4

?2 ? n ? 9时,Sn ? bn , n ? 10时,Sn ? bn ,n ? 11时,Sn ? bn .
20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? bx ? ax ? d 的图象过点 P(0,2) ,且在点 M(-1,f(-1) )
3 2

处的切线方程为 6 x ? y ? 7 ? 0 . (Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调区间. 本题考查函数的单调性,导数的运用等知识,考察运用数学知识、分析问题和解决问题的能 力
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解: (I)由函数的图像经过点(0,2)可知, f ? x ? ? x ? bx ? cx ? 2 ,
3 2

)处的切线方程为 6 x ? y ? 7 ? 0 . f ' ? x ? ? 3x2 ? 2bx ? c ,∵ f ? x ? 在点 M(-1,f(-1)

? ??1 ? b ? c ? 2 ? f ? ?1? ? 1 解得b ? c ? ?3 , f ? x ? ? x3 ? 3x2 ? 3x ? 2 ? 3 ? 2 b ? c ? 6 ? ?
(II) f ' ? x ? ? 3x ? 6x ? 3
2

第 18 页 共 34 页

由f ' ? x ? ? 0得到x ? 1 ? 2或x ? 1 ? 2,由f ' ? x ? ? 0得到1 ? 2 ? x ? 1 ? 2 ? f ? x ? 在(-?, 1 ? 2),( 1+ 2, ? ?)内是增函数,在(1- 2 ,1 ? 2)内是减函数。
21. (本小题满分 12 分) 如图,直二面角 D—AB—E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的 正方形,AE=EB,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. (Ⅰ)求证 AE⊥平面 BCE; (Ⅱ)求二面角 B—AC—E 的大小; (Ⅲ)求点 D 到平面 ACE 的距离. 本题主要考查直线、直线和平面基点和平面的距离等基础知识, 考察空间想象能力,逻辑思维能力和运算能力
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D

C

A E

F

B

(I)

BF ? 平面ACE,? BF ? AE,

二面角D-AB-E为直二面角, ?平面ABCD ? 平面ABE,

又BC ? AB, ? BC ? 平面ABE, ? BC ? AE,
又BF ? 平面BCE,BF BC=B, ? AE ? 平面BCE。
(II)连结 AC、BD 交于 G,连结 FG,∵ ABCD 为正方形,∴BD⊥AC,∵BF⊥平面 ACE, ∴FG⊥AC,∠FGB 为二面角 B-AC-E 的平面角,由(I)可知,AE⊥平面 BCE,∴AE⊥EB, 又 AE=EB,AB=2,AE=BE= 2 , 在直角三角形 BCE 中,CE= BC 2 ? BE 2 ?

6, BF ?

BC ? BE 2 2 2 ? ? CE 6 3
2 BF ? BG
D

在正方形中,BG= 2 ,在直角三角形 BFG 中, sin ?FGB ?

3 ? 6 3 2
C
G

6 ∴二面角 B-AC-E 为 arcsin 3

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(III) 由 (II) 可知, 在正方形 ABCD 中, BG=DG, D 到平面 ACB 的距离等于 B 到平面 ACE 的距离,BF⊥平面 ACE,线段 BF 的 长度就是点 B 到平面 ACE 的距离, 即为 D 到平面 ACE 的距离 所
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A

F O E B

以 D 到平面的距离为

2 3

?

2 3 3

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另法:过点 E 作 EO ? AB 交 AB 于点 O. OE=1. ∵二面角 D—AB—E 为直二面角,∴EO⊥平面 ABCD.
第 19 页 共 34 页

设 D 到平面 ACE 的距离为 h,?VD? ACE ? VE ? ACD , ? S ?ACB ? h ?

1 3

1 S ?ACD ? EO. 3

? AE ? 平面 BCE,? AE ? EC .

1 AD ? DC ? EO ?h ? 2 ? 1 AE ? EC 2

1 ? 2 ? 2 ?1 2 3 2 ? . 1 3 2? 6 2

∴点 D 到平面 ACE 的距离为

2 3 . 3

解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)以线段 AB 的中点为原点 O,OE 所在直线为 x 轴,AB 所在直线为 y 轴,过 O 点平行于 AD 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 O—xyz,如图. ? AE ? 面 BCE,BE ? 面 BCE, ? AE ? BE , 在 Rt?AEB中, AB ? 2, O为AB 的中点,

? OE ? 1.

? A(0,?1,0), E(1,0,0),C(0,1,2).

AE ? (1,1,0), AC ? (0,2,2). 设平面 AEC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,
则?

? ? AE ? n ? 0, ? x ? y ? 0, 即? ? ?2 y ? 2 x ? 0. AC ? n ? 0 , ?

? y ? ? x, 解得 ? ? z ? x,
令 x ? 1, 得 n ? (1,?1,1) 是平面 AEC 的一个法向量. 又平面 BAC 的一个法向量为 m ? (1,0,0) ,

D

z M

C

A
x

F
O

B

y

? cos( m, n) ?

m, n | m|?| n |

?

1

3 ? . 3 3

E

∴二面角 B—AC—E 的大小为 arccos

3 . 3

(III)∵AD//z 轴,AD=2,∴ AD ? (0,0,2) , ∴点 D 到平面 ACE 的距离 d ?| AD | ? | cos ? AD , n ?? 22. (本小题满分 14 分)

| AD ? n | |n|

?

2 3

?

2 3. 3

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已知方向向量为 v=(1, 3 )的直线 l 过点 (0, -2 3 ) 和椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

的焦点,且椭圆 C 的中心关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 是否存在过点 E (-2, 0) 的直线 m 交椭圆 C 于点 M、 N, 满足 OM ? ON ? ∠MON≠0(O 为原点).若存在,求直线 m 的方程;若不存在,请说明理由. 本题考查直线、椭圆及平面向量的基本知识,平面解析 几何的基本方法和综合解题能力 (I)解法一:直线 l : y ? 3x ? 2 3 , 过原点垂直 l 的直线方程为 y ? ? 解①②得 x ? ①

4 6 cot 3

y

E

O

x

3 x, ② 3

3 . 2

∵椭圆中心(0,0)关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上,

?

a2 3 ? 2 ? ? 3. c 2

∵直线 l 过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0).

? c ? 2, a 2 ? 6, b 2 ? 2. 故椭圆 C 的方程为
解法二:直线 l : y ? 3x ? 3 3 .

x2 y2 ? ? 1. 6 2



p ?q ? 3? ?2 3 ? 2 2 设原点关于直线 l 对称点为(p,q) ,则 ? 解得 p=3. ? q ? 3 ? ? ?1. ? p ? ∵椭圆中心(0,0)关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上,

?

a2 ? 3. c
2

∵直线 l 过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0).

? c ? 2, a ? 6, b ? 2.
2

x2 y2 ? ? 1. 故椭圆 C 的方程为 6 2



(II)解法一:设 M( x1 , y1 ) ,N( x2 , y2 ). 当直线 m 不垂直 x 轴时, 直线 m : y ? k ( x ? 2) 代入③, 整
N

M

E
O

x

第 21 页 共 34 页

理得

(3k 2 ? 1) x 2 ? 12k 2 x ? 12k 2 ? 6 ? 0,
? x1 ? x2 ? ? 12k 2 12k 2 ? 6 , x ? x ? , 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1
12k 2 2 12k 2 ? 6 2 6 (1 ? k 2 ) ) ? 4 ? ? , 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

| MN |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 (?

点 O 到直线 MN 的距离 d ?

| 2k | 1? k 2

? OM ? ON ?

4 4 cos ?MON 6 cot ?MON , 即 | OM | ? | ON | cos ?MON ? 6 ? 0, 3 3 sin ?MON 4 2 4 ?| OM | ? | ON | sin ?MON ? 6 ,? S ?OMN ? 6.?| MN | ?d ? 6, 3 3 3

即4 6 | k | 整理得 k 2 ?

k 2 ?1 ?

4 6 (3k 2 ? 1). 3

y
M

1 3 ,? k ? ? . 3 3
2 6. 3

E
N

O

x

当直线 m 垂直 x 轴时,也满足 S ?OMN ? 故直线 m 的方程为 y ?

3 2 3 x? , 3 3

或y??

3 2 3 x? , 或 x ? ?2 . 3 3

经检验上述直线均满足 OM ? ON ? 0 . 所以所求直线方程为 y ?

3 2 3 3 2 3 x? ,或 y ? ? x? , 或 x ? ?2 . 3 3 3 3

解法二:设 M( x1 , y1 ) ,N( x2 , y2 ). 当直线 m 不垂直 x 轴时,直线 m :? k ( x ? 2) 代入③,整理得

(3k 2 ? 1) x 2 ? 12k 2 x ? 12k 2 ? 6 ? 0, ? x1 ? x2 ? ?
∵E(-2,0)是椭圆 C 的左焦点, ∴|MN|=|ME|+|NE|
第 22 页 共 34 页

12k 2 , 3k 2 ? 1

2 2 2 2 = e( a ? x1 ) ? e( a ? x2 ) ? c ( x1 ? x2 ) ? 2a ? 2 ? (? 12k ) ? 2 6 ? 2 6 (k ? 1) . c c a 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 6

以下与解法一相同. 解法三:设 M( x1 , y1 ) ,N( x2 , y2 ). 设直线 m : x ? ty ? 2 ,代入③,整理得 (t 2 ? 3) y 2 ? 4ty ? 2 ? 0.

? y1 ? y 2 ?

4t ?2 , y1 y 2 ? 2 , t ?3 t ?3
2

| y1 ? y 2 |? ( y1 ? y 2 ) ? 4 y1 y 2 ? (
? OM ? ON ?

4t 2 8 ) ? 2 ? 2 t ?3 t ?3

24t 2 ? 24 . (t 2 ? 3) 2

4 4 cos ?MON 6 cot ?MON , 即 | OM | ? | ON | cos ?MON ? 6 ? 0, 3 3 sin ?MON 4 2 ?| OM | ? | ON | sin ?MON ? 6 ,? S ?OMN ? 6. 3 3

S ?OMN ? S ?OEM ? S ?OEN ?

1 | OE | ? | y1 ? y 2 |? 2

24t 2 ? 24 . (t 2 ? 3) 2



24t 2 ? 24 2 6 ,整理得 t 4 ? 3t 2 . = (t 2 ? 3) 2 3

解得 t ? ? 3, 或 t ? 0. 故直线 m 的方程为 y ?

3 2 3 3 2 3 x? ,或 y ? ? x? , 或 x ? ?2 . 3 3 3 3

经检验上述直线方程为 OM ? ON ? 0. 所以所求直线方程为 y ? 22. (本小题满分 14 分) 已知数列{an}满足 a1=a, an+1=1+

3 2 3 3 2 3 x? ,或 y ? ? x? , 或 x ? ?2 . 3 3 3 3

1 我们知道当 a 取不同的值时,得到不同的数列,如 an

当 a=1 时,得到无穷数列: 1,2,

3 5 1 1 , , ?;当a ? ? 时, 得到有穷数列 : ? ,?1,0. 2 3 2 2

(Ⅰ)求当 a 为何值时 a4=0; (Ⅱ) 设数列{bn}满足 b1=-1, bn+1=

1 求证 a 取数列{bn}中的任一个数, (n ? N ? ) , bn ? 1

第 23 页 共 34 页

都可以得到一个有穷数列{an}; (Ⅲ)若

3 ? a n ? 2( n ? 4) ,求 a 的取值范围. 2
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本题主要考查数列不等式的基础知识,考察逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力 (I)解法 1:

an?1 ? 1 ?

1 1 1 2 ,? an ? , a4 ? 0,? a3 ? ?1, a2 ? ? , a ? a1 ? ? ; an an?1 ? 1 2 3 1 a ?1 2a ? 1 3a ? 2 2 ,? a2 ? .a3 ? , a4 ? , a4 ? 0,? a ? ? an a a ?1 a ?1 3

解法 2: a1 ? a, an ?1 ? 1 ? (II)

bn?1 ?

1 1 ,? bn ? ? 1, 若a取数列{bn }的一个数bn ,即a ? bn , bn ? 1 bn?1 1 1 1 1 ? 1 ? ? bn?1 , a3 ? 1 ? ? 1 ? ? bn?2 , a1 bn a2 bn?1 1 ?0 an ?1
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则a2 ? 1 ?

,

? an?1 ? b1 ? ?1,? an ? 1 ?

所以数列{ an } 只能有 n 项为有穷数列

1 ?3 ? 1? ?2 ?1 ? an?1 ? 2 ? 2 a 3 3 ? ? n ? 1 (III) ? an ? 2 ? n ? 4 ? ? ? n ? 5 ? ? ? ?3 ? n ? 5? ? ? an?1 ? 2 ? n ? 5? 2 2 ? an?1 ? 2 ?3 ? a ? 2 ? ?2 n ?1 ? ?2
所以 围
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2 2 3 3 a? 2 ? an ? 2 ? n ? 4? ? ? a4 ? 2 ? ? ?2 ?a ?0这就是所求的取值范 3 3 2 2a ? 1

第 24 页 共 34 页

2006 年高考文科数学试题(福建卷)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 (1)已知两条直线 y ? ax ? 2 和 y ? (a ? 2) x ? 1 互相垂直,则 a 等于 (A)2 (B)1 (C)0 (D) ?1

(2)在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13, 则 a4 ? a5 ? a6 等于 (A)40 (B)42 (C)43 (D)45

(3) "tan ? ? 1" 是 "? ?

?
4

"的
(B)必要不而充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (4)已知 ? ? ( (A)

?

1 7

3 ? , ? ),sin ? ? , 则 tan(? ? ) 等于 2 5 4 1 (B) 7 (C) ? 7

(D) ?7

2 (5)已知全集 U ? R, 且 A ? x | x ? 1 ? 2 , B ? x | x ? 6 x ? 8 ? 0 , 则 (CU A)

?

?

?

?

B 等于

(A) [?1, 4) (6)函数 y ?

(B) (2,3)

(C) (2,3]

(D) (?1, 4)

x ( x ? ?1) 的反函数是 x ?1 x x ( x ? 1) 方 ( x ? 1) (A) y ? (B) y ? x ?1 x ?1 x ?1 1? x ( x ? 0) ( x ? 0) (C) y ? (D) y ? x x 32 ? ,那么正方体的棱长等于 (7)已知正方体外接球的体积是 3
(A) 2 2 (B)

2 3 3

(C)

4 2 3

(D)

4 3 3

(8)从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人,分别从事三项不同的工作,若这 3 人中至少有 1 名女生,则选派方案共有 (A)108 种 (B)186 种 (C)216 种 (D)270 种 (9)已知向量 a 与 b 的夹角为 120 , a ? 3, a ? b ? 13, 则 b 等于
o

(A)5 (B)4 (C)3 (D)1 (10)对于平面 ? 和共面的直线 m 、 n, 下列命题中真命题是 (A)若 m ? ? , m ? n, 则 n∥ ? (C)若 m ? ? , n∥? ,则 m∥ n (B)若 m∥? ,n∥? ,则 m∥ n (D)若 m 、 n 与 ? 所成的角相等,则 m∥ n
第 25 页 共 34 页

(11)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60 o 的直线 a 2 b2
(C) [2, ??) (D) (2, ??)

与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 (A) (1, 2] (B) (1, 2)

(12) 已知 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数, 当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? lg x. 设 a ? f ( ), b ? f ( ),

6 5

3 2

(B) b ? a ? c (C) c ? b ? a (D) c ? a ? b 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在答题卡的相应位置。
4 (13) ( x ? ) 展开式中 x 的系数是_____(用数字作答) 。
2 5

5 c ? f ( ), 则 2 (A) a ? b ? c
1 x

2 (14)已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与抛物线 y ? ax 相切,则 a ? ______ .

(15)已知实数 x 、 y 满足 ?

? ? y ? 1, 则 x ? 2 y 的最大值是____。 ? ? y ? x ?1 ,

(16)已知函数 f ( x) ? 2sin ? x(? ? 0) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最小值是 ?2 ,则 ? 的最小值 , ? 3 4? ?

是____。 三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3sin x cos x ? 2cos2 x, x ? R. (I)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调增区间; (II)函数 f ( x ) 的图象可以由函数 y ? sin 2 x( x ? R) 的图象经过怎样的变换得到?

(18) (本小题满分 12 分) 每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以数字 1, 2,3, 4,5,6). (I)连续抛掷 2 次,求向上的数不同的概率; (II)连续抛掷 2 次,求向上的数之和为 6 的概率; (III)连续抛掷 5 次,求向上的数为奇数恰好出现 3 次的概率。

第 26 页 共 34 页

(19) (本小题满分 12 分) 如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点,

A

CA ? CB ? CD ? BD ? 2, AB ? AD ? 2.
(I)求证: AO ? 平面 BCD; (II)求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小; (III)求点 E 到平面 ACD 的距离。
B

D O E C

(20) (本小题满分 12 分) 已知椭圆

y

x2 ? y 2 ? 1的左焦点为 F,O 为坐标原点。 2
F O x

(I)求过点 O、F,并且与椭圆的左准线 l 相切的圆的方程; (II)设过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点,并且线段 AB 的 中点在直线 x ? y ? 0 上,求直线 AB 的方程。

l

(21) (本小题满分 12 分) 已知 f ( x ) 是二次函数,不等式 f ( x) ? 0 的解集是 (0,5), 且 f ( x ) 在区间 ? ?1, 4? 上的最 大值是 12。 (I)求 f ( x ) 的解析式; (II)是否存在实数 m, 使得方程 f ( x ) ?

37 ? 0 在区间 (m, m ? 1) 内有且只有两个不等 x

的实数根?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由。

(22) (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N ).
*

(I)证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列;

第 27 页 共 34 页

(II)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)若数列 ?bn ? 满足 4 1 4 2 ...4 n
b ?1 b ?1 b ?1

? (an ?1)bn (n ? N * ), 证明 ?bn ? 是等差数列。

第 28 页 共 34 页

2006 年高考(福建卷)数学文试题答案
一.选择题:本大题考查基本概念和基本运算。每小题 5 分,满分 60 分。 (1)D (2)B (3)B (4)A (5)C (6)A (7)D (8)B (9)B (10)C (11)C (12)D 二.填空题:本大题考查基础知识和基本运算。每小题 4 分满分 16 分。 (13)10 (14)

1 4

(15)4

(16)

3 2

三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本 知识,以及推理和运算能力。满分 12 分。 解: (I) f ( x) ?

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) 2 2
3 1 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 ? 3 ? sin(2 x ? ) ? . 6 2 ?

? f ( x) 的最小正周期 T ?
由题意得 2k? ? 即

?
2

? 2x ?

?

2? ? ?. 2 ? 2 k? ?

?
2

k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

6

,k ? Z,

, k ? Z.

? ?? ? ? f ( x) 的单调增区间为 ? k? ? , k? ? ? , k ? Z . 3 6? ?
(II)方法一:

? ? 个单位长度,得到 y ? sin(2 x ? ) 的图象, 12 6 3 ? 3 再把所得图象上所有的点向上平移 个单位长度,就得到 y ? sin(2 x ? ) ? 的图象。 2 6 2
先把 y ? sin 2 x 图象上所有点向左平移 方法二: 把 y ? sin 2 x 图象上所有的点按向量 a ? (?

? 3 , ) 平移,就得到 y ? sin(2 x ? ) ? 12 2 6 2

? 3

的图象。 (18)本小题主要考查概率的基本知识,运用数学知识解决实际问题的能力。满分 12 分。 解: (I)设 A 表示事件“抛掷 2 次,向上的数不同” ,则

P ( A) ?

6?5 5 ? . 6? 6 6
5 6

答:抛掷 2 次,向上的数不同的概率为 .

第 29 页 共 34 页

(II)设 B 表示事件“抛掷 2 次,向上的数之和为 6” 。 向上的数之和为 6 的结果有 (1,5) 、 (2, 4) 、 (3,3) 、 (4, 2) 、 (5,1) 5 种,

? P( B) ?

5 5 ? . 6 ? 6 36 5 . 36

答:抛掷 2 次,向上的数之和为 6 的概率为

(III)设 C 表示事件“抛掷 5 次,向上的数为奇数恰好出现 3 次” ,即在 5 次独立重复 试验中,事件“向上的数为奇数”恰好出现 3 次,

10 5 3 1 3 1 2 ? P(C ) ? P5 (3) ? C5 ( )( ) ? ? . 2 2 32 16
答:抛掷 5 次,向上的数为奇数恰好出现 3 次的概率为

5 . 16

(19) 本小题主要考查直线与平面的位置关系、 异面直线所成的角以及点到平面的距离基本 知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分 12 分。 方法一: (I)证明:连结 OC

BO ? DO, AB ? AD,? AO ? BD. BO ? DO, BC ? CD,?CO ? BD.
在 ?AOC 中,由已知可得 AO ? 1, CO ? 3. 而 AC ? 2,
M A

? AO ? CO ? AC ,
2 2 2

O B

D C

??AOC ? 90o , 即 AO ? OC.
BD OC ? O,
? AO ? 平面 BCD

E

(II) 解: 取 AC 的中点 M, 连结 OM、 ME、 OE, 由 E 为 BC 的中点知 ME∥AB,OE∥DC

? 直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角
在 ?OME 中,

EM ?

1 2 1 AB ? , OE ? DC ? 1, 2 2 2
1 AC ? 1, 2

OM 是直角 ?AOC 斜边 AC 上的中线,? OM ?

? cos ?OEM ?

2 , 4
第 30 页 共 34 页

? 异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 arccos
(III)解:设点 E 到平面 ACD 的距离为 h .

2 . 4

VE ? ACD ? VA?CDE , 1 1 ? h.S?ACD ? . AO.S?CDE . 3 3
在 ?ACD 中, CA ? CD ? 2, AD ? 2,

1 2 7 ? S?ACD ? ? 2 ? 22 ? ( )2 ? . 2 2 2
而 AO ? 1, S?CDE ?

1 3 2 3 ? ?2 ? , 2 4 2

3 AO.S ?CDE 1? 2 21 ?h ? ? ? . S ?ACD 7 7 2

? 点 E 到平面 ACD 的距离为
方法二: (I)同方法一。

21 . 7

(II)解:以 O 为原点,如图建立空间直角坐标系,则 B(1,0,0), D(?1,0,0),

1 3 C (0, 3, 0), A(0, 0,1), E ( , , 0), BA ? (?1, 0,1), CD ? (?1, ? 3, 0). 2 2
? cos ? BA, CD ?? BA.CD BA CD ? 2 , 4

? 异面直线 AB 与 CD 所成角
的大小为 arccos

2 . 4

(III)解:设平面 ACD 的法向量为 n ? ( x, y, z ), 则

? ?n. AD ? ( x, y, z ).(?1, 0, ?1) ? 0, ? ? ?n. AC ? ( x, y, z ).(0, 3, ?1) ? 0,
第 31 页 共 34 页
x B

z

A

D O E C y

? ? x ? z ? 0, ?? ? ? 3 y ? z ? 0.
令 y ? 1, 得 n ? (? 3,1, 3) 是平面 ACD 的一个法向量。 又 EC ? (? ,

1 3 , 0), 2 2

? 点 E 到平面 ACD 的距离
h? EC.n n ? 3 21 ? . 7 7

(20) 本小题主要考查直线、 圆、 椭圆和不等式等基本知识, 考查平面解析几何的基本方法, 考查运算能力和综合解题能力。满分 12 分。 解: (I)

a2 ? 2, b2 ? 1,?c ? 1, F (?1,0), l : x ? ?2.
y

圆过点 O、F,

1 ? 圆心 M 在直线 x ? ? 上。 2 1 设 M ( ? , t ), 则圆半径 2

B N F A O x

1 3 r ? (? ) ? (?2) ? . 2 2
由 OM ? r, 得 (? ) ? t ?
2 2

l

1 2

3 , 2

解得 t ? ? 2.

1 9 ? 所求圆的方程为 ( x ? ) 2 ? ( y ? 2) 2 ? . 2 4
(II)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0),

代入

x2 ? y 2 ? 1, 整理得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0. 2

直线 AB 过椭圆的左焦点 F,? 方程有两个不等实根, 记 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), AB 中点 N ( x0 , y0 ), 则 x1 ? x2 ? ?

4k 2 , 2k 2 ? 1

第 32 页 共 34 页

1 2k 2 k x0 ? ( x1 ? x2 ) ? ? 2 , y0 ? k ( x0 ? 1) ? 2 , 2 2k ? 1 2k ? 1
线段 AB 的中点 N 在直线 x ? y ? 0 上,

2k 2 k ? 0, ? x0 ? y0 ? ? 2 ? 2 2k ? 1 2k ? 1
1 ? k ? 0 ,或 k ? . 2
当直线 AB 与 x 轴垂直时,线段 AB 的中点 F 不在直线 x ? y ? 0 上。

? 直线 AB 的方程是 y ? 0, 或 x ? 2 y ? 1 ? 0.
(21)本小题主要考查函数的单调性、极值等基本知识,考查运用导数研究函数的性质的方 法,考查函数与方程、数形结合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分 12 分。 (I)解:

f ( x) 是二次函数,且 f ( x) ? 0 的解集是 (0,5),

? 可设 f ( x) ? ax( x ? 5)(a ? 0).
? f ( x) 在区间 ? ?1, 4? 上的最大值是 f (?1) ? 6a.
由已知,得 6a ? 12,

? a ? 2, ? f ( x) ? 2 x( x ? 5) ? 2 x 2 ? 10 x( x ? R).
(II)方程 f ( x ) ?
3

37 ? 0 等价于方程 2 x3 ? 10 x 2 ? 37 ? 0. x
2

设 h( x) ? 2 x ?10 x ? 37, 则 h '( x) ? 6 x ? 20 x ? 2 x(3x ?10).
2

10 ) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是减函数; 3 10 当 x ? ( , ?? ) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是增函数。 3 10 1 h(3) ? 1 ? 0, h( ) ? ? ? 0, h(4) ? 5 ? 0, 3 27 10 10 ? 方程 h( x) ? 0 在区间 (3, ), ( , 4) 内分别有惟一实数根,而在区间 (0,3), (4, ??) 3 3
当 x ? (0, 内没有实数根,

第 33 页 共 34 页

所以存在惟一的自然数 m ? 3, 使得方程 f ( x ) ?

37 ? 0 在区间 (m, m ? 1) 内有且只有两 x

个不同的实数根。 (22)本小题主要考查数列、不等式等基本知识,考查化归的数学思想方法,考查综合解题 能力。满分 14 分。 (I)证明:

an?2 ? 3an?1 ? 2an ,

? an ? 2 ? an ?1 ? 2(an ?1 ? an ), a1 ? 1, a2 ? 3, ? an ? 2 ? an ?1 ? 2(n ? N * ). an ?1 ? an

??an?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。
(II)解:由(I)得 an?1 ? an ? 2n (n ? N * ),

?an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1

? 2n ?1 ? 2n ?2 ? ... ? 2 ? 1 ? 2n ? 1(n ? N * ).
(III)证明:

4b1 ?14b2 ?1...4bn ?1 ? (an ?1)bn ,

? 4(b1 ?b2 ?...?bn ) ? 2nbn , ?2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn , 2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1.
②-①,得 2(bn?1 ?1) ? (n ? 1)bn?1 ? nbn , 即 (n ? 1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0. ③ ④ ① ②

nbn?2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0.
④-③,得 nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0, 即 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0,

?bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N * ),

??bn ? 是等差数列。
第 34 页 共 34 页


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