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1轨迹方程的求法


高三理科数学

复习课

第1课时
汕头市聿怀中学 授课者:陈妍纯
2014/6/5
2015年5月5日星期二

【考情分析】 广东省近5年高考中 “求轨迹方程”的考查情况
年份 2010 2011 2012 2013 2014

曲线 类型 分值

方法

椭圆

双曲线

椭圆 5分
待定系 数法

抛物线& 直线 5+约6分
待定系 数法

椭圆 &圆 14分
待定系 数法

5+6分 6分 待定系数 法、相关 定义法 点法(交 轨法)

2014/6/5

2015年5月5日星期二

x y 【 2 0 1 4已知椭圆C: ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的一个焦点 2 a

2

2

b 】 5 为( 5 ,0),离心率为 , 3 (1)求椭圆C的标准方程;

(2)若动点P( x0 , y0 )为椭圆C外一点,且点 P到 椭圆C的两条切线相互垂直, 求点P的轨迹方程 .
待定系数法、直接法
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2015年5月5日星期二

【学习目标】 掌握求圆锥曲线轨迹方程的几种常用

方法,本节课主要复习最近几年最常考核
的定义法、待定系数法以及相关点法.

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2015年5月5日星期二

【课前回顾】
求轨迹方程一般步骤(5个): (1)建立坐标系,设动点坐标; (2)写出动点满足的等量关系; (3)将点的坐标代入等量关系; (4)化简方程; (5)检验所得的方程是否符合题意,查漏除杂.

建设“限”代化(挖补)
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【例题讲解】
【 例 1已知两个定圆 O1和O2,它们的半径分别为 】 1和2,且 | O1O 2 |? 4,动圆M与圆O1内切,又与

圆O2外切,建立适当的坐标 系,求动圆圆心 M 的轨迹方程 .
y

M
O1
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o O 2

x
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解:如图所示,以 O1O2的中点O为原点,O1O2 所在直线为 x轴建立平面直角坐标系 .
易得O1 (?2, 0)、O2 (2, 0).
设动圆M的半径为r,
y

M
o O 2

O1 由动圆M与圆O1内切,有 | MO1 |? r ? 1

x

由动圆M与圆O2外切,有 | MO2 |? r ? 2 ? | MO2 | ? | MO1 |? 3 ? | O1O2 |? 4
?点M的轨迹是以O1、O2为焦点,实轴长为 3
2014/6/5 的双曲线的左支 .
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7 ?b ? a ? c ? , 4 4x2 4 y 2 3 ?点M的轨迹方程为 ? ? 1( x ? ? ). 9 7 2
2

3 ? a ? ,c ? 2, 2

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2015年5月5日星期二

【例题讲解】
【 变 式 若已知圆O : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ,圆O2: 1 】 ( x ? 1) ? y 2 ? 9,且动圆M与圆O 外切,与圆 O2 1

内切,求动圆圆心 M的轨迹. y
M
O1

oO

2

x

2014/6/5

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【例题讲解】
【 变 式 若已知圆O : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ,圆O2: 1

】 ( x ? 1) ? y 2 ? 9,且动圆M与圆O 外切,与圆 O2 1

内切,求动圆圆心 M的轨迹.
解: 由动圆M与圆O1外切,有| MO1 |? r ? 1

由动圆M与圆O2内切,有 | MO2 |? 3 ? r ? | MO1 | ? | MO2 |? 4 ? | O1O2 |? 2

?点M的轨迹是以 O1、O2为左右焦点,长轴长
) 为4,短轴长为2 3的椭圆 (左顶点除外 x2 y 2 ? 1( x ? ?2). 2014/6/5且其轨迹方程为 ? 4 3 2015年5月5日星期二

【方法提炼1】
一、定义法: 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义, 如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,则可以根据定

义直接写出动点的轨迹方程.
基本步骤: ①结合定义,分析曲线类型; ②按定义直接写出标准方程.
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【反思】熟悉一些基本轨迹的定义是用定义法求 轨迹方程的关键, 回顾几种曲线的定义?

(1) 圆: 到定点的距离等于定长 |MO|=r

M
O
(2) 椭圆: 到两定点的距离之和为常数 (大于两定点的距离) |MF1| +|MF2| =2a > |F1F2|
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M

F1

F2

【反思】熟悉一些基本轨迹的定义是用定义法求 轨迹方程的关键, 回顾几种曲线的定义? (3) 双曲线: 到两定点距离之差的绝对值为常数 (小于两定点的距离) | |MF1|-|MF2| | = 2a < |F1F2| (4) 抛物线: 到定点与定直线的距离相等
H

M o F2

F1

d M
F ·

C

(点不在直线上)|MF|= d
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l

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【2个注意】: ①圆锥曲线定义中的限制条件.

②题目当中的一些特殊的位置关系及特殊点,多
退少补

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【例题讲解】
【例2】已知A,B,D三点不在一条直线上, 且

1 A(?2,0),B(2,0),| AD |? 2,AE ? ( AB ? AD). 2 (1)求E点的轨迹方程 .

(2)过A作直线交以A, B为焦点的椭圆于 M,N两点, 4 线段MN的中点到y轴的距离为 , 且直线MN与E点 5 的轨迹相切,求椭圆的 方程.
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(1). 已知A,B,D三点不在一条直线上, 且 1 A(?2,0),B(2,0),| AD |? 2,AE ? ( AB ? AD). 2 求E点的轨迹方程 . x D E x 2 ? y 2 ? 1( x ? ?1) o B y A

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x y 解: (2)设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), a b 2 2 则a ? b ? 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?①

2

2

设直线MN为y ? k ( x ? 2),

M ( x1, y1 ),N ( x2 , y2 ),中点 ( x0 , y0 ).

?直线MN与E点的轨迹x 2 ? y 2 ? 1( x ? ?1)相切, | 2k | 3 ? y ? ? 3 ( x ? 2), ? ? 1,解得k ? ? , 2 3 3 k ?1
联立椭圆方程,代入① 式,整理得
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4(a 2 ? 3) x 2 ? 4a 2 x ? 16a 2 ? 3a 4 ? 0,
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4(a ? 3) x ? 4a x ? 16a ? 3a ? 0, x1 ? x2 a2 ? x0 ? ?? , 2 2 2(a ? 3) 4 a2 4 由题意 x0 ? ? , ?? ?? , 2 5 2(a ? 3) 5
2 2 2 2 4

解得a 2 ? 8,
x2 y2 ? 椭圆的方程为 ? ? 1. 8 4
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【例题讲解】
【例2】已知A,B,D三点不在一条直线上, 且

1 A(?2,0),B(2,0),| AD |? 2,AE ? ( AB ? AD). 2 (1)求E点的轨迹方程 .

(2)过A作直线交以A, B为焦点的椭圆于 M,N两点, 4 线段MN的中点到y轴的距离为 , 且直线MN与E点 5 的轨迹相切,求椭圆的 方程.
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【方法提炼2】
二、待定系数法: 当由条件可直接判断出动点符合某一基本轨迹的

定义,但不能直接写出其方程时,可根据定义先设定
相应的标准方程,再由已知条件,解方程(组)确定

系数,得到轨迹方程.
基本步骤: ①定型(确定曲线类型); ②定位(判断中心,焦点位置,确定方程形式);

③定量(求出系数).
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【跟踪练习2】 2 2 x y 求与双曲线 ? ? 1共焦点,且过点 (2,1)的 4 2 圆锥曲线的方程 .

x2 y 2 解: 若该曲线为双曲线,设 方程为 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0), a b 4 1 2 2 由a ? b ? 6及 2 ? 2 ? 1, 得a 2 ? b2 ? 3; a b x2 y2 方程为 ? ? 1. 3 3
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x2 y2 若该曲线为椭圆,设方 程为 2 ? 2 ? 1(m ? n ? 0), m n
4 1 由m ? n ? 6及 2 ? 2 ? 1, 得m2 ? 8,n2 ? 2, m n
2 2

x y 方程为 ? ? 1. 8 2 x2 y2 x2 y2 综上,所求圆锥曲线为 ? ? 1或 ? ? 1. 8 2 3 3
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2

2

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【例题讲解】
【 回 顾 已知A,B,D三点不在一条直线上, 且



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1 A(?2,0),B(2,0),| AD |? 2,AE ? ( AB ? AD). 2 求E点的轨迹方程 . x0 ? 2 ? x? ? 解:设E( x, y),D( x0 , y0 ) ? 2 ?? , 1 ? AE ? ( AB ? AD )知E为BD 的中点, ? y ? y0 2 ? 2 ? ?x0 ? 2 x ? 2 ?? , 代入| AD |? 2得(2x ? 2 ? 2)2 ? (2 y)2 ? 4 ? y0 ? 2 y 2 2 ? E的轨迹方程为 x ? y ? 1( y ? 0).
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【方法提炼3】
三、相关点法:

当动点M所满足的条件不易直接表达或求出,但
①动点M(x,y)却 随着另一动点P(x',y')(相关点)的

运动而有规律的运动;
②相关点P的轨迹(满足的条件)为给定或容易分

析求得;
则可以用动点M坐标表示相关点P坐标,即将x',y'

表示为x,y的式子,再代入满足P的轨迹方程,然后整
理得到满足M的轨迹方程. 此法也称代入法.
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2015年5月5日星期二

【方法提炼3】
相关点法的基本步骤: ①设点:设动点的坐标为( x,y ) ,相关点的坐标

为 ( x ,y ) ; 0 0
②求关系式:

? x0 ? f ( x, y) 求出两个点坐标之间的关系式:? y ? g ( x, y) ? 0

③代换:将上述关系式代入已知相关点的轨迹方程, 化简得到动点轨迹方程.
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【跟踪练习3】

设直线x ? y ? 4a与抛物线y ? 4ax交于两点
2

A,B (a为正的定值),C为抛物线上任意一点, 求?ABC的重心的轨迹方程 .
y
O A C G

F
B
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x

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【跟踪练习3】

设直线x ? y ? 4a与抛物线y ? 4ax交于两点
2

A,B (a为正的定值),C为抛物线上任意一点, 求?ABC的重心的轨迹方程 .
解:设?ABC的重心为G( x, y),点C的坐标 为C ( x0 , y0 ),A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ). ?x ? y ? 4a 2 2 消去 y 得: x ? 12 ax ? 16 a ?0 联立方程? 2 , ? y ? 4ax ? x1 ? x2 ? 12a, ? y1 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) ? 8a ? 4a,
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∵G为重心, ?有

x0 ? x1 ? x2 x0 ? 12a ? x? ? ? ?x0 ? 3x ? 12a ? 3 3 , ? , 解得: ? y ? 3 y ? 4 a y ? y ? y y ? 4 a 0 ? 1 2 ?y ? 0 ? 0 ? 3 3 ? 2 ? 有 ( 3 y ? 4 a ) ? 4a(3x ?12a), 又∵C在抛物线上 ,
4a 2 4a 即( y ? ) ? ( x ? 4a ), 又C与A, B不重合, 3 3

?G的轨迹方程为 ? x ? (6 ? 2 5 )a, 4a 2 4a (y ? ) ? ( x ? 4a ) ( x ? (6 ? 2 5)a) 3 3 2014/6/5

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【小结】
本节课主要复习了定义法、待定系数法、相关点法: 1.当动点满足的条件符合某一已知曲线时,可用定义法;

2.当已知曲线的类型和位置,可设出曲线方程,利用待定 系数法求解;
3.当所求动点的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动 点的运动时,可利用相关点法;其关键是找出两动点的 坐标的关系,这要充分利用题中的几何条件.

2014/6/5

2015年5月5日星期二

【小结】

4.最后注意挖去或补上一些点等. 5.求轨迹方程一般只要求出方程即可; 求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么.

2014/6/5

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【巩固练习】
如图,已知点 A(?3,0),B(3,0),点C、D为 圆x ? y ? 25上两相异动点,且满足 CB ? CD.
2 2

若点P在线段CD上,且?PAD ? ?PBC,求点P 的轨迹方程 .

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解析: 延长CB交圆于点E,连接DE. 因为CD⊥CE,所以DE为圆O的直径. 从而O为线段DE的中点. 由已知,OA=OB,所以△AOD≌△BOE, 所以∠ADO=∠BEO,故AD∥BC. 延长AP,BC相交于点M,则∠PAD=∠PMB. 又已知∠PAD=∠PBC,所以∠PMB=∠PBM, 故△BPM为等腰三角形. 因为PC⊥BM,所以点C为线段BM的中点. 连接OC,则|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=|AM|=2|OC|=10,
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所以点P的轨迹是以点A、B为焦点,长轴长为10的 椭圆(不包括长轴的两端点). 因为a ? 5,c ? 3,所以b ? a 2 ? c 2 ? 4, x2 y2 故点P的轨迹方程是 ? ? 1( y ? 0). 25 16

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【小结】
本节课主要复习了定义法、待定系数法、相关点法: 1.当动点满足的条件符合某一已知曲线时,可用定义法;

2.当已知曲线的类型和位置,可设出曲线方程,利用待定 系数法求解;
3.当所求动点的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动 点的运动时,可利用相关点法;其关键是找出两动点的 坐标的关系,这要充分利用题中的几何条件.

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【课堂小结】

4.最后注意挖去或补上一些点等. 5.求轨迹方程一般只要求出方程即可; 求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么.

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【课后练习】
已知定点A(3, 0),点P是圆x 2 ? y 2 ? 1上的动点, ?AOP的平分线交AP于M,求点M的轨迹方程 .

2014/6/5

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【小结】
本节课主要复习了定义法、待定系数法、相关点法: 1.当动点满足的条件符合某一已知曲线时,可用定义法;

2.当已知曲线的类型和位置,可设出曲线方程,利用待定 系数法求解;
3.当所求动点的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动 点的运动时,可利用相关点法;其关键是找出两动点的 坐标的关系,这要充分利用题中的几何条件.

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【课堂小结】

4.最后注意挖去或补上一些点等. 5.求轨迹方程一般只要求出方程即可; 求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么.

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【巩固练习】

已知双曲线中心在原点 且一个焦点为F ( 7 ,0) 直线l:y ? x ? 1与其相交于M、N两点,MN的中 2 点的横坐标为? ,求此双曲线方程 . 3

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【小结】
本节课主要复习了定义法、待定系数法、相关点法: 1.当动点满足的条件符合某一已知曲线时,可用定义法;

2.当已知曲线的类型和位置,可设出曲线方程,利用待定 系数法求解;
3.当所求动点的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动 点的运动时,可利用相关点法;其关键是找出两动点的 坐标的关系,这要充分利用题中的几何条件.

2014/6/5

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【课堂小结】

4.最后注意挖去或补上一些点等. 5.求轨迹方程一般只要求出方程即可; 求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么.

2014/6/5

2015年5月5日星期二

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