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高中数学(2.4正态分布)


第二章 随机变量及其分布 2.4 正态分布 复习回顾 1、两点分布 2、超几何分布 X P 0 1 ... m X P 0 1 3、二项分布 0 1 ? ? ? ? 情景引入 前面我们学习了离散型随机变量的三种分布,下面 我们来学习第四种重要的分布——正态分布 正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知道,离 散型随机变量最多取可列个不同值,它等于某一特定实数 的概

率可能大于0,人们感兴趣的是它取某些特定值的概 率,即感兴趣的是其分布列;连续型随机变量可能取某个 区间上的任何值,它等于任何一个实数的概率都为0,所 以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率。离散型随机变 量的概率分布规律用分布列描述,而连续型随机变量的概 率分布规律用密度函数(曲线)描述。 我们来复习一下频率分布直方图 200个产品尺寸的频率分布直方图 样本容量增大时频率分布直方图 100 总体密度曲 线 产品 尺寸 (mm) 25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535 下面我们来了解高尔顿板试验 高尔顿板——在一块木板上钉着若干相 互错开的圆柱形小木块,小木块之间留有适 当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃。让 一个小球从高尔顿板上方的通道口落下,小 球在下落的过程中与层层小木块碰撞,最后 掉入高尔顿板下方的某一球槽内。 我们会发现,随着重复次数的增加,小 球落入下方槽内形成一条接近“钟形” 的曲线。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 以球槽的编号为横坐标,以小球落入各个球槽内的频率值为纵 坐标,可以画出“频率分布直方图”。 随着重复次数的增加,直方 图的形状会越来越像一条 “钟形”曲线。 槽的编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 正态分布密度曲线 (简称正态曲线) 函数解析式为: 0 a b 正态分布的定义 0 a b 在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布: 在生产中,在正常生产条件下各种产品的质量指标; 在测量中,测量结果; 在生物学中,同一群体的某一特征;……; 在气象中,某地每年七月份的平均气温、平均湿度 以及降雨 量等,水文中的水位; 总之,正态分布广泛存在于自然界、生产及科学 技术的许多领域中。 正态分布在概率和统计中占有重要地位。 正态分布的性质 μ= -1 σ=0.5 μ=0 σ=1 μ=1 σ=2 -3 -2 -1 0 1 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 具有两头低、中间高、左右对称的基本特征 y μ= -1 σ=0.5 y y μ=1 σ=1 σ=2 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x μ=0 -3 -2 -1 0 正 态 分 布 的 性 质 x=m 1 2 x -3 -2 -1 0 x=m 1 2 3 x x=m (4)曲线与x轴之间的面积为1。 (5)方差相等、均数不等的正态分布图示 (6)均数相等、方差不等的正态分布图示 σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散; σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中. 正态曲线下的 面积 概率 规律(重要) S(-?,-X) S(X,?)=S(-?,-X) X=m 正态曲线下的 面积 概率 规律(重要) ? 对称区域面积相等。 S(-x1, -x2) S(x1,x2)=S(-x2,-x1) - x 1 - x

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