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高中数学知识辅导


高中数学知识辅导:

函数的相关问题

一、提要:指数函数与对数函数是两个常用且重要的函数,对于它们的图象和性质要熟记在 心, 同时要特别注意底数 a?1 和 0?a?1 时其不同的单调性。对于幂函数主要要掌握六 种基本形式及 n?0 时一般基本特性,同时结合具体函数的奇偶性来处理相关问题。 二、基本问题的回顾与归纳 1、指数及运算

/>m (1)分数指数幂与根式: a n ? n a m ; a ? n ? 1 (以上 a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ). m

m

an

(2)幂的运算性质:⑴′ a a ? a (a ? 0, r, s ? Q) , ⑵′ (a r ) s ? a rs (a ? 0, r, s ? Q) , ⑶′ (ab) r ? a r b r (a ? 0, b ? 0, r ? Q) . 2、对数及运算
r s

r ?s

(1)指数式与对数式的互化: a b ? N ? loga N ? b ;对数恒等式: a (2)换底公式: log N ? logb N ;推论 1: loga b ? a
logb a

log a N

? N (N>0)

1 ;推论 2: log b n ? n log b . a am m logb a

(3)对数的运算性质:如果 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0, 那么⑴ loga (MN ) ? loga M ? loga N; ⑵ log
a

M N

= loga M ? logb N ;⑶ loga M n ? n loga M (n ? R) .

3、指数与对数函数的图像、性质回顾 函数 a?1 图 像

y ? ax
0?a?1 a?1

y ? loga x
0?a?1

取 值 变 化 单调性 定义域 值 域 4、与图像有关的问题 x (1)已知函数 f(x)=|2 -1|,若 a<b<c 时,f(a)>f(c)>f(b),则( ) a c a b - a c a c A、2 >2 B、2 >2 C、2 <2 D、2 +2 <2 (2)方程 a +1= -x +2x+2a(a>0 且 a≠1)的解的个数为( ) A、1 B、2 C、0 D、与 a 的取值有关 (3)请作出函数 y=| log 2(x+1)|及 y=log2|x--1|+1 的草图。
x 2

(4)方程 log2(x+4)=3x 的根的个数为( )个。

1

(5)不等式 log2(--x)<x+1 的解集为(

) 。 ) 。

(6)若函数 y=log2|ax--1|(a>0)的图象关于直线 x=2 对称,则 a=( 5、单调性的应用 (一)比较大小: 1、填空: (用“?”或“?” ) (1) ( )

3 4

?1?5

3 ( ) ?1?6 ; 4
log 1 1 ;
3

(2)20. 75

0 .35;

(3)log 8 3
3

4
55

log 1 2 ;
3
22

3

(4) log 1 1
2

(5) 455

544;

3

2

2、请比较 2 与5 的大小;

3、比较 a 与a (a>0)的大小;
2 a

4、将

3 , log 2 3 24 , log 4 5, log 5 4 ,从小到大排列起来。 2

(二)解不等式: (1) ( )

1 2

x 2 ?5 x

>( )

1 2

x?7



(2) a x

2

?5 x

>a

x ?7

(a>0 且 a≠1)

(3)log2(x2--2x--3)>log2(x+1) (4)使 log 1 x >0 成立的一个必要不充分条件是(
2

) D、0<x<1 ) ;

A、x>1 (5) 、若 log a

B、

1 <x<1 2

C、x<1

2 <1,则实数 a 的取值范围是( 5 x x (6)若函数 y=4 -3·2 +3 的值域为[1,7],求 x 的取值范围。

(三)与定义域、值域相关的问题 (1)求函数 y ? ( )
x x

1 2

? x 2 ? 2 x ?3

的的单增区间和值域。
x? 1 2

(2)已知 9 ? 10 ? 3 ? 9 ≤0,求函数 y ? 4

? 3 ? 2 x ? 5 的最大值和最小值。

(3)已知函数 f(x)=log2(x2--2)的定义域为[a,b],值域为[1,log214],求 ab 的值。 (4)已知函数 f(x)=log2(x2--2ax+3)(1 若其定义域为 R,求实数 a 的取值范围; 。 (2 若其值域为 R,再求实数 a 的取值范围。

2

(5)已知函数 f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求 y=[f(x)]2+f(x2)的最大值。

(6)已知: 2 log2 x ? 7 log1 x ? 3 ≤0,求函数 y ? log 2 1
2 2

x 4 ? log 2 的最值。 2 x

(四)恒成立问题 (1)若对一切|p|≤2,不等式: log2 x ? plogx ? 1 >2log2x+p 恒成立,求 x 的取值范围。 2

( (2)若不等式: )

1 2

x 2 --2ax

<2

3x ?a 2

对一切 x∈R 恒成立,求 a 的取值范围。

6、幂函数及相关问题
n

y

1 1 (1)要掌握的六个幂函数: y ? x (n=-1, , , 1,2,3). 2 3
(2)弄清 0<n<1 和 n>1 时幂函数的图像特征。 1 o (3)幂函数 y ? (m2 ? m ? 1) x m
2

n>1

n=1 0<n<1

1

x

?2m?3

当 x ? (0,??) 时为减函数,求实数 m 的值。

(4)比较三数: 5 5, 3 3, 2 的大小。

作业: (一)比较大小 1、已知 a ? 0 ? 8 、 b ? 0 ? 8 、 c ? 1 ? 2 ,试比较 a、b、c 的大小。 2、 比较(1)log0. 20. 3 与 log30. 4 ; (2)当 n>1 时,logn(n+1)与 log(n+1)n 大小. 2 x 3、已知函数 f(x)=x -bx+c 满足 f(1+x)= f(1-x) ,且 f(0)=3,比较 f(b )与 x f(c )的大小。 4、已知 f(x)=1+logx3,g(x)=2log x2, (x?0 且 x≠1) ,比较 f(x)与 g(x)的大小。 (二)与单调区间有关的问题: 1、 函数 y= log 1 (3 ? 2 x ? x ) 的值域是 (
2 2
0?7 0?9 0?9

) 单减区间是 , (

) ;

2、利用图象写出函数 f(x)=log0. 5|x2--x--12|的单调区间。 3、若函数 f(x)=loga(2--ax)在[0,1]上单减,则 a 的取值范围是( ) A、 (1,2) B、 (0,1) C、 (0,2) D、 (2,+∞)
3

(三)其它问题 1、若 loga

2 <1,求 a 的取值范围;
logb ( x ?3)

2、已知 0<a<1,0<b<1,若 a

<1,求 x 的取值范围;

3、已知函数 f(2x)的定义域为 x∈[--1,1],求 y=f(log2x)的定义域 4、求函数 y= log 1 3 - 2x - x 2 的定义域和值域。
2

5、求函数 f ( x) ? log2 x ? log1 x ? 5 ,x∈[2,4]的最大值。 1
4 4

6、已知函数 y=loga(mx2—6mx+m+8)的定义域为 R,求 m 的取值范围;若值域 R 呢?

7、设 f(52x--1)=x—2,求 f(125)的值; 8、设函数 f(x)= log( a 2 ?1) (2 x ? 1) 在区间(--0.5,0)内恒有 f(x)?0。 (1)求 a 的取值范围; (2)判断 f(x)的单调性。

9、已知函数 f(log2x)= x 2 ? 2x ? 1 , (1)求 y=f(x)的解析式; (2)写出 y=f(x) 的单调区间; (3)比较 f(x+1)与 f(x)的大小; (提示:利用图象较简)

10、已知幂函数 f ( x) ? x m

2

?2m?3

(m ? Z ) 为偶函数,且 x ? (0,??) 时为减函数,求 f(x)并

比较 f(-2)与 f(1)的大小。

4


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