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2015高考数学重庆(理).docx


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数 学(理工类)
数学试题卷(理工农医类)共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 特别提醒: (14)、(15)、(16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题 给分。 一、选择题:本大题 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个备选项中, 只有一个项是符合题目要

求的。 (1)已知集合 A ? ?1,2,3? , B ? ?2,3? ,则( (A)A=B (B) A∩B ? ? ) (C ) A ? B ) (D)6 (D) B ? A

(2)在等差数列 ?an ? 中,若 a2 ? 4, a4 ? 2 ,则 a6 =( (A)-1 (B)0 (C)1

(3)重庆市 2013 年各月的平均气温(?C)数据的茎叶图如下:

则这组数据的中位数是( (A)19
2

) (C)21.5 ) (B)充分而不必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ) (D)23

(B)20

(4)“ x ? 1 ”是 log 1 ( x ? 2) ? 0 的( (A)充要条件 (C)必要而不充分条件

(5)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

1 (A) ? ? 3

2 (2) ? ? 3

1 (3) ? 2? 3

2 (4) ? 2? 3

(6)若非零向量 a,b 满足 a ? (A)

2 2 b ,且 (a ? b) ? (3a ? 2b) ,则 a 与 b 的夹角为( 3



? 4

(B)

? 2

(C)

3? 4

(D) ?

(7)执行如题(7)图所示的程序框图,若输出 k 值为 8,则判 断框内可填入的条件是( ) (A) s ≤ (B) s ≤ (3) s ≤ (4) s ≤
3 4 5 6

11 12 25 24

(8)已知直线 l: x ? ay ? 1 ? 0(a ? R) 是圆 C: x2 ? y2 ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 的对称轴,过点 A(-4,a)作圆 C 的一条切线,切点为 B,则 AB =( (A)2 (9)若 tan ? ? 2 tan (A)1 10、设双曲线 (B) 4 2 (C)6 ) (D) 2 10

?
5

cos(? ?
,则

3? ) 10 =(

sin(? ? ) 5
(C)3 (D)4

?



(B)2

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的右焦点为 F,右顶点为 A,过 F 作 AF 的垂线 a 2 b2

与双曲线交于 B、C 两点,过 B、C 分别作 AC、AB 的垂线,两垂线交于点 D。若 D 到直线 BC 的距离小于 a ? a2 ? b2 ,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( (A) (?1,0)∪(0,1) (C) ( 2,0)∪(0, 2) (B) (??, ?1)∪(1, ??) (D) (??, ?1)∪( 2, ? ?) )

二、填空题:本大题共 6 个小题,考生作答第 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填

写在答题卡相应的位置上。 (11)设复数 a ? bi(a,b ? R) 的模为 3 ,则 (a ? bi)(a ? bi) = (12) ( x3 ?
1 2 x )5 的展开式中 x8 的系数是

(用数字作答)

(13)在△ABC 中,B=120? ,AB= 2 ,A 的角平分线 AD= 3 ,则 AC= 考生注意: (14) 、 (15) 、 (16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按 前两题给分。 (14)如题(14)图,圆 O 的弦 AB,CD 相交于点 E,过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延 长线交于点 P,若 PA=6,AE=9,PC=3,CE:ED=2:1, 则 BE=

? x ? ?1 ? t (15)已知直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) ,以坐标原点 ? y ? 1? t
为极点,x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线 C 的极坐标方程 为 ? 2 cos 2? ? 4( ? ? 0,
3? 5? ?? ? ) ,则直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标为 4 4


(16)若函数 f ( x) ? x ?1 ? x ? a 的最小值为 5,则实数 a=

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 8 分) 端午节吃粽子是我国的传统习俗。设一盘中装有 10 个粽子,其中豆沙粽 2 个,肉 粽 3 个,白粽 5 个,这三种粽子的外观完全相同,从中任意选取 3 个。 (Ⅰ)求三种粽子各取到 1 个的概率; (Ⅱ)设 x 表示取到的豆沙粽个数,求 x 的分布列与数学期望。

(18) (本小题满分 13 分, ()小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分)

? 已知函数 f ( x) ? sin( ? x) sin x ? 3 cos 2 x 2
(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期和最大值;

? ? 2? ? (Ⅱ)讨论 f ( x) 在 ? , ? 上的单调性。 ?6 3 ?

(19) (本小题满分 13 分, ()小问 4 分, (Ⅱ)小问 9 分) 如题(19)图,三菱锥 P-ABC 中,PC⊥平面 ABC,PC=3,∠ACB=

? ,D,E 2

分别为线段 AB,BC 上的点,BC 上的点,且 CD=DE= 2 ,CE=2EB=2。 (Ⅰ)证明:DE⊥平面 PCD; (Ⅱ)求二面角 A-PD-C 的余弦值。

(20) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 5 分) 设函数 f ( x) ?
3x 2 ? ax (a ? R) 。 ex

(Ⅰ)若 f ( x) 在 x=0 处取得极值,确定 a 的值,并求此时曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的 切线方程; (Ⅱ)若 f ( x) 在 ?3, ??? 上为减函数,求 a 的取值范围。

(21) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分)
x2 y 2 如题(21)图,椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F2 a b

的直线交椭圆于 P、Q 两点,且 PQ ? PF1 。 (Ⅰ)若 PF1 ? 2 ? 2 , PF2 ? 2 ? 2 ,求椭圆的标准方程; (Ⅱ)若 PF1 ? PQ ,求椭圆的离心率 e。

(22) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 分)
2 在数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , an?1an ? ?an?1 ? ?an ? 0 (n ? N ? ) 。

(Ⅰ)若 ? ? 0, ? ? ?2 ,求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 ? ?
1 1 1 (k0 ? N ? , k0 ≥ 2), ? ? ?1 ,证明 2 ? ? ak0 ?1 ? 2 ? k0 3k0 ? 1 2 k0 ? 1


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