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和差化积公式推导(非常简单实用)


关于和差化积公式的推导
Von · braun Zhan jiang normal university 2009.11.17 关于积化和差及和差化积得公式,在高中数学学习过程中,教材及考试并未做过多的 讲述及要求,这导致同学们在学习过程中难免会对其运用的程度不够,以致在大学学习数 学的时候运用积化和差及和差化积公式解题时感到无从下手以致无法进行下一步的运算; 特别是对于和差化积公式;鉴于此种情况,我在这里就其推演做一简单而有效的证明。 在这里我先给出积化和差公式:
sin ? cos ? ? 1 2

?sin ??

? ? ? ? sin ?? ? ?

??

sin ? sin ? ? ? cos ? sin ? ? cos ? cos ? ?

1 2 1 2 1 2

?cos( ? ?sin( ? ?cos( ?

? ? ) ? cos( ? ? ? ) ? ? ? ) ? sin( ? ? ? ) ? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) ?

及和差化积公式:
sin ? ? sin ? ? 2 sin sin ? ? sin ? ? 2 cos

? ??
2

cos sin

? ??
2

? ??
2

? ??
2

c o s? ? c o s? ? 2 c o s

? ??
2

cos

? ??
2

c o s? ? c o s? ? ? 2 s i n

? ??
2

sin

? ??
2

写到这里,我们会发现对于积化和差公式其实是非常容易理解的,无非就是三角公式 的展开,这要求大家对这些公式有清晰的认识;而对于和差化积公式,也许对于一些人就 有些麻烦了,不过相信你在看完这份资料后,对于和差化积公式的运用就并不是那么糟糕 的事情了,下面我们一起看看推导过程吧! 首先,我们来看和差化积公式的第一条公式:
sin ? ? sin ?

从这左边的一半,我们很难找到对应的公式化简,但是,我们换一个角度

来看,我们还是可以应用三角公式进行展开的,不过我们要对角进行一定的处理,就像这 样: 令
? ? ? ??
2 ?

? ??
2

? ?

? ??
2

?

? ??
2

代入 sin ? ? sin ? 中,可以得到
?? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ? s i n? ? s i n? ? s i n? ? ? ? ? s i n? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2

对于这道等式的右边,我们已经并不感到陌生了,为此成功已经属于我们的了,下一步是

做相应的三角公式展开。 公式右端,我们进行我们那擅长的三角公式展开:
? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ?? ? ?? ? s i n? ? cos ? cos sin ? ? sin 2 ? 2 2 2 2 ? 2 ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ?? ? ?? ? s i n? ? cos ? cos sin ? ? sin 2 ? 2 2 2 2 ? 2

?

?

?+?可得:
2sin

? ??
2

cos

? ??
2

? 得证。

至此,我们已完成对和差化积的第一条公式的推导运算,对于剩下的三条公式,应用 的角变换依然是
? ? ? ??
2 ?

? ??
2

? ?

? ??
2

?

? ??
2

为了方便大家学习及应用,我在这里把它们全部都罗列出来:

? ?? ? ?? ?? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ? s i n? ? s i n? ? s i n? ? ? sin ? ? s i n? ? ? 2cos 2 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 2

? ?? ? ?? ?? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ? c o s? ? c o s? ? c o s? ? ? cos ? ? c o s? ? ? 2cos 2 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 2
? ?? ? ?? ?? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ? c o s? ? c o s? ? c o s? ? ? sin ? ? c o s? ? ? ?2 s i n 2 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 2

到这里,和差化积公式的推导已经完满结束,不多的内容,相信你已经掌握了和差化 积公式。 那么现在我们一起来做一道选自钟玉泉教授的《复变函数论》中的一道题作为我们最 后的练习题,那让我们一起看看做做: Eq:
sin ? z ? ? ? ? sin z

题目是很简单的,就按照我们所用的角度变换即可:

z?? ?

?z ? ? ? ?
2

z

?

?z ? ? ? ?
2

z

z ?

?z ? ? ? ?
2

z

?

?z ? ? ? ?
2

z

? ? ? ? ?z ? ? ? ? z ?z ? ? ? ? z ? ? ?z ? ? ? ? z ?z ? ? ? ? z ? ? ? s i n? ? ? ? ? s i n? ? ? 2 c o s? z ? ?s in 2 2 2 2 2 ? 2 ? ? ? ? ?

得证。


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