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.执行3.1.1《直线的倾斜角与斜率》课件(新人教A版必修2)


3.1.1《直线的倾斜 角与斜率》
主讲人:杨晖

1 2016/6/4

1

一、学习目标

? 1、理解直线的倾斜角和斜率的概念、得出 直线倾斜角的范围。 ? 2、理解倾斜角和斜率的关系及斜率公式的 意义,根据直线上两点能求直线的斜率和 倾斜角。 ? 重点:直线的倾斜角和斜率的概念及

斜率 公式。 ? 难点:直线的倾斜角和斜率的关系,要联 系正切函数的图像来理解。
2 2016/6/4 2

一、预习效果检测

1:下列图中标出的直线的倾斜角哪些是不对的?

y

y

y

y

o

?
x

o

? x

? o
(3)

?
x o (4) x

(1)

(2)

3 2016/6/4

3

2:已知直线的倾斜角,求直线的斜率

3 ?1?a ? 30 ? k ? tan30 ? 3 ? ? ?2?a ? 45 ? k ? tan45 ? 1
?
?

?3?a ? 60 ? k ? tan60 ? 3 tan ? ? tan(180 ? q ) ? ?4?a ? 120 ? ? q
?
?
?

tan
?

2016/6/4

? k ? ? tan( 180 ?120 ) ? ? 3 3 ? ? ? ?5?a ? 150 ? k ? ? tan(180 ?150 ) ? ? 3
?
4

4

二、知识梳理
过一点P可以作无数条直线l 1, l 2 , l 3 ,… 它们都经过点P (组成一个直线束),这些直线 区别在哪里呢? y
l O

P

x

5 2016/6/4

5

二、知识梳理
容易看出,它们的倾斜程度不同.怎样描述 直线的倾斜程度呢?
y
这些直线向上的方向 与X轴正向所成角不同 。

l O

P

x

6 2016/6/4

6

二、知识梳理

一、直线的倾斜角: 1、定义:
当直线l与x轴相交时,
我们取x轴作为基准,x轴

y

l

?
o
x

正向与直线l向上方向之间 y 所成的角 ? 叫做直线的
0o 1.当直线与x轴平行或重合时, ? ?0

倾斜角。

?
x
l
7 7

2.当直线与x轴垂直时, ? ? 90
2016/6/4

0

问题3: 按倾斜角分类,直线的位置可分几类?
y o
y p

二、知识梳理

l x

o

?

p

l
x

y p o

l

y o p?

?

x

x

l

2、范围:

0 ? a ? 180
?

?

8 2016/6/4

8

二、知识梳理
直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系? 平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角, 倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角, 倾斜程 度相同的直线其倾斜角相同. y l?? l 已知直线上的一个点不能 l? 确定一条直线的位置;同样已 知直线的倾斜角α.也不能确定 一条直线的位置. O x 但是,直线上的一个点和 这条直线的倾斜角可以唯一确 定一条直线.
9 2016/6/4 9

确定直线的要素

二、知识梳理

确定平面直角坐标系中一条直线位置的几 何要素是: 直线上的一个定点以及它的倾斜角, 二者 缺一不可.
y

l
O P x

10 10 2016/6/4

二、知识梳理
日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?

升高量 坡度(比) ? 前进量

升 高 量 前进量
11 11 2016/6/4

问题引入
例如,“进2升3”与“进2升2”比较,前者

3 3 ? . 更陡一些,因为坡度(比) 2 2

升 高

升高量 坡度(比) ? 前进量

?
2016/6/4

前进
12 12

直线的斜率
如果使用“倾斜角”这个概念,那么这里的“坡 度(比)”实际就是“倾斜角α的正切”.

一条直线的倾斜角 ? 的正切值叫做这 条直线的斜率(slope).
通常用小写字母k表示,即

k ? tan?

(? ? 90 )
?

倾斜角是90? 的直线有斜率吗? 倾斜角是90? 的直线的斜率不存在.
13 13 2016/6/4

直线的斜率
如:倾斜角 ? ? 45? 时,直线的斜率 k ? tan 45? ? 1. ,

tan(180? ? ? ) ? ? tan ? .

? 如:倾斜角为 ? ? 135 时,由

k ? tan 135? ? ? tan 45? ? ?1 即这条直线的斜率为 ? 1.

倾斜角α不是90°的直线都有斜率,并且倾 斜角不同,直线的斜率也不同.因此,可以用斜 率表示直线的倾斜程度.
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两点的斜率公式

二、知识梳理

已知直线上两点的坐标,如何计算直线的斜率? 给定两点P1 ( x1 ,y1), P2 ( x2 ,y2), 并且 x1 ≠x2,如何计算直线P1 P2的斜率k.

15 15 2016/6/4

两点的斜率公式
设直线P1 P2的倾斜角为α ( α ≠90° ),当直线P1 P2的 方向(即从P1指向P2的方向) 向上时,过点P1作 x 轴的平行 线,过点P2作 y 轴的平行线, 两线相交于点 Q,于是点Q的 坐标为( x2,y1 ).

?

当 ? 为锐角时,? ? ?QP 1P 2 , x1 ? x2 , y1 ? y2 . 在直角 ?P1 P2Q 中

| QP2 | y2 ? y1 tan? ? tan ?QP1 P2 ? ? | P1Q | x2 ? x1

16 16

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两点的斜率公式

q

? ? ? 180 ? ?QP1 P2 , x1 ? x2 , ? 当 为钝角时, y1 ? y2 . tan ? ? tan(180? ? q ) ? ? tanq

在直角 ?P1 P2Q 中

| QP2 | y2 ? y1 y2 ? y1 tanq ? ? ?? | P1Q | x1 ? x2 x2 ? x1

2016/6/4

y2 ? y1 tan? ? . x2 ? x1

17 17

两点的斜率公式

二、知识梳理

同样,当 P2 P1 的方向向上时,也有

y2 ? y1 tan? ? . x2 ? x1
18 18 2016/6/4

两点的斜率公式

1.已知直线上两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ,运用 上述公式计算直线 AB? 斜率时,与 P 两点坐标的顺 1, P 2 序有关吗?

无关

2.当直线平行于y 轴,或与y 轴重合时,上述斜 率公式还适用吗?为什么?

不适用

19 19 2016/6/4

两点的斜率公式
当直线 P2 P1 与 x 轴平行或重合时,上述式子还成 立吗?为什么? 成立

经过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 )(x1 ? x2 ) 的直线的 斜率公式为:

y2 ? y1 tan? ? . x2 ? x1
20 20 2016/6/4

三、问题探究
例1 如图 ,已知 A( 3,2), B( ?4,1), C (0,?1) ,求 直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角 是锐角还是钝角.

解:直线AB的斜率 1? 2 1 k AB ? ? ; ?4?3 7 直线BC的斜率 ?1?1 ? 2 1 k BC ? ? ?? ; 0 ? ( ?4 ) 4 2 ?1? 2 ? 3 ? ? 1; 直线CA的斜率 kCA ? 0?3 ?3 由 k AB ? 0 及 kCA ? 0 知,直线AB 与CA的倾斜角均 为锐角;由 kBC ? 0 知,直线BC的倾斜角为钝角.
21 21 2016/6/4

三、问题探究
例2 在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率 分别为1,-1,2及-3的直线 l1 , l2 , l3 及 l 4 . l y l A 解:取 l1上某一点为 1 的 A 坐标是 ( x1 , y1 ),根据斜率公式 A 有: y1 ? 0 x 1? , A x1 ? 0 l
3
3

1

1

2

4

即 x1 ? y1 .

A4

l2

设 x1 ? 1 ,则 y1 ? 1 ,于是 A1的坐标是 (1,1) .过 原点及 A1 (1,1) 的直线即为 l1 . l 2是过原点及 A2 ( x2 , y2 ) 的直线,l 3 是过原点及 A3 ( x3 , y3 )的直线, l 4 是过原点及 A4 ( x4 , y4 ) 的直线.
22 22 2016/6/4

三、问题探究 例3. 已知三点A(a, 2)、B(5, 1)、C(-4, 2a) 在同一直线上,求a的值.

23 23 2016/6/4

四、当堂检测

1.当且仅当m为何值时,经过两点
A(m,3)、B(-m,2m-1)的直线的

倾斜角为60 ?

o

24 24 2016/6/4

知识小结

倾斜角

斜率

两点间斜率公式

25 25 2016/6/4


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