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对称问题


对称问题
2015年10月27日星期二 3时33分0秒 对称问题 1

1、点关于点的对称点问题 (1)点关于点对称的问题是最基本对称, 是解答其它对称问题的基础。 (2)点关于点对称的问题可以采用什 x ?x ? 么公式计算? x? ? ? 2 ? 中点坐标公式 ? y ? y ? y 是研究
1 2

点关于点对称的问题的重要思想。

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( 3 )特殊 地 , 点M ( a , b )关于 原点对称 的点 的坐 标是 M' ( ?b ,?a )
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例:已知点A( 5 ,8 ),B( 4 ,1 ),试求A点关于B点 的对称点C的坐标.
解 : 设C点坐标为( x, y). 由中点坐标公式有 一般地,点A(x,y) 5? x ? 关于点 M(m,n) 对 4? ? ?x ? 3 ? 2 称的点B的坐标 得 ? ? 8 ? y y ? ? 6 为(2m-x,2n-y). ? ?1 ? ? ? 2 ?C点坐标为(3, ?6)为所求.
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2、直线关于点的对称直线问题 (1)直线关于点的对称问题主要体现 在求出直线关于点对称后的新的直线 的方程。

(2)常用的思想就是点关于点对称的问 题。如何理解?(同学们给出结论)
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(3)能理解直线Ax ? By ? C ? 0关于原点 O的对称直线是A(? x) ? B(? y) ? C ? 0.
(4)直线l关于点A对称后得到的新的 直线l’与原直线l有什么关系?

平行!
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例2 : 求直线3x ? y ? 4 ? 0关于点P(2, ?1) 对称的直线方程.
提示:1、使用点关于点对称的问题入手。
2、使用直线关于点对称得到的直线与原直 线平行,则对称点到两直线的距离相等的 问题来解。

( 3 x ? y ? 10 ? 0 )
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3、点关于直线的对称点问题 (1)明确点A关于直线l对称的点A’之间 的关系。 (2)能够求出点关于直线对称之后得到 的点的坐标。 l A (3)常用知识点:

① kl ? k ' ? ?1 AA
②A和A’的中点在直 线l上.
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A’

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例3: 求点A(2,2)关于直线2 x ? 4 y ? 9 ? 0的 对称点坐标 .
解法一、设过点A(2,2) 关于直线2x-4y+9=0的对称 点为A’(x0,y0),两点所在的 直线l’与原直线是相互垂直 的,那么就可以求出直线l’ 的方程,从而求出两条直线 的交点,然后再利用中点坐 标公式求出对称点的坐标。
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l’ A
l

A’

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例3: 求点A(2,2)关于直线2 x ? 4 y ? 9 ? 0的 对称点坐标 .
解法二、设所求的点是A’ (a,b),利用A与A’两点连线 与原直线垂直关系,得出 两点所在直线的斜率,又 利用中点坐标公式求出中 点,代入原方程,解方程 组求出a和b即可.
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A

l

A’

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特殊地,点A(m,n) (m,-n) (1)点A关于x轴的对称点为________; (-m,n) (2)点A关于y轴和对称点为________; (n,m) (3)点A关于直线y=x的对称点为________;

(-n,-m) (4)点A关于直线y=-x的对称点为_______;

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4、直线关于直线的对称直线问题 直线关于直线的对称的类型可分为几 种? 答:相交对称和平行对称

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例4 : 试求直线l1 : x ? y ? 2 ? 0关于直线 l2 : 3 x ? y ? 3 ? 0对称的直线l的方程.

( 7 x ? y ? 22 ? 0 )

例5 : 一光线经过点A(-2,1),遇直 线 x-3y+2=0反射后,经过点B(3,5),求 反射光线所在的直线方程 29x-22y+23=0
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例6:光线从A(-3,4)点射出,到x轴上的 B点后,被x轴反射到y轴上的C点,又被y轴 反射,这时反射线恰好过点D(-1,6),求BC 所在直线的方程
D Y C A B A’ O L1 X D’

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5.曲线关于点的对称问题.
曲线f(x,y)=0关于点P(m,n)对称的曲

f(2m-x,2n-y)=0 线方程为_______________.
特殊地,曲线f(x,y)=0关于原点(0,0)对 f(-x,-y)=0 称的曲线方程为_______________.

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6.曲线关于直线的对称问题. 曲线f(x,y)=0 f(x,-y)=0 (1)关于x轴对称的曲线方程为________, f(-x,y)=0 关于y轴对称的曲线方程为_________, f(y,x)=0 关于直线y=x对称的曲线方程为_______; 关于直线y=-x对称的曲线方程为 f(-y,-x)=0 ____________.

用对称点的横坐标来代方程中的x, 用对称点的纵坐标来代方程中的y.
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例7填空:写出直线2x-3y+6=0 2x+3y+6=0 (1)关于x轴对称的直线方程为_________; 2x+3y-6=0 (2)关于y轴对称的直线方程为_________; (3)关于原点对称的直线方程为________; 2x-3y-6=0

(4)关于直线y=x对称的直线方程为 2y-3x+6=0 ___________; (5)关于直线y=-x对称的直线方程为 2y-3x-6=0 ___________.
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例8:试分别写出圆(x-2)2+(y+3)2=9关于
(1)x轴.(2)y轴;(3)原点;(4)直线y=x;(5)直线

y=-x对称的圆的方程.

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