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圆方程一般式的妙用


第 4期 

高 中数 学教 与学 

圆 方程 一 般 式 的 妙 用 
史  嘉  朱 庆洲  
( 安徽 省毫 州市第 一 中学 , 2 3 6 8 1 0 )  

圆的一般式方程 C:   + y   +   +   +,  


( 2 )当点 P ( ‰,

Y o ) 在 圆内时 , 过点 P的弦  A B上 C P, 如图 2 . 则 
I   A B   l   :4   I   P曰I 。=4( I   BCI  一 I   P CI  )  


0 ( D   + E   一 4 F>0 ) . 当点 p ( x 。 , Y o ) 不在 圆 

c上时 ,   +   +矾 o +E , , 0 +F≠0, 该数值有  何几何意义 呢?  

4 [ 1 - 2一(   。一口 )  一( Y o—b )   ]  
4   I   +   + D  o + Ky o + F  J,  

经过探 索 , 我们 发现 
结论  已知圆 C :   +   +D  +   + F=  



I   A B   J =2 , / i   +   +D x 0 +E y o +,I .   灵活运 用上 述小 结 论解 题 , 常 能节 省 思 

0 ( D  +E 2— 4 F >0 ) , 点P (   。 , Y o ) .  
( 1 )点 当 P在圆外时 , 切线 P A切 圆于点  A , 则切线长 

维量和运算量 , 达到 事半 功倍 的效果 , 请看 以  下 三道高考题.   例1 ( 2 0 0 7年 四川高考题 )已知 00的 
方程 是  +Y   一2=0 , QO   的方程是  +  


I   P A   I=  ̄ /   +Y   +D x o+E y o+F;  
( 2 )当点 P在圆 内时 , 过点 P的弦 A B上   C P, 点 c为 圆心 , 则弦长 

8  +1 0=0 . 由动点 P向 o0和 0O   所引的 

I   A BI =2 , / J   +   +D x 0+E y o+,I .  

切线 长相等 , 则动点 P的轨迹方程是— —_ .   解  设动点 P (  ,   ) . 由切线 长相 等及结 
论( 1 ) , 知  +   一 2=   + Y   一 8 x +1 0 , 所 以,  

P 

2 

动点 P的轨迹方程是  =÷.  
二 

例2 ( 2 0 0 5 年江苏高考题 ) 如 图3 , 圆0 .  
图 1   图2  

与圆 0 : 的半径都是 1 , 0 。 0  =4 . 过动点 P分  别作 圆 0   、 圆0 : 的切 线 P M、 P Ⅳ(  、 Ⅳ分别为 

证 明  圆的方程一般式可 以由标准式展  开而得 , 所 以为简 洁起 见 , 以下仅从 标 准式证 
明.  

切点) , 使得 肼 =4  ̄ e N . 试 建 立适 当 的坐标 
系, 并求 动点 P的轨迹方程.  
P 

设 圆C : (  一0 )  +( Y—b )  =r   ( r >0 ) ,   P (  , Y o ) , 则圆心为 C ( 0 , 6 ) , 半径 为 r .   ( 1 )当点 P ( ‰, Y 。 )在圆外时 , 切线 P A切 
圆于 点 A , 如图 1 , 则 
 PA I   I   =l  PC   I   一I  AC  I  


图3  

(   0 一口 ) 。+( Y o—b )   一r  
+, , 0 2+ Dx + Ey o+ F ,   0

=  

解  以 0 。 0   所在 直线 为 轴 , 0 。 0   的中 

垂线 为 Y 轴, 建立平面直角坐标系. 设动点为 
?

I 尸 A   l : ̄ /  +   +D   o+E y o+F .  
47 ?  

高中数学教 与学  

2 0 1 3置  

; t   i R不等 式 “ 恒成 立’ ’ 问 题硇 翩 题 策 略 
彭 衍军  
( 浙江省 嘉兴市 第五 高级 中学 , 3 1 4 0 0 0 )  
l 口 J 题 





( 1 )当 a ≤ 0日 寸, h   (  )_ 任  ∈ ( 0,+ o o)  

高 中数学的“ 恒成立”问题是我们经 常遇  到 的. 本文对一个具体 的 “ 恒 成立”问题作 一  些探索 , 以抛砖引玉.  

上恒小 于 0 , 得^ (  ) 在( 0 , +∞)上为单调减 

函 数 , h ( J ) = 詈一   1 < o , 这 样 的 。 显 然 不 合  
题 意.  

问 题  已 知 函 数  ) =   ( 1 n   + 号 ) ,  
g (  ):—   + x ( a∈R) , 若g (   )≥   z ) 恒 

成立 , 求 a的取值范 围.  
二、 解题策略  上述 问题 中, g (  )≥  
a 
—  

( 2 ) 当 。 > 0 时 ,   (   ) 在 ( 0 , √ 丢 ) 上 小 于   0 ; 在 ( , \ /   龛 , + 。 。 ) 上 大 于 0 ? 于 是 ,   (   ) 在  

) 恒成立 , 即  

( 0 , √ 丢 ) 为 减 函 数 , 在 ( √   , + a 。 ) 上 为 增  
函 数 , N ; A   h (   : ^ (   卜  1  3  
由 一  1   l n  3 ≥ 0


≥ l n  + ÷  

①  

在 区间( 0 , + ∞ )上恒 成 立 .  
1 . 利 用 函数 思 想 

得 。 的 取 值 范 围 是 

将 ① 转 化 为 争。 一 l n   一 寺≥ 0 .  
令   (   ) = 争  一 l n   一   1 , 则 问 题 转 化  
为求 (   )的最小值 , 且 (   )   ≥0 .  
. ,  

( 一   , …) .  
点评  当不等式一边的函数 ( 或代数式 )   的最值较易求 出时 , 可直接求 出这个 最值 ( 最 
值可能含有参 数) , 然后建立关 于参 数的不等 
式 求健 .  

):L -a x  -1 (  )=  I _ — — — 一 令  ):   1 .   令   ’   (   ) : ÷o j    一.  


” ●…

? ●… ? ●… ? ●… ? ●…

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- ●… ? ●… - ●…

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- ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●…

? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●” 

尸 (  , Y ) , 贝 Ⅱ ( D O l : (  + 2 )  + y   =1 , o  2 : (  一   2 )  +   =1 . 根 据  =   _ P Ⅳ及 结 论 ( 1 ) , 知 

( A )  

( B )l  

( c )l 5 √ 2 ( D )  

解  由于点 E在 圆内, 根据结论 ( 2 ) 知,  

(  + 2 )  +   一1=2 [ (  一 2 )  +   一1 ] .  
所 以 动 点 P的 轨迹 方 程 是 
+Y  一 1 2 x + 3 = 0.  

最 短弦长 I   B DI =2  l   1—6   l=2 √ 5; 而最长 
弦是该 圆的直径 , 即I   A C   I =2   l 0 .  
所 以, 四边形 A B C D的 面 积 
1  
==

例3 ( 2 0 1 1年重庆高考题 ) 在 圆  +  


一 

2  一6 y=0内, 过点 E ( 0 , 1 )的最 长弦和最 
)  

÷I   A C   I ? I   B D   l =1 0 √ 2,  
二 

短弦分别为 A C和 B D, 则 四边形 A B C D的面积 
为 (  


故选 B .  

48 .  


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