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2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二张阳阳


2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷二
命题人:南昌二中 高三(01)班 张阳阳
一、填空题(64 分)
B

1.设集合 A ? { a , a , a ? {? 1, 3 , 5 , 8} ,则集合 A ?
1 2

3

, a4}

,若

A

中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为 . .

2.函数

f (x) ?

x ?1
2

x ?1

的值域为
1 a ? 1 b
3

3.设 a , b 为正实数, 4.如果 cos ?
5

? 2 2

, (a ? b)
3

2

? 4 ( ab )

3

,则 log

a

b ?

. .

? sin

5

? ? 7 (sin

? ? cos

?)

,?

? [ 0 , 2? )

,那么 ? 的取值范围是

5.现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目,每 个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数 为 . (用数字作答) 6.在四面体 ABCD 中,已知 ? ADB ? ? BDC ? ? CDA ? 60 ? , AD ? BD ? 3 , CD ? 2 ,则 四面体 ABCD 的外接球的半径为 . 7. 直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 与抛物线 y 则点 C 的坐标为 8. 已知 a
?
2

? 4x

C ? 交于 A, B 两点, 为抛物线上的一点, ACB

? 90 ?



. C
? 200
n

n

? 6?
3

200 ? n

? 1 ? ? ( n ? 1, 2 , ? , 95 ) , ?? 则数列 { a n } 中整数项的个数为 ? ? ? 2 ?

n



二、解答题(56 分)
9 . 16 分 ) 设 函 数 (
f (10 a ? 6 b ? 21 ) ? 4 lg 2 f ( x ) ? | lg( x ? 1) |

,实数

a, b(a ? b)

满足

f (a ) ? f (?

b ?1 b?2

)



,求 a , b 的值.

10. (20 分)已知数列 { a

n

} 满足: a 1 ? 2 t ? 3 ( t ? R

且t
?1

? ? 1) (n ?


*

a n ?1 ?

(2t

n ?1

? 3 ) a n ? 2 ( t ? 1) t a n ? 2t ? 1
n

n

N

)



(1)求数列 { a } 的通项公式; (2)若 t ? 0 ,试比较 a 与 a 的大小.
n
n ?1 n

11. (20 分)作斜率为 的直线 l 与椭圆 C :
3

1

x

2

?

y

2

? 1 交于 A, B

两点(如图所示) ,且 y P O A x B

36

4

P (3 2 ,

2)

在直线 l 的左上方.

(1)证明:△ PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上; (2)若 ? APB ? 60 ? ,求△ PAB 的面积.

2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷二
参考答案
1. { ? 3, 0, 2, 6} . 提示:显然,在 A 的所有三元子集中,每个元素均出现了 3 次,所以 , 故 a ? a ? a ? a ? 5 ,于是集合 A 的四个元素分别为 5-(-1)=6,5-3=2,5-5=0, 5-8=-3,因此,集合 A ? {? 3 , 0 , 2 , 6} .
3 ( a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ) ? ( ? 1) ? 3 ? 5 ? 8 ? 15
1 2 3 4

2. ( ? ? , ?

2 2

] ? (1, ? ? ) .

提示:设 x
1

? tan ? , ?

?
2

?? ?

?
2

,且 ?

?

?
4

,则

f (x) ?

cos ? tan ? ? 1

?

1 sin ? ? cos ?

?

1 2 sin( ? ?

?
4


)

设u

?

2 sin( ? ?

?
4

)

,则 ?

2 ? u ? 1 ,且 u ? 0 ,所以

f (x) ?

1 u

? ( ?? , ?

2 2

] ? (1, ?? )



3.-1. 提示:由

1 a

?

1 b

? 2 2

,得 a ? b
2

? 2 2 ab

.又
3 3

(a ? b)

2

? 4 ab ? ( a ? b )

? 4 ab ? 4 ( ab ) ? 4 ? 2 ab ? ( ab )

? 8 ( ab )

2




a ? b ? 2 2 ab





于是
a ? b ? 2 2 ab

. .与②联立解得 ?
? ?a ? ?b ? ?


2 ? 1, 2 ? 1,

再由不等式①中等号成立的条件,得 ab 故 log
b ? ?1
?? ? 4 ,

?1

或?

? ?a ? ?b ? ?

2 ? 1, 2 ? 1,

a


5? ? ? 4 ?

4. ?

. 提示:不等式
cos
5

? ? sin ? ? 7 (sin
5

3

? ? cos

3

?)

等价于
sin 1 7
3

? ?

1 7

sin

5

? ? cos

3

? ?

1 7

cos

5

?

. ,故



f (x) ? x ?
3

x

5

是 ( ?? , ?? ) 上的增函数,所以 sin ?
2 k? ?

? cos ?

?
4

? ? ? 2 k? ?

5? 4

(k ?

Z).

因为 ?

? [ 0 , 2? )

,所以 ? 的取值范围是 ?

?? ? 4

,

5? ? ? 4 ?



5.15000. 提示:由题设条件可知,满足条件的方案有两种情形: (1)有一个项目有 3 人参加,共有 C
3 7

? 5!? C 5 ? 5! ? 3600
1

种方案;
2

(2)有两个项目各有 2 人参加,共有 所以满足题设要求的方案数为 3600

1 2

( C 7 ? C 5 ) ? 5!? C 5 ? 5! ? 11400
2 2

种方案;

? 11400 ? 15000



6. 3 . 提示:设四面体 ABCD 的外接球球心为 O ,则 O 在过△ ABD 的外心 N 且垂直 于平面 ABD 的垂线上. 由题设知, ABD 是正三角形, △ 则点 N 为△ ABD 的中心. P , M 分 设 别为 AB , CD 的中点,则 N 在 DP 上,且 ON ? DP , OM ? CD . 因为
cos ? ? 1 3

? CDA ? ? CDB ? ? ADB ? 60 ?
,s i n ? ? 2 3

,设

CD

与平面

ABD

所成角为? ,可求得



在△ DMN 中, DM 由余弦定理得
MN
2

?

1 2

CD ? 1, DN ?

2 3

? DP ?

2 3

?

3 2

?3 ?

3



C

? 1 ? ( 3 ) ? 2 ?1 ?
2 2

3?

1 3

? 2

, D

M O B N A P

故 MN

?

2

.四边形 DMON 的外接圆的直径
MN sin ? 2 2 3

OD ?

?

?

3



故球 O 的半径 R 7.
2

?

3

. .提示: ,y 设
A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), C ( t , 2 t )
2

(1, ? 2 )



(9,? 6 )

,由

? x ? 2 y ? 1 ? 0, ? 2 ? y ? 4 x,



y ?8y ? 4 ? 0

,则 y

1

? y2 ? 8

1

? y 2 ? ?4



又x

1

? 2 y 1 ? 1, x 2 ? 2 y 2 ? 1 ,所以 x 1 ? x 2 ? 2 ( y 1 ? y 2 ) ? 2 ? 18



x1 ? x 2 ? 4 y1 ? y 2 ? 2( y1 ? y 2 ) ? 1 ? 1 .

因为 ? ACB

? 90 ?

,所以 CA ? CB
2

? 0
2

,即有 ,

( t ? x 1 )( t ? x 2 ) ? ( 2 t ? y 1 )( 2 t ? y 2 ) ? 0


t ? ( x 1 ? x 2 )t ? x 1 ? x 2 ? 4t ? 2 ( y 1 ? y 2 )t ? y 1 ? y 2 ? 0 ,
4 2 2


t ? 14 t ? 16 t ? 3 ? 0
4 2




( t ? 4 t ? 3 )( t ? 4 t ? 1) ? 0 .
2 2

显然 t

2

? 4t ? 1 ? 0

, 否则 t

2

? 2 ? 2t ? 1 ? 0

, 则点 C 在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上, 从而点 C 与点 A .

或点 B 重合.所以 t

2

? 4t ? 3 ? 0

,解得 t

1

? ? 1, t 2 ? ? 3

故所求点 C 的坐标为 (1, ? 2 ) 或 ( 9 , ? 6 ) .
200 ? n 400 ? 5 n

8.15. 提示: a 要使 a 当n
n

n

?

C

n 200

?3

3

?2

6


200 ? n 3 , 400 ? 5 n 6 200 ? n 3

n

(1 ? n ? 95 )

为整数,必有

均为整数,从而 6 | n ? 4 . 和
400 ? 5 n 6

?

2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80 时,

均为非负整数,所

以 a 为整数,共有 14 个. 当n
? 86

时, a

86

?

C

86 200

?3

38

?2

?5

,在 C

86 200

?

200 ! 86 !? 114 !

中, 200 ! 中因数 2 的个数为 ,
86 200

? 200 ? ? 200 ? ? 200 ? ? 200 ? ? 200 ? ? 200 ? ? 200 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? 4 ? ? ? 5 ? ? ? 6 ? ? ? 7 ? ? 197 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?

同理可计算得 86 ! 中因数 2 的个数为 82, 114 ! 中因数 2 的个数为 110,所以 C 个数为 197 当n
? 82 ? 110 ? 5

中因数 2 的

,故 a 是整数.
86

? 92

时, a

92

?

C

92 200

?3

36

?2

? 10

,在 C
86 200

92 200

?

200 ! 92 !? 108 !

中,同样可求得 92 ! 中因数 2 的个数为
? 88 ? 105 ? 4

88, 108 ! 中因数 2 的个数为 105,故 C 因此,整数项的个数为 14
b ?1 b?2

中因数 2 的个数为 197 .

,故 a 不是整数.
92

? 1 ? 15

9.因为

f (a ) ? f (?

)

,所以
b ?1 b?2 ? 1) |? | lg( 1 b?2 ) |? | lg( b ? 2 ) | ,

| lg( a ? 1) |? | lg( ?

所以 a ? 1 ? b ? 2 或 ( a ? 1)( b ? 2 ) ? 1 ,又因为 a ? b ,所以 a ? 1 ? b ? 2 ,所以 ( a ? 1)( b ? 2 ) ? 1 . 又由 f ( a ) ? | lg( a ? 1) | 有意义知 0 ? a ? 1 ,从而
0 ? a ?1 ? b ?1 ? b ? 2



于是
0 ? a ?1 ? 1 ? b ? 2


10 b?2

所以
(10 a ? 6 b ? 21 ) ? 1 ? 10 ( a ? 1) ? 6 ( b ? 2 ) ? 6 ( b ? 2 ) ? ? 1.

从而

f (10 a ? 6 b ? 21 ) ? | lg[ 6 ( b ? 2 ) ?

10 b?2

] | ? lg[ 6 ( b ? 2 ) ?

10 b?2

].


f (10 a ? 6 b ? 21 ) ? 4 lg 2



所以
lg[ 6 ( b ? 2 ) ? 10 b?2 1 3 1 3 ? ? 2 5 2 5 10 b?2 ] ? 4 lg 2



故 6 (b ? 2 ) ? 把b

? 16

.解得 b

? ?

或b

? ? 1 (舍去) .

? ?

代入 ( a ? 1)( b ? 2 ) ? 1 解得 a ,b
? ? 1 3



所以

a ? ?



10. (1)由原式变形得
a n ?1 ? 2 (t
n ?1

? 1)( a n ? 1)
n

a n ? 2t

?1

?1,


2 ( a n ? 1) a n ?1 ? 1 t
n ?1

?1

?

2 ( a n ? 1) a n ? 2t
n

?1

?

?1 an ?1 ?2 n t ?1 t
n



记 又

an ?1 t ?1
n

? bn
? 1 bn

,则 b
? 1

n ?1

?

2b n bn ? 2

,b

1

?

a1 ? 1 t ?1

?

2t ? 2 t ?1

? 2



1 b n ?1

1 1 , ? 2 b1 2

,从而有
1 bn ? 1 b1 ? ( n ? 1) ? 1 2 ? n 2





an ?1 t ?1
n

?

2 n

,于是有
? an ? 2 (t

an ?
n ?1

2 (t

n

? 1)

?1



n ? 2 (t
n

(2) a
?

? 1)

? 1)

n ?1

n ?1
n ?1

n

2 ( t ? 1) n ( n ? 1) 2 ( t ? 1) n ( n ? 1) 2 ( t ? 1)
2

?n (1 ? t ? ? ? t ?nt ?( t
n

? t ) ? ( n ? 1)( 1 ? t ? ? ? t
n

n ?1

)?
n ?1

?

? (1 ? t ? ? ? t

n ?1

)? ?

2 ( t ? 1) n ( n ? 1)
n?2

?( t

n

? 1) ? ( t ? t ) ? ? ? ( t ? t
n n

)?

?

n ?1

n ( n ? 1)

?t

n?2

? ? ? 1) ? t ( t

?t

n?3

? ? ? 1) ? ? ? t
? an

n ?1

?,

显然在 t

? 0 ( t ? 1) 时恒有 a n ? 1 ? a n ? 0

,故 a

n ?1



11. (1)设直线 l : y 将y
? 1 3 x?m

?

1 3 y
2

x?m

, A( x

1

, y 1 ), B ( x 2 , y 2 )



代入

x

2

?

? 1 中,化简整理得

36

4

2 x ? 6 mx ? 9 m ? 36 ? 0
2 2


, k PB ? y2 ? 2

于是有 x

1

? x 2 ? ? 3m ,

x1 x 2 ?

9m

2

? 36 2

,k

PA

?

y1 ?

2

x1 ? 3 2

x2 ? 3 2

. 则

k PA ? k PB ?

y1 ?

2

x1 ? 3 2 ( y1 ?

?

y2 ?

2

x2 ? 3 2 2 )( x1 ? 3 2 )



?

2 )( x 2 ? 3 2 ) ? ( y 2 ?

( x1 ? 3 2 )( x 2 ? 3 2 )
1 3

上式中, 分子 ?
? 2 3 ?

(

1 3

x1 ? m ?

2 )( x 2 ? 3 2 ) ? (

x2 ? m ?

2 )( x 1 ? 3 2 )

x 1 x 2 ? ( m ? 2 2 )( x 1 ? x 2 ) ? 6 2 ( m ?
2

2)

2 9 m ? 36 ? ? ( m ? 2 2 )( ? 3 m ) ? 6 2 ( m ? 3 2
2

2)

? 3m

? 12 ? 3 m
PB

2

? 6 2 m ? 6 2 m ? 12 ? 0



从而, k ? k ? 0 . 又 P 在直线 l 的左上方,因此, ? APB 的角平分线是平行于 y 轴的直线,所以△ PAB 的
PA

内切圆的圆心在直线 x (2)若 ? APB

?3 2

上.
?
y

? 60 ?

时,结合(1)的结论可知 k
2 ? 3(x ? 3 2 )

PA

3 , k PB ? ? 3
2

. 得

直线 PA 的方程为: y ?

,代入

x

2

?

? 1 中,消去 y

36
2

4

14 x ? 9 6 (1 ? 3 3 ) x ? 18 (13 ? 3 3 ) ? 0


? 3 2 (13 ? 3 3 ) 14

它的两根分别是 x 和 3
1

2

,所以 x

1

?3 2 ?

18 (13 ? 3 3 ) 14

,即 x

1

.所以

| PA | ?

1 ? ( 3 ) ? | x 1 ? 3 2 |?
2

3 2 ( 3 3 ? 1) 7



同理可求得 | PB 所以

|?

3 2 ( 3 3 ? 1) 7



S ?PAB ? ? ?

1 2

? | P A | ? | P B | ? sin 6 0 ?

1 3 2 (3 3 ? 1) 3 2 (3 3 ? 1) 3 . ? ? ? 2 7 7 2 117 3 49 .


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