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2015届高三文科数学周练3:统计与概率


2015 届高三文科数学周练 3:统计与概率
姓名: 班别: 学号:

一、选择题: 1.在某次测量中得到的 A 样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若 B 样本数据恰好是 A 样本数据都加 2 后所得数据, 则 A, B 两样本的下列数字特征对应相同 的是( (A)众数 ) (B)平均数 (C)中位数 (D)标

准差

2.交通管理部门为了解机动车驾驶员 (简称驾驶员) 对某新法规的知晓情况, 对甲、 乙、丙、 丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为 N ,其中甲社区有驾驶员 96 人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12,21,25,43,则这四个社区驾 驶员的总人数 N 为( A、101 ) B、808 C、1212 D、2012

3.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示) ,则改样 本的中位数、众数、极差分别是( A.46,45,56 C.47,45,56 ) B.46,45,53 D.45,47,53

5.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有 线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi) (i=1,2,?,n) ,用最小二乘法建立的回归方 程为 y =0.85x-85.71,则下列结论中不正确 的是( ... A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( x , y ) C.若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重必为 58.79kg 6.容量为 20 的样本数据,分组后的频数如下表 )

则样本数据落在区间[10,40]的频率为( ) A 0.35 B 0.45 C 0.55 D 0.65 7.袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球,2 个白球和 3 个黑球,从袋中 任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( ) (A)

1 5

(B)

2 5

(C)

3 5
1

(D)

4 5

8.在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C. 现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的长,则 2 该矩形面积大于 20cm 的概率为( ) (A)

1 6

(B)

1 3

(C)

2 3

(D)

4 5

9.设不等式组 ?

?0 ? x ? 2, ,表示平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原 ?0 ? y ? 2


点的距离大于 2 的概率是( (A)

? 4

(B)

? ?2 2

(C)

? 6

(D)

4 ?? 4

10.从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率 等于( ) (A)

? ??

(B)

? ?

(C)

? ?

(D)

? ?

二、填空题: 11.由正整数组成的一组数据 x1 , x2 , x3 , x4 ,其平均数和中位数都是 2 ,且标准差等于1 ,则 这组数据为 .(从小到大排列)

12.一支田径队有男女运动员 98 人,其中男运动员有 56 人.按男女比例用分层抽样的方法, 从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本,那么应抽取女运动员人数是_______. 13.调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单位:万元) ,调查 显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系, 并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程: ? ? 0.254x ? 0.321 .由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年饮食支出平均增加 y _______万元. 14.从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率为 ______. 15.从边长为 1 的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距 离为

2 的概率是___________. 2

16.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月 1 号到 5 号每天打篮球时间 x(单位:小时)与当天投篮命中率 y 之间的关系: 时间 x 命中率 1 0.4 2 0.5 3 0.6 4 0.6 5 0.4

小李这 5 天的平均投篮命中率为_________;用线性回归分析的方法,预测小李每月 6 号打篮球 6 小时的投篮命中率为________.

2

三、解答题 1.高三某班 40 名学生的会考成绩全部在 40 分至 100 分之间,现将成绩分成6段: [ 40,50) 、

[50,60) 、 [60,70) 、 [70,80) 、 [80,90) 、 [90,100] .据此绘制了如图所示的频率分布直
方图。在这 40 名学生中, (Ⅰ)求成绩在区间 [80,90) 内的学生人数; (Ⅱ)从成绩大于等于 80 分的学生中随机选 2 名学生,求至少有 1 名学生成绩在区间

[90,100] 内的概率.
频率/组距 0.045

0.020 0.015 0.005 55550 5

分数 40 50 60 70 80 90 100

2.已知集合 A ? {?2,0,2}, B ? (?1,1} . (Ⅰ)若 M ? {( x, y) | x ? A, y ? B} ,用列举法表示集合 M ; (Ⅱ)在(Ⅰ)中的集合 M 内,随机取出一个元素 ( x, y ) ,求以 ( x, y ) 为坐标的点位于区

?x ? y ? 2 ? 0 ? 域 D : ? x ? y ? 2 ? 0 内的概率. ? y ? ?1 ?

3

3.某生物技术公司研制出一种新流感疫苗,为测试该疫 苗的有效性(若疫苗有效的概率小 于 90 % ,则认为测试没有通过) ,公司选定 2000 个流感样本分成三组,测试结果如下表:

A组
疫苗有效 疫苗无效

B组
x
90

C组

673
77

y
z

已知在全体样本中随机抽取 1个,抽到 B 组疫苗有效的概率是 0.33 . (Ⅰ)求 x 的值; (Ⅱ)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取 360 个测试结果,问 C 组应抽取几个? (Ⅲ)已知 y ? 465, z ? 30 ,求不能通过测试的概率.

4.随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位: cm ),获得身高数据的茎叶 图.如图 7. (Ⅰ)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (Ⅱ)计算甲班的样本方差 (Ⅲ)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不 低于 173 cm 的同学 , 求身高为 176 cm 的同学被抽中 的概率.

4

2015 届高三文科数学周练 3:统计与概率 姓名: 班别: 学号:

5.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生 产能耗 y(吨标准煤)的几组对应数据.
3 y 2.5 4 3 5 4 6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图;

? ?a ?; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx
(3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤,试根据(2)求出的线性回 归方程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考数值: 3 ? 2.5 ? 4 ? 3 ? 5 ? 4 ? 6 ? 4.5 ? 66.5 )

6. 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助, 用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人,结果如下: 性别 是否需要志愿者 需要 不需要 男 40 160 女 30 270

(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例. (2)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? (3)根据(2)的结论,能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中,需要志愿者提供 帮助的老年人的比例?说明理由。 附: P( K ? k )
2

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

k

K2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

5

2015 届高三文科数学周练 3:统计与概率 参考答案
一、选择题: 1.D 2.B 二、填空题: 11. 1,1,3,3 12.12 三、解答题 1.解: (Ⅰ)因为各组的频率之和为 1,所以成绩在区间 [80,90) 的频率为 13. 0.254 14.

3.A

5.D

6.B

7.B

8.C

9.D

10.D

1 3

15.

2 5

16.0.5; 0.53

1 ? (0.005? 2 ? 0..15 ? 0.020 ? 0.045) ? 10 ? 0.1 ,
所以, 40 名学生中成绩在区间 [80,90) 的学生人数为 40 ? 0.1 ? 4 (人). (Ⅱ)设 A 表示事件“在成绩大于等于 80 分的学生中随机选 2 名学生,至少有1名学生 成绩在区间 [90,100] 内” , 由 (Ⅰ) 的结果可知成绩在区间 [80,90) 内的学生有 4 人, 记这 4 个人分别为 a, b, c, d , 成绩在区间 [90,100] 内的学生有 40 ? 0.005 ? 10 ? 2 人, 记这 2 个人分别为 e, f , 则选取学生的所有可能结果为:

(a, b),(a, c),(a, d ),(a, e),(a, f ),(b, c),(b, d ),(b, e),(b, f ), (c, d ), (c, e), (c, f ) ,
(d , e),(d , f ),(e, f ) 基本事件数为15 ,
事件“至少一人成绩在区间 [90,100] 之间”的可能结果为:

(a, e),(a, f ),(b, e),(b, f ), (c, e),(c, f ),(d , e),(d , f ),(e, f ) ,
基本事件数为 9 , 所以 P ( A) ?

9 2 9 3 ? P ( A) ? ? . 15 5 15 5

2. 解: (Ⅰ) M ? {(?2,?1), (?2,1), (0,?1), (0,1), (2,?1), (2,1) . ( Ⅱ)记“以 ( x, y ) 为坐标的点位于区域 D 内”为事件 A . 集合 M 中共有 6 个元素,即基本事件总数为 6 . 把集合 M 中的 6 个元素分别代入表示区域 D 的不等式组检验, 知点 (?2,?1), (0,?1), (0,1), (2,?1) 在区域 D 内 所以区域 D 含有集合 M 中的元素 4 个,所以 P ( A) ? 故以 ( x, y ) 为坐标的点位于区域 D 内的概率为

4 2 ? . 6 3

2 . 3

6

3.解: (Ⅰ) 即

在全体样本中随机抽取 1个,抽到 B 组疫苗有效的概率为 0.33 ,

x ? 0.33 2000

∴ x ? 660 .

(Ⅱ) C 组样本个数为: y ? z ? 2000? (673? 77 ? 660? 90) ? 500, 用分层抽样的方法在全体样本中抽取 360 个测试结果,应在 C 组抽取个数为

360 ?

500 ? 90 (个) . 2000

(Ⅲ)设测试不能通过事件为 M ,

C 组疫苗有效与无效的可能的情况记为 ( y , z ) .
由(Ⅱ)知 y ? z ? 500 ,且

y, z ? N ,基本事件空间包含的基本事件有:

(465,35) 、 (466,34) 、 (467,33) 、 (468,32) 、 (469,31) 、 (470,30) 共 6 个 .
若测试不能通过,则 77 ? 90 ? z ? 200 ,即 z ? 33 . 事件 M 包含的基本事件有: (465,35) 、 (466,34) 共 2 个, ∴ P(M ) ?

2 1 ? . 6 3

∴故不能通过测试的概率为

1 . 3

4. 解:(Ⅰ)由茎叶图可知:甲班身高集中于 160 ~ 179 之间,而乙班身高集中于 170 ~ 180 之间.因此乙班平 均身高高于甲班; (Ⅱ) x ?

158 ? 162 ? 163 ? 168 ? 168 ? 170 ? 171 ? 179 ? 179 ? 182 ? 170 10

甲班的样本方差为

1 [(158 ? 170 ) 2 ? (162 ? 170 ) 2 ? (163 ? 170 ) 2 ? (168 ? 170 ) 2 ? (168 ? 170 ) 2 10

? (170? 170) 2 ? (171? 170) 2 ? (179? 170) 2 ? (179? 170) 2 ? (182? 170) 2 ] ? 57
(Ⅲ)设身高为 176 cm 的同学被抽中的事件为 A ; 从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173 cm 的同学有:

(173 ,176), (173 ,178), (173 ,179), (173 ,181 ), (176,178), (176,179), (176,181 ), (178,179)
(178,181 ), (179,181 ) 共 10 个基本事件,
而事件 A 含有 4 个基本事件;所以 P ( A) ?

4 2 ? . 10 5

7

5. 解:(1)画出散点图.

(2)

? xi yi ? 66.5 , 4x ? y ? 63 ,
i ?1

4

?x
i ?1

4

2

i

? 86 , 4 x ? 81

2

由所提供的公式可得 b ? 0.7 a ? 0.35 ,故所求线性回归方程为 y ? 0.7 x ? 0.35 . 因此生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低 100 ? (0.7 ?100 ? 0.35) ? 29.65 吨标准煤.

6. 解: (1)调查的500位老人中有70位需要志愿者提供帮助,因为该地区老人中,需要帮助

70 ? 14 的老年人的比例的估计值为 500 ℅.

?2 ?
(2)

500(40 ? 270 ? 30 ? 160) 2 ? 9.967 200 ? 300 ? 70 ? 430 .

由于 9.967 ? 6.635 ,所以有 99 ℅的把握认为该地的区老人是否需要帮助与性别有关. (3)由(Ⅱ)的结论知,该地的区老人是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据看出 该地区男性老年人与女性老年人需要帮助的比例有明显的差异, 因此在调查时, 先确定该地 区老年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样的方法比采用简单随 机抽样的方法更好.

8


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