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圆锥曲线训练题二


圆锥曲线训练题二
一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分) 1.双曲线方程为 A、 k ? 5

x2 y2 ? ? 1 ,则 k 的取值范围是( D ) k ?2 5?k
C、 ?2 ? k ? 2 D、 ?2 ? k ? 2 或 k ? 5

B、 2 ? k ? 5

2

.点 P 是以 F1 , F2 为焦点的椭圆上的一点,过焦点 F2 作 ?F 1PF 2 的外角平分线的垂线,垂 足为 M,则点 M 的轨迹是( A ) A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

3.对于抛物线 y 2 ? 4x 上任意一点 Q,点 P(a,0)都满足 PQ ? a ,则 a 的取值范围是 ( B ) A、 ? ??,0? 4.F1 , F2 是椭圆 A、4 B、 (??, 2] C、 [0, 2] D、 (0, 2)

x2 2 ? y ? 1的左、 右焦点, 点 P 在椭圆上运动, 则 PF1 PF2 的最大值是 (C ) 4
B、5 C、2 D、1

5. 设 F1 , F2 是双曲线
2

x2 y 2 ? ? 1(a a 2 b2

0, b

0) 的左、右焦点,P 为双曲线右支上任意一点,



PF2 PF1

的最小值为 8a ,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是( B C、 ?3, ?? ? D、 ?1, 2?



A、[2,3]

B、 (1,3]

6. 已知 P 为抛物线 y 2 ? 4x 上任一动点,记点 P 到 y 轴的距离为 d ,对于给定点 A(4,5) , |PA|+d 的最小值是( D ) A、4 B、 34 C、 17 ?1 D、 34 ?1

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.)
2 2 2 2 7.直线 y ? 2k 与曲线 9k x ? y ? 18k x ( k ? R, k ? 0 )的公共点的个数是 4

8. 已知以 F 1 (?2,0), F 1 (2,0) 为焦点的椭圆与直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 有且仅有一个交点,则椭 圆的长轴长为 9.

2 7
4 3

抛物线 y ? ? x2 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 的距离的最小值是

10.设 F 为抛物线 y 2 ? 4x 的焦点,A、B、C 为该抛物线上的三点,若 FA ? FB ? FC ? 0 , 则 FA ? FB ? FC 等于 6

三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步 骤.)

x2 y 2 ? ? 1, (a ? b ? 0) 的左焦点,直线 l 的方程为 x =-8,直 a 2 b2 线 l 与 x 轴交于 P 点, MN 为椭圆的长轴,已知 MN ? 8 ,且 | PM |? 2 | MF | . y (1) 求椭圆的标准方程; B (2) 求证:对于任意的割线 PAB ,恒有 ?AFM ? ?BFN ; (3) 求三角形△ABF 面积的最大值. A 1 F 11. (1) 解:∵ MN ? 8 ,∴ a ? 4 ,又∵ | PM |? 2 | MF | ,∴ e ? , P O M 2
11.如图,设 F 是椭圆
2 2 2 ∴ c ? 2, b ? a ? c ? 12 ,

N

x

l

x y ? ? 1. …………3 分 16 12 (2) 证:当 AB 的斜率为 0 时,显然 ?AFM ? ?BFN ? 0 ,满足题意, 当 AB 的斜率不为 0 时,设 AB 方程为 x ? my ? 8 ,
∴椭圆的标准方程为
2 2 代入椭圆方程整理得: (3m ? 4) y ? 48my ? 144 ? 0 .

2

2

? ? 576(m2 ? 4) , yA ? yB ?


48m 144 , y A yB ? . 2 3m ? 4 3m2 ? 4

k AF ? k BF ?

yA yB yA yB y (myB ? 6) ? yB (my A ? 6) ? ? ? ? A x A ? 2 xB ? 2 my A ? 6 myB ? 6 (my A ? 6)(myB ? 6)

?

2my A y B ? 6( y A ? y B ) , ( my A ? 6)( my B ? 6)

而 2myA yB ? 6( yA ? yB ) ? 2m ?

144 48m ? 6? 2 ?0 2 3m ? 4 3m ? 4

∴ k AF ? kBF ? 0 ,从而 ?AFM ? ?BFN . 综合可知:对于任意的割线 PAB ,恒有 ?AFM ? ?BFN . …………8 分 (3) 解: S?ABF ? S?PBF ? S?PAF ?

1 72 m 2 ? 4 PF ? yB ? y A ? , 2 3m 2 ? 4

S ? 即: ?ABF

72 m2 ? 4 72 ? 2 3(m ? 4) ? 16 3 m2 ? 4 ?
16 m ?4
2

16 m2 ? 4

?

72 2 3 ?16

?3 3,

2 当且仅当 3 m ? 4 ?

,即 m ? ?

2 21 (此时适合于 ? ? 0 的条件)取到等 3

号. ∴△ABF 面积的最大值是 3 3 . …………14 分

x2 y2 ? ? 1 的右顶点是 A ,上下两个顶点分别为 B, D ,四边形 12. 如图椭圆 C : y 4 3 OANB 是矩形( O 为原点) ,点 E , M 分别为线段 OA, AN 的中点.B N
(Ⅰ)证明:直线 DE 与直线 BM 的交点 在椭圆 C 上; (Ⅱ)若过点 E 的直线交椭圆于 R, S 两点, K 为 R 关于 x 轴的对称点( R, K , E 不共线) , 问:直线 KS 是否经过 x 轴上一定点,如果是, 求这个定点的坐标,如果不是,说明理由. 12. (本小题满分 12 分) 解: (1)由题意,得 A(2,0), B(0, 3 ), D(0,? 3 ), E (1,0), M (2,
D O E A M x

3 ), 2
3 x ? 3 ,------2 分 4

所以直线 DE 的方程 y ? 3x ? 3 ,直线 BM 的方程为 y ? ?

8 ? ? y ? 3x ? 3 x? ? ? ? 5 , 由? ,得 ? 3 3 y?? x? 3 ?y ? 3 ? 4 ? ? 5 ?
所以直线 DE 与直线 BM 的交点坐标为 ( ,

8 3 3 ) ,---------------4 分 5 5

8 3 3 2 ( )2 ( ) x2 y2 8 3 3 5 5 ? ? 1 ,所以点 ( , ? ? 1 上.---------6 分 因为 ) 在椭圆 C : 4 3 4 3 5 5
(2)设 RS 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,代入 C : 得 (3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 ,
2 2 2 2

x2 y2 ? ? 1, 4 3

设 R( x1 , y1 ), S ( x2 , y 2 ) ,则 K ( x1 ,? y1 ) ,

x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

直线 SK 的方程为 y ? y 2 ? 令 y ? 0, 得 x ?

y 2 ? y1 ( x ? x2 ) , x2 ? x1

y1 x2 ? y 2 x1 , y 2 ? y1

将 y1 ? k ( x1 ? 1) , y 2 ? k ( x2 ? 1) 代入上式得 设x?

2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 4, x1 ? x2 ? 2

所以直线 SK 经过 x 轴上的点 ( 4,0) .---------12 分 13.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的 5 交点为 Q,且|QF|= |PQ|. 4 (1)求 C 的方程; (2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,若 AB 的垂直平分线 l′与 C 相交于 M,N 两 点,且 A,M,B,N 四点在同一圆上,求 l 的方程. 8 13.解:(1)设 Q(x0,4),代入 y2=2px,得 x0= , p p p 8 8 所以|PQ|= ,|QF|= +x0= + . p 2 2 p p 8 5 8 由题设得 + = × ,解得 p=-2(舍去)或 p=2, 2 p 4 p 所以 C 的方程为 y2=4x. (2)依题意知 l 与坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为 x=my+1(m≠0). 代入 y2=4x,得 y2-4my-4=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4m,y1y2=-4. 故线段 AB 的中点为 D(2m2+1,2m), |AB|= m2+1|y1-y2|=4(m2+1). 1 又直线 l′的斜率为-m,所以 l′的方程为 x=- y+2m2+3. m 将上式代入 y2=4x,并整理得 y2+ 4 y-4(2m2+3)=0. m

4 设 M(x3,y3),N(x4,y4),则 y3+y4=- ,y3y4=-4(2m2+3). m 2 2? 2 故线段 MN 的中点为 E? ?m2+2m +3,-m?, 4(m2+1) 2m2+1 1 . 2|y3-y4|= m m2 由于线段 MN 垂直平分线段 AB,故 A,M,B,N 四点在同一圆上等价于|AE|=|BE| |MN|= 1+ 1 = |MN|,从而 2 1 1 |AB|2+|DE|2= |MN|2,即 4 4
2 2 2 2 2m+ ? +? 2+2? = 4(m2+1)2+? m? ?m ? ?

4(m2+1)2(2m2+1) , m4 化简得 m2-1=0,解得 m=1 或 m=-1. 所求直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0.


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