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三明二中高一下数学半期考复习卷(必修2,解三角形含答案)


三明二中高一下数学半期考复习卷 一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 4 分,共 48 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.直线 3x ? y ? 2 ? 0 的倾斜角的大小为( A. 30 B. 60 C. 120 ) 1.B

D. 150 ) 2.D

2. 已知两条相交直线 a , b , a //

平面 ? ,则 b 与 ? 的位置关系是( A. b ? 平面 ? C. b // 平面 ? B. b ? 平面 ? D. b 与平面 ? 相交,或 b // 平面 ?

0 3. 在 ?ABC 中, A ? 60 , b ? 1 ,其面积为 3 ,则

a?b?c 等于( sin A ? sin B ? sin C
D.

B)

A.3 3

B.

2 39 3

C.

8 3 3

39 2
B )

4.在三角形 ABC 中,如果 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,那么 A 等于( A. 30 0 B. 60 0 C. 1200 D. 1500

5.已知点 A(1, ?2,11) , B(4, 2,3) , C (6, ?1, 4) ,则△ ABC 的形状是( A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形

)10.B

D.等腰直角三角形 ) .C D. 2 : 9

6.如果两个球的体积之比为 8 : 27 ,那么两个球的表面积之比为( A. 8 : 27 B. 2 : 3 C. 4 : 9

7.在空间中, a ,b 是不重合的直线,? , ? 是不重合的平面,则下列条件中可推出 a // b 的是( )C

A. a ? ? , b ? ? , ? // ? B. a // ? , b ? ? C. a ? ? , b ? ? D. a ? ? , b ? ? 8. 圆 C1 :x ? y ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 与圆 C2 :x ? y ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0 的位置关系是 (
2 2 2 2



A A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 相离 )
0

9.在 ?ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是( D A. b ? 10, A ? 45 , C ? 60
0 0

B. a ? 6, c ? 5, B ? 60

C. a ? 7, b ? 5, A ? 600

D. a ? 14, b ? 16, A ? 450 ) .D

10. 无论 m 为何实数值,直线 y ? 1 ? m( x ? 2) 总过一个定点,该定点坐标为(

A.( 1 , ?2 )

B.( ?1 , 2 )

C.( ?2 , ?1 )

D .( 2 , ? 1 )

11.圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 在点 P(1, 3) 处的切线方程为( A x ? 3y ? 2 ? 0
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) .D

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B x ? 3y ? 4 ? 0
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C x ? 3y ? 4 ? 0
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D x ? 3y ? 2 ? 0
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12.已知 m,n 是两条不重合的直线,? , ? , ? 是三个两两不重合的平面,给出下列四个 命题: ①若 m ? ? , m ? ? , 则 ? // ? ; ②若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? // ? ; ③若 m ? ? , n ? ? , m // n, 则 ? // ? ; ④若 m, n 是异面直线,m ? ? , m // ? , n ? ? , n // ? , 则 ? // ? . 其中真命题是 ( A.①和② B.①和③ C.③和④ D.①和④ ) . D

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在题中横线上. 13、 经过点 P(-3,—4) ,且在 x 轴、y 轴上的截距相等的直线 L 的方程是 13. 4x-3y=0 或 x+y+7=0 14.已知圆 C 经过点 A(0, ?6), B(1, ?5) ,且圆心在直线 l : x ? y ? 1 ? 0 上,则圆 C 的标准 方程为 14. ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 25
2 2



15.有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位:cm) :

6

6

6 正视图

6 侧视图

6 俯视图

则该几何体的体积为 15. 54? cm ; 54? cm
3 2

;表面积为



16.已知 A ? 4 , 2 3 ? 1 ,B(3,2) ,过点 P(2,1)的直线 l 与线段 AB 有公共点求直线 l 的斜率的取值范围 直线 l 的倾斜角θ 的取值范围为:450≤θ ≤1500

?

?

三、解答题:本大题共 3 小题,共 36 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知直线 l1 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 与 l2 : 2 x ? y ? 2 ? 0 的交点为 P . (Ⅰ)求交点 P 的坐标; (Ⅱ)求过点 P 且平行于直线 l3 : x ? 2 y ? 1 ? 0 的直线方程; (Ⅲ)求过点 P 且垂直于直线 l3 : x ? 2 y ? 1 ? 0 直线方程. 17. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由 ?

?3x ? 4 y ? 2 ? 0, ?2 x ? y ? 2 ? 0,

解得 ?

? x ? ?2, ? y ? 2.
……………4 分

所以点 P 的坐标是 (?2, 2) .

(Ⅱ)因为所求直线与 l3 平行,所以设所求直线的方程为 x ? 2 y ? m ? 0 . 把点 P 的坐标代入得 ?2 ? 2 ? 2 ? m ? 0 ,得 m ? 6 . 故所求直线的方程为 x ? 2 y ? 6 ? 0 . ……………8 分

(Ⅲ)因为所求直线与 l3 垂直,所以设所求直线的方程为 2 x ? y ? n ? 0 . 把点 P 的坐标代入得 2 ? ? ?2? ? 2 ? n ? 0 ,得 n ? 2 . 故所求直线的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 . 18 在 ?ABC 中,已知 a ? ……………12 分

3 , b ? 2 , B ? 450 , 求 A , C 及 c .
6? 2 ; 2

18.解:当 A ? 60? 时, C ? 75? , c ?

当 A ? 120? 时, C ? 15? , c ? 19. (本小题满分 12 分)

6? 2 2

如 图 , 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 , A1 A ? 底 面 ABC , 且 ?ABC 为 正 三 C角 形 ,
1

A1 A ? AB ? 6 , D 为 AC 中点.
(1);求证:直线 AB1 // 平面 BC1D . (2)求证:平面 BC1D ? 平面 ACC1 A1 19. (本小题满分 12 分) 解: (1)连结 B1C 交 BC1 于 O ,连结 OD , 在 ?B1 AC 中, D 为 AC 中点, O 为 B1C 中点, 所以 OD // AB1 , 又 OD ? 平面 BC1D , ∴直线 AB1 // 平面 BC1D . (2) ∵ A1 A ? 底面 ABC , ∴ A1 A ? BD . 又 BD ? AC , ∴ BD ? 平面 ACC1 A1 . 又 BD ? 平面 BC1D ,

A1

B1

C D A B

C1 A1 O C D A B ……………8 分 B1

∴平面 BC1D ? 平面 ACC1 A1 .
2 2

20.已知 M 为圆 C : x ? y ? 4x ?14 y ? 45 ? 0 上任一点,且点 Q(?2,3) . (Ⅰ)若 P(a, a ? 1) 在圆 C 上,求线段 PQ 的长及直线 PQ 的斜率; (Ⅱ)求 |MQ | 的最大值和最小值; (Ⅲ)若 M (m, n) ,求 20. (本小题满分 12 分)

n?3 的最大值和最小值. m+2

解: (Ⅰ)由点 P(a, a ? 1) 在圆 C 上, 可得 a 2 ? (a ? 1) 2 ? 4a ? 14(a ? 1) ? 45 ? 0 ,所以 a ? 4, P(4,5) . 所以 | PQ |? (4 ? 2) 2 ? (5 ? 3) 2 ? 2 10 ,
K PQ ? 3?5 1 . ? ?2 ? 4 3

(Ⅱ)由 C : x2 ? y 2 ? 4x ?14 y ? 45 ? 0 可得 ( x ? 2)2 ? ( y ? 7)2 ? 8 . 所以圆心 C 坐标为 (2, 7) ,半径 r ? 2 2 . 可得 | QC |? (2 ? 2) 2 ? (7 ? 3) 2 ? 4 2 , 因此 | MQ |max ? 4 2 ? 2 2 ? 6 2 , | MQ |min ? 4 2 ? 2 2 ? 2 2 . (Ⅲ)可知

n?3 表示直线 MQ 的斜率, m+2

设直线 MQ 的方程为: y ? 3 ? k ( x ? 2), 即kx ? y ? 2k ? 3 ? 0 , 则

n?3 ?k. m+2
| 2k ? 7 ? 2k ? 3 | 1? k 2 ?2 2 .

由直线 MQ 与圆 C 有交点, 所以 可得 2 ? 3 ? k ? 2 ? 3 ,所以

n?3 的最大值为 2 ? 3 ,最小值为 2 ? 3 . m?2

21. 在 三 棱 锥

A? B C中 D , O, E

分 别 是

B , D

B的 C中 点 ,

CA ? CB ? CD ? BD ? 2 , AB ? AD ? 2 。
(1) 求证: AO ? 平面 BCD ; (3) 求点 E 到平面 ACD 的距离。 A (1) 证明: 连接 OC (2) 求异面直线 AB 与 BC 所成角的余弦值;

B O? D O , A? B

AD

? AO ? BD
D

———————————1 分

BO ? DO, BC ? CD
? CO ? BD
—————————————2

O
B

E

C

分 在 AOC 中,由已知可得: AO ? 1, CO ? 3 ,

图(5)

而 AC ? 2,? AO2 ? CO2 ? AC 2

??AOC ? 90 ,即 AO ? OC

———————4 分 ——————————————————5 分 ( 2 ) 解 : 取 AC 的 中 点 M , 连 接

BD OC ? O ? AO ? 平面BCD

A

OM , ME, OE
M
D
由 E 为 BC 的中点知

ME//AB, OE//DC

? 直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线
AB 与 CD 所成的角。
——————6 分 C

O
B

E

在 OME 中, EM ?

图(5)
OE ?

1 2 , AB ? 2 2

1 DC ? 1 2

OM 是 Rt AOC 斜边 AC 上的中线 1 ? OM ? AC ? 1 ——————————————————————————8 分 2

? cos ?OEM ?

2 4

———————————————————————————10 分

(3)解:设点 E 到平面 ACD 的距离为 h 。

VE ? ACD ? VA?CDE
1 ? h?S 3
ACD

———————————————————————— ———12 分
CDE

1 ? ? AO ? S 3

在 ACD 中, CA ? CD ? 2, AD ? 2

?S

ACD

? 2? 1 7 ? ? 2 ? 22 ? ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ?

2

而 AO ? 1, S

CDE

1 3 2 3 ? ? ?2 ? 2 4 2

?h ?

21 AO ? S CDE 21 ? 点 E 到平面的距离为 ? 7 S ACD 7

22、已知直线 l :kx-y+1=0,圆 C:x2+y2-4x-5=0, (1)求证:无论 k 取任何实数,直线 l 与圆 C 恒有两个不同的交点;

(2)当 k=2 时,直线 l 与圆 C 相交于 A、B,求 A、B 两点间的距离; (3)当实数 k 变化时,求直线 l 被圆 C 截得的弦的中点的轨迹方程.

解: (1)由直线 l 及圆 C 的方程消去 y 可得:(1+k2)x2+(2k-4)x-4=0①, (1?) ∵?=(2k-4)2+16(1+k2)?0, (2?) ∴对任意实数 k,直线 l 与圆 C 有两个不同的交点; (3?) (2)经配方得,(x-2)2+y2=9,所以, 圆 C 的圆心 C 的坐标是(2,0),半径 r=3,所以,当 k=2 时, 点 C 到直线 l 的距离为 d ?

| 2 ? 2 ? 1? 0 ? 1 | 2 2 ? (?1) 2

(5?) ? 5,

故|AB|= 2 32 ? 5 ? 4 ; (6?) (3)设两交点 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),A、B 的中点 P 的坐标分 别为(x0,y0), (7?)则 由①可得,x 0 ?

y ?1 x1 ? x 2 2?k ? ②, (8?) 又由 kx0-y0+1=0 可得 k ? 0 ③, (9?) 2 2 1? k x0

2 2 将③代入②并化简可得 x 0 ? y0 ? 2x 0 ? y 0 ? 0 ,

故所求的轨迹方程为 x2+y2-2x-y=0. (去掉原点) (1(10?)


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