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3.1.2空间向量的数乘运算


3.1.2空间向量的数乘运算 . . 空间向量的数乘运算

一.复习. 复习. 1.平面向量中, 1.平面向量中,什么是平行向 平面向量中 ?(共线向量 共线向量) 量?(共线向量) 2.平面向量共线的定理 2.平面向量共线的定理

二、共线向量: 共线向量: 1.共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的 共线向量
有向线段所在直线互相平行或重合, 有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量), ),记作 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a// b 零向量与任意向量共线. 零向量与任意向量共线.

2.共线向量定理: 2.共线向量定理:对空间任意两个 共线向量定理 向量 a, b(b ≠ o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a = λb

的直线,那么对任一点O, 已知非零向量 a的直线,那么对任一点O, 上的充要条件是存在实数t, 点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t 满足等式OP=OA+t a其中 a 叫做直线的 方向向量. OP=(1方向向量.或OP=(1-t)OA+tOB P B A O a

推论: 为经过已知点A 推论:如果 l 为经过已知点A且平行

A,B中点 中点, 若P为A,B中点, 则 OP=1/2(OA+OB)

共面向量: 三.共面向量: 1.共面向量:平行于同一平面的向量, 1.共面向量:平行于同一平面的向量, 共面向量
向量. 叫做共面 向量.
O

a
A

α

a

注:空间任意两个向量都是共面向量

2.共面向量定理: 2.共面向量定理:如果两个向量 a, b 共面向量定理

不共线,则向量P与向量 a, b共面的充要条 不共线,则向量P 件是存在实数对x, y P = xa + yb 使

推论:空间一点P位于平面ABC ABC内的充 推论:空间一点P位于平面ABC内的充
要条件是存在有序实数对x,y使 要条件是存在有序实数对x,y使 x,y AP=xAB+yAC 或对空间任一点O,有 或对空间任一点O,有 O, OP=OA+xAB+yAC (证明四点共面) (证明四点共面) 证明四点共面

三点不共线,对平面外任一点,满足条件: 例 1 已知 A, B, C 三点不共线,对平面外任一点,满足条件:
王新敞
奎屯 新 疆

uuu 1 uuu 2 uuu 2 uuur r r r OP = OA + OB + OC , 5 5 5
试判断:点 P 与 A, B, C 是否一定共面? 是否一定共面? 试判断:

证明: 例 3 设向量 p = a + b, q = a ? b ,证明: 共面;(2) (1) a, p, q 共面;(2) b, p, q 共面

已知平行四边形ABCD,从平面 例3.已知平行四边形 已知平行四边形 ,从平面AC外一点 外一点 O引向量 引向量OE=KOA,OF=kOB,OG=KOC, 引向量 OH=KOD,求证(1)四点 ,F,G,H共面。 求证( )四点E, , , 共面 共面。 求证 平面AC (2)平面 )平面EG//平面 平面 O D A H E F B G C

是矩形,M、 例4。PA⊥平面 。 ⊥平面ABCD,ABCD是矩形 、N 是矩形 分别是AB、PC中点。 中点。 分别是 、 中点 求证: 平面PAD 求证:MN//平面 平面

小结: 小结
1.证明四点共面的方法 证明四点共面的方法 (1)若AB=kDC,得AB//DC,则A,B,C,D四点共面 若 得 则 四点共面

(2)若AC=mAB+nAD,则A,B,C,D四点共面 (2)若AC=mAB+nAD,则A,B,C,D四点共面
2.证明线面平行的方法 证明线面平行的方法 (1)若AB=kEF,则EF//AB,EF在平面 内,AB不在平面 内 若 在平面α内 不在平面α内 则 在平面 不在平面 所以AB//平面 平面α 所以 平面

(2)若 mEF+nEG,则AB,EF,EG共面,AB//平 共面,AB// (2)若AB= mEF+nEG,则AB,EF,EG共面,AB//平 面EFG

ur uu r uuu ur uu r r 不共线, 1.已知两个非零向量 e1 , e2 不共线,如果 AB = e1 + e2 , uuur ur uu uuur r ur uu r AC = 2e1 + 8e2 , AD = 3e1 ? 3e2 ,求证: A, B, C , D 共面 求证:
r r r r r r r r 2.已知 a = 3m ? 2n ? 4 p , b = ( x + 1) m + 8n + 2 yp , r r r r a ≠ 0 ,若 a // b ,求实数 x, y 的值

课后作业: 课后作业

王新敞
奎屯

新疆

3.已知 E , F , G, H 分别是空间四边形 ABCD 边 AB, BC , CD, DA 的中点, 的中点, (1)用向量法证明: E , F , G , H 四点共面; 用向量法证明: 四点共面; (2)用向量法证明: BD // 平面 EFGH . 用向量法证明:


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