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矩阵乘积的行列式与秩


一、矩阵乘积的行列式 二、非退化矩阵 三、矩阵乘积的秩

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引 定理7 P93 ) 行列式乘法规则 ( §2.8 定理 入
A

B

a11 a12 a21 a22 D1 = M M a n1 a n 2

L L M L

a1n b11 b12 a2 n b21 b22 , D2 = M M M ann bn1 bn 2 L L M L
c1n c2 n , M cnn

L L M L

b1n b2 n M bnn

c11 c12 c21 c22 则 D1 D2 = M M c n1 c n 2
i , j = 1,2,L , n

AB
n

其中 cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + ainbnj = ∑ aik bkj ,
k =1

§4.3 矩阵乘积的行列式与秩

一、矩阵乘积的行列式
定理1 级矩阵, 定理 设 A, B为数域 P 上的 n 级矩阵,则

AB = A B .

推广

A1 , A2 ,L , At 为数域 P 上的 n 级方阵,则 级方阵, | A1 A2 L At |=| A1 || A2 | L | At | .

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§4.3 矩阵乘积的行列式与秩

二、非退化矩阵
定义 设 A 为数域 P 上的 n 级方阵, 级方阵,
非退化的; 若 A ≠ 0,则称 A为非退化的; 若 A = 0,称 A为退化的. 退化的. 注:n 级方阵 A 非退化 ? R( A) = n ? A ≠ 0;

n 级方阵 A 退化 ? R( A) < n ? A = 0.

§4.3 矩阵乘积的行列式与秩

级矩阵, 推论 设 A, B 为数域 P上的 n 级矩阵,则

AB 非退化 ? A, B 都非退化

( AB 退化

? A或 B 退化

)

证: AB 非退化 ? AB ≠ 0 ? A B ≠ 0

? A ≠ 0 且 B ≠ 0 ? A, B 都非退化 .
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§4.3 矩阵乘积的行列式与秩

三、矩阵乘积的秩
定理2 上的矩阵, 定理 设 An×m , Bm× s 为数域 P上的矩阵,则

R( AB ) ≤ min ( R( A), R( B ) ) .
证: 令 A = (aij )n×m , B = (bij )m× s , AB = C = (cij )n× s . 设 B 的行向量组为 B1 ,L , Bm , C 的行向量组为 C1 ,L , C n . 则向量组合 ai 1 B1 + ai 2 B2 + L + aim Bm
= ( ai 1b11 + ai 2b21 + L + aim bm1 ,L , ai 1b1 s + ai 2b2 s + L + aim bms )
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩

即有 ai 1 B1 + ai 2 B2 + L + aim Bm
n n ? n ? = ? ∑ aik bk 1 , ∑ aik bk 2 ,L , ∑ aik bks ? , k =1 k =1 ? k =1 ?

= ( ci 1 , ci 2 ,L , cis ) = C i ,

i = 1,2,L , n

线性表示. 故 C1 , C 2 ,L , C n 可由 B1 , B2 ,L , Bm 线性表示. 同理, 所以 R(C ) ≤ R( B ) . 同理,R(C ) ≤ R( A).

∴ R( AB ) ≤ min ( R( A), R( B ) ) .
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩

三、矩阵乘积的秩
定理2 上的矩阵, 定理 设 An×m , Bm× s 为数域 P上的矩阵,则

R( AB ) ≤ min ( R( A), R( B ) ) .
推广 如果 A = A1 A2 L At ,则

R( A) ≤ min{ R( A1 ), R( A2 ),L , R( At )}.

§4.3 矩阵乘积的行列式与秩

例1.设A为n级方阵,且 AA′ = E , A < 0, . 为 级方阵, 级方阵 证明: 证明: A + E = 0. 证: A + E = A + AA′ = A( E + A′ ) = A E + A′

= A ( E + A′ )′ = A E + A
又由 AA′ = E , 有 A = 1,
2

而 A < 0,



A = ?1,

于是有

A+ E = ? A+ E ,
所以

A + E = 0.

§4.3 矩阵乘积的行列式与秩

作业: 作业:
P190:9 、18 :

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§4.3 矩阵乘积的行列式与秩


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