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高二数学一元二次不等式及其解法


3.2一元二次不等式 及其解法

复习:一元二次方程与一元二次函数
(1)一元二次方程的解法 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
因式分解法(十字相乘)

?b ? b2 ? 4ac ; 公式法: x ? 2a
韦达定理

b c x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? a a

(2)一元二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
开口方向; 对称轴

b x?? 2a

顶点 坐标

? b 4ac ? b 2 ? ?? , ? 4a ? ? 2a

教材 P76
某同学要把自己的计算机接入因特网。现有两 家ISP公司可供选择。公司A每小时收费1.5元, 公司B的收费原则如图(教材76页),即在用户 上网的第1小时内收费1.7元,第2小时内收费1.6 元,以后每小时减少0.1元(若一次上网用时超过 17小时,按17小时计算)。

一般来说,一次上网时间不会超过17小时, 所以不妨假设一次上网时间总小于17小时。那么, 选用哪一家公司的网络更省钱?

定义:只含有一个未知数,未知数的最高次 数是2的不等式,叫一元二次不等式。

即:ax ? bx ? c ? 0 或 ax ? bx ? c ? (a 0 ? 0)
2 2

二次函数、二次方程、与二次不等式的关系
函数
f ( x) ? x ? 5 x
2

方程
x ? 5x ? 0
2

不等式

x ? 5x ? 0
2

y

方程的解

不等式的解集

x1 ? 0, x2 ? 5
y>0 y>0
O

? x x ? 0或x ? 5?
x2 ? 5 x ? 0
不等式的解集

? x 0 ? x ? 5?

y<0

5

x

一元二次方程ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)

一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
y

一元二次函数
??0
??0

f (x)=ax2 ? bx ? c(a ? 0)

??0
O

? x1? {R x |xx1或 ?x } x2 ax2 ? bx ? c ? 0的解 x
x

x1 ?

?
x1=x2

?x

2

ax2 ? bx ? c ? 0的解 x ? 1? x ? x 2 ?

函数 、方程、不等式之间的关系

?
y ? ax ? bx ? c
2

??0
y y>0
O

??0
y y>0

??0
y

y>0

a?0

x1

x 1? x 2 ax2 ? bx ? c ? 0 且x1 ? x2 无实数解 2 ax ? bx ? c ? 0 {x | x ? x 或x ? x } {x | x ? x } R 1 2 1 (y>0)
ax ? bx ? c ? 0 {x | x ? x ? x } 1 2 (y<0)
2

x ? x1 , x ? x2

y<0

x2

x

O

x 1? x 2

x

O

x

?

?

总结
(1) 将原不等式化成一般形式ax2 +bx+c>0(a>0) (2)解 一元二次方程ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)
计算△,确定方程的根的情况

(3) 根据二次函数的图象写出解集
若有两个不同的根

x1, x2 ,用口诀:

“大取两边,小取中间”

解一元二次方程的程序框图

开始

将原不等式化成一般形式ax2 +bx+c>0(a>0)
? ? b2 ? 4ac

??0




2 求方程ax2 ? bx ? c ? 0的两实根x1, x2 方程ax +bx+c=0没有实根



x1 ? x2 ?


原不等式的解集为R

原不等式的解集为 {x|x ? R且x ? x1 }

原不等式的解集为 {x| x ? x1或x ? x2 ( x1 ? x2 )}
结束

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