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2013年全国高校自主招生数学模拟试卷九张阳阳


2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷九
命题人:南昌二中 高三(01)班 张阳阳
一、选择题(36 分,每小题 6 分) 1.设全集是实数,若 A={x| x-2≤0},B={x|10 (A){2} (B){?1}
x2-2

=10x},则 A∩?RB 是(

) (D) ?

(C){x|x≤2} )

α α α 2.设 sin?>0,cos?<0,且 sin >cos ,则 的取值范围是( 3 3 3 π π (A)(2k?+ ,2k?+ ), k?Z 6 3 (C)(2k?+ 5π ,2k?+?),k? Z 6 (B)(

2kπ π 2kπ π + , + ),k? Z 3 6 3 3

π π 5π (D)(2k?+ ,2k?+ )∪(2k?+ ,2k?+?),k? 4 3 6

Z 3.已知点 A 为双曲线 x2?y2=1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上,△ABC 是 等边三角形,则△ABC 的面积是( ) (A) 3 3 (B) 3 3 2 (C)3 3 (D)6 3

4.给定正数 p,q,a,b,c,其中 p?q,若 p,a,q 是等比数列,p,b,c,q 是等差 数列,则一元二次方程 bx2?2ax+c=0( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有 两个异号实根 5 4 5. 平面上整点 (纵、 横坐标都是整数的点) 到直线 y= x+ 的距离中的最小值是( 3 5 (A) 34 170 (B) 34 85 (C) 1 20 ) (D) 1 30 )

π π 6.设 ω=cos +isin ,则以?,?3,?7,?9 为根的方程是( 5 5 (A)x4+x3+x2+x+1=0 (C) x4?x3?x2+x+1=0 二.填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 1.arcsin(sin2000?)=__________.

(B) x4?x3+x2?x+1=0 (D) x4+x3+x2?x?1=0

2.设 an 是(3? x)n 的展开式中 x 项的系数(n=2 , 3 , 4 , …),则 lim (
n→∞

32 3 3 + +… a2 a 3

3 + ))=________. an 3.等比数列 a+log23,a+log43,a+log83 的公比是____________. x2 y2 4.在椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)中,记左焦点为 F,右顶点为 A,短轴上方的端点为 B.若 a b 该椭圆的离心率是 5-1 ,则∠ABF=_________. 2

n

5.一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为 a,则这个球的体积是 ________.

6.如果:(1)a,b,c,d 都属于{1,2,3,4}; (2)a?b,b?c,c?d,d?a; (3)a 是 a,b,c,d 中的最小值, ____ 那么,可以组成的不同的四位数abcd的个数是_________ 三、解答题(60 分,每小题 20 分) Sn 1.设 Sn=1+2+3+…+n,n?N*,求 f(n)= 的最大值. (n+32)Sn+1

1 13 2.若函数 f(x)=- x2+ 在区间[a,b]上的最小值为 2a,最大值为 2b,求[a,b]. 2 2

x2 y2 3.已知 C0:x2+y2=1 和 C1: 2+ 2=1 (a>b>0).试问:当且仅当 a,b 满足什么条件时, a a 对 C1 上任意一点 P,均存在以 P 为顶点,与 C0 外切,与 C1 内接的平行四边形?并证明你 的结论.

2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷九
参考答案
一.选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.设全集是实数,若 A={x| x-2≤0},B={x|10 (A){2} (B){?1} 解:A={2},B={2,-1},故选 D.
x2-2

=10x},则 A∩?RB 是(

) (D) ?

(C){x|x≤2}

α α α 2.设 sin?>0,cos?<0,且 sin >cos ,则 的取值范围是( 3 3 3 π π (A)(2k?+ ,2k?+ ), k?Z 6 3 (C)(2k?+ 5π ,2k?+?),k? Z 6 (B)(

)

2kπ π 2kπ π + , + ),k?Z 3 6 3 3

π π 5π (D)(2k?+ ,2k?+ )∪(2k?+ ,2k?+?),k?Z 4 3 6

π α 2kπ π 解:满足 sin?>0,cos?<0 的 α 的范围是(2k?+ ,2k?+π),于是 的取值范围是( + , 2 3 3 6 2kπ π + ), 3 3 α α α π 5π π 满 足 sin > cos 的 的 取 值 范 围 为 (2k?+ , 2k?+ ) . 故 所 求 范 围 是 (2k?+ , 3 3 3 4 4 4 π 5π 2k?+ )∪(2k?+ ,2k?+?),k?Z.选 D. 3 6 3.已知点 A 为双曲线 x2?y2=1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上,△ABC 是 等边三角形,则△ABC 的面积是( ) (A) 3 3 (B) 3 3 2 (C)3 3 (D)6 3
y
B A

解:A(-1,0),AB 方程:y=

3 (x+1),代入双曲线方程,解得 B(2, 3), 3

O
C

x

∴ S=3 3.选 C. 4.给定正数 p,q,a,b,c,其中 p?q,若 p,a,q 是等比数列,p,b,c,q 是等差数列,则一元二次方程 bx2?2ax+c=0( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有 两个异号实根 2p+q p+2q 解:a2=pq,b+c=p+q.b= ,c= ; 3 3 1 1 2 △=a2-bc=pq- (2p+q)(p+2q)=- (p-q)2<0.选 A. 4 9 9 5 4 5. 平面上整点 (纵、 横坐标都是整数的点) 到直线 y= x+ 的距离中的最小值是( 3 5 (A) 34 170 (B) 34 85 (C) 1 20 (D) 1 30 )

解 : 直 线 即 25x - 15y+12=0 . 平 面 上 点 (x , y) 到 直 线 的 距 离 = |5(5x-3y+2)+2| = . 5 34

|25x-15y+12| 5 34

∵5x-3y+2 为整数,故|5(5x-3y+2)+2|≥2.且当 x=y=-1 时即可取到 2.选 B. π π 6.设 ω=cos +isin ,则以?,?3,?7,?9 为根的方程是( 5 5 )

(A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4?x3+x2?x+1=0 4 3 2 (C) x ?x ?x +x+1=0 (D) x4+x3+x2?x?1=0 解: 5+1=0, ?, 3, 7, 9 都是方程 x5+1=0 的根. 5+1=(x+1)(x4-x3+x2-x+1)=0. ω 故 ? ? ? x 选 B. 二.填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 1.arcsin(sin2000?)=__________. π 解:2000° =180° ×12-160° .故填-20° 或- . 9 2.设 an 是(3? x)n 的展开式中 x 项的系数(n=2 , 3 , 4 , …),则 lim (
n→∞

32 3 3 + +… a2 a 3

3 + ))=________. an 解:an=3n 2Cn.∴


n

2

3k 2·2 3 18 = k-2 = ,故填 18. ak 3 n(n-1) n(n-1)

3.等比数列 a+log23,a+log43,a+log83 的公比是____________. a+log43 a+log83 (a+log43)-(a+log83) log43-log83 1 1 解:q= = = = = .填 . a+log23 a+log43 (a+log23)-(a+log43) log23-log43 3 3 x2 y2 4.在椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)中,记左焦点为 F,右顶点为 A,短轴上方的端点为 B.若 a b 该椭圆的离心率是 5-1 ,则∠ABF=_________. 2
B F

y

5-1 5+1 5+3 2 解:c= a,∴|AF|= a.|BF|=a,|AB|2=|AO|2+|OB|2= a. 2 2 2 故有|AF|2=|AB|2+|BF|2.即∠ABF=90° .填 90° . 或由 b2=a2-c2= 5-1 2 a =ac,得解. 2
H

O

A x

A

5.一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为 a,则这个 球的体积是________. 解:取球心 O 与任一棱的距离即为所求.如图,AE=BE= AG= 6 6 3 a,AO= a,BG= a,AB∶AO=BG∶OH. 3 4 3 3 a, 2
B

O D G C E

AO· BG 2 4 2 2 OH= = a.V= πr3= πa3.填 πa3. . AB 4 3 24 24 6.如果:(1)a,b,c,d 都属于{1,2,3,4}; (2)a?b,b?c,c?d,d?a; (3)a 是 a,b,c,d 中的最小值,

____ 那么,可以组成的不同的四位数abcd的个数是_________ 解:a、c 可以相等,b、d 也可以相等. ⑴ 当 a、c 相等,b、d 也相等时,有 C4=6 种; ⑵ 当 a、c 相等,b、d 不相等时,有 A3+A2=8 种; ⑶ 当 a、c 不相等,b、d 相等时,有 C3C2+C2=8 种; ⑷ 当 a、c 不相等,b、d 也不相等时,有 A3=6 种;共 28 种.填 28.
3 1 1 1 2 2 2

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) Sn 1.设 Sn=1+2+3+…+n,n?N*,求 f(n)= 的最大值. (n+32)Sn+1 1 n(n+1) 解:Sn= n(n+1),f(n)= = 2 (n+32)(n+1)(n+2) 时取得最大值). 1 13 2.若函数 f(x)=- x2+ 在区间[a,b]上的最小值为 2a,最大值为 2b,求[a,b]. 2 2 1 13 1 13 解:⑴ 若 a≤b<0,则最大值为 f(b)=- b2+ =2b.最小值为 f(a)=- a2+ =2a.即 a, 2 2 2 2 b 是方程 x2+4x-13=0 的两个根,而此方程两根异号.故不可能. 13 13 ⑵ 若 a<0<b,当 x=0 时,f(x)取最大值,故 2b= ,得 b= . 2 4 1 13 当 x=a 或 x=b 时 f(x)取最小值,①f(a)=- a2+ =2a 时.a=-2± 17,但 a<0,故取 2 2 1 13 39 a=-2- 17.由于|a|>|b|,从而 f(a)是最小值.②f(b)=- b2+ = =2a>0.与 a<0 矛盾.故 2 2 32 舍. ⑶ 0≤a<b.此时,最大值为 f(a)=2b,最小值为 f(b)=2a. 1 13 1 13 ∴ - b2+ =2a.- a2+ =2b.相减得 a+b=4.解得 a=1,b=3. 2 2 2 2 ∴ [a,b]=[1,3]或[-2- 17, 13 ]. 4 1 1 ≤ 错误!未指定书签。 .(n=8 64 50 n+ +34 n

x2 y2 3.已知 C0:x2+y2=1 和 C1: 2+ 2=1 (a>b>0).试问:当且仅当 a,b 满足什么条件时, a a 对 C1 上任意一点 P,均存在以 P 为顶点,与 C0 外切,与 C1 内接的 平行四边形?并证明你的结论. 解:设 PQRS 是与 C0 外切且与 C1 内接的平行四边形.易知圆的 外切平行四边形是菱形.即 PQRS 是菱形.于是 OP⊥OQ.
y

P

S Q O
x

R

设 P(r1cosθ , r1sinθ) , Q(r2cos(θ+90° , r2sin(θ+90° , 则 在 直 角 三 角 形 POQ 中 有 ) ) 1 1 r12+r22=r12r22(利用△POQ 的面积).即 2+ 2=1. r1 r2 但 r1cos2θ r2sin2θ 1 cos2θ sin2θ + 2 =1,即 2= 2 + 2 , 2 a b b r1 a
2 2

1 sin2θ cos2θ 1 1 同理, 2= 2 + 2 ,相加得 2+ 2=1. a b a b r2 反之,若 1 1 + =1 成 立 , 则 对 于 椭 圆 上 任 一 点 P(r1cosθ , r1sinθ) , 取 椭 圆 上 点 a 2 b2

1 cos2θ sin2θ 1 sin2θ cos2θ 1 1 1 1 Q(r2cos(θ+90° 2sin(θ+90° ),r ),则 2= 2 + 2 , 2= 2 + 2 , , ,于是 2+ 2= 2+ 2=1,此 b b r1 a r2 a r1 r2 a b 时 PQ 与 C0 相切.即存在满足条件的平行四边形. 故证.


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