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第三章 三角函数 教师版


第三章

三角函数 A

【知识导读】 弧长与扇形 面积公式 角度制与 弧度制 三角函数的 图象和性质 任意角的 三角函数 差 角 公 式 几个三角 恒等式 任意角 的概念 和 角 公 式 倍 角 公 式 诱 导 公 式 同角三角函 数关系 解斜三角形 及其应用

化简、 计算、 求值 与证明

正弦

定理与 余弦定理

【方法点拨】 三角函数是一种重要的初等函数, 它与数学的其它部分如解析几何、 立体几何及向量等 有着广泛的联系,同时它也提供了一种解决数学问题的重要方法——“三角法” .这一部分 的内容,具有以下几个特点: 1.公式繁杂.公式虽多,但公式间的联系非常密切,规律性强.弄清公式间的相互联系 和推导体系,是记住这些公式的关键. 2.思想丰富.化归、数形结合、分类讨论和函数与方程的思想贯穿于本单元的始终,类 比的思维方法在本单元中也得到充分的应用.如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的 三角函数的问题, 将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题, 将不同角的三角函 数问题化成同角的三角函数问题等. 3.变换灵活.有角的变换、公式的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换、 三角函数表达形式的变换及一些常量的变换等,并且有的变换技巧性较强. 4.应用广泛.三角函数与数学中的其它知识的结合点非常多,它是解决立体几何、解析 几何及向量问题的重要工具,并且这部分知识在今后的学习和研究中起着十分重要的作用,

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比如在物理学、天文学、测量学及其它各门科学技术都有广泛的应用.

第 1 课 三角函数的概念
【考点导读】 1. 理解任意角和弧度的概念,能正确进行弧度与角度的换算. 角的概念推广后,有正角、负角和零角;与 ? 终边相同的角连同角 ? 本身,可构成一
? 个集合 S ? ? ? ? ? ? k ? 360 , k ? Z ;把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为 1 弧

?

?

度的角,熟练掌握角度与弧度的互换,能运用弧长公式 l ? ( l 为弧长)解决问题. 2. 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.

? r 及扇形的面积公式 S = lr

1 2

角的概念推广以后,以角的顶点为坐标原点,角的始边为 x 轴的正半轴,建立直角坐标 系,在角的终边上任取一点 P( x, y ) (不同于坐标原点) ,设 OP ? r ( r ? 则 ? 的三个三角函数值定义为: sin ? ?

x2 ? y 2 ? 0 ) ,

y x y , cos ? ? , tan ? ? . r r x

从定义中不难得出六个三角函数的定义域:正弦函数、余弦函数的定义域为 R;正切函 数的定义域为 {? | ? ? R, ? ? k? ?

?
2

, k ? Z} .

3. 掌握判断三角函数值的符号的规律,熟记特殊角的三角函数值. 由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号,可以简记为:一正(第一象限内全 为正值) ,二正弦(第二象限内只有正弦值为正) ,三切(第三象限只有正切值为正) ,四余 弦(第四象限内只有余弦值为正) .另外,熟记 0 、 速、准确地运算很有好处. 4. 掌握正弦线、余弦线、正切线的概念. 在平面直角坐标系中, 正确地画出一个角的正弦线、 余弦线和正切线, 并能运用正弦线、 余弦线和正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题. 【基础练习】 1. ?885 化成 2k? ? ? (0 ? ? ? 2? , k ? Z ) 的形式是 2.已知 ? 为第三象限角,则

? ? ? ? 、 、 、 的三角函数值,对快 6 4 3 2

?6? ?

13 ? 12



? 所在的象限是 第二或第四象限 . 2 5 ? 3.已知角 ? 的终边过点 P(?5,12) ,则 cos ? = 13 , tan ? =
4.

?

12 5 .

tan(?3)sin 5 的符号为 cos8





第 2 页 共 2 页

5.已知角 ? 的终边上一点 P(a, ?1) ( a ? 0 ) ,且 tan ? ? ? a ,求 sin ? , cos ? 的值. 解:由三角函数定义知, a ? ?1 ,当 a ? 1 时, sin ? ? ?

2 2 , cos ? ? ; 2 2

当 a ? ?1 时, sin ? ? ? 【范例解析】

2 2 , cos ? ? ? . 2 2

例 1.(1)已知角 ? 的终边经过一点 P(4a, ?3a)(a ? 0) ,求 2sin ? ? cos ? 的值; (2)已知角 ? 的终边在一条直线 y ? 3x 上,求 sin ? , tan ? 的值. 分析:利用三角函数定义求解. 解: (1)由已知 x ? 4a , r ? 5 a .当 a ? 0 时, r ? 5a , sin ? ? ? , cos ? ?

3 5

4 ,则 5

2 2sin ? ? cos ? ? ? ; 5
当 a ? 0 时, r ? ?5a , sin ? ?

3 4 2 , cos ? ? ? ,则 2sin ? ? cos ? ? . 5 5 5

(2)设点 P(a, 3a)(a ? 0) 是角 ? 的终边 y ? 3x 上一点,则 tan ? ? 3 ; 当 a ? 0 时,角 ? 是第一象限角,则 sin ? ?

3 ; 2 3 . 2

当 a ? 0 时,角 ? 是第三象限角,则 sin ? ? ? 点评:要注意对参数进行分类讨论.

例 2.(1)若 sin ? ? cos ? ? 0 ,则 ? 在第_____________象限. (2)若角 ? 是第二象限角,则 sin 2? , cos 2? , sin 的有____个. 解: (1)由 sin ? ? cos ? ? 0 ,得 sin ? , cos ? 同号,故 ? 在第一,三象限. (2)由角 ? 是第二象限角,即

? ? ? , cos , tan 中能确定是正值 2 2 2

?
2

? 2k? ? ? ? ? ? 2k? ,得

?
4

? k? ?

?
2

?

?
2

? k? ,

? ? 4k? ? 2? ? 2? ? 4k? ,故仅有 tan

?
2

为正值.

点评:准确表示角的范围,由此确定三角函数的符号. 例 3. 一扇形的周长为 20cm ,当扇形的圆心角 ? 等于多少时,这个扇形的面积最大?最大

第 3 页 共 3 页

面积是多少? 分析:选取变量,建立目标函数求最值. 解:设扇形的半径为 x ㎝,则弧长为 l ? (20 ? 2 x) ㎝,故面积为

1 y ? (20 ? 2 x) x ? ?( x ? 5) 2 ? 25 , 2
当 x ? 5 时,面积最大,此时 x ? 5 , l ? 10 , ? ?
2 所以当 ? ? 2 弧度时,扇形面积最大 25 cm .

l ?2, x

点评:由于弧度制引入,三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数.

【反馈演练】 二 象限. 1.若 sin ? ? cos ? 且 sin ? ? cos ? ? 0 则 ? 在第_______ 三 2.已知 ? ? 6 ,则点 A(sin ? , tan ? ) 在第________ 象限. 3.已知角 ? 是第二象限,且 P(m, 5) 为其终边上一点,若 cos ? ? _______. 4.将时钟的分针拨快 30 min ,则时针转过的弧度为 5.若 4? ? ? ? 6? ,且 ? 与 ?

?

? 12


2 m ,则 m 的值为? 4

3

2? 终边相同,则 ? = 3

16? 3

.1
1

sin 6.已知 1 弧度的圆心角所对的弦长 2,则这个圆心角所对的弧长是_______ 2 ,这个圆心角所 1 在的扇形的面积是 1 ? cos1 ___________.

7. (1)已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形中心角是 1 弧度,求该扇形面积. (2)若扇形的面积为 8 cm ,当扇形的中心角 ? (? ? 0) 为多少弧度时,该扇形周长最小.
2

简解: (1)该扇形面积 2 cm ;

2

? 2r ? l ? y 16 ? ? 8 2 ,当且仅当 r ? 2 2 时取等号.此时, l ? 4 2 , (2) ? 1 ,得 y ? 2r ? r rl ? 8 ? ?2

??

l ? 2. r

第 4 页 共 4 页

第 2 课 同角三角函数关系及诱导公式
【考点导读】 1.理解同角三角函数的基本关系式;同角的三角函数关系反映了同一个角的不同三角函数间 的联系. 2.掌握正弦,余弦的诱导公式;诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数间的内在规律,起 着变名,变号,变角等作用. 【基础练习】
3 . 1. tan600°=______

? 5 13 . 2. 已知 ? 是第四象限角, tan ? ? ? ,则 sin ? ? ______ 12
3.已知 cos ?

5

? 3 ?? ? - 3. ,且 ? ? ,则tan ? =______ ?? ? ? 2 ?2 ? 2

4.sin15°cos75°+cos15°sin105°=___1___. 【范例解析】 例 1.已知 cos(? ? ? ) ?

8 ,求 sin(? ? 5? ) , tan(3? ? ? ) 的值. 17

分析:利用诱导公式结合同角关系,求值. 解:由 cos(? ? ? ) ?

8 8 ? 0 ,?? 是第二,三象限角. ,得 cos ? ? ? 17 17

第 5 页 共 5 页

15 15 , tan(3? ? ? ) ? tan ? ? ? ; 17 8 15 15 若 ? 是第三象限角,则 sin(? ? 5? ) ? ? sin ? ? , tan(3? ? ? ) ? tan ? ? . 17 8
若 ? 是第二象限角,则 sin(? ? 5? ) ? ? sin ? ? ? 点评:若已知正弦,余弦,正切的某一三角函数值,但没有确定角所在的象限,可按角的象 限进行分类,做到不漏不重复. 例 2.已知 ? 是三角形的内角,若 sin ? ? cos ? ?

1 ,求 tan ? 的值. 5
1 25

分析:先求出 sin ? ? cos ? 的值,联立方程组求解. 解 : 由

sin ? ? cos ? ?

1 5

两 边 平 方 , 得 1 ? 2sin ? ? cos ? ?

, 即

? 2sin ? ? cos ? ? ?

24 ?0. 25

又 ? 是三角形的内角,? cos ? ? 0 ,? 由 (sin ? ? cos ? ) ?
2

?
2

?? ?? .

49 7 ,又 sin ? ? cos ? ? 0 ,得 sin ? ? cos ? ? . 25 5

1 4 ? ? sin ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? 4 ? ? 5 5 联立方程组 ? ,解得 ? ,得 tan ? ? ? . 3 ?sin ? ? cos ? ? 7 ?cos ? ? ? 3 ? ? 5 5 ? ?
点评:由于 (sin ? ? cos ? )2 ? 1 ? 2sin ? ? cos ? ,因此式子 sin ? ? cos ? , sin ? ? cos ? ,

sin ? ? cos ? 三者之间有密切的联系,知其一,必能求其二.
【反馈演练】 1.已知 sin ? ?

3 5 ? 4 4 ,则 sin ? ? cos ? 的值为_____ 5 . 5

i s 2. “n

A?

1 ”是“A=30? ”的必要而不充分条件. 2

3.设 0 ? x ? 2? ,且 1 ? sin 2 x ? sin x ? cos x ,则 x 的取值范围是 4.已知 sin ? ? cos ? ? 5. (1)已知 cos ? ? ? (2)已知 sin( x ?

?

1 ? 3? ,且 ≤ ? ≤ ,则 cos 2? 的值是 5 2 4

4 7 ? 25

?x?

5? 4



1 ? 2 cos(? ? ? ) ? 3sin(? ? ? ) ,且 ? ? ? ? 0 ,求 的值. 3 2 4 cos(?? ) ? sin(2? ? ? ) 1 5? ? ? x) ? sin 2 ( ? x) 的值. ,求 sin( 4 6 3

?
6

)?

解: (1)由 cos ? ? ?

1 ,得 tan ? ? ?2 2 . 3
第 6 页 共 6 页

原式= (

?2 cos ? ? 3sin ? ?2 ? 3 tan ? 5 ? ? 2? 2. 4 cos ? ? sin ? 4 ? tan ? 2
2 )

? sin(

5? ? ? ? ? ? x) ? sin 2 ( ? x) ? sin[? ? ( x ? )] ? sin 2 [ ? ( x ? )] 6 3 6 2 6 ? ? 19 ? sin( x ? ) ? cos 2 ( x ? ) ? . 6 6 16 4 6.已知 tan ? ? ? ,求 3 6 sin ? ? cos ? (I) 的值; 3sin ? ? 2 cos ? 1 (II) 的值. 2sin ? cos ? ? cos 2 ?

? 1 sin( x ? ) ? 6 4



4 6(? ) ? 1 4 7 6 sin ? ? cos ? 6 tan ? ? 1 3 解: (I)∵ tan ? ? ? ;所以 = = ? . 4 3 3sin ? ? 2 cos ? 3 tan ? ? 2 3(? ) ? 2 6 3 4 (II)由 tan ? ? ? , 3 1 sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1 5 ? ? ?? . 于是 2 2 2sin ? cos ? ? cos ? 2sin ? cos ? ? cos ? 2 tan ? ? 1 3

第 3 课 两角和与差及倍角公式(一)
【考点导读】 1.掌握两角和与差,二倍角的正弦,余弦,正切公式,了解它们的内在联系; 2.能运用上述公式进行简单的恒等变换; 3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角,函数名称及次数三方面的差异及联系,然后通 过“角变换” , “名称变换” , “升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系; 4.证明三角恒等式的基本思路:根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简, 左右归一,变更命题等方法将等式两端的“异”化“同” . 【基础练习】
1 2 1. sin163 sin 223 ? sin 253 sin 313 ? ___________ .

? 2 2 cos( x ? ) 3. 2. 化简 2 cos x ? 6 sin x ? _____________

3+cos2x . 3. 若 f(sinx)=3-cos2x,则 f(cosx)=___________
第 7 页 共 7 页

4.化简:

sin ? ? sin 2? tan ? ? ___________ . 1 ? cos ? ? cos 2?

【范例解析】

1 2 ; 例 .化简: (1) ? ? 2 tan( ? x)sin 2 ( ? x) 4 4 ? ? (1 ? sin ? ? cos ? )(sin ? cos ) 2 2 (0 ? ? ? ? ) . (2) 2 ? 2 cos ? 2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ?
(1)分析一:降次,切化弦. 解 法 = 一 : 原 式

1 (2 cos 2 x ? 1) 2 2 2sin( ? x) ? 4 cos 2 ( ? x) ? 4 cos( ? x) 4

?

?

(2 cos 2 x ? 1) 2 4sin(

?

4

? x) cos(

?

? ? x)

cos 2 2 x 2sin( ? 2 x) 2

?

?

1 cos 2 x . 2

4

分析二:变“复角”为“单角” . 解 法 二







1 (2cos 2 x ? 1)2 2 ? ? c 1 ? tan x 2 2 2? ( sin x ? cos x) 2 ? c 1 ? tan x 2 2
( 2 )

c x? x? x x

2

x o x? o

1 c s x 2( 2 s ?


o

s x. s


o

2 s s i

s

(2sin cos ? 2cos 2 )(sin ? cos ) cos (sin 2 ? cos 2 ) ? cos ? cos ? 2 2 2 2 2 ? 2 2 2 ? 2 = ? ? ? cos cos 4cos2 2 2 2 ? ? ? 0 ? ? ? ? ,? 0 ? ? , cos ? 0 ,? 原式= ? cos ? . 2 2 2
点评:化简本质就是化繁为简,一般从结构,名称,角等几个角度入手.如:切化弦, “复 角”变“单角” ,降次等等. 【反馈演练】 1.化简

?

?

?

?

?

?

?

?

?

2sin 2? cos 2 ? ? ? tan 2? . 1 ? cos 2? cos 2?

2.若 sin x ? tan x ? 0 ,化简 1 ? cos 2 x ? _________ ? 2 cos x.

? a?b . ,sin α+cos α = α,sin β+cos β= b,则 a 与 b 的大小关系是_________ 4 ? ? ( , ) ? 4.若 sin ? ? cos ? ? tan ? (0 ? ? ? ) ,则 ? 的取值范围是___________ . 4 3 2
3.若 0<α<β< 5.已知 ? 、 ? 均为锐角,且 cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ,则 tan ? = 1 .

第 8 页 共 8 页

6.化简:

2 tan( ? ? ) ? sin 2 ( ? ? ) 4 4

?

2 cos 2 ? ? 1

?



解:原式=

2sin( ? ? ) ? 4 ? cos 2 ( ? ? ) ? 4 cos( ? ? ) 4
2 2

?

2 cos 2 ? ? 1

?

2sin( ? ? ) ? cos( ? ? ) 4 4

?

cos 2?

?

?

cos 2? ? 1. cos 2?

7.求证: sin 2 x ? 2cos x cos 2 x ? 2cos x .
2

证明:左边= 4sin x cos x ? 2cos x cos 2 x ? 2cos2 x(2sin 2 x ? 1 ? 2cos2 x) ? 2cos2 x =
2 2 2

右边. 8.化简: sin 2 ? ? sin 2 ? ? 2sin ? sin ? cos(? ? ? ) . 解:原式= sin 2 ? ? sin 2 ? ? 2sin ? sin ? (cos ? cos ? ? sin ? sin ? )

? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 2sin ? sin ? cos ? cos ? ? 2sin 2 ? sin 2 ? ? sin 2 ? (1 ? sin 2 ? ) ? sin 2 ? (1 ? sin 2 ? ) ? 2sin ? sin ? cos ? cos ? ? sin 2 ? cos2 ? ? sin 2 ? cos2 ? ? 2sin ? sin ? cos ? cos ? ? (sin ? cos ? ? sin ? cos ? )2 ? sin 2 (? ? ? ) .

第 4 课 两角和与差及倍角公式(二)
【考点导读】 1.能熟练运用两角和与差公式,二倍角公式求三角函数值; 2.三角函数求值类型: “给角求值” , “给值求值” , “给值求角” . 【基础练习】 1.写出下列各式的值:

1 2 (1) 2sin15? cos15? ? _________ ;
(3) 2sin 15? ? 1 ? _________ ; 2
2

3 (2) cos 15? ? sin 15? ? _________ ; 2
2 2

?

3

(4) sin 15? ? cos 15? ? ____1_____.
2 2

第 9 页 共 9 页

1 7

3 ? , ? ),sin ? ? , 则 tan(? ? ) =_________. 2 5 3 4 1 1 ? tan15? ? 5? ? _______ ? _________ 3.求值: (1) (2) cos cos . 3 ; 4 1 ? tan15? 12 12 4.求值: tan10?? tan 20? ? 3(tan10? ? tan 20?) ? ____1____. 4 - ? 5.已知 tan ? 3 ,则 cos? ? ________ 5 . 2 1 cos 2? 2 2 6.若 ,则 cos ? ? sin ? ? _________ . ?? π? 2 ? sin ? ? ? ? 4? ?
2.已知 ? ? ( 【范例解析】 例 1.求值: (1) sin 40?(tan10? ? 3) ;

?

(2)

2sin 50? ? sin 80?(1 ? 3 tan10?) . 1 ? cos10?

分析:切化弦,通分. 解 = sin 40?( : ( 1 ) 原 式

sin10? 2sin(10? ? 60?) sin10? ? 3 cos10? ? 3) = sin 40?? ? sin 40?? cos10? cos10? cos10? 2 cos 40? ? sin 80? ? ? ?1 . cos10? cos10?

? ? sin 40? ?
( 2 )

1 ? 3 tan10? ? 1 ? 3

sin10? cos10? ? 3 sin10? 2sin 40? ? ? cos10? cos10? cos10?





1?

c o ?s ? 1 0 .
2sin 50? ? sin 80? ?

? 2

c o s

5

原式=

2sin 40? cos10? ? 2(sin 50? ? sin 40?) ? 2 2 cos5? ? 2 . 2 cos 5? 2 cos 5? 2 cos5?

点评:给角求值,注意寻找所给角与特殊角的联系,如互余,互补等,利用诱导公式,和与 差公式,二倍角公式进行转换. 例 2.设 cos(? ? ? ) ? ?

4 12 ? 3? , 2? ) ,求 , cos(? ? ? ) ? ,且 ? ? ? ? ( , ? ) , ? ? ? ? ( 5 13 2 2

cos 2? , cos 2? .
分析: 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) .

第 10 页 共 10 页

4 ? 3 5 ? ? ? ? ( ,? ) , ( i s ? )? ? ? , , 得n 同理, 可得 sin(? ? ? ) ? ? 5 2 5 13 33 63 ? cos 2? ? cos[(? ? ? ) ? (? ? ? )] ? ? ,同理,得 cos 2 ? ? ? . 65 65
解: 由 cos(? ? ? ) ? ? 点 评 : 寻 求 “ 已 知 角 ” 与 “ 未 知 角 ” 之 间 的 联 系 , 如 : 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,

2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) 等.
3 17? 7? sin 2 x ? 2sin 2 x ?x? 例 3.若 cos( ? x) ? , ,求 的值. 4 5 12 4 1 ? tan x
分析一: x ? (

?

?
4

4 17? 7? 5? ? ?x? ? x ? ? 2? , 解法一: ,? 12 4 3 4 ? 3 ? 4 ? 4 又 cos( ? x) ? ,? sin( ? x) ? ? , tan( ? x) ? ? . 4 5 4 5 4 3

? x) ?

?



? ? 2 7 2 ,? sin x ? ? , tan x ? 7 . cos x ? cos[( ? x) ? ] ? ? 4 4 10 10
2 ? (?
所以,原式= 分析二: 2 x ? 2(

7 2 2 7 2 2 ) ? (? ) ? 2 ? (? ) 28 10 10 10 ?? . 1? 7 75
? x) ?

?

?

4 2 sin 2 x ? sin 2 x ? tan x sin 2 x(1 ? tan x) ? ? ? sin 2 x ? tan( ? x) 解法二:原式= 1 ? tan x 1 ? tan x 4 ? ? ? 7 2 ? 又 sin 2 x ? sin[2( ? x) ? ] ? ? cos 2( ? x) ? ?[?2 cos ( ? x) ? 1] ? , 4 2 4 4 25 7 4 28 ? (? ) ? ? . 所以,原式 ? 25 3 75
点评:观察“角”之间的联系以寻找解题思路.



【反馈演练】

1 3 ? 1.设 ? ? (0, ) ,若 sin ? ? ,则 2 cos(? ? ) =__________ . 5 2 5 4 4 1 ? ? 3 7

?

第 11 页 共 11 页

? ? =2,则 tanα 的值为_______,tan (? ? ) 的值为___________ . 2 4 7 ? ?? ? 1 ? 2? ? 9 3.若 sin ? ? ? ? ? ,则 cos? . ? 2? ? =___________ ?6 ? 3 ? 3 ? 1 1 3 2 4.若 cos(? ? ? ) ? , cos(? ? ? ) ? ,则 tan ? tan ? ? . 5 5 1 1 3 . ? ? _________ 5.求值: sin 20? tan 40?
2.已知 tan 6.已知 cos?? ?

? ?

??

3 ? 3? ?? ? .求 cos? 2? ? ? 的值 ? ? , ?? ? 4? 5 2 2 4? ?

王新敞
奎屯

新疆

解: cos? 2? ?

? ?

??

? ? 2 ?cos2? ? sin 2? ?. ? ? cos2? cos ? sin 2? sin ? 4? 4 4 2



?
2

?? ?

3? ? 7? 3? ?? ? ?? ? ? , 且 cos ? ? ? ? ? 0, 4 4 4 2 4? ?

?? ?? 4 ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? ? ? ? 4? 4? 5 ? ?
从而 cos 2? ? sin? 2? ?

王新敞
奎屯

新疆

? ?

??

?? ? ?? 24 ? , ? ? 2 sin?? ? ? cos?? ? ? ? ? 2? 4? ? 4? 25 ?
新疆

?? ?? 7 ? ? sin 2? ? ? cos? 2? ? ? ? 1 ? 2 cos2 ?? ? ? ? 2? 4 ? 25 ? ?

王新敞
奎屯

?? 2 ? 24 7 ? 31 2 ? ? cos? 2? ? ? ? ? ?? ? ??? 4? 2 ? 25 25 ? 50 ?

王新敞
奎屯

新疆

第 12 页 共 12 页

2012 高中数学复习讲义

第三章

三角函数 B

第 5 课 三角函数的图像和性质(一)
【考点导读】 1. 能画出正弦函数,余弦函数,正切函数的图像,借助图像理解正弦函数,余弦函数在

[0, 2? ] ,正切函数在 ( ?

? ?

, ) 上的性质; 2 2

2.了解函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的实际意义,能画出 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像; 3.了解函数的周期性,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 【基础练习】

x ? ? )( ? ? ) 的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小 3 ? 2 正周期 T ? _____6____;初相 ? ?6 __________.
1. 已知简谐运动 f ( x) ? 2sin(

?

?

? { x x ? 2k ? ? , k ? Z } ? 2. 三角方程 2sin( -x)=1 的解集为_______________________ . 3 2 ? 3. 函数 y ? A sin( ?x ? ?)( ? ? 0, ? ? , x ? R ) 的部分图象如图所示,则函数表达式为 2
? ? y ? ?4 sin( x ? ) 8 4 . ______________________

第3题

? ?? ? 4. 要得到函数 y ? sin x 的图象,只需将函数 y ? cos ? x ? ? 的图象向右平移__________ ? ?? ?
个单位. 【范例解析】 例 1.已知函数 f ( x) ? 2sin x(sin x ? cos x) . (Ⅰ)用五点法画出函数在区间 ? ? ? , ? ? 上的图象,长度为一个周期; ? ? 2 2? ? (Ⅱ)说明 f ( x) ? 2sin x(sin x ? cos x) 的图像可由 y ? sin x 的图像经过怎样变换而得到. 分析:化为 A sin(? x ? ? ) 形式. 解: (I)由 f ( x) ? 2 sin x ? 2 sin x cos x ? 1 ? cos2 x ? sin 2 x
2

第 13 页 共 13 页

? 1 ? 2( s i n 2x ? c o s ? c o s 2 x s i n ) ? 1 ? 2 s i n2 (x ? ) . 4 4 4
列表,取点,描图:

?

?

?

x
y

?

3? 8
1

?

?
8

? 8
1

3? 8

5? 8
1

1? 2

1? 2

故函数 y ? f ( x) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的图象是: 2 2

(Ⅱ)解法一:把 y ? sin x 图像上所有点向右平移

x? 再 把 y ? sin(

?
4

? ? 个单位,得到 y ? sin( x ? ) 的图像, 4 4
1 ( 纵 坐 标 不变 ) , 得到 2

)的 图 像 上 所 有点 的横 坐 标 缩短 为 原 来的

y ? sin(2 x ? ) 的图像,然后把 y ? sin(2 x ? ) 的图像上所有点纵坐标伸长到原来的 2 4 4
倍(横坐标不变) ,得到 y ?

?

?

2 sin(2 x ? ) 的图像,再将 y ? 2 sin(2 x ? ) 的图像上所 4 4

?

?

有点向上平移 1 个单位,即得到 y ? 1 ? 2 sin(2 x ?

?

4

) 的图像.
1 2

解法二: 把 y ? sin x 图像上所有点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变) , 得到 y ? sin 2 x 的图像,再把 y ? sin 2 x 图像上所有点向右平移 然后把 y ? sin(2x ?

?
4

? ? 个单位,得到 y ? sin(2 x ? ) 的图像, 8 4

) 的图像上所有点纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) ,得到

y ? 2 sin(2 x ? ) 的图像,再将 y ? 2 sin(2 x ? ) 的图像上所有点向上平移 1 个单位, 4 4
即得到 y ? 1 ? 2 sin(2 x ?

?

?

?

4

) 的图像.

例 2.已知正弦函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0) 的图像如右图所示. (1)求此函数的解析式 f1 ( x) ;

第 14 页 共 14 页

(2)求与 f1 ( x) 图像关于直线 x ? 8 对称的曲线的解析式 f 2 ( x) ; (3)作出函数 y ? f1 ( x) ? f 2 ( x) 的图像的简图. y x=8

2
-2 O 2 x

分析:识别图像,抓住关键点. 解: (1)由图知, A ? 2 , 将 x ? 2 ,y ?

2?

? ? ? ? ) ? 2s n i ( )x ? 得 2 sin( ? ? ) ? 2 , 解得 ? ? , 即 f1 ( x . 2 代入, 4 4 8 4 ( 2 ) 设 函 数 f 2 ( x) 图 像 上 任 一 点 为 M ( x, y ) , 与 它 关 于 直 线 x ? 8 对 称 的 对 称 点 为 M ?( x?, y?) , ? x? ? x 6x , ? 8, ? x? ? 1 ? ? ? ? ) 2 sx? ? i n ( 中 , 得) 得 ? 2 解 得 ? 代 入 f1 ( x? ? 8 4 ? y? ? y. ? ? y? ? y. ? ? f2 ( x ? )? 2 sx ? i n. ( ) 8 4 ? ? ? ? ? (3) y ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? 2 sin( x ? ) ? 2 sin( x ? ) ? 2 cos x ,简图如图所示. 8 4 8 4 8
y

?

? 2 ? (6 ? 2) ? 16 ,? ? ?

?
8

,即 y ?

2 sin(

?
8

x ?? ) .

2 12 -4 O 4 x

点评:由图像求解析式, A 比较容易求解,困难的是待定系数求 ? 和 ? ,通常利用周期确 定 ? ,代入最高点或最低点求 ? . 【反馈演练】

x ? 1.为了得到函数 y ? 2 sin( ? ), x ? R 的图像,只需把函数 y ? 2sin x , x ? R 的图像上所 3 6
第 15 页 共 15 页

有的点

1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ; 3 ? 1 ②向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ; 6 3
①向左平移

?

6

③向左平移 ④向右平移

? ?

6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) ;

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) . 6 其中,正确的序号有_____③______. 2.为了得到函数 y ? sin( 2 x ? 个单位长度. 3.若函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) , x ? R (其中 ? ? 0 , ? ?

?

6

) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象向右平移__ ? __
3

f (0) ? 3 ,则 ? ? __2____; ? ? __________.

? 3

? )的最小正周期是 ? ,且 2

4.在 ?0,2? ? 内,使 sin x ? cos x 成立的 x 取值范围为____________________. 5.下列函数: ① y ? sin ? x ?

? ? 5? ? ? , ? ?4 4 ?

? ?

??

?; 6?

② y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

?; 6?

③ y ? cos ? 4 x ?

? ?

??

?; 3?

④ y ? cos ? 2 x ?

? ?

??

?. 6?
第5题

其中函数图象的一部分如右图所示的序号有_____④_____.

6.如图,某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b (1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段时间的函数解析式. 解: (1)由图示,这段时间的最大温差是 30 ? 10 ? 20 ℃ (2)图中从 6 时到 14 时的图象是函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b 的半个周期

? 1 2? ? ? 14 ? 6 ,解得 ? ? 8 2 ? 1 由图示, A ? (30 ? 10) ? 10 2
∴ 这时, y ? 10 sin(

b?

?

1 (10 ? 30) ? 20 2

8

x ? ? ) ? 20 3? 4
第6题

将 x ? 6, y ? 10 代入上式,可取 ? ? 综上,所求的解析式为 y ? 10 sin(

3? ) ? 20 ( x ? [6,14] ) 8 4 π 0 ? ≤ ) 的图象与 y 轴相交于点 7 . 如 图 , 函 数 y ? 2 cos(? x ? ? )( x ? R,? > 0,≤ 2 x?
第 16 页 共 16 页

?

(0,3) ,且该函数的最小正周期为 ? .
(1)求 ? 和 ? 的值; (2)已知点 A ? , 0 ? ,点 P 是该函数图象上一点,点 Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点,

?π ?2

? ?

y

3
O
A

P

当 y0 ?

3 ?π ? , x0 ? ? ,π ? 时,求 x0 的值. 2 ?2 ?

x

第7题 解: (1)将 x ? 0 , y ? 3 代入函数 y ? 2cos(? x ? ? ) 得 cos ? ? 因为 0 ≤ ? ≤

3 , 2

? ? ,所以 ? ? . 6 2

又因为该函数的最小正周期为 ? ,所以 ? ? 2 , 因此 y ? 2cos ? 2 x ?

? ?

?? ?. 6? ? ? 3 , 2

(2)因为点 A ? , 0 ? , Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点, y0 ?

?? ?2

所以点 P 的坐标为 ? 2 x0 ?

? ?

? ? ,3 ? . 2 ? ?? 5? ? 3 ? . ? 的图象上,所以 cos ? 4 x0 ? ? ? 6? 6 ? 2 ?

又因为点 P 在 y ? 2cos ? 2 x ? 因为

? ?

? 7? 5? 19? ≤ x0 ≤ ? ,所以 ≤ 4 x0 ? ≤ , 2 6 6 6 5? 11? 5? 13? ? ? 从而得 4 x0 ? 或 4 x0 ? . 6 6 6 6 2? 3? 即 x0 ? 或 x0 ? . 3 4

第 17 页 共 17 页

第 6 课 三角函数的图像和性质(二)
【考点导读】 1. 理 解 三 角 函 数 y ? sin x , y ? cos x , y ? tan x 的 性 质 , 进 一 步学 会 研 究形 如 函 数

y ? A sin(? x ? ? ) 的性质;
2.在解题中体现化归的数学思想方法,利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究. 【基础练习】 1.写出下列函数的定义域: (1) y ? sin (2) y ?

x {x 6k? ? x ? 6k? ? 3? , k ? Z} ; 的定义域是______________________________ 3

? 2.函数 f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是____________ .
2 ? . ) ? sin ( x? ) 的最小正周期是_______ 4 4 ? ( ,0) ? 4. 函数 y=sin(2x+ )的图象关于点_______________ 对称. 3 3 ? ? ?1 ? ? ? 0 . 5. 已知函数 y ? tan ? x 在(- , )内是减函数,则 ? 的取值范围是______________ 2 2

? sin 2 x {x x ? k? ? , k ? Z } . 的定义域是____________________ 2 cos x
2

f x) ? sin (x ? 3.函数 (

?

?

【范例解析】 例 1.求下列函数的定义域: (1) y ?

sin x ? 2sin x ? 1 ; (2) y ? 2 ? log 1 x ? tan x . tan x 2

第 18 页 共 18 页

? ? ? ? ? x ? k? ? 2 , ? x ? k? ? 2 , ? ? 解: (1) ? tan x ? 0, 即 ? x ? k? , , ?2sin x ? 1 ? 0. ? ? 7? ? ? 2 k? ? ? x ? 2 k? ? . 6 6 ? ?
故函数的定义域为 {x 2k? ?

?
6

? x ? 2k? ?

? 7? 且 x ? k? , x ? k? ? , k ? Z } 2 6

2 ? log 1 x ? 0, ?0 ? x ? 4, ? ? ? 2 (2) ? 即? ? k? ? x ? k ? ? . ? ? tan x ? 0. ? ? 2
故函数的定义域为 (0,

?
2

) ? [? , 4] .

点评:由几个函数的和构成的函数,其定义域是每一个函数定义域的交集;第(2)问可用 数轴取交集.

例 2.求下列函数的单调减区间:

2cos x ; ? x 3 sin( ? ) 4 2 ? ? ? 解 :( 1 ) 因 为 2k? ? ? ? 2 x ? 2k? ? , 故 原 函 数 的 单 调 减 区 间 为 2 3 2 ? 5? [k? ? , k? ? ](k ? Z ) . 12 12
(1) y ? sin(

?

? 2 x) ;

(2) y ?

(2)由 sin( 又y?

?

x ? ? ) ? 0 ,得 {x x ? 2k? ? , k ? Z } , 4 2 2

2cos x x ? ? 4sin( ? ) , ? x 2 4 sin( ? ) 4 2 ? x ? 3? ? 5? )(k ? Z ) . 所以该函数递减区间为 2k? ? ? ? ? 2k? ? ,即 (4k? ? , 4k? ? 2 2 4 2 2 2
点评:利用复合函数求单调区间应注意定义域的限制. 例 3.求下列函数的最小正周期: (1) y ? 5tan(2x ?1) ; (2) y ? sin ? x ?

? ?

??

?? ? ? sin ? x ? ? . 3? ? 2?
π ? ,得 y ? 5tan(2x ?1) 的周期 T ? . 2 2

解: (1)由函数 y ? 5 tan(2 x ? 1) 的最小正周期为

第 19 页 共 19 页

(2) y ? sin( x ?

?

) sin( x ? ) ? (sin x cos ? cos x sin ) cos x 3 2 3 3

?

?

?

1 3 1 3 1 ? cos 2 x ? sin x cos x ? cos 2 x ? sin 2 x ? ? 2 2 4 2 2 ? 3 1 ? ? sin(2 x ? ) 4 2 3
?T ? ? .

点评:求三角函数的周期一般有两种: (1)化为 A sin(? x ? ? ) 的形式特征,利用公式求解; (2)利用函数图像特征求解.

【反馈演练】

? 1.函数 y ? sin x ? cos x 的最小正周期为 _____________ . 2
4 2

? 2? 7? 5? [ , ] ,[ , ] ?? ? 3为 6 3 2 . 设 函 数 f ( x) ? sin ? x ? ? ( x ? R) , 则 f ( x ) 在 [0, 2? ] 上 的 单 调 递 减6 区间 3? ? ? [? , 0] ___________________. 6 3.函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ?[?? ,0]) 的单调递增区间是________________. 2? 3 4.设函数 f ( x) ? sin 3x? | sin 3x | ,则 f ( x ) 的最小正周期为_______________ . ? [ ,? ] 2 2 x 5.函数 f ( x) ? cos x ? 2 cos 在 [0, ? ] 上的单调递增区间是_______________ . 3 2
π? ? 1 ? 2 cos ? 2 x ? ? 4? ? 6.已知函数 f ( x) ? . π? ? sin ? x ? ? 2? ?
(Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域;

第 20 页 共 20 页

(Ⅱ)若角 ? 在第一象限且 cos ? ? 解: (Ⅰ) 由 sin ? x ?

3 ,求 f (? ) . 5

? ?

π π π? ? ? 0 得 x ? ? 2 ? kπ ,即 x ? kπ ? 2 (k ? Z) . 2?

故 f ( x ) 的定义域为 ? x ? R | x ? kπ ? ,k ? Z ? .

? ?

π 2

? ?

4 ?3? (Ⅱ)由已知条件得 sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? ? ? . 5 ?5?
2

2

π? ? 1 ? 2 cos ? 2? ? ? 4? ? 从而 f (? ) ? π? ? sin ? ? ? ? 2? ?
π π? ? 1 ? 2 ? cos 2? cos ? sin 2? sin ? 4 4? ? ? cos ?

?

1 ? cos 2? ? sin 2? 2cos 2 ? ? 2sin ? cos ? ? cos ? cos ?
14 . 5

? 2(cos ? ? sin ? ) ?

7. 设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 图像的一条对称轴是直线 x ? (Ⅰ)求 ? ; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调增区间; (Ⅲ)画出函数 y ? f ( x) 在区间 [0, ? ] 上的图像 解: (Ⅰ)? x ?

?
8



王新敞
奎屯

新疆

?

?

?
4

? ? ? k? ?

?

8

是函数 y ? f ( x) 的图像的对称轴,? sin( 2 ? , k ? Z. ? ?? ? ? ? 0, ? ? ? 3? . 4

?
8

? ? ) ? ?1,

3? 3? ,因此 y ? sin( 2 x ? ). 4 4 ? 3? ? ? 2k? ? , k ? Z . 由题意得 2k? ? ? 2 x ? 2 4 2 3? ? 5? )的单调增区间为 [k? ? , k? ? ], k ? Z . 所以函数 y ? sin( 2 x ? 4 8 8 3? )知 (Ⅲ)由 y ? sin( 2 x ? 4
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ? ? ?
第 21 页 共 21 页

2

x

0

? 8
-1

3? 8
0

5? 8
1

7? 8
0

?
? 2 2

y

?

2 2

故函数 y ? f ( x)在区间 [0, ? ]上图像是
3 2 1 1 2

y

o
1 2 -1 3 2

? 8

? 4

3? 8

? 2

5? 8

3? 4

7? 8

?

x

第 7 课 三角函数的值域与最值
【考点导读】 1.掌握三角函数的值域与最值的求法,能运用三角函数最值解决实际问题; 2.求三角函数值域与最值的常用方法: (1)化为一个角的同名三角函数形式,利用函数的有 界性或单调性求解; (2)化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式,利用配方法或图像 法求解; (3)借助直线的斜率的关系用数形结合求解; (4)换元法. 【基础练习】 1.函数 y ? sin x ? 3 cos x 在区间 [0,

?
2

] 上的最小值为
3 4

1 .



1 2.函数 f ( x) ? cos x ? cos 2 x( x ? R) 的最大值等于 2
3.函数 y ? tan( 4.当 0 ? x ?

?

2

? x) (?

?

4

?x?

?

4

(??, ?1] ? [1, ??) . 且 x ? 0) 的值域是___________________
4 .

?
2

时,函数 f ( x) ?

1 ? cos 2 x ? 8 sin 2 x 的最小值为 sin 2 x

第 22 页 共 22 页

【范例解析】 例 1.(1)已知 sin x ? sin y ?

1 ,求 sin y ? cos2 x 的最大值与最小值. 3

(2)求函数 y ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x 的最大值. 分析:可化为二次函数求最值问题.

1 2 ? sin x , sin y ?[?1,1] ,则 sin x ? [ ? ,1] . 3 3 1 11 1 11 2 ? sin y ? cos 2 x ? (sin x ? ) 2 ? ,当 sin x ? 时, sin y ? cos x 有最小值 ? ;当 2 12 2 12 4 2 sin x ? ? 时, sin y ? cos2 x 有最小值 . 9 3
解: (1)由已知得: sin y ? (2)设 sin x ?cos x ? t (? 2 ? t ? 2) ,则 sin x ?cos x ?

1 2 1 t 2 ?1 ,则 y ? t ? t ? ,当 2 2 2

1 t ? 2 时, y 有最大值为 ? 2 . 2
点评:第(1)小题利用消元法,第(2)小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题; 但要注意变量的取值范围. 例 2.求函数 y ?

2 ? cos x (0 ? x ? ? ) 的最小值. sin x

分析:利用函数的有界性求解.

解 法 一 : 原 式 可 化 为 y sin x ? cos x ? 2(0 ? x ? ? ) , 得

1? y2 s i n x(? ? ?) , 2即

s i nx (? ? ? )
2 1? y2

2 1? y2





,所以 y 的最小值为 3 . ? 1 ,解得 y ? 3 或 y ? ? 3 (舍)

解法二: y ?

2 ? cos x (0 ? x ? ? ) 表示的是点 A(0, 2) 与 B(? sin x, cos x) 连线的斜率,其 sin x
2 2

中点 B 在左半圆 a ? b ? 1(a ? 0) 上,由图像知,当 AB 与半圆相切时, y 最小,此时

k AB ? 3 ,所以 y 的最小值为 3 .
点评: 解法一利用三角函数的有界性求解; 解法二从结构出发利用斜率公式, 结合图像求解. 例 3.已知函数 f ( x) ? 2sin ?
2

?π ? ?π π? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . ?4 ? ?4 2?
第 23 页 共 23 页

(I)求 f ( x ) 的最大值和最小值; (II)若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 2 分析:观察角,单角二次型,降次整理为 a sin x ? b cos x 形式. 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? ?1 ? cos ?

?π π? ? ?

? ?

?π ?? ? 2 x ?? ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ?2 ??

π? ? ? 1 ? 2sin ? 2 x ? ? . 3? ?
又∵ x ? ? , ? ,∴ ≤ 2 x ? ≤ ,即 2 ≤1 ? 2sin ? 2 x ? ? ≤ 3 , 6 3 3 3? ?4 2? ?

?π π?

π

π



?

π?

∴ f ( x)max ? 3,f ( x)min ? 2 .
(Ⅱ)∵ f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 , x ? ? , ? , 4 2

?π π? ? ?

∴m ? f ( x)max ? 2 且 m ? f ( x)min ? 2 ,
∴1 ? m ? 4 ,即 m 的取值范围是 (1 , 4) .
点评:第(Ⅱ)问属于恒成立问题,可以先去绝对值,利用参数分离转化为求最值问题.本 小题主要考查三角函数和不等式的基本知识, 以及运用三角公式、 三角函数的图象和性质解 题的能力.

【反馈演练】 1.函数 y ? 2 sin( 2.当 0 ? x ? 3.函数 y ?

?
3

? x) ? cos(

?
6

? x)( x ? R) 的最小值等于____-1_______.

?
4

时,函数 f ( x) ?

sin x cos x ? 2

cos 2 x 的最小值是______4 _______. cos x sin x ? sin 2 x 3 3 ? 的最大值为_______ 3 3 ,最小值为________.

4.函数 y ? cos x ? tan x 的值域为 (?1,1) .

3 2
第 24 页 共 24 页

5.已知函数 f ( x) ? 2sin ? x(? ? 0) 在区间 ? ? 于_________.

? ? ?? 上的最小值是 ?2 ,则 ? 的最小值等 , ? 3 4? ?

6.已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 ,x ? R . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ? , ? 上的最小值和最大值. 8 4 解: (Ⅰ) f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin ? 2 x ? 因此,函数 f ( x ) 的最小正周期为 π . (Ⅱ)因为 f ( x) ?

? π 3π ? ? ?

? ?

π? ?. 4?

π? ? ? π 3π ? ? 3π 3π ? 2 sin ? 2 x ? ? 在区间 ? , ? 上为增函数,在区间 ? , ? 上为减 4? ? ?8 8 ? ?8 4? ? 3π ? f ? ?? 2, ? 8 ? π ? 3π ? ? 3π π ? f ? ? ? 2 sin ? ? ? ? ? 2 cos ? ?1 , 4 ? 4 ? ? 2 4?

函数,又 f ?

?π? ? ?0, ?8?

故函数 f ( x ) 在区间 ? , ? 上的最大值为 2 ,最小值为 ?1 . 8 4

? π 3π ? ? ?

第8课 解三角形
【考点导读】 1.掌握正弦定理,余弦定理,并能运用正弦定理,余弦定理解斜三角形; 2.解三角形的基本途径:根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理,然后通过化边为角或 化角为边,实施边和角互化. 【基础练习】 1.在△ABC 中,已知 BC=12,A=60°,B=45°,则 AC=
第 25 页 共 25 页

4 6 .

? 3

2.在 ?ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 5 : 7 : 8 ,则 ? B 的大小是______________.

1 3.在 △ ABC 中,若 tan A ? , C ? 150 , BC ? 1 ,则 AB ? 3
【范例解析】

10 2



C ? 2A , cos A ? 例1. 在△ABC 中, a, b, c 分别为∠A, ∠B, ∠C 的对边, 已知 a ? c ? 20 ,

3 . 4

c 的值; (2)求 b 的值. a 分析:利用 C ? 2 A 转化为边的关系. c sin C sin 2 A 3 ? ? 2 cos A ? . 解: (1)由 ? a sin A sin A 2
(1)求

?a ? c ? 20, ?a ? 8, ? 2 2 2 (2)由 ? c 3 得? .由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ? . ?c ? 12. ? ?a 2
得: b ? 18b ? 80 ? 0 ,解得: b ? 8 或 b ? 10 ,
2

若 b ? 8 ,则 A ? B ,得 A ?

?
4

,即 cos A ?

2 3 ? 矛盾,故 b ? 10 . 2 4

点评:在解三角形时,应注意多解的情况,往往要分类讨论. 例 2.在三角形 ABC 中,已知 (a ? b )sin( A ? B) ? (a ? b )sin( A ? B) ,试判断该三角形
2 2 2 2

的形状. 解法一:(边化角)由已知得:a [sin( A ? B) ? sin( A ? B)] ? b [? sin( A ? B) ? sin( A ? B)] ,
2 2

化简得 2a cos A sin B ? 2b cos B sin A ,
2 2















sin 2 A cos A sin B ? sin 2 B cos B sin A c B o s s i n





s

A i

n B s

i A ?n

( A s ? i, Bn

c

o

s

)

0

又 A, B ? (0, ? ) ,? sin A ? sin B ? 0 ,? sin 2 A ? sin 2 B .

? 2 A ? 2B 或 2 A ? ? ? 2B , 又 2 A, 2B ? (0, 2? ) , 即该三角形为等腰三角形或直角三角形.
解法二:(角化边)同解法一得: 2a cos A sin B ? 2b cos B sin A ,
2 2

由正余弦定理得: a b

2

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 ? b2a , 2bc 2ac

2 2 2 2 2 2 2 2 整理得: (a ? b )(c ? a ? b ) ? 0 ,即 a ? b 或 c ? a ? b ,

第 26 页 共 26 页

即该三角形为等腰三角形或直角三角形. 点评: 判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化, 从而利用角或边判定三角形 形状. 例 3.如图,D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD,记∠CAD= ? ,∠ABC= ? . A (1)证明: sin ? ? cos 2? ? 0 ; (2)若 AC= 3 DC,求 ? . 分析:识别图中角之间的关系,从而建立等量关系. (1)证明: β B α

? ?? ?C ,C ?

?
2

? B ,? 2 ? ?

?
2

?? ,

例4

D

C

?sin ? ? cos 2? ? 0
(2)解: AC= 3 DC,?sin ? ? 3sin ? ? ? 3 cos 2? ? 2 3sin 2 ? ? 3 .

? ? 3 ? ? (0, ) ,? sin ? ? ,? ? ? . 3 2 2
点评:本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系,从而建立三角函数关系, 进而求出 ? 的 值.

【反馈演练】

3? 3 1.在 ?ABC 中, AB ? 3, A ? 450 , C ? 750 , 则 BC =_____________ .
2.?ABC 的内角∠A, ∠B, ∠C 的对边分别为 a, b, c, 若 a, b, c 成等比数列, 且 c ? 2a , 则 cos B ? _____. 3.在 ?ABC 中,若 2a ? b ? c , sin A ? sin B sin C ,则 ?ABC 的形状是____等边___三 15 角形.
2

3 4

2 ,则 sin A ? cos A = 3 4 5.在 ?ABC 中,已知 AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ? . 5
4.若 ?ABC 的内角 A 满足 sin 2 A ? (Ⅰ)求 sin B 的值; (Ⅱ)求 sin ? 2 B ?

3



? ?

?? ? 的值. 6?

解: (Ⅰ)在 ?ABC 中, sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ? ?
2

3 ? 4? ? ? ,由正弦定理, 5 ? 5?

2

第 27 页 共 27 页

BC AC AC 2 3 2 ? sin A ? ? ? . .所以 sin B ? sin A sin B BC 3 5 5 4 (Ⅱ)因为 cos A ? ? ,所以角 A 为钝角,从而角 B 为锐角,于是 5

21 ?2? cos B ? 1 ? sin B ? 1 ? ? ? ? , 5 ?5?
2

2

cos 2 B ? 2cos 2 B ? 1 ? 2 ? (

21 2 17 ) ?1 ? , 5 25

2 21 4 21 . sin 2 B ? 2sin B cos B ? 2 ? ? ? 5 5 25 3 17 1 12 7 ? 17 ?? ? ? 4 21 ? . ? ? ? ? sin ? 2B ? ? ? sin 2B cos ? cos 2 B sin ? 25 2 25 2 50 6? 6 6 ?
6.在 ?ABC 中,已知内角 A ?

? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ?

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值. 解: (1) ?ABC 的内角和 A ? B ? C ? ? ,由 A ? 应用正弦定理,知 AC ?

? 2? ,B ? 0,C ? 0 得 0 ? B ? . ? ?

BC 2 3 sin B ? sin x ? 4sin x , ? sin A sin ?
因为 y ? AB ? BC ? AC ,

AB ?

BC ? 2? ? sin C ? 4sin ? ? x?. sin A ? ? ?

所以 y ? 4sin x ? 4sin ?

2? ? ? 2? ? ? ? x? ? 2 3?0 ? x ? ?, 3 ? ? ? ? ?
? ? 1 cos x ? sin x ? ??2 3 ? 2 ?

(2)因为 y ? 4 ? sin x ?

? ? ?

?? ? ? 4 3 s i?nx ? ? ? ?? ?
所以,当 x ?

? 5? ? ?? 2? 3 ? x? ? ?, ? ? ? ??

? ? ? ? ,即 x ? 时, y 取得最大值 6 3 . ? ? ?

7.在 ?ABC 中, tan A ?

1 3 , tan B ? . 4 5

第 28 页 共 28 页

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 ?ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长.

1 3 ? 4 5 ? ?1 . 解: (Ⅰ) C ? π ? ( A ? B) ,? tan C ? ? tan( A ? B) ? ? 1 3 1? ? 4 5 3 又 0 ? C ? π ,? C ? π . 4 3 (Ⅱ) C ? ? ,? AB 边最大,即 AB ? 17 . 4


? ?? tan A ? tan B,A,B ? ? 0, ? ,? 角 A 最小, BC 边为最小边. ? ??

sin A 1 ? ? , ?tan A ? ? π? 由? cos A 4 且 A ? ? 0, ? , ? 2? ?sin 2 A ? cos 2 A ? 1, ?
得 sin A ?

AB BC sin A 17 ? ? 2. .由 得: BC ? AB sin C sin A sin C 17

所以,最小边 BC ? 2 .

第 9 课 解三角形的应用
第 29 页 共 29 页

【考点导读】 1.运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 2.综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题,深化对三角公式和基础知识的理解,进 一步提高三角变换的能力.

400 3 1 . 在 200 m 高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30° , 60° ,则塔高为 _________ m .
【基础练习】 2.某人朝正东方向走 x km 后,向右转 150° ,然后朝新方向走 3km,结果他离出发点恰好 2 3x或 3 _______________ km. 的值为 3 km,那么 3.一船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60 ,行驶 4h 30 2 后,船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15 ,这时船与灯塔的距离为 km. 4.如图,我炮兵阵地位于 A 处,两观察所分别设于 B,D,已知 ?ABD 为边长等于 a 的正 三角形,当目标出现于 C 时,测得 ?BDC ? 45 , ?CBD ? 75 ,求炮击目标的距离 AC C 解:在 ?BCD 中,由正弦定理得: ∴ BC ?

a BC ? sin 60? sin 45?
D
2 2 2

6 a 3

B

在 ?ABC 中,由余弦定理得: AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos ?ABC ∴ AC ?

5? 2 3 a 3 5? 2 3 a. 3

A 第4题

答:线段 AC 的长为 【范例解析】

例 .如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行, 当甲船位于 A 乙船位于甲船的北偏西 105 方向的 B1 处, 此时两船相距 20 海里, 1 处时, 北 当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120 方向的 B2 处,此时 两船相距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里? 分析:读懂题意,正确构造三角形,结合正弦定理或余弦定理求解.

120 105
甲 例 1(1)

A2 A1

B2 B1


第 30 页 共 30 页

解法一:如图(2),连结 A1B2 ,由已知 A2 B2 ? 10 2 ,

A1 A2 ? 30 2 ?

20 ? 10 2 ,? A1 A2 ? A2 B2 , 60



又 ∠A △A1 A2 B2 是等边三角形, 1A 2 B2 ? 180 ? 120 ? 60 ,?

120 A 2

? A1B2 ? A1 A2 ? 10 2 ,
由已知, A 1B 1 ? 20 , ∠B 1A 1B2 ? 105 ? 60 ? 45 , 在 △ A1B2 B1 中,由余弦定理,
2 2 B1B2 ? A1B12 ? A1B2 ? 2 A1B1 A1B2 cos 45 ? 202 ? (10 2)2 ? 2 ? 20 ?10 2 ?

B2 B1


105

A1

甲 例 1(2)

2 ? 200 . 2

? B1B2 ? 10 2 .因此,乙船的速度的大小为
答:乙船每小时航行 30 2 海里. 解法二:如图(3) ,连结 A2 B1 , 由已知 A 1 A2 ? 30 2 ? 1B 1 ? 20 , A

10 2 . ? 60 ? 30 2 (海里/小时) 北 20
120 A 2

B2
20 ? 10 2 ,∠B1 A1 A2 ? 105 , 60

105

B1

A1

甲 乙 例 1(3)

cos105 ? cos(45 ? 60 ) ? cos 45 cos 60 ? sin 45 sin 60 ?

2(1 ? 3) , 4 2(1 ? 3) . 4

sin105 ? sin(45 ? 60 ) ? sin 45 cos 60 ? cos 45 sin 60 ?
在 △ A2 A1B1 中,由余弦定理,
2 A2 B12 ? A1B12 ? A1 A2 ? 2 A1B1 A1 A2 cos105

? (10 2)2 ? 202 ? 2 ?10 2 ? 20 ?

2(1 ? 3) ? 100(4 ? 2 3) . 4

? A2 B1 ? 10(1 ? 3) .
由正弦定理 sin∠A1 A2 B1 ?

A1B1 20 sin∠B1 A1 A2 ? A2 B1 10(1 ? 3)

2(1 ? 3) 2 , ? 4 2
2(1 ? 3) . 4

?∠A1 A2 B1 ? 45 ,即∠B1 A2 B1 ? 60 ? 45 ? 15 , cos15 ? sin105 ?
第 31 页 共 31 页

在 △B1 A2 B2 中,由已知 A2 B2 ? 10 2 ,由余弦定理,
2 2 B1B2 ? A2 B12 ? A2 B2 ? 2 A2 B1 A2 B2 cos15

? 102 (1 ? 3)2 ? (10 2)2 ? 2 ?10(1 ? 3) ?10 2 ?

2(1 ? 3) ? 200 . 4

? B1B2 ? 10 2 ,乙船的速度的大小为
答:乙船每小时航行 30 2 海里.

10 2 . ? 60 ? 30 2 (海里/小时) 20

点评:解法二也是构造三角形的一种方法,但计算量大,通过比较二种方法,学生要善于 利用条件简化解题过程. 【反馈演练】 1.江岸边有一炮台高 30m,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为 45 ? 和 30 ? ,而且 两条船与炮台底部连线成 30 ? 角,则两条船相距____ 10 3 ________m. 2 .有一长为 1km 的斜坡,它的倾斜角为 20 ? ,现要将倾斜角改为 10 ? ,则坡底要伸长 ____1___km. 3.某船上的人开始看见灯塔在南偏东 30 ? 方向,后来船沿南偏东 60 ? 方向航行 45 海里后, 看见灯塔在正西方向,则此时船与灯塔的距离是____ 15 3 ______海里. 4 .把一根长为 30cm 的木条锯成两段,分别作钝角三角形 ABC 的两边 AB 和 BC ,且

?ABC ? 120? ,则第三条边 AC 的最小值是___ 15 3 _________cm.
5.设 y ? f (t ) 是某港口水的深度 y(米)关于时间 t(时)的函数,其中 0 ? t ? 24 .下表是 该港口某一天 从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系: t y 0 12 3 15.1 6 12.1 9 9.1 12 11.9 15 14.9 18 11.9 21 8.9 24 12.1

经长期观察,函数 y ? f (t ) 的图象可以近似地看成函数 y ? k ? A sin(?t ? ? ) 的图象 . 下面的函数中, 最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 A. y ? 12 ? 3 sin C. y ? 12 ? 3 sin

( A )

?

?

6

t , t ? [0,24 ] t , t ? [0,24]

B. y ? 12 ? 3 sin( D. y ? 12 ? 3 sin(

?
6

t ? ? ), t ? [0,24] t?

?

?
2

12

12

), t[0,24]

第 32 页 共 32 页


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