2-1.2.6圆锥曲线与方程复习小结--双曲线标准方程与几何性质

高二数学学案

高二数学组

一．复习目标：熟练掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质． 二．知识要点： 1．双曲线的定义： 定义的理解： ．

图形： 2．标准方程： 统一方程： 参数方程： 3．性质： （1）范围： （2）对称性： （3）顶点、焦点： （4）离心率： （5）渐近线： 4．共轭双曲线方程： 5．等轴双曲线： 6．焦半径： 7．通径： 8．焦点三角形： 9．相交弦长： 10．相交弦中点问题（点差法） ： . 范围： ． ； ； ； ； ； ；

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11． 与

x2 y 2 ? ? 1 共渐进线的双曲线方程 a 2 b2

．

三、题型研究 （1）方程特征及性质： 1、 【2014 广东】 若实数 k 满足 0 ? k ? 9, 则曲线 A．离心率相等 B.虚半轴长相等

x2 y2 x2 y2 ? ? 1的 ? ? 1 与曲线 25 ? k 9 25 9 ? k
C. 实半轴长相等 D.焦距相等

2、 【2014 山东】 已知 a ? b ，椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ，双曲线 C2 的方程为 a 2 b2

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 ， C1 与 C2 的离心率之积为 ，则 C2 的渐近线方程为 2 a b 2
（A） x ? 2 y ? 0 （B） 2 x ? y ? 0 （C） x ? 2 y ? 0 （D） 2 x ? y ? 0

3、 【2014 湖北】9.已知 F1 , F2 是椭圆和双曲线的公共焦点， P 是他们的一个公共点，且

?F1 PF2 ?
A.

?
3
B.

,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（

）

4 3 3

2 3 3

C.3

D.2

4、平面内有两个定点 F1 , F2 和一动点 M ，设命题甲， || MF1 | ? | MF2 || 是定值，命题乙： 点 M 的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 （ ）

( A) 充分但不必要条件 ( B ) 必要不充分条件 (C ) 充要条件
5、 如果 F1 , F2 分别是双曲线

( D) 既不充分也不必要条件

x2 y2 ? ? 1 的左、 右焦点，AB 是双曲线左支上过点 F1 的弦， 16 9
．

且 | AB |? 6 ，则 ?ABF2 的周长是

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6、双曲线 A.7

x2 y 2 ? ? 1 上的点 P 到点(5,0)的距离是 15,则 P 到点(-5,0)的距离是（ ） 16 9
B.23 C.5 或 23 D.7 或 23

7、 双曲线 离等于 ( A. 1 或 15

y2 x2 ? ? 1 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 7,那么 P 到另一个焦点的距 16 25
) B. 3
2

C. 15

D.17

y2 ? 1的左右焦点，若点 P 在双曲线上且 PF1 ? PF2 ? 0 ， 8、F1、F2 分别是双曲线 x ? 9
则 PF1 ? PF2 ? （ A、 10 ） C、 5 D、2 5 y P M T F1 O F2 x

B、 2 10

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点 F1 引 9、如图,从双曲线 9 25
圆 x ? y ? 9 的切线,切点为 T,延长 F1T 交双曲线
2 2

右支于 P 点. 设 M 为线段 F1P 的中点,O 为坐标原点, 则 | FT 1 | =_____________; | MO | ? | MT | =__________. 10、 双曲线方程为 x ? 2 y ? 1， 则它的右焦点坐标为 （ ）
2 2

A、 ?

? 2 ? ? 2 ,0? ? ? ?

B、 ?

? 5 ? ? 2 ,0? ? ? ?

C、 ?

? 6 ? ? 2 ,0? ? ? ?

D、

?

3, 0

?

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 m 的取值范围是( 11、若方程 3?m m? 2
A.m<-2 B.m>3 C.m<-2 或 m>3 2 2 12、方程 mx -my =n 中,若 mn<0,则方程的曲线是( ) A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 y 轴上的椭圆

) D.-2<m<3

B.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线

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x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 和曲线 ? ? 1(9 ? k ? 25) 的 25 9 25 ? k 9 ? k A.焦距相等 B.离心率相等 C.相同的实轴长
13、曲线 14 、点 A? x0 , y0 ? 在双曲线

(

) D.相同的渐近线

x2 y 2 ? ? 1 的右支上 , 若点 A 到右焦点的距离等于 2 x0 , 则 4 32

x0 ? ____________.
15、某圆锥曲线 C 是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点 A（-2，2 3 ） ，B（

3 ，- 5 ） ，则（ 2

） 。 B．曲线 C 一定是双曲线 D．这样的曲线 C 不存在

A．曲线 C 可为椭圆也可为双曲线 C．曲线 C 一定是椭圆 （2）求离心率：

16、 【2014 大纲】 已知双曲线 C 的离心率为 2， 焦点为 F1 、 点 A 在 C 上， 若F F2 ， 1A ? 2 F 2A ， 则 cos ?AF2 F 1 ?（ ）

A．

1 4

B．

1 3

C．

2 4

D．

2 3

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 17、 【2014 重庆】 设 F1，F2 分别为双曲线 a 的左、右焦点，双曲
| PF1 | ? | PF2 |? 3b, | PF1 | ? | PF2 |? 9 ab, 4 则该双曲线的离心率为

线上存在一点 P 使得 （ ）

4 A. 3

5 B. 3

9 C. 4

D.3

18 、 过 双 曲 线 的 一 个 焦 点 F1 且 垂 直 于 实 轴 的 弦 PQ ， 若 F2 为 另 一 个 焦 点 ， 且 有

?PF2 Q ? 90? ，则此双曲线的离心率为

．

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19、已知点 F 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过 a2 b2

F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心 率 e 的取值范围是 ( )
A.(1,+ ? ) B.(1,2) C.(1,1+ 2 ) D.(2,1+ 2 )

20、 中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为 （ ） (A) 6 (B) 5 (C)

6 2

(D)

5 2

21、设 F1 和 F2 为双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0，b ? 0) 的两个焦点，若 F1 ， F2 ，P（0，2b） a2 b2
5 2

是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ） A．

3 2

B．2

C．

D．3

22、 如图,已知 ABCDEF 为正六边形,若以 C , F 为焦点的双曲线恰好经过 A, B, D, E 四点, 则该双曲线的离心率为________ 23、双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ? (1, 2) ，则 k 的取值范围是（ ） 4 k
( B ) (?3, 0) (C ) (?12, 0) ( D) (?60, ?12)

( A) (??, 0)

24、 设双曲线的一个焦点为 F ,虚轴的一个端点为 B ,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近 线垂直,那么此双曲线的离心率为（ ） (A) 2 (B) 3 (C)

3 ?1 2

(D)

5 ?1 2

25 、已知点 F 、 A 分别为双曲线 C ：

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左焦点、右顶点，点 a 2 b2

B(0, b) 满足 FB ? AB ? 0 ，则双曲线的离心率为（ ）

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A． 2

B. 3

C．

1? 3 2

D.

1? 5 2

x2 y 2 ? ? 1(a、b ? 0) , M , N 是双曲线上关于原点对称的两点, P 是双曲 a 2 b2 1 线上的动点,且直线 PM , PN 的斜率分别为 k 1 , k 2 , k1k 2 ? 0 ,若,若 k1k 2 ? ,则双曲线的 4
26、 已知双曲线 离心率为( ) A、 2 27、已知双曲线
x2 a2

B、
? y2 b2

5 2

C、

3 2

D、

3 2

? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与

双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( C.[2,+ ? ) D.(2,+ ? )

)A.(1,2]

B.(1,2)

28、 设双曲线

x2 y 2 ? ? 1(b ? a ? 0) 的半焦距 c ，直线 l 过 A(a,0), B(0, b) 两点，若原点 a 2 b2
3 c ，则双曲线的离心率为 4
B． 2 C． （ ）

O 到直线 l 的距离为

A．

2 3 或2 3
x2 a2

2 3 或 2 3

D．

2 3 3

29、 已知双曲线

?

y2 b2

? 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，点 P 在双曲线的右支上，且
）

| PF1 |= 4 | PF2 |，则此双曲线的离心率 e 的最大值为（
A.

4 3

B.

5 3

C.

2

D.

7 3

30、 设 F1 , F2 为双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、 右焦点， P 为双曲线右支上任一点， a2 b2

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若

| PF1 | 2 的最小值为 8a，则双曲线离心率 e 的取值范围是 | PF2 |
B． (1,2] C．[2，3]

（

） D． [3,??)

A． (1,3]

31、已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,若双曲 a 2 b2
sin PF1 F2 a ? ,则该双曲线的离心率的取值范围是___________. sin PF2 F1 c

线上存在一点 P 使

解析提示： 1、D 提示：因为 0<k<9,所以 9-k>0,25-k>0,从而两曲线均为双曲线，又因为 25+（9-k） =34-k=(25-k)+9,故两双曲线的焦距相等，所以选 D。 2、A ；3、A 设椭圆的长半轴为 a ，双曲线的实半轴为 m （ a ? m ） ，半焦距为 c ， 由椭圆、双曲线的定义得 ?
?

?| PF1 | ? | PF2 |? 2a ?| PF1 |? a ? m ，所以 ? ?| PF1 | ? | PF2 |? 2m ?| PF2 |? a ? m
2 2 2

因 为 ?F1PF2 ? 60 ， 由 余 弦 定 理 得 4c ? (a ? m) ? (a ? m) ? (a ? m)(a ? m) ， 即
2 4c2 ? a 2? 3m ， 所以