当前位置:首页 >> 高三数学 >>

2012年广东高考全真模拟试卷理科数学(二)


2012 年广 东高考全真模拟试卷理科数学(二) 东高考全真模拟试卷理科数学(
选择题) 非选择题)两部分, 分钟. 本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

选择题) 第 I 卷(选择题)
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 选择题: 要求的。 要求的。 1. 设复数 z1 = 1 + i, z2 = 2 + bi ,若

z1 为纯虚数,则实数 b = z2

A. ?2 B. 2 C. ?1 D. 1 2. 设 a,b 都是非零向量,若函数 f ( x ) = ( xa + b) (a ? xb) ( x ∈ R)是偶函数,则必有 A. a ⊥ b B.a∥b C. | a |=| b | D. | a |≠| b |

3. a = 3 是直线 ax + 2 y + 3a = 0 和直线 3 x + ( a ? 1) y = a ? 7 平行的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4. 设函数 f ( x ) =

? x 2 ? 2 x + 15 ,集合 A = { x y = f ( x)} , B = { y y = f ( x)} ,
D. [ ?5, 0) U (3, 4]

A

B

则右图中阴影部分表示的集合为 A. [0, 3] B. (0, 3) C. ( ?5, 0] U [3, 4) 5. 把函数 y = sin( x +

π

1 π ) 图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,再将图象向右平移 个 6 2 3
B. x = ?

单位,那么所得图象的一条对称轴方程为 A. x = ?

π
2

π
4

C. x =

π
8

D. x =

π
4

6. 已知 a, b 为两条不同的直线, α , β 为两个不同的平面,且 a ⊥ α , b ⊥ β ,则下列命题中的假命题是 A.若 a ∥ b ,则 α ∥ β C.若 a, b 相交,则 α , β 相交 B.若 α ⊥ β ,则 a ⊥ b D.若 α , β 相交,则 a, b 相交

7.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a ,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数 字记为 b ,其中 a, b ∈ {1, 2,3, 4,5, 6} ,若 a ? b ≤ 1 ,就称甲乙“心有灵犀”. 现任意找两人玩这个游

戏,则他们“心有灵犀”的概率为

2 7 4 C. D. 9 18 9 2 8.已知函数 f ( n) = n cos( nπ ) ,且 an = f ( n) + f ( n + 1) ,则 a1 + a2 + a3 + L + a100 =
A. B. A.0 B. ?100 C.100 D.10200

1 9

第Ⅱ卷 非选择题 (共 110 分)
小题, 小题, 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 填空题: (一)必做题(9—12 题) 必做题( 9.某校有高级教师 26 人,中级教师 104 人,其他教师若干人.为了了解该校教师的工资收入情况,若按 分层抽样从该校的所有教师中抽取 56 人进行调查,已知从其他教师中共抽取了 16 人,则该校共有教师 人.
开始
-1-

T=1, n =1

T=T×n ×

10.圆柱形容器的内壁底半径是 10 cm,有一个实心铁球浸没于容器的水中, 若取出这个铁球,测得容器的水面下降了

5 cm,则这个铁球的表面积为 3

cm 2 .
11.右图所示的算法流程图中,若 a = 3 ,则输出的 T 值为 若输出的 T = 120 ,则 a 的值为 ;

(a ∈ N ) .
*

12.已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数, f (1) = 2 ,且对任意 x ∈ R 都有

f ( x + 6) = f ( x) + f (3) 成立,则 f (3) = f (2009) = .
考生只能从中选做两题) (二)选做题(13—15 题,考生只能从中选做两题) 选做题(



13. 坐标系与参数方程选做题) (坐标系与参数方程选做题) (坐标系与参数方程选做题)若直线

? x = 1 + cos θ 3 x + 4 y + m = 0 与曲线 ? ? y = ?2 + sin θ 点,则实数 m 的取值范围是____________.

( θ 为参数)没有公共

14. 不等式选讲选做题)设关于 x 的不等式 x + x ? 1 < a ( a ∈ R). 若 a = 2 ,则不等式的解集 (不等式选讲选做题) 为 ;若不等式的解集为 ? ,则 a 的取值范围是 . A F

15. 几何证明选讲选做题)如图,圆 M 与圆 N 交于 A、B 两点, (几何证明选讲选做题) 以 A 为切点作两圆的切线分别交圆 M 和圆 N 于 C、D 两点, 延长 DB 交圆 M 于点 E ,延长 CB 交圆 N 于点 F , E ; 已知 BC = 5 , BD = 10 ,则 AB =

M
C B

N

CF = DE

.

D

小题, 解答应写出详细文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出详细文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: 16.(本小题满分 12 分) 设向量 a = (sin x, cos x ) , b = (sin x, 3 sin x ) , x ∈ R ,函数 f ( x ) = a (a + 2b) . (1) 求函数 f ( x ) 的最大值与单调递增区间; (2) 求使不等式 f ′( x ) ≥ 2 成立的 x 的取值集合. 17.(本小题满分 12 分) 某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会,共邀请 50 名一线教师参加,使用不同版 本教材的教师人数如下表所示: 版本 人数 人教 A 版 20 人教 B 版 15 苏教版 5 北师大版 10

变量 ξ 的分布列和数学期望. 18.(本小题满分 14 分)

(1) 从这 50 名教师中随机选出 2 名,求 2 人所使用版本相同的概率; (2) 若随机选出 2 名使用人教版的教师发言,设使用人教 A 版的教师人数为 ξ ,求随机

-2-

四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥ 底面 ABCD ,且 PA = AB = AD =

∠ADC = 90° .
(2) 求证:平面 PBC ⊥ 平面 PCD ; (3) 求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值.

1 CD , AB // CD , 2

(1) 在侧棱 PC 上是否存在一点 Q ,使 BQ // 平面 PAD ?证明你的结论;

P D

Q C

A

B

19.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) = log k x ( k 为常数, k > 0 且 k ≠ 1 ) ,且数列 { f (an )} 是首项为 4,公差为 2 的等差 数列. (1) 求证:数列 {an } 是等比数列; (2) 若 bn = an ? f ( an ) ,当 k = (3) 若 cn = an lg an ,问是否存在实数 k ,使得 {cn } 中的每一项恒小于它后面的项?若存在,求出 k 的 范围;若不存在,说明理由.

2 时,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ;

20.(本小题满分 14 分)

x2 y2 + = 1, (a > b > 0) 的左焦点,直线 l 为对应的准线,直线 l 与 x 轴交于 P 点, a2 b2 y MN 为椭圆的长轴,已知 MN = 8 ,且 | PM |= 2 | MF | . B
如图,设 F 是椭圆 (1) 求椭圆的标准方程; (2) 求证:对于任意的割线 PAB ,恒有 ∠AFM = ∠BFN ; (3) 求三角形△ABF 面积的最大值.

A P
M

F

O

N x

21.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) = x ln x ( x > 0) . (1) 求函数 f ( x) 的最小值; (2) 设 F ( x) = ax 2 + f ′( x) ( a ∈ R ) ,讨论函数 F ( x) 的单调性;

l

(3) 斜率为 k 的直线与曲线 y = f ′( x) 交于 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ( x1 < x2 ) 两点,求证: x1 <

1 < x2 . k

【答案及详细解析】 答案及详细解析】
选择题: 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题理科共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 题目要求的。 1. A.
-3-

【解析】 解析】

z1 1+ i (1 + i )(2 ? bi ) (2 + b) + (2 ? b)i = = = 为纯虚数,得 2 + b = 0 ,即 b = ?2 . z2 2 + bi 4 + b2 4 + b2
2 2 2

【链接高考】本小题考查复数的概念和复数的基本运算,难度不大,属于送分题. 链接高考】 2. C. 得 【解析】 f ( x) = ( xa + b) (a ? xb) = ( ?a b) x + (a ? b ) x + a b 为偶函数, f ( ? x ) = f ( x ) 恒成立, 解析】 故 a ? b = 0 ,即 a = b ,故 | a |=| b | .
2 2

2

2

链接高考】 【链接高考】本小题考查偶函数的定义和向量的基本运算,体现了在知识网络的交汇处命题的指导思 想,属于小综合的基础题. 3.C. . 解析】 【解析】当 a = 3 时,直线 3 x + 2 y + 9 = 0 和直线 3 x + 2 y = ?4 平行;反之,若两直线平行,则它们 的斜率相等,得 ?

a 3 =? ,解得:a = 3 或 a = ?2 . 但检验知,当 a = ?2 时,直线 ?2 x + 2 y ? 6 = 0 和 2 a ?1 直线 3 x ? 3 y = ?9 重合. 故 a = 3 是这两直线平行的充要条件.

链接高考】 【链接高考】本小题考查解析几何中两直线平行关系的判定和充要条件的概念,考生容易错选 A,忽 略了斜率相等时两直线除平行以外还可能重合,这提醒我们在解决这类问题时考虑要细致,要注意检验! 4.D. . 【解析】由 ? x ? 2 x + 15 ≥ 0 即 x + 2 x ? 15 ≤ 0 ,得 ?5 ≤ x ≤ 3 ,故 A = [ ?5, 3] . 解析】
2 2

? x 2 ? 2 x + 15 = ?( x + 1)2 + 16 ∈ [0, 4] ,得 B = [0, 4] . 从而 A U B = [?5, 4] , A I B = [0, 3] . 阴影部分表示由在 A U B 内且不在 A I B 内的元素构成的集合,故答案选 D.
链接高考】 【链接高考】本小题考查集合的概念、函数的定义域和值域等知识,并通过韦恩图“隐性”考查集合 的交、并、补等基本运算,题目设置巧妙,令人耳目一新. 审题时,要注意集合 A 和 B 是不同的,分别表 示函数 f ( x ) 的定义域和值域. 5.A. 【 解 析 】 y = sin( x +

由 f ( x) =

π

y = sin(2 x + ) ; 再将图象向右平移 个单位, 得函数 y = sin[2( x ? ) + ] = sin(2 x ? ) ,x = ? 是 6 3 3 6 2 2
其图象的一条对称轴方程. 链接高考】 【链接高考】本小题综合考查三角函数的图象变换和性质. 图象变换是考生很容易搞错的问题,值得 重视. 一般地, y = A sin(ω x + ? ) 的图象有无数条对称轴,它在这些对称轴上一定取得最大值或最小值. 6.D. . 解析】 【解析】若 α , β 相交,则 a, b 可能相交,也可能异面,故 D 为假命题. 链接高考】 【链接高考】本小题主要考查空间中线、面的各种位置关系,解题时要灵活运用立体几何中各位置关 系的判定定理和性质定理,并借助空间想象寻找反例,判断命题的真假,这种类型的问题在高考选择题中 非常普遍. 选项 A、B 易证是真命题,选项 C 可用反证法证之. 7.D. 【解析】任意找两人玩这个游戏,共有 6 × 6 = 36 中猜字结果,其中满足 a ? b ≤ 1 的有如下情形: 解析】 ① 若 a = 1 , b = 1, 2 ; 若 a = 2 , b = 1, 2, 3 ; 若 a = 3 , b = 2, 3, 4 ; 若 a = 4 , b = 3, 4,5 ; 则 ② 则 ③ 则 ④ 则 ⑤ 若 a = 5 , b = 4, 5, 6 ; 若 a = 6 , b = 5, 6 , 则 ⑥ 则 总共 16 种, 故他们 “心有灵犀” 的概率为 P =

π

6

) 图象上各点的横坐标缩短到原来的

π

π

1 倍(纵坐标不变) 得到函数 , 2

π

π

π

16 4 = . 36 9

【链接高考】本小题是古典概型问题,属于高考新增内容,解题的关键是准确的分类,得到他们“心 链接高考】 有灵犀”的各种情形. 8.B.

-4-

2 【解析】 f ( n) = n cos( nπ ) = ? 解析】
n 2

?? n 2 (n为奇数) ? = (?1) n ? n 2 , 2 ?n (n为偶数) ?
n +1

由 an = f ( n) + f ( n + 1) = ( ?1) ? n + ( ?1)

? (n + 1) 2 = (?1) n [n 2 ? (n + 1)2 ] = (?1) n +1 ? (2n + 1) ,得

a1 + a2 + a3 + L + a100 = 3 + (?5) + 7 + (?9) + L + 199 + (?201) = 50 × (?2) = ?100 .
【链接高考】本小题是一道分段数列的求和问题,综合三角知识,主要考查分析问题和解决问题的能 链接高考】 力. 小题, 小题, 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 填空题: 必做题( (一)必做题(9—12 题) 9. 52. 设该校其他教师有 x 人, 则 【解析】 解析】 人. 【链接高考】统计是高考的新增内容,要求不高,但概念要清晰. 链接高考】 10. 100π . 【解析】设实心铁球的半径为 R ,则 π R = π × 10 × 解析】
3 2
2 2

x 16 = ,∴ x = 52 , 故全校教师共有 26 + 104 + 52 = 182 26 + 104 + x 56

4 3

5 ,得 R = 5 ,故这个铁球的表面 3

积为 S = 4π R = 100π cm . 链接高考】 【链接高考】本小题是立体几何的应用题,涉及圆柱的体积和球的表面积、体积的计算,考查考生理 解、解决实际问题的能力. 11. 2 ; 6 . 解析】 【解析】若 a = 3 ,则输出的 T = 1× 2 = 2 ,若输出的 T = 120 = 1× 2 × 3 × 4 × 5 ,则 n = 5 + 1 = 6 , 故 a 的值为 6 . 链接高考】 【链接高考】算法和程序框图是新课标新增的内容,在近两年的广东高考都考查到了,这启示我们要 给予高度重视. 12. 0 ; ?2 . 【解析】 在 f ( x + 6) = f ( x ) + f (3) 中,令 x = ?3 ,得 f (3) = f ( ?3) + f (3) ,即 f ( ?3) = 0 , 解析】 又 f ( x ) 是 R 上的奇函数,故 f (3) = 0 ,故 f ( x + 6) = f ( x ) ,知 f ( x ) 是周期为 6 的周期函数,从而

f (2009) = f (6 × 334 + 5) = f (5) = f (?1) = ? f (1) = ?2 .
,解题的关键是巧妙的赋值,利用其 【链接高考】本题是一道抽象函数问题,题目的设计“小而巧” 链接高考】 奇偶性得到函数的周期性,再利用周期性求函数值.“赋值法”是解决抽象函数问题的基本方法. 选做题( 考生只能从中选做两题) (二)选做题(13—15 题,考生只能从中选做两题) 13. m > 10 或 m < 0 . 解析】 【解析】曲线 ?

? x = 1 + cos θ ? y = ?2 + sin θ

( θ 为参数)的普通方程是 ( x ? 1) 2 + ( y + 2) 2 = 1 圆心 (1, ?2 ) 到

直线 3 x + 4 y + m = 0 的距离 d =

3 ?1 + 4(?2) + m 3 +4
2 2

=

m?5
,令

m?5
5

5

> 1 ,得 m > 10 或 m < 0 .

【链接高考】本小题主要考查圆的参数方程、直线与圆位置关系的有关知识,以及转化与化归的思想方 链接高考】 法. 14. ( ?

1 3 , ) ; (?∞,1] . 2 2

【解析】 a = 2 时,不等式 x + x ? 1 < 2 化为 ? 解析】

?x ≤ 0 ?0 < x < 1 或? 或 ?? x + 1 ? x < 2 ? x + 1 ? x < 2

?x ≥ 1 1 3 1 3 1 3 ,解得 ? < x ≤ 0 或 0 < x < 1 或 1 ≤ x < ,即 ? < x < ,故不等式的解集为 ( ? , ) ; ? 2 2 2 2 2 2 ?x + x ?1 < 2
-5-

因为 x + x ? 1 ≥ x ? ( x ? 1) = 1 ,所以若不等式 x + x ? 1 < a 的解集为 ? ,则 a 的取值范围是 a ≤ 1 . 【链接高考】本小题主要考查含绝对值的不等式的解法,以及绝对值三角不等式的性质. 这类问题是 链接高考】 高考选做题中的常规题,解题方法要熟练掌握. 15. 5 2 ; 1 . 【 解 析 】 根 据弦 切 角 定理 , 知 ∠BAC = ∠BDA , ∠ACB = ∠DAB , 故 Δ ABC ∽ Δ DBA ,则

AB BC = ,故 AB 2 = BC ? BD = 50, AB = 5 2 . DB BA

CA2 CB CF = ? (*). DA2 DB DE AC AB 5 2 2 CA2 1 CB 5 1 CF 由Δ ABC ∽Δ DBA ,得 = = = , = ,又 = = ,由(*)得 = 1. 2 DA DB 10 2 DA 2 DB 10 2 DE
根据切割线定理,知 CA = CB ? CF , DA2 = DB ? DE ,两式相除,得
2

【链接高考】 本小题主要考查圆的切线及有关知识,如弦切角定理和切割线定理,以及分析问题与解 链接高考】 决问题的能力、转化与化归的思想方法. 小题, 解答应写出文字说明、 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 解答题: 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. 16. 解: (1) f ( x ) = a (a + 2b) = a 2 + 2a b = sin 2 x + cos 2 x + 2(sin 2 x + 3 sin x cos x )
…………2 分

= 1 + 1 ? cos 2 x + 3 sin 2 x = 2 + 2(sin 2 x ? = 2 + 2(sin 2 x cos
∴当 sin(2 x ? 由 2 kπ ?

π

π
6

? cos 2 x sin ) = 2 + 2sin(2 x ? ) . 6 6 6

π

3 1 ? cos 2 x ? ) 2 2

…………4 分

π

…………5 分

) = 1 时, f ( x) 取得最大值 4 .

…………6 分

π
2

≤ 2x ?

π
6

≤ 2 kπ +

π
2

,得 kπ ?

π
6

≤ x ≤ kπ +

π
3

(k ∈ Z) ,
…………8 分

∴ f ( x ) 的单调递增区间为 [ kπ ? (2) 由 f ( x ) = 2 + 2 sin(2 x ?

π

) ,得 f ′( x) = 4 cos(2 x ? ) . 6 6 π 1 π π π 由 f ′( x ) ≥ 2 ,得 cos(2 x ? ) ≥ ,则 2kπ ? ≤ 2 x ? ≤ 2kπ + , 6 2 3 6 3
即 kπ ?

π

, kπ + ] ( k ∈ Z ) . 6 3

π

π

…………9 分

…………11 分

π

12

≤ x ≤ kπ +

π

4

(k ∈ Z) .

∴使不等式 f ′( x ) ≥ 2 成立的 x 的取值集合为 ? x kπ ?

? ?

π
12

≤ x ≤ kπ +

π

? , k ∈ Z? . 4 ?

…………12 分

链接高考】 【链接高考】向量、导数都是数学解题的重要工具,同时又是新旧知识的一个重要的交汇点. 解决本 题的关键是,利用两个向量数量积的坐标运算,将问题转化为三角函数问题来处理,其中三角降幂公式和 合一变换公式是三角变换中最常用的公式,一定要熟练记忆. 另外对 f ( x ) 求导要注意是复合函数求导. 17. 解:(1)从 50 名教师随机选出 2 名的方法数为 C50 = 1225 ,
2

…………1 分 …………3 分

选出 2 人使用版本相同的方法数为 C20 + C15 + C5 + C10 = 350 ,
2 2 2 2

故 2 人使用版本相同的概率为 P = (2) ξ 的所有可能取值为 0,1,2.

350 2 = . 1225 7

…………5 分 …………6 分 -6-

2 C15 3 P(ξ = 0) = 2 = , C 35 17
1 C1 C15 60 20 P(ξ = 1) = = , 2 C35 119

…………7 分

…………8 分

C2 38 P(ξ = 2) = 20 = . 2 C 35 119
∴ ξ 的分布列为

…………9 分

ξ
P

0

1

2

3 17

60 119

38 119
…………10 分 …………12 分

3 60 38 136 8 ∴ Eξ = 0 × + 1× + 2× = = . 17 119 119 119 7

【链接高考】概率统计的综合题,一般考察概率与期望的计算,在高考中占有极其重要的地位,几乎每 链接高考】 年高考都有一道大题,大都属于比较基础的中档题,因此是历年高考的“兵家必争之地”. 18. (1) 解:当 Q 为侧棱 PC 中点时,有 BQ // 平面 PAD . 证明如下:如图,取 PD 的中点 E ,连 AE 、 EQ .

Q Q 为 PC 中点,则 EQ 为 ?PCD 的中位线, z 1 l ∴ EQ // CD 且 EQ = CD . 2 P 1 Q AB // CD 且 AB = CD ,∴ EQ // AB 且 EQ = AB , 2 ∴四边形 ABQE 为平行四边形,则 BQ // AE . ∵ BQ ? 平面 PAD , AE ? 平面 PAD , ∴ BQ // 平面 PAD . A (2) 证:∵ PA ⊥ 底面 ABCD ,∴ PA ⊥ CD . ∵ AD ⊥ CD , PA I AD = A ,∴ CD ⊥ 平面 PAD . x ∵ AE ? 平面 PAD ,∴ CD ⊥ AE . ∵ PA = AD , E 为 PD 中点,∴ AE ⊥ PD . ∵ CD I PD = D ,∴ AE ⊥ 平面 PCD . ∵ BQ // AE ,∴ BQ ⊥ 平面 PCD . ∵ BQ ? 平面 PBC ,∴平面 PBC ⊥ 平面 PCD . …………9 分 (3) 解法一:设平面 PAD I 平面 PBC = l . 解法一: ∵ BQ // 平面 PAD , BQ ? 平面 PBC ,∴ BQ // l . ∵ BQ ⊥ 平面 PCD ,∴ l ⊥ 平面 PCD ,∴ l ⊥ PD, l ⊥ PC . 故 ∠DPC 就是平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的平面角. ∵ CD ⊥ 平面 PAD ,∴ CD ⊥ PD . 1 2 2 设 PA = AB = AD = CD = a ,则 PD = PA + AD = 2a , 2 PD 3 PC = CD 2 + PD 2 = 6a ,故 cos ∠DPC = = . PC 3 3 . ∴平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值为 3
-7-

E D

Q C
…………4 分

B

y

…………12 分

…………14 分

解法二: 解法二:如图建立直角坐标系,设 PA = AB = AD = 1, CD = 2 ,则

uuu r uuu r A(0, 0, 0) , B (0,1, 0), C (?1, 2, 0), P (0, 0,1) ,则 PB = (0,1, ?1) , BC = (?1,1, 0) . r 设平面 PBC 的法向量为 n = ( x, y , z ) ,则 r uuu r r ?n PB = 0 ?y ? z = 0 ? 由 ? r uuu ?? ? x = y = z ,取 n = (1,1,1) . r ?? x + y = 0 ?n BC = 0 ? 由 CD ⊥ 平面 PAD , AB // CD ,知 AB ⊥ 平面 PAD , uuu r ∴平面 PAD 的法向量为 AB = (0,1, 0) . uuu r r AB n 1 3 . 设所求锐二面角的大小为 θ ,则 cos θ = uuu r = = r 3 AB ? n 1 ? 3
∴所求锐二面角的的余弦值为

…………11 分

…………12 分

3 . 3

…………14 分

【链接高考】本题主要考查四棱锥的有关知识,涉及线面、面面位置关系的判定与证明,还有二面角 链接高考】 的计算. 高考立体几何综合题大都以棱柱和棱锥为载体,综合考查空间想象能力和分析、解决问题的能力. 空间角的计算一般有传统法和坐标向量法两种基本方法,前者着重思维,后者重在向量的坐标运算,各有 优点,解题时既要具体问题具体分析,又要考虑到考生本人对这两种方法掌握的熟练程度而定. 19. (1) 证:由题意 f ( an ) = 4 + ( n ? 1) × 2 = 2n + 2 ,即 log k an = 2n + 2 , …………1 分 ∴ an = k
2n+2

,∴

an +1 k 2( n +1)+ 2 = 2n+2 = k 2 . an k
2 4 2

…………2 分

∴数列 {an } 是以 k 为首项, k 为公比的等比数列. (2) 解:由(1)知, bn = an f ( an ) = k 当k =
3 4 5

∵常数 k > 0 且 k ≠ 1 ,∴ k 为非零常数,
2n+2

…………3 分

? (2 n + 2) ,
…………4 分
n+2

2 时, bn = (2n + 2) ? 2n +1 = (n + 1) ? 2n + 2 .

n +3

∴ S n = 2 ? 2 + 3 ? 2 + 4 ? 2 + L + ( n + 1) ? 2

① ②
…………5 分

2Sn =
3

2 ? 24 + 3 ? 25 + L + n ? 2n + 2 + (n + 1) ? 2n +3 .
3 4 5

②-①,得 S n = ?2 ? 2 ? 2 ? 2 ? L ? 2

n+ 2

+ (n + 1) ? 2

= ?2 ? (2 + 2 + 2 + L + 2
3 4 5

n+2

) + (n + 1) ? 2 n +3
…………8 分

23 (1 ? 2 n ) + (n + 1) ? 2n +3 = n ? 2n +3 . 1? 2 2n+2 (3) 解:由(1)知, cn = an lg an = (2n + 2) ? k lg k ,要使 cn < cn +1 对一切 n ∈ N* 成立,
∴ S n = ?2 ?
3

即 ( n + 1) lg k < ( n + 2) ? k 2 ? lg k 对一切 n ∈ N 成立.
*

…………9 分
*

① 当 k > 1 时, lg k > 0 , n + 1 < ( n + 2) k 对一切 n ∈ N 恒成立;
2

…………10 分
2

② 当 0 < k < 1 时, lg k < 0 , n + 1 > ( n + 2) k 2 对一切 n ∈ N 恒成立,只需 k < ?
*

? n +1 ? ? , ? n + 2 ? min

11 分



n +1 1 2 ? n +1 ? = 1? 单调递增,∴当 n = 1 时, ? ? = . n+2 n+2 ? n + 2 ?min 3
2

…………12 分

2 6 ,且 0 < k < 1 , ∴ 0 < k < . 3 3 6 ) U (1, +∞) 满足条件. 综上所述,存在实数 k ∈ (0, 3
∴k <
-8-

…………13 分

…………14 分

【链接高考】本题综合考查数列的基本知识、方法和运算能力,以及分类讨论和化归、转化的思想方 链接高考】 法. 错位相减法是数列求和的一种重要方法,备考复习中要引起重视. 20. (1) 解:∵ MN = 8 ,∴ a = 4 ,又∵ | PM |= 2 | MF | ,∴ e =
2 2 2

1 , 2
…………3 分

x2 y2 + = 1. ∴ c = 2, b = a ? c = 12 ,∴椭圆的标准方程为 16 12 (2) 证:当 AB 的斜率为 0 时,显然 ∠AFM = ∠BFN = 0 ,满足题意, 当 AB 的斜率不为 0 时,设 AB 方程为 x = my ? 8 ,
2 2 代入椭圆方程整理得: (3m + 4) y ? 48my + 144 = 0 .

? = 576( m 2 ? 4) , y A + yB =
则 k AF + k BF

48m 144 , y A yB = . 2 3m + 4 3m 2 + 4 yA y yA yB y ( my B ? 6) + yB ( my A ? 6) = + B = + = A x A + 2 xB + 2 my A ? 6 myB ? 6 (my A ? 6)( my B ? 6)

=

2my A yB ? 6( y A + yB ) , (my A ? 6)(myB ? 6)

而 2 my A y B ? 6( y A + y B ) = 2 m ? ∴ k AF

144 48m ? 6? 2 =0 2 3m + 4 3m + 4
…………8 分

+ kBF = 0 ,从而 ∠AFM = ∠BFN .
1 72 m 2 ? 4 PF ? yB ? y A = , 2 3m 2 + 4

综合可知:对于任意的割线 PAB ,恒有 ∠AFM = ∠BFN . (3) 解: S ?ABF = S ?PBF ? S ?PAF =

S = 即: ?ABF

72 m 2 ? 4 72 = 2 3( m ? 4) + 16 3 m 2 ? 4 +
16 m2 ? 4
,即 m = ±

16 m2 ? 4



72 2 3 ?16

=3 3,

2 当且仅当 3 m ? 4 =

2 21 (此时适合于 ? > 0 的条件)取到等号. 3

…………14 分 ∴△ABF 面积的最大值是 3 3 . 【链接高考】解析几何的综合题,基本上是每年都有一道大题,主要考查直线与圆锥曲线的位置关系. 链接高考】 其中字母运算能力和综合分析、解决问题的能力是考生最薄弱的一环. 本题中的第二、第三问都突出体现 了解析几何中化归、转化的思想方法,以达到化繁为简的目的,值得我们深思.

21. (1) 解: f ′( x ) = ln x + 1 ( x > 0) ,令 f ′( x ) = 0 ,得 x =

1 . e

…………2 分

∵当 x ∈ (0, ) 时, f ′( x ) < 0 ;当 x ∈ ( , +∞) 时, f ′( x ) > 0 , ∴当 x =

1 e

1 e

…………3 分

1 1 1 1 时, f ( x ) min = ln = ? . e e e e
2

…………4 分

(2) F ( x ) = ax + ln x + 1 ( x > 0) ,F ′( x ) = 2ax +

1 2ax 2 + 1 = ( x > 0) . x x ① 当 a ≥ 0 时,恒有 F ′( x) > 0 , F ( x) 在 (0,+∞) 上是增函数; ② 当 a < 0 时, 1 2 令 F ′( x) > 0 ,得 2ax + 1 > 0 ,解得 0 < x < ? ; 2a
-9-

…………5 分 …………6 分

…………7 分

令 F ′( x ) < 0 ,得 2ax + 1 < 0 ,解得 x >
2

?

综上,当 a ≥ 0 时, F ( x ) 在 (0,+∞) 上是增函数; 当 a < 0 时, F ( x ) 在 (0, ?

1 . 2a

…………8 分

1 1 ) 上单调递增,在 ( ? , +∞) 上单调递减. …………9 分 2a 2a f ′( x2 ) ? f ′( x1 ) ln x2 ? ln x1 (3) 证: k = = . x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ?1 1 x2 ? x1 x1 x x 要证 x1 < < x2 ,即证 x1 < < x2 ,等价于证 1 < < 2 ,令 t = 2 , x2 k ln x2 ? ln x1 x1 x1 ln x1 t ?1 则只要证 1 < < t ,由 t > 1 知 ln t > 0 ,故等价于证 ln t < t ? 1 < t ln t (t > 1) (*). ln t 1 ① 设 g (t ) = t ? 1 ? ln t (t ≥ 1) ,则 g ′(t ) = 1 ? ≥ 0(t ≥ 1) ,故 g (t ) 在 [1, +∞ ) 上是增函数, t ∴ 当 t > 1 时, g (t ) = t ? 1 ? ln t > g (1) = 0 ,即 t ? 1 > ln t (t > 1) . ② 设 h(t ) = t ln t ? (t ? 1)(t ≥ 1) ,则 h′(t ) = ln t ≥ 0(t ≥ 1) ,故 h(t ) 在 [1, +∞ ) 上是增函数, ∴ 当 t > 1 时, h(t ) = t ln t ? (t ? 1) > h(1) = 0 ,即 t ? 1 < t ln t (t > 1) .
由①②知(*)成立, 得证. …………14 分 链接高考】 【链接高考】自从导数走进高考,就一直和函数、方程与不等式形影不离,并且经常扮演高考压轴题 的重要角色,预计未来的高考,导数还会继续发挥其巨大的工具功能,与其它知识紧密结合,展示其独特 的魅力. 本题中对函数单调性的分类讨论、构造函数利用导数方法证明不等式都是难点,对综合能力的考 查达到了相当的高度.

- 10 -


相关文章:
广东省2011届高考数学(理科)全真模拟考试试题(二)
1/2 同系列文档 2012大纲全国卷高考数学(理... 2012大纲全国卷高考数学(文....——最专业的中小学教学资源共享平台 年广东高考全真模拟试卷理科数学( 2011 年...
2012广东高考全真模拟试卷文科综合答案版
2012广东高考全真模拟试卷文科综合答案版 - 2012年广东高考全真模拟试卷 文科综合 一、选择题:本大题共 35 小题,每小题 4 分。共 140 分。在每小题列出的四...
2011年广东省高考全真模拟试卷(理科)数学试卷
2011年广东省高考全真模拟试卷(理科)数学试卷 - 2011 年广东高考全真模拟试卷理科数学(六) 一.选择题(本大题共 8 题,每小题 5 分,共 40 分. 在每题列出...
2012广东高考全真模拟试卷文科综合
2012广东高考全真模拟试卷文科综合 - 2012年广东高考全真模拟试卷 文科综合 一、选择题:本大题共 35 小题,每小题 4 分。共 140 分。在每小题列出的四个选项...
广东省2011届高三全真高考模拟试卷(二)(数学理)
广东省2011届高三全真高考模拟试卷(二)(数学理) - 2011 年广东高考全真模拟试卷理科数学(二) 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. ...
2011年广东高考全真模拟试卷理科数学
年广东高考全真模拟试卷理科数学( 高考全真模拟试卷理科数学 2011 年广东高考全真模拟试卷理科数学(一)本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分. 考试用时 120 ...
2012年广东省高考全真模拟考试文科数学试题(五)
2012年广东省高考全真模拟考试文科数学试题(五)。2012年广东省高考全真模拟考试文科数学试题(五) 本人QQ953420884 2012 年广东高考全真模拟试卷文科数学( 2012 年广东...
2013年广东省高考全真模拟考试数学文科试题2(详解版)
2013年广东省高考全真模拟考试数学文科试题2(详解版)_高考_高中教育_教育专区。深圳市宝蕾教育 2013 年广东省高考全真模拟试卷数学文科(二) 数学(文科)本试卷满分...
广东省2012届高三全真模拟卷数学理科17
广东省2012届高三全真模拟卷数学理科17_高考_高中教育_教育专区。高考模拟试题 广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 17 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题...
广东省2012届高三全真模拟卷数学理9.
广东省2012届高三全真模拟卷数学理9._高考_高中教育_教育专区。广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 9 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 ...
更多相关标签: