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高二抛物线基础测试题


高二理科数学抛物线测试题
一、 选择题: 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 ) B.x2=20y 1.顶点在原点,准线是 x=-5 的抛物线方程是( A.y2=20x

1 1 C.y2= x D.x2= y 20 20 2 2.抛物线 x ? 4 y 上一点 A 的纵坐标为 4,则点 A 与抛物线焦点的距离为( A.2 B. 3

C. 4 D.5

)

3.抛物线 y=ax2 的准线方程是 y=2,则实数 a 的值为( ) 1 1 A. B.- C.8 D.-8 8 8 4.已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆 x2+y2-6x-7=0 相切,则 p 的值为( 1 A. B.1 C.2 D.4 2

)

? 1) 的距离与点 P 到抛物线焦点距离之 5.已知点 P 在抛物线 y 2 ? 4x 上,那么点 P 到点 Q(2,

和取得最小值时,点 P 的坐标为(
A. ? , ? 1?


, ? 2) D. (1

?1 ?4

? ?

B. ? , 1?

?1 ? ?4 ?

, 2) C. (1

6.已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( A.x=1 B.x=-1 C.x=2 )

D.x=-2

7.设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l, P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足.如果直线 AF 的 斜率为 - 3 ,那么|PF|=( (A) 4 3 (B)8 ) (C) 8 3 (D) 16 )

8.已知抛物线 C: y 2 ? 4 x 的焦点为 F,直线 y ? 2 x ? 4 与 C 交于 A,B 两点.则 cos ?AFB =(
4 3 3 4 B. C. ? D. ? 5 5 5 5 二. 填空题(共 4 题,每题 4 分)

A.

9.抛物线 x ? 8 y2 的准线方程为

焦点坐标为
y 2 x2 ? ? 1 上,则抛物线的标准方 9 4

10.抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标轴且焦点在双曲线 程为

11.动点 P 到点 F (2, 0) 的距离与它到直线 x ? 2 ? 0 的距离相等,则 P 的轨迹方程为



-1-

12.设抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 A(0, 2) .若线段 FA 的中点 B 在抛物线上,则 B 到 该抛物线准线的距离为_____________。 13.抛物线 y2=-12x 的一条弦的中点为 M(-2,-3) ,则此弦所在直线的方程是_______ 14.设 O 是坐标原点, F 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点, A 是抛物线上的一点, FA 与 x 轴正 向的夹角为 60? ,则 OA 为________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

1.(2009 广 东 ) 已知曲线 C : y ? x2 与 直线 l : x ? y ? 2 ? 0 交 于两 点 A( xA , yA ) 和 B( xB , yB ) , 且 记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域 (含边界) 为D. 设 xA ? xB . 点 P( s, t ) 是 L 上的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合. (1)若点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)若曲线 G : x 2 ? 2ax ? y 2 ? 4 y ? a 2 ?
51 ? 0 与 D 有公共点,试求 a 的最小值. 25

-2-

解: (1) 联立 y ? x 2 与 y ? x ? 2 得 x A ? ?1, x B ? 2 , 则 AB 中点 Q ( , ) ,

1 5 2 2

1 5 ?s ?t 2 2 xB 设线段 PQ 的中点 M 坐标为 ( x, y ) ,则 x ? ,即 ,y ? 2 2 1 5 s ? 2 x ? , t ? 2 y ? ,又点 P 在曲线 C 上, xA D 2 2 5 1 2 11 o 2 x ∴ 2 y ? ? (2 x ? ) 化简可得 y ? x ? x ? ,又点 P 是 L 上的任一 2 2 8 1 1 5 点,且不与点 A 和点 B 重合,则 ? 1 ? 2 x ? ? 2 ,即 ? ? x ? ,∴中 2 4 4 11 1 5 2 点 M 的轨迹方程为 y ? x ? x ? ( ? ? x ? ). 8 4 4 51 49 2 2 2 ?0, ( x ? a ) 2 ? ( y ? 2) 2 ? (2) 曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ? 即圆 E : , 其圆心坐标为 E (a,2) , 25 25 7 51 2 2 2 ? 0 与点 D 有公共点;当 半径 r ? 由图可知,当 0 ? a ? 2 时,曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ? 5 25 51 a ? 0 时,要使曲线 G : x 2 ? 2ax ? y 2 ? 4 y ? a 2 ? ? 0 与点 D 有公共点,只需圆心 E 到直线 25
l : x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ?

y

|a?2?2| 2

?

|a| 2

?

7 7 2 7 2 ,得 ? . ? a ? 0 ,则 a 的最小值为 ? 5 5 5

高二抛物线基础测试题参考答案
一.选择题: 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分
题号 答案 1 B 2 B 3 B 4 C 5 B 6 C 7 C 8 C
2

9 A

10 C

11 B

12 B

1.解析:选 B.由 =5 得 p=10,且焦点在 y 轴正半轴上,故 x =20y. 2 1? 1 ? 2 2.解析:选 B.x =-y,∴2p=1,p= ,∴焦点坐标为?0,- ?. 4? 2 ? 1 1 1 2 2 3.解析:选 B.由 y=ax ,得 x = y, =-2,a=- . a 4a 8 4.解析:选 C.由抛物线的标准方程得准线方程为 x=- . 2 2 2 2 2 由 x +y -6x-7=0 得(x-3) +y =16. ∵准线与圆相切,∴3+ =4,∴p=2. 2 5 解析:选 B.如图所示,抛物线的焦点为 F(2,0),准线方程为 x=-2,由抛物线的定义知:|PF|=|PE|= 4+2=6.

p

p

p

-3-

6.解析:选 C.∵点 F(4,0)在直线 x+5=0 的右侧,且 P 点到点 F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0 的距离 小 1,∴点 P 到 F(4,0)的距离与它到直线 x+4=0 的距离相等.故点 P 的轨迹为抛物线,且顶点在原点, 2 开口向右,p=8,故 P 点的轨迹方程为 y =16x. 7.解析:选 C.通径 2p=8 且焦点在 x 轴上,故选 C. 8.解析:选 C.由抛物线定义知|FP1|=x1+ , 2 |FP2|=x2+ ,|FP3|=x3+ , 2 2 ∴|FP1|+|FP3|=2|FP2|,故选 C. 9.解析:选 A.令直线与抛物线交于点 A(x1,y1),B(x2,y2) 由?
? ?y=2x+1 ?y =12x ?
2

p

p

p

得 4x -8x+1=0,

2

1 ∴x1+x2=2,x1x2= , 4 ∴|AB|= +2 x1-x2 = x1+x2 2-4x1x2]= 15. p |PF| xP p 10. 解析:选 C.|PF|=xP+ ,∴ = + ,即为 PF 的中点到 y 轴的距离.故该圆与 y 轴相切. 2 2 2 4 11. 解析:选 B.由题意可得|AB|=2p. 又焦点到准线距离|FM|=p,F 为 AB 中点, 1 ∴|FM|= |AB|, 2 ∴△AMB 为直角三角形且∠AMB=90°.
2 2

? ? 2 12.解析:选 B.∵y =2px(p>0)的焦点坐标为? ,0?, ?2 ?
p
∴过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y=x- , 即 x=y+ , 将其代入 y =2px 得 y =2py+p , 即 y -2py 2 2 y1+y2 2 2 -p =0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=2p,∴ =p=2,∴抛物线的方程为 y =4x,其准线方程 2 为 x=-1. 二. 填空题(共 4 题,每题 4 分) ?x-y-1=0 ? 2 13 解析:由? ,得 ax -x+1=0, 2 ?y=ax ? 1 1 由 Δ =1-4a=0,得 a= . 答案: 4 4 14. 解析:设 P(x0,y0),则|PF|=x0+1=5,∴x0=4, 2 ∴y0=16,∴y0=±4. 答案:(4,±4) 15. 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|FA|+|FB|=x1+x2+2. 2 ?y =4x ? 2 又? ? x -5x+4=0, ?2x+y-4=0 ? ∴x1+x2=5,x1+x2+2=7. 答案:7
-4-

p

p

2

2

2

2

16. 解析:焦点在 x 轴正半轴上时,设方程为 y =2px(p>0)代入点( 焦点在 x 轴负半轴上时,设方程为 y =-2px(p>0), 3 ∴p=- . 12 综上,所求方程为 y =± 答案:y =±
2 2 2 2

3 1 3 , )得 p= , 2 2 12

3 x. 6

3 x 6 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 2 17. (本题满分 12 分)若抛物线 y =-2px(p>0)上有一点 M,其横坐标为-9.它到焦点的距离为 10,求抛 物线方程和 M 点的坐标. 解:由抛物线定义知焦点为 F(- ,0),准线为 x= , 2 2 由题意设 M 到准线的距离为|MN|, 则|MN|=|MF|=10, 即 -(-9)=10, 2 ∴p=2. 2 2 故抛物线方程为 y =-4x,将 M(-9,y)代入 y =-4x,解得 y=±6, ∴M(-9,6)或 M(-9,-6). 18(本题满分 12 分) .抛物线的焦点 F 在 x 轴上,直线 y=-3 与抛物线相交于点 A,|AF|=5,求抛物线的 标准方程. 解:设所求抛物线的标准方程为: y2=ax(a≠0),A(m,-3). 则由抛物线的定义得 5=|AF|=|m+ |, 4 2 又(-3) =am. 所以,a=±2 或 a=±18. 2 2 故所求抛物线的方程为 y =±2x 或 y =±18x. 19. (本题满分 12 分)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上,其准线 l 与圆(x-2) +y =25 相切, 求抛物线的方程. 解:∵焦点在 x 轴上, ∴准线 l 与 x 轴垂直. 2 2 ∵准线 l 与圆(x-2) +y =25 相切, 设准线方程为 x=m, ∴|m-2|=5,解得 m=7 或-3. 即准线方程为 x=7 或 x=-3, 2 2 ∴所求抛物线方程为 y =-28x 或 y =12x. 2 20. (本题满分 12 分)过点 Q(4,1)的抛物线 y =8x 的弦 AB 恰被点 Q 平分,求 AB 所在直线方程. 解:若弦 AB⊥Ox,则其中点是(4,0),不是 Q(4,1), 所以可设弦 AB 所在的直线方程:y-1=k(x-4). ?y-1=k x- , ? 2 列方程组? 2 消去 x 并化简,得 ky -8y-32k+8=0. ? y = 8 x . ? 8 设弦 AB 端点 A(x1,y1),B(x2,y2),∴y1+y2= .
2 2

p

p

p

a

k

-5-

又 Q(4,1)为弦 AB 中点,∴ 8 ∴ =2,∴k=4.

y1+y2
2

=1,即 y1+y2=2,

k

所以所求直线方程是 y=4x-15. 2 21. (本题满分 12 分)已知抛物线 y =-x 与直线 l:y=k(x+1)相交于 A,B 两点. (1)求证:OA⊥OB; (2)当△OAB 的面积等于 10时,求 k 的值. 2 ?y =-x ? 解:(1)证明:联立? , ? ?y=k x+ 1 2 消去 x,得 ky +y-k=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=- ,y1?y2=-1.

k

→ → 因为 y =-x1,y =-x2,所以(y1?y2) =x1?x2,所以 x1?x2=1,所以 x1x2+y1y2=0,即OA?OB=0, 所以 OA⊥OB. (2)设直线 l 与 x 轴的交点为 N,则 N 的坐标为(-1,0), 1 所以 S△AOB= |ON|?|y1-y2| 2 1 = ?|ON|? y1+y2 2-4y1?y2 2
2 1 2 2 2

1 = ?1? 2

1

k2

+4= 10,

1 1 2 解得 k = ,所以 k=± . 36 6 22.(2009 江苏卷) (本题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 C 的顶点在原点,经过点 A(2,2) ,其焦点 F 在 x 轴上。 (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)求过点 F,且与直线 OA 垂直的直线的方程; (3)设过点 M (m, 0)(m ? 0) 的直线交抛物线 C 于 D、E 两点,ME=2DM, E 两点间的距离为 f ( m) ,求 f ( m) 关于 m 的表达式。 【解析】 [必做题]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本 查运算求解能力。满分 10 分。 知识, 考 记 D 和

-6-

-7-


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