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2017届湖北省黄冈中学高三上学期小题训练(8月8日)数学(理)试题(含解析)


2017 届高三(上)理科数学小题训练(1)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.某人在打靶中,连续射击 2 次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.两次都不中靶 ) D.只有一次中靶

【答案】C 2.某人进行射击,共有

5 发子弹,击中目标或子弹打完就停止射击,射击次数为 ξ,则“ξ=5”表示的试验结 果是( ) A.第 5 次击中目标 B.第 5 次未击中目标 C.前 4 次均未击中目标 D.第 4 次击中目标 【解析】选 C. 3.将 6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( ) A.144 B.120 C.72 D.24 3 【解析】这是一个元素不相邻问题,采用插空法,A3 3C4=24. 4.设 i 为虚数单位,则 ( x ? i ) 的展开式中含 x4 的项为(
6

) D.20i x4

A.-15x4 【答案】A

B.15x4

C.-20i x4

6 【解析】二项式 ( x ? i ) 展开的通项 Tr ?1 ? C6 x

r

6?r r

i ,令 6 ? r ? 4 ,得 r ? 2 ,则展开式中含 x 4 的项为

C62 x 4i 2 ? ?15 x 4 ,故选 A.
5.用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为( A.24 【答案】D B.48 C.60 D.72 )

6.高三理科实验班有 5 名同学报名参加甲,乙,丙三所高校的自主招生考试,每人限报一所高校,若这三 所高校中每个学校都至少有 1 名同学报考,那么这 5 名同学不同的报考方法种数共有( ) A.144 种 B.150 种 C.196 种 D.256 种 【答案】B

1 7.一个电路如图所示,A、B、C、D、E、F 为 6 个开关,其闭合的概率都是 ,且是相互独立的,则灯亮的 2 概率是(


)
1第

1 A. 64 1 C. 8 【答案】B

55 B. 64 1 D. 16

【解析】设 A 与 B 中至少有一个不闭合的事件为 T,E 与 F 至少有一个不闭合的事件为 R, 1 1 3 55 则 P(T)=P(R)=1- × = ,所以灯亮的概率 P=1-P(T)P(R)P(C)P(D)= . 2 2 4 64

8.实数 a ? ? ?1,1? , b ? ? 0, 2? . 设函数 f ( x) ? ?

1 3 1 2 x ? ax ? bx 的两个极值点为 x1 , x2 ,现向点 ? a, b ? 所在平 3 2
)

面区域投掷一个飞镖,则飞镖恰好落入使 x1 ? ?1 且 x2 ? 1 的区域的概率为 ( A.

1 2
2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 5

【解析】 f ? ? x ? ? ? x ? ax ? b 的两个零点为 x1,x2, ∴?

? ? f ? ? ?1? ? ?1 ? a ? b ? 0 ? ? f ? ?1? ? ?1 ? a ? b ? 0

如右图中阴影部分.其面积为 1,a∈[-1,1],b∈[0,2]围成图形的面积为 4,故选 C. 9.用红、黄、蓝等 6 种颜色给如图所示的五连圆涂色,要求相邻两个圆所涂颜色不能相同,且红色至少要 涂两个圆,则不同的涂色方案种数为( ) A.610 B.630 C.950 D.1280 【解析】第一类:涂两个红色圆,共有 A4 A5 A5 A4 + 色圆,共有 A5 A5
1 1 1 1 1 1

A5 A5 A5 + A5 A4 A4 = 605 种;第二类:涂三个红

1 1 1

1 1 1

= 25 种;故共有 630 种.故选 B.

10.如下图所示,在杨辉三角中,斜线 AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4, 10, ? ,记这个数列的前 n 项的和为 S (n) ,则 S (16) 等于( ) A.144 C.164 B.146 D.461

【解析】由图知,
1 2 1 1 1 1 1 2 S (16) ? C2 ? C2 ? C3 ? C32 ? ? ? C9 ? C92 ? (C2 ? C3 ? ? ? C9 ) ?(C2 ? C32 ? ? ? C92 )

1 1 2 3 ? (C32 ? C3 ? ? ? C9 ? C22 ) ? (C33 ? C32 ? ? ? C92 ) ? ? ? C10 ? C10 ? 1 ? 164 .故选 C.

11.用直线 y ? m 和直线 y ? x 将区域 x ? y ? 6 分成若干块.现用 5 种不同的颜色给这若干块染色, 每块只
2 2

染 1 种颜色,且任意 2 块不同色,若共有 120 种不同的染色方法,则实数 m 的取值范围是( A. (? 3, 3)


)

B. (? 3, 2)

C. (? 2, 2)
2第

D. (? 2, 3)

【答案】A 【解析】当 3 ?| m |? 当 | m |? 当 | m |?
3 ? 60 种; 6 时,圆面被分成了 3 部分,则染色方法有 A5

6 时,圆面被分成了 2 部分,则染色方法有 A52 ? 20 种; 3 时,圆面被分成了 4 部分,则染色方法有 A54 ? 120 种.故选 A .
)

12. 若曲线 C1 : y ? x 2 与曲线 C2 : y ? ae x (a ? 0) 存在公共切线,则 a 的取值范围为( A. [

8 , ??) e2

B. (0,

8 ] e2

C. [

4 , ??) e2

D. (0,

4 ] e2

【答案】D 【解析】设公共切线与曲线 C1 切于点 ( x1 , x12 ) ,与曲线 C2 切于点 ( x2 , ae 2 ) ,则 2 x1 ? ae
x

x2

?

ae x2 ? x12 , x2 ? x1

将 ae

x2

? 2 x1 代 入 2 x1 ?

ae x2 ? x12 x , 可 得 2 x2 ? x1 ? 2 , 又 由 ae 2 ? 2 x1 得 x1 ? 0 , ∴ x2 ? 1 , 且 x2 ? x1

4( x2 ? 1) 4( x ? 1) 4(2 ? x) , 记 f ( x) ? ,x ? 1 , 求导得 f ' ( x) ? , 可得 f ( x) 在 (1, 2) 上递增, 在 (2, ??) x2 x e e ex 4 4 上递减,∴ f ( x) max ? f (2) ? 2 ,∴ a ? (0, 2 ] . e e a?
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上. ) 13.对某种产品的 6 件不同正品和 4 件不同次品一一进行测试,至区分出所有次品为止. 若所有次品恰好在第 6 次测试时被全部发现,则这样的测试方法有 种 【答案】576 14.安排 A, B, C , D, E , F 六名义工照顾甲、乙、丙三位老人,每两位义工照顾一位老人.考虑到义工与老 人住址距离问题,义工 A 不安排照顾老人甲,义工 B 不安排照顾老人乙,安排方法共有___________
2 2 1 2 【解析】6 人分组为 C6 C4 ? 90 种,当 A 照顾老人甲时有 C5 C4 ? 30 种,同理义工 B 照顾老人乙也有 30

种,再加上 A, B 同时分别照顾老人甲和乙有 C4 ? 2 ? 12 种,所以共有 90 - 30 ? 2 ? 12 ? 42 种.
2

15. 如果自然数 a 的各位数字之和等于 7 ,那么称 a 为 “ 吉祥数 ” .将所有 “ 吉祥数 ” 从小到大排成一列

a1 , a2 , a3 ,? ,若 an ? 2005 ,则 n ?
【答案】65
k ?1 【解析】∵方程 x1 ? x 2 ? ? ? x k ? m 使 x1 ? 1, xi ? 0(i ? 2) 的整数解个数为 Cm ? k ? 2 .现取 m ? 7 ,可知,

6 6 1 ? 1, P(2) ? C 7 ? 7, ? Ck6?5 且 P(1) ? C 6 k 位“吉祥数”的个数为 P(k ) ? C5k??k

P(3) ? C86 ? 28, 对于四位“吉祥数” 1abc ,其个数为满足 a ? b ? c ? 6 的非负整数解个数,即 C82 ? 28 个。
∵2005 是形如 2abc 的数中最小的一个 “ 吉祥数 ” ,? 2005 是第 1 ? 7 ? 28 ? 28 ? 1 ? 65 个 “ 吉祥数 ” ,即

a 65 ? 2005. 从而 n ? 65
页 3第

2 2 2 16. 已知 f ( x) ? (2 x ? 1)10 ? a10 x10 ? a9 x 9 ? a8 x8 ? ??? ? a1 x ? a0 ,则 C2 a2 ? C32 a3 ? C4 a4 ? ??? ? C10 a10 ?

【解析】 (2 x ? 1) ? a10 x10 ? a9 x 9 ? a8 x8 ? ??? ? a1 x ? a0 两边求导得
10

20(2 x ? 1)9 ? 10a10 x 9 ? 9a9 x8 ? 8a8 x 7 ? ??? ? 2a2 x ? a1 .继续对此等式两边求导,得 360(2 x ? 1)8 ? 10 ? 9a10 x9 ? 9 ? 8a9 x8 ? 8 ? 7 a8 x 7 ? ??? ? 2 ? 1a2 .令 x ? 1 得
2 2 2 360 ? 10 ? 9a10 ? 9 ? 8a9 ? 8 ? 7 a8 ? ??? ? 2 ?1a2 ? 2(C2 a2 ? C32 a3 ? C4 a4 ? ??? ? C10 a10 ) 2 2 2 ? C2 a2 ? C32 a3 ? C4 a4 ? ??? ? C10 a10 ? 180 .



4第


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