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湖北省武汉市江岸区2014-2015学年高二下学期七月调研测试数学(理)试题


2014-2015 学年度第二学期 江岸区高二年级七月调研测试 数学(理科)试卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是满足题目要求的,把正确选项的代号填在答题卡上。 ) 1.若 z ? A. i

2?i ,则复数 z 的虚部为( 1 ? 2i
B. ?i

r />) C.1 D.-1

2.观察下列顺序排列的等式:9×0+1=1,9×1+2=11,9×2+3=21,9×3+4=31,......,猜想第 n 个等 式(n 为正整数)应为( ) A.9(n+1)+n=10n+9 B. 9(n﹣1)+n=10n﹣9 C. 9n+(n﹣1)=10n﹣1 D.9(n﹣1)+(n﹣1)=10n﹣10 3.已知命题 p : ?x ? R, x2 ? 2x ? 2 ? 0 ,则 ? p 是( A. ?x0 ? R, x02 ? 2 x0 ? 2 ? 0 C. ?x0 ? R, x02 ? 2x0 ? 2 ? 0 4.“ a ? 2, b ? 2 ”为“曲线 )

B. ?x ? R, x2 ? 2 x ? 2 ? 0 D. ?x ? R, x2 ? 2 x ? 2 ? 0

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? R, ab ? 0) 经过点 ( 2,1) 的” ( a 2 b2
B. 必要而不充分条件



A. 充分而不必要条件 C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件
) D.8 )

5.在 ( x ? 1)4 的展开式中, x 的系数为( A.2 B. 4 C.6

6.已知随机变量服从二项分布 B(n, p) ,若 E ( x) ? 30, D( x) ? 20 ,则 p ? ( A.

1 2
2

B.

1 3

C.

1 6

D.

1 9

7.如图, 函数 y=﹣x +2x+1 与 y=1 相交形成一个闭合图形 (图中的阴影部分) , 则该闭合图形的面积是( ) A.1 B.

4 3

C.

3

D. 2

8.已知直线 y ? kx 是 y ? ln x 的切线,则 k 的值为( ) A.

1 e

B. ?

1 e

C.

2 e

D. ?

2 e

9.已知双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,若其渐进线与圆 x2 ? y 2 ? 6 y ? 3 ? 0 相切,则此 双曲线的离心率等于( ) A.

1 2

B.

3

C.

6 2

D.

6

10.已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 1 ,若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 ? 0 ,则 a 的取值范围 是( ) A.

? 2, ???

B. ?1, ?? ?

C.

? ??, ?2?

D.

? ??, ?1?

11.已知椭圆 E :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F,离心率 e ? , 过原点的直线 l 交椭圆 2 a b 2

E 于 A,B 两点,若 AF ? BF ? 4 ,则椭圆 E 的方程是( )

A.

x2 ? 2 y2 ? 1 2

B.

x2 ? y2 ? 1 4

x2 y 2 ? ?1 C. 16 4

x2 y 2 ? ?1 D. 8 2

12.若定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (0) ? ?1 ,其导函数 f '( x) 满足 f '( x) ? k ? 1 ,则

1 1 )与 大小关系一定是( ) k ?1 k ?1 1 1 1 1 )? )? A. f ( B. f ( k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 1 1 1 1 )? )? C. f ( D. f ( k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 f(
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把正确答案填在答题卡的相应位置。 ) 13.若 f ( x) ? log3 ( x ?1)( x ? 1) ,则 f '(2) =_________. 14.已知抛物线 y ? ax 的准线方程为 y ? ?1 ,则实数 a ? _________.
2

15.已知 x、 y 的取值如下表所示 x y 0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7

? ? 0.95x ? a ,则 a ? _________. 从散点图分析,y 与 x 线性相关,且 y
16.设函数 f '( x) 是奇函数 f ( x)( x ? R) 的导函数, f (?1) ? 0 ,当 x ? 0 时,

xf '( x) ? f ( x) ? 0 ,则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是_________.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17. (本小题 10 分) 已知函数 f ( x) ? ax( x ? 1) ? ln x 。 (1)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? ln x ? ax2 ? e x ,当 a ? ?1 时,求 g ( x) 的极值。

18. (本题满分 12 分) 如图,已知三棱锥 O﹣ABC 的侧棱 OA,OB,OC 两两垂直,且 OA=1,OB=OC=2,E 是 OC 的中点. (1)求异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值; (2)求直线 BE 和平面 ABC 的所成角的正弦值.

19.(本小题 12 分) 已知△ ABC 的两个顶点 A,B 的坐标分别是(0,﹣1) , (0,1) ,且 AC,BC 所在直线的斜率 之积等于 m(m≠0) . (1)求顶点 C 的轨迹 E 的方程,并判断轨迹 E 为何种圆锥曲线; (2)当 m=﹣ 时,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 E 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M.,试问:直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积是否为定值. 若是,求出定值, 若不是,请说明理由.

20.(本小题 12 分) 某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有 4 个红球、 6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中,各随机摸出 1 个球,在摸出的 2 个球中, 若都是红球,则获一等奖;若只有 1 个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖. (1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率; (2)若某顾客有 3 次抽奖机会,记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X,求 X 的分布列 和数学期望.

21. (本题满分 12 分) 设抛物线 C : y 2 ? 4x ,过定点 (m,0) 的直线 l 与抛物线 C 交于 A、B 两点,连结 A 及抛物线 顶点 O 的直线与准线交于点 B ' ,直线 BO 与准线交于点 A ' ,且 AA ' 与 BB ' 均平行于 x 轴。 (1)求 m 的值; (2)求四边形 ABB ' A ' 面积的最小值。

22. (本题满分 12 分) 已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x ? ax ? 3 。
2

(1)求函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上的最小值; (2)对一切 x ? (0, ??) , 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)证明:对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ?

1 2 ? 成立。 e x ex

2014-2015 学年度第二学期江岸区高二年级七月调研测试
数学(理科)试卷答案 一、 选择题
1-6DBCACB 7-12BACABC

二、 填空题
13.

1 ln 3

14. 4

15. 2.6

16. (??, ?1) ? (0,1)

三、解答题
17 解: (1)当 a ? 1 , f ( x) ? x( x ? 1) ? ln x ? x2 ? x ? ln x , f (1) ? 1 ? 1 ? ln1 ? 2

1 ? 切点坐标为 (1, 2) , f '( x) ? 2 x ? 1 ? ,? k ? f '(1) ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 。 x
根据直线的点斜式方程,切线方程为 y ? 2 ? 2( x ? 1) ,

? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程 2 x ? y ? 0 。
(2)依题意得: g ( x) ? ax2 ? ax ? ln x ? ln x ? ax2 ? e x ? ax ? e x

g '( x) ? a ? e x , e x ? ?a ;? a ? ?1,??a ? 1
解得 x ? ln(?a) ,? f ( x) 在 (ln(?a), ??) 上单调递增,在 (0, ln(?a)) 上单调递减。

? g( x)极小值 = g(ln(?a)) ? a ln(?a) ? eln(?a) ? ?a ? a ln(?a) , g ( x) 无极大值。
18 解: (1)以 O 为原点,OB、OC、OA 分别为 X、Y、Z 轴建立空间直角坐标系. 则有 A(0,0,1) 、B(2,0,0) 、C(0,2,0) 、E(0,1,0) ∴ ∴COS< , >= =﹣

所以异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦为 … (2)设平面 ABC 的法向量为 知 知 取 , 则

则 故 BE 和平面 ABC 的所成角的正弦值为

19 解: (1)设点 C(x,y) ,由 AC,BC 所在直线的斜率之积等于 m(m≠0) , 得: ,化简得:﹣mx +y =1(x≠0) .
2 2

当 m<﹣1 时,轨迹 E 表示焦点在 y 轴上的椭圆,且除去(0,1) , (0,﹣1)两点; 当 m=﹣1 时,轨迹 E 表示以(0,0)为圆心,半径是 1 的圆,且除去(0,1) , (0,﹣1)两 点; 当﹣1<m<0 时,轨迹 E 表示焦点在 x 轴上的椭圆,且除去(0,1) , (0,﹣1)两点; 当 m>0 时,轨迹 E 表示焦点在 y 轴上的双曲线,且除去(0,1) , (0,﹣1)两点. (2)当 m=﹣ 时,曲线 E 的方程为 .

(Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? b(k ? 0, b ? 0), A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), M ( xM , yM ). 将 y ? kx ? b 代入

x2 y 2 ? ? 1 得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4kbx ? 2b2 ? 8 ? 0 8 4
故 xm ?

x1 ? x2 ?2kb b ? 2 , ym ? k ?xm ? b ? 2 2 2k ? 1 2k ? 1

于是直线 OM 的斜率 kom ?

ym 1 1 ? ? , 即kom .k ? ? xm 2k 2

所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值。

20 解: (Ⅰ)记事件 A1 ={从甲箱中摸出的 1 个球是红球} ,

A2 ={从乙箱中摸出的 1 个球是红球}

B1 ={顾客抽奖 1 次获一等奖}
, B2 ={顾客抽奖 1 次获二等奖} C={顾客抽奖 1 次能获奖}.

B1 与 B2 互斥, 由题意,A1 与 A2 相互独立,A1 A2 与 A 且 B1 = A1 A2 ,B2 = A1 A2 + A 1 A2 互斥, 1 A2 ,
C= B1 + B2 . 因 P( A1 )=

4 2 5 1 2 1 1 = ,P( A2 )= = ,所以 P( B1 )=P( A1 A2 )=P( A1 )P( A2 )= ? = , 10 5 10 2 5 2 5

P( B2 )=P( A1 A2 + A 1 A2 )=P( A 1 A2 )+P( A 1 A2 )=P( A1 )(1- P( A2 ))+(1- P( A1 ))P( A2 )

2 1 2 1 1 1 1 7 ? (1- )+(1- ) ? = ,故所求概率为 P(C)= P( B1 + B2 )=P( B1 )+ P( B2 )= + = . 5 2 10 5 2 5 2 2 1 (Ⅱ)顾客抽奖 3 次独立重复试验,由(I)知,顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为 , 5 1 所以 X~B(3, ). 5 64 48 12 0 1 0 4 3 1 1 1 4 2 2 1 2 4 1 于是 P(X=0)= C3 ( ) ( ) = ,P(X=1)= C3 ( ) ( ) = ,P(X=2)= C3 ( ) ( ) = , 125 125 5 5 5 5 5 5 125 1 3 1 3 4 0 P(X=3)= C3 ( ) ( ) = 125 5 5
= 故 X 的分布列为 X P 0 1 2 3

64 125 1 3 = . 5 5

48 125

12 125

1 125

X 的数学期望为 E(X)=3 ?

21 解: (1)设 A(

y12 y2 , y1 ), B( 2 , y2 ) ,直线 l : x ? ty ? m 4 4
可得, y 2 ? 4ty ? 4m ? 0 ,? ?

联立方程: ?

? x ? ty ? m
2 ? y ? 4x

? y1 ? y2 ? 4t ? y1 y2 ? ?4m

依题意 A ', O, B 三点共线,? k A 'O ?

y1 y ? kOB ? 22 y2 ?1 4

? y1 y2 ? ?4 ,? m ? 1 。
(2)依题意 A '(?1, y1 ), B '(?1, y2 )

S ABB ' A '

y2 2 1 1 y12 ? ( AA '? BB ')h ? ( ?1? ? 1) y1 ? y2 2 2 4 4

1 y 2 ? y2 2 ? ( 1 ? 2) ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 2 4

? 8(t 2 ? 1) t 2 ? 1 ? 8
当 t ? 0 时等号成立,此时 l AB : x ? 1。

22 解: (1) f '( x) ? ln x ? 1, f '( x) ? 0, x ?

1 e

1 1 ? f ( x) 在 ( , ??) 上单调递增, f '( x) ? 0, 0 ? x ? e e 1 1 ? f ( x) 在 (0, ) 上单调递减,? f ( x) 在 x ? 处取最小值, e e 1 1 1 1 ? f ( x) min ? f ( ) ? ln ? ? 。 e e e e


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