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第2章 第2节 函数的单调性与最值


课时规范练 A组 基础对点练 )

1.下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是( A.y=e-x C.y=ln x B.y=x3 D.y=|x|

解析:因为对数函数 y=ln x 的定义域不是 R,故首先排除选项 C;因为指数函 ?1? 数 y=e-x,即 y=? e?x,在定义域内单调递减,故排除选项 A;对于函数 y=|x|, ? ? 当 x∈(-∞, 0)时, 函数变为 y=-x, 在其定义域内单调递减, 因此排除选项 D; 而函数 y=x3 在定义域 R 上为增函数.故选 B. 答案:B 2.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( 1 A.y= x C.y=-x2+1 B.y=e-x D.y=lg|x| )

1 ?1? 解析:A 中 y= x是奇函数,A 不正确;B 中 y=e-x=? e?x 是非奇非偶函数,B 不 ? ? 正确;C 中 y=-x2+1 是偶函数且在(0,+∞)上是单调递减的,C 正确;D 中 y =lg|x|在(0,+∞)上是增函数,D 不正确.故选 C. 答案:C 3.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A.y=x+1 1 C.y=x B.y=-x3 D.y=x|x| )

解析:由函数的奇偶性排除 A,由函数的单调性排除 B、C,由 y=x|x|的图象可 知此函数为增函数,又该函数为奇函数,故选 D. 答案:D 4.(2016· 高考北京卷)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( A.y= 1 1-x B.y=cos x D.y=2-x )

C.y=ln(x+1)

解析:选项 A 中,y= 位得到的,故 y=

1 1 1 = 的图象是将 y=-x 的图象向右平移 1 个单 1-x -?x-1?

1 在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项 B 中,y=cos x 1-x

在(-1,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数,不符合题意;选项 C 中,y=ln(x+1) 的图象是将 y=ln x 的图象向左平移 1 个单位得到的,故 y=ln(x+1)在(-1,1)上 为增函数,不符合题意;选项 D 符合题意. 答案:D 5.设 f(x)=x-sin x,则 f(x)( A.既是奇函数又是减函数 B.既是奇函数又是增函数 C.是有零点的减函数 D.是没有零点的奇函数 解析:∵f(-x)=-x-sin(-x)=-(x-sin x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.又 f′(x) =1-cos x≥0, ∴f(x)单调递增,选 B. 答案:B
2 ?x +1,x>0, ? 6.已知函数 f(x)= 则下列结论正确的是( ?cos x,x≤0,

)

)

A.f(x)是偶函数 B.f(x)是增函数 C.f(x)是周期函数 D.f(x)的值域为[-1,+∞) 解析:因为 f(π)=π2+1,f(-π)=-1,所以 f(-π)≠f(π),所以函数 f(x)不是偶函 数,排除 A;因为函数 f(x)在(-2π,-π)上单调递减,排除 B;函数 f(x)在(0, +∞)上单调递增,所以函数 f(x)不是周期函数,排除 C;因为 x>0 时,f(x)>1, x≤0 时,-1≤f(x)≤1,所以函数 f(x)的值域为[-1,+∞),故选 D. 答案:D 7.(2017· 天津模拟)若函数 f(x)满足“对任意 x1,x2∈(0,+∞),当 x1<x2 时,都 有 f(x1)>f(x2)”,则 f(x)的解析式可以是( )

A.f(x)=(x-1)2 1 C.f(x)= x

B.f(x)=ex D.f(x)=ln(x+1)

解析:根据条件知,f(x)在(0,+∞)上单调递减. 对于 A,f(x)=(x-1)2 在(1,+∞)上单调递增,排除 A; 对于 B,f(x)=ex 在(0,+∞)上单调递增,排除 B; 1 对于 C,f(x)= x 在(0,+∞)上单调递减,C 正确; 对于 D,f(x)=ln(x+1)在(0,+∞)上单调递增,排除 D. 答案:C 8.(2017· 江西南昌模拟)下列函数中,在(0,+∞)上单调递减,并且是偶函数的 是( ) B.y=-x3 D.y=2x

A.y=x2 C.y=-lg|x|

解析:四个函数中,选项 A,选项 C 是偶函数,选项 B 是奇函数,选项 D 是非 奇非偶函数,又 y=x2 在(0,+∞)内单调递增,故选 C. 答案:C 9. 设 a>0 且 a≠1, 则“函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数”是“函数 g(x)=(2-a)x3 在 R 上是增函数”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:若函数 f(x)=ax 在 R 上为减函数,则有 0<a<1;若函数 g(x)=(2-a)x3 在 R 上为增函数, 则有 2-a>0, 即 a<2, 所以“函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数” 是“函数 g(x)=(2-a)x3 在 R 上是增函数”的充分不必要条件,选 A. 答案:A 10. (2017· 沈阳教学质量检测)下列函数中,在其定义域内是增函数且是奇函数的 是( ) B.y=2|x| D.y=2x+2-x

A.y=2x C.y=2x-2-x

解析:A 中函数是非奇非偶函数,B,D 中函数是偶函数,对于选项 C,由奇函 数的定义可知该函数是奇函数,由复合函数的单调性可知其在定义域内是增函

数,故选 C. 答案:C ?-x+3a,x<0, 11.(2017· 福州模拟)函数 f(x)=? x ,(a>0 且 a≠1)是 R 上的减函 ?a ,x≥0 数,则 a 的取值范围是( A.(0,1) 1? ? C.?0,3? ? ? ?0<a<1 1 解析:∵? ,∴3≤a<1. ?3a≥1 答案:B
1 ? ?log x,x≥1, 12.函数 f(x)=? 2 的值域为________. x ? ?2 ,x<1

) ?1 ? B.?3,1? ? ? 2? ? D.?0,3? ? ?

解析:当 x≥1 时,log1 x≤0,当 x<1 时,0<2x<2,故值域为(0,2)∪(-∞,0] 2 =(-∞,2). 答案:(-∞,2) x2,x≤1, ? ? 13 . (2015· 高 考 浙 江 卷 ) 已 知 函 数 f(x) = ? 6 x+ -6,x>1, ? ? x __________,f(x)的最小值是__________. 1 1 解析:因为 f(-2)=4,f(4)=-2,所以 f(f(-2))=-2;x≤1 时,f(x)min=0,x >1 时,f(x)min=2 6-6,又 2 6-6<0,所以 f(x)min=2 6-6. 1 答案:-2 2 6-6

则 f(f( - 2)) =

14.(2017· 江西赣中南五校联考)函数 f(x)=x+ 2x-1的值域为________. 1 解析:由 2x-1≥0 可得 x≥2, ?1 ? ∴函数的定义域为?2,+∞?, ? ? ?1 ? 又函数 f(x)=x+ 2x-1在?2,+∞?上单调递增, ? ?

1 ?1? 1 ∴当 x=2时,函数取最小值 f?2?=2, ? ? ?1 ? ∴函数 f(x)的值域为?2,+∞?. ? ? ?1 ? 答案:?2,+∞? ? ? 15.若函数 f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则 a=________. a - 2 x - a , x <- ? ? 2 f(x) = ? a 2 x + a , x ≥ - ? ? 2

解析:由

, 可 得 函 数 f(x) 的 单 调 递 增 区 间 为

a ? a ? ?-2,+∞?,故 3=- ,解得 a=-6. 2 ? ? 答案:-6 B组 能力提升练

1.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实 1 数 a 满足 f(log2a)+f(log2a)≤2f(1),则 a 的取值范围是( A.[1,2] ?1 ? C.?2,2? ? ? 1? ? B.?0,2? ? ? D.(0,2] )

1 解析: 由已知条件得 f( - x) = f(x) ,则 f(log2a) + f(log 2 a)≤2f(1) ? f(log2a) + f( - log2a)≤2f(1)?f(log2a)≤f(1),又 f(log2a)=f(|log2a|)且 f(x)在[0,+∞)上单调递增, 1 ∴|log2a|≤1?-1≤log2a≤1,解得2≤a≤2,选 C. 答案:C
3 ?x ,x≤0, ? 2. (2017· 陕西西安一中模拟)已知函数 f(x)= 若 f(2-x2)>f(x), ?ln?x+1?,x>0,

则实数 x 的取值范围是( A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,+∞) C.(-1,2)

)

D.(-2,1) 解析:∵当 x=0 时,两个表达式对应的函数值都为零,∴函数的图象是一条连 续的曲线.∵当 x≤0 时,函数 f(x)=x3 为增函数,当 x>0 时,f(x)=ln(x+1)也 是增函数,∴函数 f(x)是定义在 R 上的增函数.因此,不等式 f(2-x2)>f(x)等价 于 2-x2>x,即 x2+x-2<0,解得-2<x<1.故选 D. 答案:D 3.(2017· 辽宁阶段测试)设函数 f(x)=ln(1+x)+mln(1-x)是偶函数,则( A.m=1,且 f(x)在(0,1)上是增函数 B.m=1,且 f(x)在(0,1)上是减函数 C.m=-1,且 f(x)在(0,1)上是增函数 D.m=-1,且 f(x)在(0,1)上是减函数 ?1? ? 1? 解析:因为函数 f(x)=ln(1+x)+mln(1-x)是偶函数,所以 f?2?=f?-2?,则(m- ? ? ? ? 1)ln 3=0,即 m=1,则 f(x)=ln(1+x)+ln(1-x)=ln(1-x2),在(0,1)上,当 x 增 大时,1-x2 减小,ln(1-x2)减小,即 f(x)在(0,1)上是减函数,故选 B. 答案:B 4.对于函数 f(x),在使 f(x)≥M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最大值叫作 函数 f(x)的下确界.现已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(1-x)=f(1+x),当 x ∈[0,1]时,f(x)=-3x2+2,则 f(x)的下确界为( A.2 C.0 B.1 D.-1 ) )

解析:函数 f(x)在 R 上的部分图象如图所示,易得下确界为-1.故选 D.

答案:D 1 5.若函数 f(x)=x2-2ln x+1 在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调 函数,则实数 k 的取值范围是( A.[1,+∞) ) 3? ? B.?1,2? ? ?

C.[1,2)

?3 ? D.?2,2? ? ?

4x2-1 解析:函数 f(x)的定义域为(0,+∞),所以 k-1≥0,即 k≥1.令 f′(x)= 2x = 1 ? 1? 0,解得 x=2?x=-2舍?.因为函数 f(x)在区间(k-1,k+1)内不是单调函数,所以 ? ? 1 1 3 3 k-1<2<k+1,得-2<k<2.综上得 1≤k<2. 答案:B 6. 设 x∈R, [x]表示不超过 x 的最大整数. 若存在实数 t, 使得[t]=1, [t2]=2, ?, [tn]=n 同时成立,则正整数 n 的最大值是( A.3 C.5 B.4 D.6 )

解析: 由[t]=1, 得 1≤t<2.由[t2]=2, 得 2≤t2<3.由[t4]=4, 得 4≤t4<5, 所以 2≤t2 < 5.由[t3]=3,得 3≤t3<4,所以 6≤t5<4 5.由[t5]=5,得 5≤t5<6,与 6≤t5 <4 5矛盾,故正整数 n 的最大值是 4. 答案:B

?1,x>0, 7.已知符号函数 sgn x=?0,x=0, ?-1,x<0.
>1),则( ) A.sgn[g(x)]=sgn x B.sgn[g(x)]=sgn[f(x)] C.sgn[g(x)]=-sgn x D.sgn[g(x)]=-sgn[f(x)]

f(x)在 R 上的增函数,g(x)=f(x)-f(ax)(a

解析:因为 f(x)是 R 上的增函数,又 a>1,所以当 x>0 时,f(x)<f(ax),即 g(x) <0;当 x=0 时,f(x)=f(ax),即 g(x)=0;当 x<0 时,f(x)>f(ax),即 g(x)>0.

?1,x>0, 由符号函数 sgn x=?0,x=0, ?-1,x<0
答案:C

?-1,x>0, 知,sgn[g(x)]=?0,x=0, ?1,x<0

=-sgn x.

1 - 8.若 f(x)=ex-ae x 为奇函数,则 f(x-1)<e- e的解集为( A.(-∞,2) C.(2,+∞) B.(-∞,1) D.(1,+∞)

)

解析:因为 f(x)=ex-ae-x 为奇函数,所以 f(0)=1-a=0,即 a=1,则 f(x)=ex 1 1 -e-x 在 R 上单调递增,且 f(1)=e- e.则由 f(x-1)<e- e,得 f(x-1)<f(1),即 x 1 -1<1,解得 x<2,所以不等式 f(x-1)<e- e的解集为(-∞,2).故选 A. 答案:A 9.已知函数 f(x)=lg(ax-bx)+x 中,常数 a,b 满足 a>1>b>0,且 a=b+1, 那么 f(x)>1 的解集为( A.(0,1) C.(1,10) ) B.(1,+∞) D.(10,+∞)

?a? 解析: 由 ax-bx>0, 即?b?x>1, 解得 x>0, 所以函数 f(x)的定义域为(0, +∞). 因 ? ? 为 a>1>b>0,所以 y=ax 单调递增,y=-bx 单调递增,所以 t=ax-bx 单调递 增.又 y=lg t 单调递增,所以 f(x)=lg(ax-bx)+x 为增函数.而 f(1)=lg(a-b)+ 1=lg 1+1=1,所以 x>1 时 f(x)>1,故 f(x)>1 的解集为(1,+∞).故选 B. 答案:B f?x? 10.函数 f(x)=x2-2ax+a 在区间(-∞,1)上有最小值,则函数 g(x)= x 在区间 (1,+∞)上一定( A.有最小值 C.是减函数 ) B.有最大值 D.是增函数

解析:∵函数 f(x)=x2-2ax+a 在区间(-∞,1)上有最小值,图象开口向上, f?x? a 对称轴 x=a,∴a<1,g(x)= x =x+x-2a. a 若 a≤0,则 g(x)=x+ x -2a 在(0,+∞),(-∞,0)上单调递增; a 若 0<a<1,则 g(x)=x+x -2a 在( a,+∞)上单调递增,则在(1,+∞)上单调 递增.

a 综上可得,g(x)=x+ x -2a 在(1,+∞)上单调递增.故选 D. 答案:D 11. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的单调递增函数, 且满足对任意的实数 x 都有 f(f(x) -3x)=4,则 f(x)+f(-x)的最小值等于( A.2 C.8 B.4 D.12 )

解析:由 f(x)的单调性知存在唯一实数 K 使 f(K)=4,即 f(x)=3x+K,令 x=K 得 1 f(K) = 3K + K = 4 ,所以 K = 1 ,从而 f(x) = 3x + 1 ,即 f(x) + f( - x) = 3x + x + 3 2≥2 1 3x· 3x+2=4,当且仅当 x=0 时取等号.故选 B.

答案:B 12.(2016· 高考天津卷)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单 调递增.若实数 a 满足 f(2|a-1|)>f(- 2),则 a 的取值范围是________. 解析: 因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且在区间(-∞, 0)上单调递增, 所以 f(x) 在区间(0,+∞)上单调递减.又 f(2|a-1|)>f(- 2),f(- 2)=f( 2),故- 2<2|a
-1|

1 1 3 < 2,则|a-1|<2,所以2<a<2.

?1 3? 答案:?2,2? ? ? ??3a-1?x+4a,x≤1, 13.(2017· 山东东营广饶一中模拟)已知 f(x)=? 是 R 上的 ?logax,x>1 减函数,则 a 的取值范围是________. 解析:由函数 f(x)为单调递减函数可得 g(x)=(3a-1)x+4a 在(-∞,1]上单调递 减,函数 h(x)=logax 在(1,+∞)上单调递减,且 g(1)≥h(1),

?3a-1<0, ∴?0<a<1, ?7a-1≥0,
?1 1? 答案:?7,3? ? ?

1 1 ∴7≤a<3.

1 ? x>1, ?log x, 14.已知函数 f(x)=? 3 则 f(f(3))=________,函数 f(x)的最大 2 ? - x + 2 x , x ≤ 1 , ?

值是________. 解析:f(3)=log13=-1,
3

∴f(f(3))=f(-1)=-(-1)2-2=-3. 当 x>1 时 f(x)=log1x 为减函数,无最大值.
3

当 x≤1 时 f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,最大值为 1. 答案:-3 1 x ,关于 f(x)的性质,有下列四个结论: x2+1

15.(2017· 北京模拟)已知函数 f(x)= ①f(x)的定义域是(-∞,+∞); ? 1 1? ②f(x)的值域是?-2,2?; ? ? ③f(x)是奇函数; ④f(x)是区间(0,2)上的增函数. 其中正确结论的个数是________. 解析:对于①,∵函数 f(x)= 对于②,当 x≠0 时,f(x)=

x ,∴f(x)的定义域是(-∞,+∞),故①正确; x2+1 1 1 ,若 x > 0 ,则 0 < f ( x ) ≤ ,若 x < 0 ,则- 1 2 2≤f(x)

1

x+x

? 1 1? <0;当 x=0 时,f(x)=0,故 f(x)的值域是?-2,2?,故②正确; ? ? 对于③,f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数,故③正确; 对于④,f′(x)= >1 或 x<-1, ∴f(x)在区间(0,2)上先增后减,故④错误. 综上可知,正确结论的个数是 3. 答案:3 1-x2 ,令 f′(x)>0,解得-1<x<1,令 f′(x)<0,解得 x ?x2+1?2


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