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2014佛山二模(理数)【含答案--全WORD--精心排版】


广东省佛山市 2014 届高三教学质量检测(二) 数学理试题
一、选择题 1. 复数 z ?

1 (其中 i 为虚数单位) , z 为 z 的共轭复数,则下列结论正确的是( ) 1? i 1 1 1 1 A、 z ? ? i B、 z ? ? ? i C、 z ? 1 ? i D、 z ? ?1 ? i 2 2 2 2

2.

已知 M ?

?? x, y ? y ? 2 ? , N ? ?? x, y ? y ? a? ,若 M
x

N ? ? ,则实数 a 的取值范围为(
D、 ? ??,0?



A、 ? ??,1?

B、 ? ??,1? ) B、 y ? x2 ? cos x

C、 ? ??,0 ?

3. 下列函数为奇函数的是( A、 y ? x x

C、 y ? x sin x

D、 y ? ex ? e? x

?y ? 0 ? 4. 若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z ? 3x ? 5 y 的取值范围是( ?x ? 4 y ? 3 ? 0 ?
A、 ?3, ?? ?
2 2



B、 ? ?8,3?

C、 ? ??,9?

D、? ?8,9?

开始 输入n

5. 已知双曲线

x y ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的渐进线与实轴的夹角为 60 , 2 a b


i=1,S=1
否 是

则双曲线的离心率为(

2 3 A、 3
A、 i ? 10 ?

B、 2

C、 2 3

D、 6 )

S= S ? i i=i+2

输出S 结束

6. 如右图是求10! 的程序框图,则在判断框内应填的条件可以是( B、 i ? 10 ? C、 i ? 11? D、 i ? 10 ?

2 7. 已知 p:“ x ? 1 是方程 ax ? bx ? c ? 0 的一个根”,q:“ a ? b ? c ? 0 ”,则 p 是 q 的(



A、充分不必要条件 8. 若集合 M , N 满足 M

B、必要不充分条件

C、充分必要条件

D、既不充分也不必要

N ? ? ,则称 ? M , N ? 是集合 ? 的一组双子集拆分,规定: ? M , N ? 和 ? N , M?


是 ? 的同一组双子集拆分,已知集合 ? ? ?1, 2,3? ,那么 ? 的不同双子集拆分共有( A、16 组 二、填空题 (一)必做题 9. 不等式 x ?1 ? x ? 3 的解集为 10. 记函数 f ? x ? ? log 1 x 的反函数为 g ? x ? ,则函数 y ? f ? x ? ? g ? x ? 在区间
2

B、15 组

C、14 组

D、13 组

?1, 2 ? 上值域为
11. 某正三棱锥的三视图如图所示,则该正三棱锥侧视图的面积为
1

12. 已知等差数列?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S9 ? S4 ? 20 ,则 S13 的值为 13. 在圆 O 中,长度为 2 的弦 AB 不过圆心,则 AO AB 的值为 (二)选做题 14. (坐标系与参数方程)已知曲线 C1 : ? 个公共点,则实数 k 的取值范围为 15. (几何证明选讲)如图所示,圆 O 是 ?ABC 的外接圆,过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D,已知 CD ? 2 7, AB ? BC ? 3 ,则 AC 的长为 三、解答题 16. 已知函数 f ( x) ? sin x ? sin? x ?

? ?x ? t ? x ? 2 cos ? ?? 为参数 ? 与曲线 C2 : ? y ? kt ? 2 ?t为参数? 有且只有一 ? ? ? y ? sin ?

? ?

??

?,x? R. 3?

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期;(2)若 f ?? ?

? ?

6 ? ? 3? ,? ? ? , ?? 12 ? 10 ?2 4

??

? ? ,求 sin ? . ?

17. “行通济”是广东佛山一带在元宵节期间举行的游玩祈福活动,每到这一天,家家户户都会扶老携幼,自清 晨到夜幕,举着风车、摇着风铃、拎着生菜浩浩荡荡地由北到南走过通济桥,祈求来年平平安安、顺顺利利。为 了了解不同年龄层次的人对这一传统习俗的参与度,现随机抽取年龄在 20~80 岁之间的 60 人,并按年龄层次

?20, 30? ,?30,

40? ,?40, 50? ,?50, 60? ,?60, 70? ,?70, 80? 绘制频率分布直方图如图所示,其中参与了 2014

年“行通济”活动的人数如下表。 若规定年龄分布在 ?20, 60? 岁的为“中青年人”, 60 岁以上 (含 60 岁) 为“老年人”.

2

(1)根据已知条件完成下面的 2 ? 2 列联表,并判断能否有 99%的把握认为“老年人”比“中青年人”更认同“行通 济”这一民俗? “老年人”人数 有参与 没有参与 合计 (2)用样本估计总体,从全佛山市民中随机抽取 3 人,记抽到“老年人”的人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和 参考公式: k 2 ? “中青年人”人数 合计

数学期望.

n(ad ? bc) 2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

下面的临界值表供参考:

P( K 2 ? k )
k

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

18. 如图所示, 在正三棱柱 (底面是正三角形的直棱柱)A1 B1C1 ? ABC 中,M 为 A1B1 的中点,P ?平面 ABC ,

PA ? 平面 ACC1 A1 ,且 AB ? AA1 ? 4 , PA ? 4 3 .
(1)求证: C1 M ? 平面 PCC1 ; (2)求二面角 A1 ? PC1 ? C 的余弦值.

3

19. 已知焦点为 F , 准线为 l 的抛物线 ? : x2 ? 2 py( p ? 0) 经过点 (?2 3,3) ,其中 A, B 是抛物线上两个动点,

O 为坐标原点。 (1)求抛物线 ? 的方程。 (2)若 OA ? OB , 求线段 AB 的中点 P 的轨迹方程。
(3)若 ?AFB ? 900 , 线段 AB 的中点 M , 点 M 在直线 l 上的投影为 N ,求

MN AB

的最大值。

20. 已知等比数列?an ? 满足 a1a2 =2a3 ,且 a1,a2 ? 2,a3 成等差数列。数列 ?bn ? 满足

b1 log 2 a1 ? b2 log 2 a2 ?

? bn log 2 an ?

n(n ? 1) (n ? N * ) 2
n b n 1 5 ? ? (1 ? k ) ? (n ? N * ) 2(n ? 2 ) k ?1 bk ?1 bk ?1 6

(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)求证:

21. 已知函数 f ( x) ? ex , g ( x) ? ln( x ? m) 。直线 l : y ? kx ? b 经过点 P(?1 , 0) 且与曲线 y ? f ( x) 相切。 (1)求切线 l 的方程; (2)若关于 x 的不等式 kx ? b ? g ( x) 恒成立,求实数 m 的最大值; (3)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,若函数 F ( x ) 有唯一的零点 x0 ,求证 -1 ? x0 ? ?

1 。 2

4

广东省佛山市 2014 届高三教学质量检测(二) 数学理试题参考答案
一、选择题: ADAD 二、填空题: 9. 三、解答题: 所以有 99% 的把握认为“老年人”比“中青年人”更认同“行通济”这一民俗…………5 分; 16. 解: (1) f ? x ? ? sin x ? sin ? x ? BBCC 10.

? ??, ?1? ?2, ???

? 3 1? ? , ? ? 4 2? ?

11. 9 2

12. 52

13. 1

14. ?

6 2

15.

3 7 2

? ?

??

? ? 3 3 cos x ? ? sin x ? sin x cos ? cos x sin ? sin x ? 3? 3 3 2 2

? 3 ? 1 ?? ? ? 3? sin x ? cos x ? 3 sin ? x ? ? ……………4 分,? f ? x ? 最小正周期为 2? …………5 分,. ? ? 2 ? 2 6? ? ? ?
(2) 方法一: f ?? ?

? ?

? ?? ?? 6 2 ? ? ? ?? ……6 分, 即 sin ? ? ? ? ? ……7 分, ? ? 3 sin ?? ? ? ? ? 3 sin ? ? ? ? ? 12 ? 6 12 ? 4 ? 10 4 ? 10 ? ? ?

??

?? ?? 7 2 ? ? 3? ? ? ? ? ? 3? ? ………9 分, ? ? ? , ? ,?? ? ? ? , ? ? ………8 分,? cos ? ? ? ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? ? ? ? 4 ? 4 4? 4? 10 ?2 4 ? ? ? ?
?? ? ? ? ? 2 2 ? 7 2? 2 4 ? ?? ? ? ?? ? sin ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? cos ? cos ? ? ? ? sin ? ? ??? ? ? ? 2 ? 5 …12 分. 4 ? 4? 4? 4 4 ? 4 10 2 ? 10 ? ? ?? ? ?
方法二: f ? ? ?

? ?

? ? ? ?? 6 ?? 2 ? ? ? ………6 分, 即 sin ? ? ? ? ? ……7 分, ? ? 3 sin ?? ? ? ? ? 3 sin ? ? ? ? ? 12 ? 6 12 ? 4 ? 10 4 ? 10 ? ? ?

? ?



1 2 2 2 2 2 , ? sin ? ? cos ? ? …………8 分 , 联 立 sin ? ? cos ? ? 1 , 解 方 程 组 得 sin ? ? cos ? ? 5 2 2 10 4 3 ,或 sin ? ? ? …………11 分, 5 5 4 ? ? 3? ? ? ? ? , ? ,? sin ? ? …………12 分.

sin ? ?

?2 4 ?

5

17. 解: (1) 2 ? 2 列联表: “老年人”人数 有参与 没参与 合计
2 2

“中青年人”人数 12 36 48

合计 20 40 60

8 4 12

60 ? ?8 ? 36 ? 4 ?12? ? 7.5 ? 6.635 …………4 分, …………2 分, k ? 12 ? 48 ? 20 ? 40
所以有 99% 的把握认为“老年人”比“中青年人”更认同“行通济”这一民俗…………5 分; (2)因为 60 人的样本中有 12 为“老年人”,所以从中抽取 1 人恰好是“老年人”的概率为
3

1 ………6 分, 5
2

则 ? ? 0,1, 2,3 ,且 ?

64 48 ? 1? ?4? 1 1? 4? , P ?? ? 1? ? C3 , B ? 3, ? …………7 分, P ?? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? 5 ? 125 ? 5? ? 5 ? 125
5

1 ? 1 ? 4 12 , ?1? …………11 分,? ? 的分布列为: P ?? ? 2 ? ? C32 ? ? ? P ? ? ? 3? ? ? ? ? ? 5 ? 5 125 ? 5 ? 125

2

3

?
P

0

1

2

3

64 125

48 125

12 125

1 125

3 ? E? ? np ? …………12 分. 5
18. 解 :方法 一: 以 A 为原点 ,建立空 间直角 坐标系 A ? xyz 如图所 示 …………1 分 ,则 P 4 3, 0, 0 ,

?

?

? (1) C M ? ? ?
1

M ? 3,1, 4 , A1 ? 0,0, 4? , C ? 0,4,0? , C1 ? 0, 4, 4? …………3 分. 3, ?3, 0 , CC1 ? ? 0,0, 4 ? , PC ? ?4 3, 4, 0 , ?C1M CC1 ? 0 ,

?

?

?

?

C1M PC ? 0 ,?C1M ? CC1 , C1M ? PC ,即 C1M ? CC1 , C1M ? PC ,
又 CC1

PC ? C ,?C1M ? 面PCC1 ……6 分.

(2) AC 1 P ? 4 3, 0, ?4 ,设平面 A 1 PC1 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,由 ? 1 1 ? ? 0, 4,0 ? , A

?

?

? ?n A1C1 ? 0 ? ?n A1 P ? 0



即?

? ?4 y ? 0 ,令 x ? 1 ,得 n ? 1,0, 3 …10 分,由(1)可知面 PC1C 的法向量为 C1M ? ? 3, ?3,0 …11 分, 4 3 x ? 4 z ? 0 ? ?

?

?

?

?

? cos ? C1M , n ??

C1M n C1M n

?

1 ? 3 1 ? ? ………13 分,故二面角 A1 ? PC1 ? C 的余弦值为 ? ……14 分. 4 4 2? 2 3

方法二: (1)提示:取 AB 中点 Q ,连结 QM , QC ,证明 QC ? 面PCC1 19. 解: (1)依题意可知 ?2 3

?

?

2

? 2 p ? 3 ………1 分,? p ? 2 ………1 分,? x2 ? 4 y ………3 分.

?2 x ? x1 ? x2 2 ? x12 ? ? ? x2 ? 2 ……5 (2) 方法一: 设点 P ? x, y ? , 由 (1) 可设 A ? x1 , 其中 x1 x2 ? 0 ……4 分, 则? ? , B ? x2 , ? , x12 x2 4 ? ? 4? 2 y ? ? ? ? ? 4 4
分, 解得 x1 x2 ? 2x ? 4 y ……6 分, 由 ?AOB ?
2

?
2

AO B , 得O

?0, 即 x1 x2 ?

2 x12 x2 ? ?0, 化简得 x1 x2 ? ?16 ……7 4 4

2 分,? 2 x ? 4 y ? ?6 ,即 y ?

1 2 1 x ? 4 ……8 分,? 点 P 的轨迹方程为 y ? x 2 ? 4 ……9 分. 2 2

方法二:设点 P ? x, y ? ,可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? b ,设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 2 x ? x1 ? x2 ,

? y ? kx ? b 2 2 y ? y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 2b , ① ……5 分, 联立 ? 2 得 x ? 4kx ? 4b ? 0 , 由韦达定理得 x1 ? x2 ? 4k , ?x ? 4 y

x1 x2 ? ?4b ,②……6 分,由 ?AOB ?

?
2

,得 kOA ? kOB ? ?1 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ……7 分,
6

? x1x2 ? ? kx1 ? b?? kx2 ? b? ? 0 ,即 ?1 ? k 2 ? x1 x2 ? kb ? x1 ? x2 ? ? b 2 ? 0 ③,由①②③得 y ?
2 此时 ? ? ? ?4k ? ? 16b ? 4 x ? 64 ? 0 显然成立,? 点 P 的轨迹方程为 y ? 2

1 2 x ? 4 ……8 分, 2

1 2 x ? 4 ……9 分. 2

( 3 )方法一:设 ?ABF ? ? ? 0 ? ? ?

? ?

?? ?? ? ? ,则 AF ? AB sin? , BF ? AB sin ? ? ? ? ? AB cos ? ……10
2? ?2 ?

分,所以 AF ? BF ? AB ? sin ? ? cos? ? ,即

AF ? BF AB

? sin ? ? cos ? ? 2sin

?? ? ?? ? ? ……11 分,由抛物 4? ?

线的定义及梯形的中位线定理, 得 MN ?

MN AF ? BF 2 ?? ? ? ? sin ? ? ? ? , …………12 分, 所以 故当? ? AB 2 4? 4 2 ?

时,

MN AB

的最大值为

2 …………14 分. 2
2 2

方法二: 在 ?ABF 中, 由勾股定理得 AF ? BF

? AB , 即? A F ?B F
2

2 FB F ??A
2

A B ?

2

………10 分,

? AF ? BF ? AF BF ? ? ? ,? ? AF ? BF 2 ? ?
化简得, AF ? BF ?

2

?

2

? AF ? BF ? ? AB ? 2 ? ? …………11 分, 2 ? ?
2

2

2 AB ,由抛物线的定义及梯形的中位线定理,得 MN ?
MN AB

AF ? BF …………12 分, 2

? 2 MN ? 2 AB ,

?

MN 2 2 ,当且仅当 AF ? BF 时, 的最大值为 ………14 分. 2 AB 2

2 2 ? ? a1 ? 4 ?a1 q ? 2a1q 20. 解: (1)设数列?an ? 的公比为 q ,则 ? ………1 分,解得 ? ………2 分, 2 q ? 2 2 a q ? 2 ? a ? a q ? ? ? ? 1 1 1 ?

? an ? 2n?1 ………3 分,? 2b1 ? 3b2 ?
当 n ? 2 时, 2b1 ? 3b2 ? 故 bn ?

? ? n ? 1? bn ?

n ? n ? 1? 1 ① ,当 n ? 1 时, 2b1 ? 1 , b1 ? ………4 分, 2 2 n ? n ? 1? ? n ? 1? n ? ? n, 2 2

? nbn?1 ?

? n ? 1? n
2

② ,①? ② 得: ? n ? 1? bn ?

n 1 n , b1 ? 也满足上式,故 bn ? ………5 分. n ?1 n ?1 2

(2)先证左边不等式: ?1 ?

? ?

bk ? 1 1 ? ? bk ?1 ? bk ?1 ? k ? 1?2

k ?2 1 1 1 1 ? ? ? ? ……7 分, 2 k ? 1 ? k ? 1? ? k ? 1?? k ? 2 ? k ? 1 k ? 2

n ? b ? 1 ?1 1? ?1 1? ? ? ?1 ? k ? ? ? ? ??? ? ?? bk ?1 ? bk ?1 ? 2 3 ? ? 3 4 ? k ?1 ?

1 ? 1 1 n ? 1 ?? ? ? ……9 分, ?? ? ? n ?1 n ? 2 ? 2 n ? 2 2 ? n ? 2?

在证右边不等式:由基本不等式,得

k ?2 1 ? ? ? 1? ? 1 ? ?? k ?1 ? k ?1 ?
7

1?1? 2

1 k ?1 ? 1?

1 ……11 分, 2 ? k ? 1?

? b ? 1 1 1 1 1 ……12 分, ? ?1 ? k ? ? ? ? ? 2 3 k ? k ? 1? 2k ? k ? 1?? k ? 2 ? ? bk ?1 ? bk ?1 ? k ? 1? 2 ? k ? 1? ? 6 5 1?1 1 ? 1? 1 1 ? ,不等式成立,当 k ? 2 时, ? ? ? ? ? ,当 k ? 1 时, ?? ? 8 6 2 ? k k ? 2 ? 4 ? k ? k ? 1? ? k ? 1?? k ? 2 ? ?

??
k ?1

n

1

? k ? 1?

2

? k ?2 6 1?1 1 1 1 ? 1 ?1 1 6 5 1 3 11 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ……14 分. ?? ?? ? ? k ? 1 8 2 ? 2 3 n ? 1 n ? 2 ? 4 ? 6 ? n ? 1?? n ? 2 ? ? 8 12 24 8 24 6
x x x

21. 解: (1)设直线 l 与 f ? x ? 相切于点 A ? x1 , y1 ? ,由于 f ? ? x ? ? e ,? l : y ? e 1 ? e 1 ? x ? x1 ? ……1 分, 过点 P ? ?1,0? ,?0 ? e 1 ? e 1 ? ?1 ? x1 ? ,即 x1e x1 ? 0 ,? x1 ? 0 ,? l : y ? x ? 1 ……3 分.
x x

l

(2) 设 h? x

?x ? n l x? ? ?1 ?m

? ,h? ? x ? ?

x ? m ?1 ……4 分, 当 x ? ? ?m,1 ? m? 时, h? ? x ? ? 0 ,x ? ?1? m, ??? x?m

时, h? ? x ? ? 0 ,故 h ? x ? 在 x ? 1 ? m 是取得最小值……6 分,所以要使不等式成立,则 h ?1 ? m? ? 2 ? m ? 0 , 故 m 的最大值为 2……7 分. ( 3 )解法 一: 函数 F ? ? x? ? e ?
x

1 1 ? 0 , ? F ? ? x ? 在 ? ?m, ??? 上递 ? x ? ? m? , F ?? ? x ? ? ex ? 2 x?m ? x ? m? 1 1 ,画出 y ? e x 与 y ? 的大致图像可知 F ? ? x ? ? 0 有唯一实根 x2 , x?m x?m

增……8 分,令 F ? ? x ? ? 0 得 e ?
x

? ? , x 且 当 x ?? ? m 2 ? 时 , F ? x ? ? 0 , x ? ? x2 , ?? ? 时 , F ? x ? ? 0 ……9 分 , 又 F ? x ? 有 唯 一 零 点 x0 ,
? x0 ? x2 ……10 分, ? e x0 ?
1 x x x , e 0 ? ln ? x0 ? m? ? 0 ,故 e 0 ? x0 ? 0 ……12 分,设 H ? x ? ? e ? x , x0 ? m

1 1 ? 1? ? 1 H ? ? x ? ? ex ?1 ? 0 ,则 H ? x ? 在 ? ?m, ??? 上单调递增,又 H ? ? ? ? e 2 ? ? 0 , H ? ?1? ? ? 1 ? 0 ,即 e 2 ? 2?

1 ? 1? H ? ? ? ? H ? ?1? ? 0 ,由零点存在性定理知 ?1 ? x0 ? ? ……14 分. 2 ? 2?
解法二:依题意可知方程 e ? ln ? x ? m? 有唯一实根 x0 ,即曲线 y ? e x
x

与 y ? ln ? x ? m? 有唯一交点 ? x0 , y0 ? ……8 分,分别画出 y ? e x 与 y ? ln ? x ? m?
x x 的 大 致 图 像 如 图 所 示 ……9 分 , 可 知 y ? e 与 y ? ln ? x ? m? 在 ? x0 , y0 ? 处 有 公 切 线 l , ? y0 ? e 0 ,

y0 ? ln ? x0 ? m? , ? e x0 ?

1 x x x , 故 e 0 ? x0 ? 0 ……12 分, 设 H ? x ? ? e ? x ,H ? ? x ? ? e ?1 ? 0 , 则 H ? x? x0 ? m

1 1 ? 1 ? ?2 1 ? 1? 在 ? ?m, ??? 上单调递增,又 H ? ? ? ? e ? ? 0 , H ? ?1? ? ? 1 ? 0 ,即 H ? ? ? ? H ? ?1? ? 0 ,由零点 e 2 ? 2? ? 2?

存在性定理知 ?1 ? x0 ? ?

1 ……14 分. 2
8


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