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三立体几何


三.立体几何部分
1. 看到线面平行 联 想 ①面面平行;②线线平行;③点到面的距离可转化;④线与面的
法向量垂直。 2. 看到线面垂直 联 想 ①面面垂直;②线线垂直;③联系三垂线定理及逆定理;④出现 点的射影找出线面角。 3. 看到角度、距离问题步骤有五:作、证、点、算、答。或者用法向量公式进行计算。 4. 看到中点联想:①再找中点出现中位线;②向量的中点

公式;③中线是否与底边垂 直(三角形是否是直角三角形)。 5. 看到判断题或正确命题的序号是哪些的问题一般是运用判定定理、性质定理进行推 导,注意是否有多种可能。 6. 折叠问题要画出实际平面图与直观图,理清楚哪些没有变,哪些变了。最主要的是 找垂直关系,最好是与交线垂直的线。

7. 法向量公式:已知 A ?? , B ?? , 平面 ? 的法向量为 n, 则点 A 到平面 ? 的距离 d ?

| AB ? n | | AB ? n | ; 直线 AB 与平面 ? 所成的角 ? 满足 sin ? ?| cos ? AB, n ?? . |n| | AB || n |
二面角

多面体与为旋转体

? 柱、锥、台、球的概念进行细致研究。 1. 看到判断题应 ???
联想

? 轴截面图形进行研究。 2. 看到旋转体应 ???
联想

? 直观示意图后进行研究与运算。 3. 看到三视图应 ????
准确画出

? (割、补)转化为规则几何体后进行研 4. 对于不规则几何体通过 ??????
究与运算。

拼接或截去?挖去?

? 将其还原成锥体,然后利用锥体的性质解答。 5. 看到台体方面的问题 ???
联想

例题:
1.某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是 A.圆柱 B.圆锥 C.四面体
?

(

)

D.三棱柱

2.在△ABC 中,①若 B=60 ,a=10,b=7,则该三角形有且有两解;②若三角形的三边的 比是 3:5:7,则此三角形的最大角为 120 ;③若△ABC 为锐角三角形,且三边长分 别为 2,3,x.则 x 的取值范围是 ( A.0 ) B.1 C.2 D.3
?

5 ? x ? 13 . 其 中 正 确 命 题 的 个 数 是

3.(本题满分 12 分)如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, E、 F 分别是棱 DD1 、C1D1 的中点. (1)求直线 BE 和平面 ABB1A1 所成角 ? 的正弦值; (2)证明:B1F∥ 平面 A1BE.

A1 B1 F C1 A B C

D1 E D

4. 已知四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形, 平面 PAB ? 平面 ABCD, R、S 分别 是棱 AB、PC 的中点, AD / / BC, AD ? AB, PA ? PB, AB ? BC ? 2 AD ? 2PA ? 2, (Ⅰ)求证:①平面 PAD ? 平面 PBC; ② RS / / 平面 PAD (Ⅱ)若点 Q 在线段 AB 上,且 CD ? 平面 PDQ, 求三棱锥 Q ? PCD 的体积. C

D S Q A P 5.下列说法错误的是 A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内; B.过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直; C.如果共点的三条直线两两垂直,那么它们中每两条 直线确定的平面也两两垂直; D.如果两条直线和一个平面所成的角相等,则这两条 直线一定平行; 6.如图,圆 O 为三棱锥 P-ABC 的底面 ABC 的外接圆, AC 是圆 O 的直径,PA ? BC,点 M 是线段 PA 的中点. (Ⅰ )求证: BC ? PB; R B

P

M

A

O

C

B

(Ⅱ )设 PA ? AC,PA=AC=2,AB=1,求三棱锥 P-MBC 的 体积; (Ⅲ )在 ? ABC 内是否存在点 N,使得 MN∥ 平面 PBC? 请证明你的结论.

7.已知 a , b 为不同的二直线, ? , ? 为不同的二平面,在下列四个命题中: ①若 a ? ? , b ? ? ,则 a ∥ b ; ③若 a ? ? , a ? ? ,则 ? ∥ ? ; 其中正确命题的个数是( ) A.1 D.4 8.如图,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱长为 2 ,底面三角形的边长为 1 ,则 BC1 与 侧面 ACC1 A1 所成的角的大小为_____________ A1 9.如图,在底面为平行四边形的四棱柱 C1 B1 B.2 C.3 ②若 a ∥ ? , b ∥ ? ,则 a ∥ b ; ④若 b ∥ ? , b ∥ ? ,则 ? ∥ ? 。

ABCD-A1B1C1D1 中,
1 CD=2,?DCB=60 。 D1D ? 底面 ABCD,AD=,
0

C A
D1 A1 B1

B
C1

(1)求证:平面 A1BCD1 ? 平面 BDD1B1 ;

D A B

C

(2)若 D1D=BD ,求四棱锥 D-A1BCD1 的体积。

10.如图,四边形 ABCD 为梯形,AB∥ CD, PD ? 平面 ABCD, ?BAD=?ADC=90 ,
o

DC ? 2 AB ? 2a, DA ? 3a ,E 为 BC 中点。
(1)求证:平面 PBC ? 平面 PDE; (2)线段 PC 上是否存在 BDF?若有,请找出具体位置, 请分析说明理由. 一点 F,使 PA//平面 并进行证明;若无,

11.已知直线 l 、 m ,平面 ?、? ,则下列命题中是假命题的是( A.若 ? // ? , l ? ? ,则 l // ? ; B.若 ? // ? , l ? ? ,则 l ? ? ; C.若 l // ? , m ? ? ,则 l // m ; D.若 ? ? ? , ? ? ? ? l , m ? ? , m ? l ,则 m ? ? .

)

12.如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 1 ,以 A 为圆心,1 为半 径作四分之一个圆弧 DE , 在圆弧 DE 上任取一点 P , 则直线 AP 与线段 BC 有 公共点的概率是 .

D

C

A

E

B

13.已知两个不同的平面? 、 ? 和两条不重合的直线,m、n,有下列四个命题: ① 若 m // n, m ? ? ,则 n ? ? ② 若 m ? ? , m ? ? , 则? // ? ; ③ 若 m ? ? , m // n, n ?

? , 则? ? ? ;


④ 若 m // ? ,? ? ? ? n, , 则m // n 其中不正确的命题的个数是

14.如图,已知 ABCD 是正方形,PD⊥平面 ABCD,PD=AD. (Ⅰ)求证:平面 PAD⊥PAB; (Ⅱ)求二面角 A-PB-D 的大小.

15. 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2 , O 是 AC 与 BD 的交点, E 为 BB1 的中点. (Ⅰ )求证:直线 B1D ∥ 平面 AEC ; (Ⅱ )求证: B1 D ? 平面 D1 AC ; (Ⅲ )求三棱锥 D ? D1OC 的体积.

D1

C1

A1

B1

E D O A B C

16. 对 于 下 列 结 论 ( ) ①如果两条直线 a 、 b 分别与直线 l 平行,那么 a // b











②如果直线 a 与平面 ? 内的一条直线 b 平行,那么 a // ?

③如果直线 a 与平面 ? 内的两条直线 b 、 c 都垂直,那么 a ⊥ ? ④如果平面 ? 内的一条直线 a 垂直平面 ? ,那么 ? ⊥ ? A.①④ B. ①② C. ①③④ D.①②④

17.如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1, E 是 CD 的中点, 以 AE 为折痕将 ?DAE 向 上折起,使 D 为 D ? ,且平面 D?AE ? 平面 ABCE . (Ⅰ)求证: AD ? ? EB ; (Ⅱ)求直线 AC 与平面 ABD? 所成角的正弦值.

D

E

C

D?
E

C
B

A

B

A

18. 在直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,BC ? CC1 , AB ? BC .点 M , N 分别是 CC1 ,B1C 的 中点, G 是棱 AB 上的动点. (Ⅰ)求证: B1C ? 平面 BNG ; (Ⅱ)若 CG //平面 AB1 M ,试确定 G 点的位置,并给出证明.

19. 如 图 三 棱 锥 P - A B C , 已 知 P C? 平面 A B C , CD ? 面PAB , BA= BC , PC = AC = 2 . (Ⅰ)求异面直线 AP 与 BC 所成的角的大小; (Ⅱ)求二面角 C ? PA ? B 的余弦值.

P D B C

A

20.如图:直三棱柱(侧棱⊥底面)ABC—A1B1C1 中, ∠ACB=90° ,AA1=AC=1,BC= 2 ,CD⊥AB,垂足为 D. ⑴求证:BC∥平面 AB1C1; ⑵求点 B1 到面 A1CD 的距离.
A1 C1

B1

P A D

C B

21.如图所示,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,且 2PA=AD=2,E、F、G 分别是线段 PA、PD、CD 的中点。 (Ⅰ)求异面直线 EF 与 AG 所成角的余弦值; (Ⅱ)求证:BC∥面 EFG; (Ⅲ)求三棱锥 E-AFG 的体积。 E A

P F D G

B 9

C

22 . . 长方体 ABCD? A 1 B 1 C 1 D 1 的各个 顶点都在表面积为 16? 的球 O 的球面上,其中 ,则四棱锥 O ? ABCD 的体积为 AB : AD: AA 1 ? 2 :1: 3 A.

2 6 3

B.

6 3

C. 2 3

D. 3

? 23.如图,四棱锥 P ? ABCD 的侧面 PAD 垂直于底面 ABCD , ?ADC ? ?BCD ? 90 ,

PA ? PD ? AD ? 2 BC ? 2 , CD ? 3 , M 在棱 PC 上, N 是 AD 的中点,二面角
M ? BN ? C 为 30?

PM 的值; MC (2)求直线 PB 与平面 BMN 所成角的正弦值.
(1)求
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P

M D N A B C

24 . 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 右 图 所 示 , 则 这 个 几 何 体 的 体 积 为 ( ) (A)

2 3

(B)2 (D)5

(C)4

25.如右下图所示是一个几何体的 三视图,则该几何体的表面积为 A. 4 ? 2 6 C. 2 ? 2 6 B. 2 ? 6 D. 4 ? 6

26.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积是 A.4+2 6 B.4+ 6 C.4+2 2 D.4+ 2 )

7.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的四个面中最大的面积是( 1 1 1 1 正视图 侧(左)视图 俯视图

A.

3 2

B.

2 2

C.

3 4

D.

1 2

7.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为 的菱形,俯视图为正方形,那么这个几何体的表面积为 A. 2 3 B. 4 3 C. 8

3 ,一个内角为 60 ? 2

D. 4


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