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福建省安溪梧桐中学2009届高三期末模拟数学试卷(理科)


福建省安溪梧桐中学 2009 届高三期末模拟试卷数学(理科)
一、选择题: (每题 5 分) 1.已知 a∈R,设集合 A={x||x-1|≤2a-a2-2},则 A 的子集个数共有 B A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数个 2.若 a、b、c 为实数,则下列命题正确的是 B A.若 a>b,则 ac2>bc2 B.若 a<b<0,则 a2>ab>b2 1 1

C.若 a<b<0,则a<b b a D.若 a<b<0,则a>b

3.已知函数 y=2sin(ω x+φ )(ω >0)的对称中心为(n,0)(n∈Z) , , ;则ω =C A 1 B 2 C π D y

? 2
( D ) y

4.方程 xy=lg|x|的曲线只能是 y y

0 A

x

0 B

x

0 C

x

0

x

D ( D )

5.已知函数 f ( x) ? lg(5x ? A. (?4, ??)
m n

4 ? m) 的值域为 R,则 m 的取值范围是 5x B. [?4, ??) C. (??, ?4) D. (??, ?4]

6. 若 2 ? 4 ? 2 2 ,则点 (m, A.直线 x ? y ? 1 的左下方 C.直线 x ? 2 y ? 1 的左下方 7.已知实数 a,b 满足:

n) 必在(C)
B.直线 x ? y ? 1 的右上方 D.直线 x ? 2 y ? 1 的右上方

a ? bi 7 11 ? ? i (其中 i 是虚数单位),若用 Sn 表示数列 ?a ? bn? 的 1? i 2 2

前 n 项的和,则 Sn 的最大值是 ( C ) (A)16 (B)15 (C)14 (D)12 2 8.抛物线 y =x 与过焦点且与对称轴垂直的直线所围成图形的面积为 B A

3 12

B

1 6

C

2 4

D

1 3

9.下列命题中:①函数 f ( x) ? sin x ?

2 ( x ? (0, ? )) 的最小值是 2 2 :②在△ABC 中, sin x

若 sin 2 A ? sin 2 B ,则△ABC 是等腰或直角三角形;③如果正实数,a,b,c 满足 a+b>c, 则

a b c ? ? ;④如果 y ? f (x) 是可导函数,则 f ' ( x0 ) ? 0 是函数 y ? f (x) 在 1? a 1? b 1? c
D) (D)②③

x=x0 处取到极值的必要不充分条件.其中正确的命题是 ( (A)①②③④ (B)①④ (C)②③④

10.已知定义在 R 上的函数 f ( x)、g ( x) 满足

f ( x) ) ? a x ,且 f '( x ) g ( x )? f ( x ) g '(x, g ( x) 15 f (1) f (?1) 5 f (n) }( n ? 1, 2,3,?,10 )的前 n 项和大于 的概率是 ? ? . 则有穷数列{ 16 g (1) g (?1) 2 g (n)
1 5
B.

C A.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

二、填空题: (除 14 题 6 分其余每题 5 分) → → 11. 已知OP1=(cosθ, sinθ), 2=(3-cosθ, OP 4-sinθ), → → 若OP1∥OP2,则 cos2θ= .
1 A B O D 主 视 图 侧 ( 左 ) 视 图 B D

12、如图所示是三棱锥 D-ABC 的三视图,其中△DAC、 △DAB、△BAC 都是直角三角形,点 O 在三个视图中都 是所在边的中点,则在三棱锥 D-ABC 中 DO 的长度为 _________;该三棱锥外接球的表面积为________. 13. 在圆中有结论:如图,“AB 是圆 O 的直经,直线 AC,BD 是圆 O 过 A,B 的切线,P 是圆 O 上任意一点,CD
2

C

O

A

2

俯 视 O图 C 2

(第 12 题图)

A

是过 P 的切线,则有 PO ? PC ? PD ” 类比到椭圆: 。 “AB 是椭圆的长轴,直线 AC,BD 是椭 圆过 A,B 的切线,P 是椭圆上任意一点,CD 是过 P 的切线,则有
D C P C O B A F2 O F1 B P

.”
D

14. 选做题(只需在(1) (2)小题中任选一题; (3)小题为必做题)
A

(1)(坐标系与参数方程选做题)圆 ? ? 8 cos? 的面积为

.

开始 输入 p

(2) (坐标系与参数方程选做题) 极坐标内曲线 ? ? 2sin ? 的中心 O 与点 D ?1, ? ? 的距离为 .

n ? 0, S ? 0

(3)(不等式选讲选做题) 若不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? a 无实数解,则 a 的取值范围是 . 。

n? p




15.执行右边的程序框图,若 p ? 4 ,则输出的 S ? 三、解答题: (共 74 分)

n ? n ?1

输出 S 结束

S?S?

1 2n

16. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= 3asinωx-acosωx(a>0,ω>0)的图象上两相邻最 π 4π 高点的坐标分别为(3,2)和( 3 ,2). (1)求 a 与 ω 的值; b-2c (2)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 f(A)=2,求 的值. acos(600+C) 17. (本小题满分 12 分)甲、乙、丙三人参加了一家公司招聘面试,甲表示只要面试合格就 签约;乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约,设每人面试合格的 概率都是

1 ,且面试是否合格互不影响。 2

(1)求至少有一人面试合格的概率; (2)求签约人数 ? 的分布列和数学期望;

PC 18. 本小题题满分 12 分) ( 如图: 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面为正方形, 与底面 ABCD 垂直,且 PC ? CD ? 6 , E 为棱 PB 上的点.
(1) F 为底面对角线 AC 上的点,且

BE CF ? EP FA

,求证: EF // 平面 PDA ;

(2)当

BE ? 2 时,求二面角 E ? AC ? B 的余弦值. EP

19. (本小题满分 12 分)设动点 P( x, y )( x ? 0) 到定点 F ( , 0) 的 距离比它到 y 轴的距离大

1 2

1 .记点 P 的轨迹为曲线 C 2

(1)求点 P 的轨迹方程; (2)设圆 M 过 A(1, 0) ,且圆心 M 在 P 的轨迹上, EF 是圆 M 在 y 轴上截得的弦,当 M 运动时弦长 | EF | 是否为定值?请说明理由. 20. (本小题满分 12 分)设方程 3tan2πx-4tanπx+ 3=0 在[n-1,n)(n∈N*)内的所有解 之和为 an. (1)求 a1、a2 的值,并求数列{an}的通项公式; 1 1 1 (2)设数列{bn}满足条件:b1=2,bn+1≥abn,求证: + +?+ <2. 2b1-3 2b2-3 2bn-3

3 2 3 22.本小题满分 14 分) ( 若函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 是奇函数, f(x)极小值=f(- 3 )=- 9 . 且 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)在[-1,m](m>-1)上的最大值; f(x) 1 (3)设函数 g(x)= x2 ,若不等式 g(x)· g(2k-x)≥(k-k)2 在(0,2k)上恒成立,求实数 k 的取 值范围.

2009 届期末模拟试卷(二)数学试题(理)

参考答案
一、选择题:BBCCD CCBDC 13.PF ? PF2 ? PC ? PD ; 14.16? ; 2 ; a ? 3 1 7 二、填空题:11. -25 12. 3;9? 15.

15 16

三、解答题: π 16.解(1)f(x)= 3asinωx-acosωx=2asin(ωx-6) 4π π 由已知知周期 T= 3 -3=π, 故 a=1,ω=2;????????6 分 π π π 则 2A-6=2,解得 A=3= 3 1 cosC+2sinC-2sinC 2 31 3 2 (2cosC- 2 sinC)

π π π 11π (2)由 f(A)=2,即 sin(2A-6)=1,又-6<2A-6< 6 , 600?8 分 b-2c sinB-2sinC sin(120 -C)-2sinC = = acos(600+C) sinAcos(600+C) sin600cos(600+C) 3 3 2 cosC-2sinC
0







=2.??12 分 1 3 3 ( 2 cosC-2sinC) 2 17.A、B、C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格,则 P( A) ? P( B) ? P(C ) ? 1 .
2

(1)至少有一人合格的概率 P=1-P( A ? B ? C )= 1 ? ( 1 ) 3 ? 7 2 8 (2) ? 可能取值 0,1,2,3

4分 5分

1 1 1 3 P(? ? 0) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? ; 2 2 2 8 1 1 1 3 P(? ? 1) ? P( ABC ) ? P( AB C ) ? P( ABC ) ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? ; 2 2 2 8 1 1 P(? ? 2) ? P( ABC ) ? ; P(? ? 3) ? P( ABC ) ? ; 8 8 ∴分布列为

?
P

0

1

2

3

9分

3 8

3 8

1 8

1 8
12 分

3 3 1 1 E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 1. 8 8 8 8 18 解: (1)连接 BF ,交 AD 于点 G ,连接 PG ,

BF CF BE CF BF BE ? ? ? 又 ,?? , FG FA EP FA FG EP 故在△ BPG 中, EF // PG 又 EF ? 平面 PDA , PG ? 平面 PDA ,所以, EF // 平面 PDA
则在正方形 ABCD 中, (2)??PC ? 面 ABCD ,四边形 ABCD 为正方形,故以点 C 为原点,

P

E

CD 为 x 轴, CB 为 y 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 C (0,0,0)?, A(6,6,0), P(0,0,6) ,

C F

B

??

??? ? ??? ? D A BE ? 2 ,? E (0, 2, 4) ,?CA ? (6,6,0)?, CE ? (0, 2, 4) ? ? EP ??? ? ??PC ? 面 ABCD ,?CP ? (0,0,6) 是面 ACB 的一个法向量 ? ??? ? ? ??? ? ? 设 n ? ( x, y, z) 是平面 EAC 的一个法向量,则 n ? CA ,且 n ? CE , ? ?6 x ? 6 y ? 0 ,取 x ? 2 ,得 y ? ?2?, z ? 1,? n ? (2, ?2,1) ?? ?2 y ? 4 z ? 0 ? ??? ? 此时,向量 n 和 CP 的夹角就等于二面角 E ? AC ? B 的平面角 ? ??? ? ? ??? ? 1 n ? CP 6 1 ? ? 二面角 E ? AC ? B 的余弦值为 ?cos ? n, CP ?? ? ??? ? ? ? 3 | n || CP | 3 ? 6 3 1 1 19.解: (1)依题意, P 到 F ( , 0) 距离等于 P 到直线 x ? ? 的距离,曲线 C 是以原点为 2 2 1 顶点, F ( , 0) 为焦点的抛物线 (2 分) 2
P ?1
曲线 C 方程是 y 2 ? 2 x (4 分)

(2)设圆心 M (a, b) ,因为圆 M 过 A(1, 0) 故设圆的方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? (a ? 1)2 ? b2 令 x ? 0 得: y 2 ? 2by ? 2a ?1 ? 0 设圆与 y 轴的两交点为 (0, y1 ),(0, y2 ) ,则 y1 ? y2 ? 2b, y1 ? y2 ? 2a ? 1 (10 分) (7 分)

( y1 ? y2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 ? y2 ? (2b)2 ? 4(2a ?1) ? 4b2 ? 8a ? 4
M (a, b) 在抛物线 y 2 ? 2x 上, b2 ? 2a
所以,当 M 运动时,弦长 | EF | 为定值 2 20.方程 3tan2πx-4tanπx+ 3=( 3tanπx-1)(tanπx- 3)=0 3 得 tanπx= 3 或 tanπx= 3 (1)当 n=1 时,x∈[0,1),即 πx∈[0,π)

( y1 ? y2 )2 ? 4

| y1 ? y2 |? 2 (13 分)
(14 分)

3 π π 由 tanπx= 3 ,或 tanπx= 3得 πx=6或 πx=3 1 1 1 故 a1=6+3=2;??????2 分 当 n=2 时,x∈[1,2),则 πx∈[π,2π) 3 7π 4π 由 tanπx= 3 或 tanπx= 3,得 πx= 6 或 πx= 6 7 4 5 故 a1=6+3=2??????4 分 当 x∈[n-1,n)时,πx∈[(n-1)π,nπ) 3 π π 由 tanπx= 3 ,或 tanπx= 3得 πx=6+(n-1)π 或 πx=3+(n-1)π 1 1 得 x=6+(n-1)或 x=3+(n-1), 1 1 3 故 an=6+(n-1)+3+(n-1)=2n-2???6 分 3 (2)由(1)得 bn+1≥abn=2bn-2????????8 分 3 3 3 3 - 即 bn+1-2≥abn=2(bn-2)≥22(bn-1-2)≥?≥2n(b1-2)=2n 1>0??10 分 则 1 1 1 3≤2n-1,即2bn+1-3≤2n bn+1-2 1

1 1 1 1 1 1 + +?+ ≤1+2+?+ n-1=2- n-1<2.??12 分 2b1-3 2b2-3 2bn-3 2 2 21.解: (1)函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 是奇函数,则 b=d=0,

?f (- 33)=a+c=0 ?a=-1 ∴f (x)=3ax +c,则? ? ?c=1 3 3a 3c 2 3 ? ?f(- 3 )=- 9 - 3 =- 9
/ /

2

故 f(x)=-x3+x;????????????4 分 3 3 / (2)∵f (x)=-3x2+1=-3(x+ 3 )(x- 3 ) 3 3 3 3 ∴f(x)在(-∞,- 3 ),( 3 ,+∞)上是增函数,在[- 3 , 3 ]上是减函数, 由 f(x)=0 解得 x=±1,x=0, 如图所示, 当-1<m<0 时, f(x)max=f(-1)=0; 3 当 0≤m< 3 时,f(x)max=f(m)=-m3+m, 3 3 2 3 当 m≥ 3 时,f(x)max=f( 3 )= 9 .
-1
3 - 3

y

O
3 3

1

x

故 f(x)max

(-1<m<0) ?0 ?-m +m (0≤m< 3) 3 .??????9 分 =? ?2 9 3 (m≥ 33) ?
3

1 + (3)g(x)=(x -x),令 y=2k-x,则 x、y∈R ,且 2k=x+y≥2 xy, 又令 t=xy,则 0<t≤k2, x2+y2 1 1 1 故函数 F(x)=g(x)· g(2k-x)=(x -x)(y -y)=xy+xy- xy (x+y)2-2xy 1-4k2 1 =xy+xy- = t +t+2,t∈(0,k2] xy 当 1-4k2≤0 时,F(x)无最小值,不合 当 1-4k2>0 时,F(x)在(0, 1-4k2]上递减,在[ 1-4k2,+∞)上递增, 1 1 且 F(k2)=(k-k)2,∴要 F(k2)≥(k-k)2 恒成立,

?k>0 2 ?0<k<1 ? ? 2 , 1-4k >0 ? ? 必须? 2 2 2 ? ? ?k ≤ 5-2 ?k ≤ 1-4k
故实数 k 的取值范围是(0, 5-2)].??????14 分


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