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2014年高中数学经典资料-学生自学系列 圆锥曲线


圆锥曲线 1.圆锥曲线的两个定义: (1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点 F 1 , F 2 的距离的和等于常数 2a , 且此常数 2a 一定要大于 F1 F2 , 当常数等于 F1 F2 时, 轨迹是线段 F 1 F 2 ,当常数小于 F1 F2 时,无轨迹;双曲线中,与两定点 F 1 ,F 2 的 距离的差的绝对值等于常数 2a ,且此常数 2a

一定要小于|F 1 F 2 |,定义中的“绝 对值”与 2a <|F 1 F 2 |不可忽视。若 2a =|F 1 F 2 |,则轨迹是以 F 1 ,F 2 为端点的 两条射线,若 2a ﹥|F 1 F 2 |,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表 示双曲线的一支。如(1)已知定点 F1 (?3,0), F2 (3,0) ,在满足下列条件的平面上动 点 P 的 轨 迹 中 是 椭 圆 的 是 A . PF1 ? PF2 ? 4 B . PF1 ? PF2 ? 6 C . PF 1 ? PF 2 ? 10 D . PF1 2 ? PF2 2 ; (2)方程 ? 12 ( 答 : C ) 2 _____(答:双曲线的左支) (x ? 6 ) ? y 2 ? (x ? 6 2 ) ? y 2 ? 表示的曲线是 8 (2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为 分子、点线距为分母 ” ,其商即是离心率 e 。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥 曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系, 要善于运用第二定义对 它们进行相互转化 。如已知点 Q(2 2 ,0) 及抛物线 y ? x2 上一动点 P(x,y) ,则 4 y+|PQ|的最小值是_____(答:2) 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称 轴时的标准位置的方程) : x2 y2 x ? a cos ? (1)椭圆:焦点在 x 轴上时 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) ? y ? b sin ? (参数 a b y2 x2 方程,其中 ? 为参数) ,焦点在 y 轴上时 2 ? 2 =1( a ? b ? 0 ) 。方程 a b Ax2 ? By 2 ? C 表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,B,C 同号,A≠ ? B) 。如(1)已知方程 x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则 k 的取值范围为____(答: 3? k 2?k 1 1 (?3, ? ) (? , 2) ) ; (2)若 x, y ? R ,且 3x2 ? 2 y 2 ? 6 ,则 x ? y 的最大值是____, 2 2 x 2 ? y 2 的最小值是___(答: 5, 2 ) x2 y2 y2 x2 y ? ? =1 ,焦点在 轴上: =1 a2 b2 a2 b2 ( a ? 0, b ? 0 ) 。方程 Ax2 ? By 2 ? C 表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0, x2 y2 5 且 A,B 异号) 。如(1)双曲线的离心率等于 ,且与椭圆 ? ? 1 有公共焦 9 4 2 2 x 点,则该双曲线的方程_______(答: ? y 2 ? 1 ) ; (2)设中心在坐标原点 O , 4 焦点 F1 、 F2 在坐标轴上,离心率 e ? 2 的双曲线 C 过点 P(4,? 10) ,则 C 的方程 ( 2 ) 双曲线 :焦点在 x 轴上: 为_______(答: x 2 ? y 2 ? 6 ) (3)抛物线:开口向右时 y 2 ?

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